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1、1,第六章學(xué)習(xí)的定積分是一元函數(shù)y=?(x)在閉區(qū)間[a,b],本章用定積分的基本思想去建立二重積分的概念，,已知的立體和旋轉(zhuǎn)體)體積的計(jì)算方法;但對于一般立體的,第九章 二重積分,上的積分；下面我們來學(xué)習(xí)二元函數(shù)在有界閉區(qū)域D上的,積分，即二重積分.,推導(dǎo)它的計(jì)算公式，研究它的計(jì)算方法.,在定積分的應(yīng)用中,已給出了一些特殊立體(截面面積,體積問題卻仍不會處理.,2,第九章 二重積分,9.1 二重積分的概念 9.2 在直角坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算 9.3 二重積分的換元法 9.4 在極坐標(biāo)系下二重積分的計(jì)算 9.5 無界區(qū)域上的二重積分,3,中底是xy平面上的一個有界閉區(qū)域D,,,,,z,y,O

2、,x,,,,,,,,,,D,,,,C,z=?(x,y),,(x,y),分析：,定義1 設(shè)有一立體是由底、側(cè)面、頂三部分圍成；其,方程為z=?(x,y) (x,y)∈D, 連續(xù)且?(x,y) ≥0.,側(cè)面是以D的邊界,曲線C為準(zhǔn)線、 母線平行于z軸的柱面,,頂是一曲面，其,則稱此立體為曲頂柱體.,但對于曲頂柱體因其高?(x,y) 是,因平頂柱體體積為“底面積高”,來定義和計(jì)算了；,個變量，其體積就不能用,“底面積高”,4,但從某點(diǎn)的某個充分小鄰域局部范,,,,z,y,O,x,,,,,,,,,D,,,,C,z=?(x,y),,(x,y),但由?(x,y)的連續(xù)性知：,從整個定義域來看“高是變化的”

3、；,圍內(nèi)來看?z→0，即高可“看成”,不變；,體積之和.,,,,,,,,此時在此鄰域內(nèi)對應(yīng)的曲頂柱體體積就近似于平頂,柱體之體積；,故整個曲頂柱體之體積就近似于全部小平頂柱體的,5,下面仍用定積分求曲邊梯形面積的思想方法一樣來,求曲頂柱體體積：,1.分割,用一組曲線網(wǎng)任意地將區(qū)域D分成n,個小區(qū)域(如圖),并以,表示第i個小區(qū)域的面積 ；,,,x,y,O,,,,,,,,,,,6,n個小曲頂柱體;,,,,z,y,O,x,,,,,,,,,,,,D,,,,,,,,再以各小區(qū)域 的邊界為準(zhǔn)線，,作母線平行于z軸的曲頂柱體；,相應(yīng)地把原曲頂柱體分割成,并設(shè)第i個小曲頂柱體體積為,設(shè)所求體積為V,,則,7

4、,2. 以平代曲，近似代替,內(nèi)任取一點(diǎn),,,,~,y,O,x,,,,,,,,,,,,D,,,,,,,,,,,,,,,在每個小區(qū)域,8,3.求和取極限,若當(dāng)d→0時(此時必有n→∞,但n→∞不能保證有d→0),,,,x,y,O,,,,,,,,,,,則定義此極限為曲頂柱體之體積.,存在，,注1 這種和式的極限的應(yīng)用極廣；各個領(lǐng)域中的不少 問題通常都要化為這種和式的極限；我們常把這種和 式的極限稱為,二重積分.,9,9.1 二重積分的概念,定義2 設(shè)?(x,y) 是有界閉區(qū)域上的有界函數(shù)，將D任意,當(dāng)各小區(qū)域中的,存在，且與區(qū)域的分割及點(diǎn),極限值為二元函數(shù)?(x,y)在區(qū)域D上的二重積分，記作,一

5、. 二重積分的概念,取法無關(guān)，則稱此,作和式,分割成n個小區(qū)域,在各小區(qū)域,內(nèi)任,取一點(diǎn),最大直徑,10,區(qū)域，dσ為面積,其中?(x,y)為被積函數(shù), D為積分,注2 若函數(shù)?(x,y)在區(qū)域D上的二重積分存在，此時,定理1 若?(x,y)在有界閉區(qū)域D上連續(xù)，則?(x,y)在D,元素，?(x,y)dσ為被積表達(dá)式.,又稱?(x,y)在區(qū)域D上可積.,上一定可積.,注3 由定義2知：若?(x,y)在D上可積，則其和式極限,的存在性與區(qū)域D的分法無關(guān)，即與小區(qū)域,狀無關(guān).,的形,11,故在直角坐標(biāo)系下，我們常采用平行于坐標(biāo)軸的直,,,x,y,O,,,,,,,,,,,,,,,,,則小區(qū)域 的面

6、積為,在上述分法下,類似一元函數(shù)微分取極限后,面積元素為,故在直角坐標(biāo)系下，二重積分可寫為,其邊長分別為 和,線來劃分D (如圖).,此時的小區(qū)域,的形狀為小矩形,,dσ =dxdy,12,注4 二重積分的幾何意義：,當(dāng)函數(shù)z=?(x,y)在區(qū)域D上連續(xù)且?(x,y) ≥0時,二重積分,表示以曲面z=?(x,y)為頂，以區(qū)域D為底的,特別地,當(dāng)?(x,y)=1時,二重積分,表平面區(qū)域D的面積.,但它們的量綱不一樣.,曲頂柱體之體積.,即高度為1的平頂柱體之體積等于此柱體的底面積；,13,二. 二重積分的性質(zhì),二重積分與定積分具有相應(yīng)的性質(zhì),其證明方法與定積分,性質(zhì)2 函數(shù)的代數(shù)和的積分等于各

7、函數(shù)積分的代數(shù)和，,性質(zhì)1 常數(shù)因子可提到積分號外，即,現(xiàn)分述如下而不證明:(以下總假定涉及的函數(shù),基本相同;,在D上是可積的),即,14,注5 綜合性質(zhì)1和性質(zhì)2就有積分的線性運(yùn)算性，并可,性質(zhì)3 (區(qū)域可加性)若區(qū)域D被某曲線分割成兩個部分,性質(zhì)4 對任意的(x,y)∈D,有?(x,y)=1,σ 為閉區(qū)域D的,則,區(qū)域,面積,則,推廣到有限個函數(shù)的情形 ：,15,性質(zhì)5 (單調(diào)性)對任意的(x,y)∈D,有?(x,y)≤g(x,y),則,特別地有,性質(zhì)6 (估值定理) 若M和m分別是?(x,y)在閉區(qū)域D上,的最大值和最小值， σ 為區(qū)域D的面積，則,性質(zhì)7 (中值定理) 設(shè)?(x,y)在

8、閉區(qū)域D上連續(xù)， σ 為,區(qū)域D的面積，則在D上至少存在一點(diǎn)(ξ,η)，使得,16,中值定理的幾何意義：,在閉區(qū)域D上以曲面z=?(x,y)為頂?shù)那斨w之體積,等,于區(qū)域D上某一點(diǎn)(ξ,η)的函數(shù)值為高的平頂柱體之體積.,例1 比較下列二重積分的大?。?,,x,y,O,,,x+y=1,,,1,1,2,3,則區(qū)域D內(nèi)的點(diǎn)(x,y)均滿足x+y≥1,從而,17,解 由第八章二元函數(shù)最值的求法知：,存在的點(diǎn)的函數(shù)值以及區(qū)域D的邊界上的最值,再比較,先在區(qū)域D內(nèi)求,須先求出?(x,y)在D內(nèi)全部駐點(diǎn)的函數(shù)值、一階偏導(dǎo)不,大小,其最大者為最大值,最小者為最小值.,要求,從而z(0,0)=9.,18,再在區(qū)域D的邊界上求，此時問題已變?yōu)闂l件極值；,則由方程組,而區(qū)域D的面積σ =4π,19,解 因?(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),而,,則由得中值定理,=?(0,1)=1.,