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1、專題三 立體幾何 第8講 空間中的平行與垂直,第8講 空間中的平行與垂直 1.(2017江蘇啟東中學檢測)設l,m為直線,α,β為平面,且l?α,m?β,則“l(fā)∩m=?”是“α∥β”的 條件.,答案 必要不充分,解析 若l?α,m?β,l∩m=?,則α,β可能平行或相交;反之,若l?α,m?β,且α∥β,則必有l(wèi)∩m=?,所以“l(fā)∩m=?”是“α∥β”的必要不充分條件.,2.α,β為兩個不同的平面,m,n為兩條不同的直線,下列命題中正確的是 (填上所有正確命題的序號). ①若α∥β,m?α,則m∥β; ②若m∥α,n?α,則m∥n; ③若α⊥β,α∩β=n,m⊥n,則m⊥β;

2、④若n⊥α,n⊥β,m⊥α,則m⊥β.,答案 ①④,解析 由面面平行的性質可得①正確;若m∥α,n?α,則m,n平行或異面,②錯 誤;由面面垂直的性質定理可知③中缺少條件“m?α”,錯誤;若n⊥α,n⊥β,則 α∥β,又m⊥α,則m⊥β,④正確.,3.下列命題中,正確的序號是 . (1)平面內一個三角形各邊所在的直線都與另一個平面平行,則這兩個平面平 行; (2)平行于同一個平面的兩個平面平行; (3)若兩個平面平行,則位于這兩個平面內的直線互相平行; (4)若兩個平面平行,則其中一個平面內的直線平行于另一個平面.,答案 (1)(2)(4),解析 若兩個平面平行,則位于這兩個平面內的直線

3、互相平行或異面,(3)錯 誤;由面面平行的判定和性質可得(1)(2)(4)都正確.,4.已知平面α⊥平面β,α∩β=l,直線m?α,直線n?β,且m⊥n,有以下四個結論:① 若n∥l,則m⊥β;②若m⊥β,則n∥l;③m⊥β和n⊥α同時成立;④m⊥β和n⊥α中 至少有一個成立.其中正確結論的序號是 .,答案 ①④,解析 若n∥l,則m⊥l,由面面垂直的性質定理可得m⊥β,①正確;若m⊥β, 則m⊥l,又m⊥n,此時n,l的位置關系不確定,可能平行或相交,②錯誤;m⊥β 和n⊥α可能同時成立,也可能只有一個成立,③錯誤;④正確.,題型一 以錐體為載體的空間線面關系,例1 (2018江蘇南

4、京高三模擬)如圖,在三棱錐P-ABC中,PA= ,其余棱長均 為2,M是棱PC上的一點,D,E分別為棱AB,BC的中點. (1)求證: 平面PBC⊥平面ABC; (2)若PD∥平面AEM,求PM的長.,解析 (1)證明:如圖,連接PE. 因為△PBC是邊長為2的正三角形,E為BC中點, 所以PE⊥BC,,且PE= ,同理AE= .因為PA= ,所以PE2+AE2=PA2,所以PE⊥AE. 因為PE⊥BC,PE⊥AE,BC∩AE=E,AE,BC?平面ABC, 所以PE⊥平面ABC. 因為PE?平面PBC, 所以平面PBC⊥平面ABC. (2)如圖,連接CD交AE于O,連接OM. 因為PD∥平面A

5、EM,PD?平面PDC, 平面AEM∩平面PDC=OM,,所以PD∥OM,所以 = . 因為D,E分別為AB,BC的中點,CD∩AE=O, 所以O為△ABC的重心,所以 = , 所以PM= PC= .,【方法歸納】 以錐體為載體的空間線面關系問題,首先要考慮錐體的幾何 特征,然后根據(jù)要證明的問題選擇相應的判定定理或性質定理.,1-1 (2018蘇錫常鎮(zhèn)四市高三調研)如圖,在四棱錐P-ABCD中,∠ADB=90, CB=CD,點E為棱PB的中點. (1)若PB=PD,求證:PC⊥BD; (2)求證:CE∥平面PAD.,證明 (1)取BD的中點O,連接CO,PO, 因為CD=CB,所以△CB

6、D為等腰三角形,所以BD⊥CO. 因為PB=PD,所以△PBD為等腰三角形,所以BD⊥PO. 又PO∩CO=O,所以BD⊥平面PCO.,因為PC?平面PCO,所以PC⊥BD. (2)由E為PB中點,連接EO,則EO∥PD, 又EO?平面PAD,所以EO∥平面PAD. 由于∠ADB=90,以及BD⊥CO,所以CO∥AD, 又CO?平面PAD,所以CO∥平面PAD. 又CO∩EO=O,所以平面CEO∥平面PAD, 而CE?平面CEO,所以CE∥平面PAD.,題型二 以柱體為載體的空間線面關系,例2 (2018南通高三調研)如圖,在三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AC,點E,F分別在 BB1,

7、CC1上(均異于端點),且∠ABE=∠ACF,AE⊥BB1,AF⊥CC1.,求證:(1)平面AEF⊥平面BB1C1C; (2)BC∥平面AEF.,證明 (1)在三棱柱ABC-A1B1C1中,BB1∥CC1. 因為AF⊥CC1,所以AF⊥BB1. 又AE⊥BB1,AE∩AF=A,AE,AF?平面AEF, 所以BB1⊥平面AEF. 又因為BB1?平面BB1C1C, 所以平面AEF⊥平面BB1C1C. (2)因為AE⊥BB1,AF⊥CC1, ∠ABE=∠ACF,AB=AC, 所以Rt△AEB≌Rt△AFC.,所以BE=CF. 又由(1)知,BE∥CF, 所以四邊形BEFC是平行四邊形, 從而BC∥E

8、F. 又BC?平面AEF,EF?平面AEF, 所以BC∥平面AEF.,【方法歸納】 (1)面面垂直的證明依據(jù)是面面垂直的判定定理,即要證面面 垂直,則必須證明線面垂直,所以又要尋找線線垂直.(2)證明線面平行的方法 一般有兩種:一是利用線面平行的判定定理,利用三角形中位線的性質或平行 四邊形對邊互相平行的性質尋找線線平行;二是先利用面面平行的判定定理 證明面面平行,再由面面平行的性質證明線面平行.,2-1 如圖,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,底面ABCD為平行四邊形,C1B=C1D. 求證:(1)B1D1∥平面C1BD; (2)平面C1BD⊥平面AA1C1C.,證明 (1)在直四

9、棱柱ABCD-A1B1C1D1中,BB1∥DD1,且BB1=DD1, 所以四邊形BDD1B1為平行四邊形, 所以B1D1∥BD. 又BD?平面C1BD,B1D1?平面C1BD, 所以B1D1∥平面C1BD. (2)設AC與BD交于點O,連接C1O.,因為底面ABCD為平行四邊形, 所以O為BD的中點, 又C1B=C1D,所以C1O⊥BD.,在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中,C1C⊥平面ABCD. 又BD?平面ABCD, 所以C1C⊥BD. 又因為C1O∩C1C=C1,C1O,C1C?平面AA1C1C, 所以BD⊥平面AA1C1C. 又BD?平面C1BD, 所以平面C1BD⊥平面AA1C1

10、C.,題型三 以不規(guī)則幾何體為載體的空間線面關系,例3 如圖,在多面體ABCDEF中,四邊形ABCD是菱形,AC,BD相交于點O, EF∥AB,AB=2EF,平面BCF⊥平面ABCD,BF=CF,點G為BC的中點. 求證:(1)直線OG∥平面EFCD; (2)直線AC⊥平面ODE.,證明 (1)∵四邊形ABCD是菱形,AC∩BD=O, ∴點O是BD的中點, ∵點G是BC的中點,∴OG∥CD,且OG= CD. 又∵OG?平面EFCD,CD?平面EFCD, ∴直線OG∥平面EFCD. (2)∵BF=CF,點G為BC的中點,∴FG⊥BC. ∵平面BCF⊥平面ABCD,平面BCF∩平面ABCD=BC,

11、FG?平面BCF,FG⊥ BC.,∴FG⊥平面ABCD. ∵AC?平面ABCD,∴FG⊥AC. ∵OG∥AB,OG= AB,EF∥AB,EF= AB, ∴OG∥EF,OG=EF, ∴四邊形EFGO為平行四邊形,∴FG∥EO. ∵FG⊥AC,∴AC⊥EO. ∵四邊形ABCD是菱形,∴AC⊥DO, ∵EO∩OD=O,EO、DO在平面ODE內,,∴直線AC⊥平面ODE.,【方法歸納】 證明或探究空間中線線、線面與面面平行或垂直的位置關 系時,(1)要熟練掌握所有判定定理與性質定理,梳理好常用的位置關系的證 明方法,如證明線面平行,既可以構造線線平行,也可以構造面面平行;(2)要掌 握解題時由已知想性質、由求證想判定,即綜合法與分析法相結合來尋找證 明的思路.證題時要避免使用一些正確但不能作為推理依據(jù)的結論.此外,要 會分析一些非常規(guī)放置的空間幾何體.,