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1、第2講 導數(shù)及其應用,專題四 函數(shù)與導數(shù),板塊三 專題突破核心考點,,[考情考向分析],1.導數(shù)的幾何意義和導數(shù)運算是導數(shù)應用的基礎，曲線的切線問題是江蘇高考的熱點，要求是B級. 2.利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性與極值是導數(shù)的核心內容，要求是B級.,,,熱點分類突破,真題押題精練,內容索引,熱點分類突破,例1 已知函數(shù)f(x)＝x3＋(1－a)x2－a(a＋2)x＋b(a，b∈R). (1)若函數(shù)f(x)的圖象過原點，且在原點處的切線斜率為－3，求a，b的值；,,熱點一 函數(shù)圖象的切線問題,解答,解 f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2).,解得b＝0，a＝－3或a＝1.,(2)若曲線y

2、＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線，求a的取值范圍.,解答,解 因為曲線y＝f(x)存在兩條垂直于y軸的切線， 所以關于x的方程f′(x)＝3x2＋2(1－a)x－a(a＋2)＝0有兩個不相等的實數(shù)根， 所以Δ＝4(1－a)2＋12a(a＋2)＞0， 即4a2＋4a＋1＞0，,解決曲線的切線問題的關鍵是求切點的橫坐標，先使用曲線上點的橫坐標表示切線方程，再考慮該切線與其他條件的關系.,,解析,答案,跟蹤演練1 (1)(2018常州期末)已知函數(shù)f(x)＝bx＋ln x，其中b∈R，若 過原點且斜率為k的直線與曲線y＝f(x)相切，則k－b的值為_____.,設過原點且斜率為k的直線與曲線y＝f

3、(x)相切于點(x0，bx0＋ln x0)，,因為該切線過原點，所以－(bx0＋ln x0)＝－(bx0＋1)，,解析,答案,(2)(2018江蘇泰州中學月考)若曲線y＝ 與曲線y＝aln x在它們的公共點P(s，t)處具有公共切線，則實數(shù)a的值為________.,1,解得a＝1.,,熱點二 利用導數(shù)研究函數(shù)的單調性,解答,例2 已知函數(shù)f(x)＝2ln x＋bx，直線y＝2x－2與曲線y＝f(x)相切于點P. (1)求點P的坐標及b的值；,解 設P(x0，y0)為直線y＝2x－2與曲線y＝f(x)的切點坐標，則有2ln x0＋bx0＝2x0－2. ①,聯(lián)立①②解得b＝0，x0

4、＝1，則切點P(1,0)，b＝0.,解答,令y＝x2－2x＋a(x＞0). ①若Δ＝4－4a≤0，即a≥1時，y≥0，即h′(x)≥0，此時函數(shù)h(x)在定義域(0，＋∞)上為增函數(shù)；,因為0 x2時，y＞0，即h′(x)>0，h(x)為增函數(shù)； 當x10). 令f′(x)＝0，得x＝0或x＝a. 當x∈(－∞，0)時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增； 當x∈(0，a)時，f′(x)＜0，f(x)單調遞減；

5、 當x∈(a，＋∞)時，f′(x)＞0，f(x)單調遞增.,解答,(2)若函數(shù)g(x)＝f(x)＋6x，求g(x)在[0，1]上取到最大值時x的值.,解 g(x)＝f(x)＋6x＝2x3－3ax2＋6x＋3a－2(a＞0)， 則g′(x)＝6x2－6ax＋6＝6(x2－ax＋1)，x∈[0,1]. ①當0＜a≤2時，Δ＝36(a2－4)≤0， 所以g′(x)≥0恒成立，g(x)在[0,1]上單調遞增， 則g(x)取得最大值時x的值為1；,當x∈(0，x0)時，g′(x)＞0，g(x)單調遞增， 當x∈(x0,1)時，g′(x)＜0，g(x)單調遞減，,綜上，當0＜a≤2時，g(x)取得最大值時

6、x的值為1；,真題押題精練,解答,1.(2017江蘇)已知函數(shù)f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1(a>0，b∈R)有極值，且導函數(shù)f′(x)的極值點是f(x)的零點.(極值點是指函數(shù)取極值時對應的自變量的值) (1)求b關于a的函數(shù)關系式，并寫出定義域；,解 由f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1，,因為f′(x)的極值點是f(x)的零點，,因為f(x)有極值，故f′(x)＝3x2＋2ax＋b＝0有實根， 所以Δ＝4a2－12b≥0，,當a＝3時，f′(x)>0(x≠－1)， 故f(x)在R上是增函數(shù)，f(x)沒有極值；,當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：,故f(x)的極值點是x1，

7、x2. 從而a>3.,證明,(2)證明：b2>3a；,解答,(3)若f(x)，f′(x)這兩個函數(shù)的所有極值之和不小于 ，求a的取值范圍.,解 由(1)知，f(x)的極值點是x1，x2，,記f(x)，f′(x)所有極值之和為h(a)，,于是h(a)在(3，＋∞)上單調遞減.,因此a的取值范圍為(3,6].,2.已知函數(shù)f(x)＝(x－a)ln x. (1)當a＝1時，求f(x)的最小值；,解答,解 函數(shù)f(x)的定義域為(0，＋∞)，,所以g(x)在(0，＋∞)上單調遞增.又因為g(1)＝0， 所以當01時，g(x)＝f′(x)>0，因此f(x)在(1，＋∞)上單調遞增， 所以當x＝1時，f

8、(x)的最小值為f(1)＝0.,(2)若函數(shù)f(x)不存在極值點，求實數(shù)a的取值范圍.,解答,解 當a≥0時，g′(x)>0， 所以g(x)在(0，＋∞)上單調遞增.,g(e－2)＝－1－e2a<0， 所以g(x)在(0，＋∞)上恰有一個零點x0，則在(0，x0)上，g(x)＝f′(x)<0，f(x)單調遞減；在(x0，＋∞)上，f(x)單調遞增， 所以x0是f(x)的極小值點，不合題意. 當a<0時，令g′(x)＝0，得x＝－a， 所以g(x)在(0，－a)上單調遞減，在(－a，＋∞)上單調遞增.,①當g(－a)＝ln(－a)＋2≥0，即a≤－e－2時，f′(x)＝g(x)≥g(－a)≥0， 則f(x)在(0，＋∞)上單調遞增，無極值點，滿足題意. ②當g(－a)＝ln(－a)＋20，則g(1)g(－a)0， 則f(x)在(－a，x1)上單調遞減，在(x1，＋∞)上單調遞增，所以x1是f(x)的極小值點，不合題意. 綜上所述，a的取值范圍是(－∞，－e－2].,