《2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 平面向量 2.4 平面向量的數(shù)量積1課件 新人教A版必修4.ppt》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018-2019學年高中數(shù)學 第二章 平面向量 2.4 平面向量的數(shù)量積1課件 新人教A版必修4.ppt（32頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、2.4.1 平面向量數(shù)量積的物理背景及其含義,一,二,三,一、平面向量數(shù)量積的定義 問題思考 1.如圖,一個物體在力F的作用下產生的位移s,那么力F所做的功應當怎樣計算?決定功大小的量有哪幾個?力、位移及其夾角分別是矢量還是標量?功是矢量還是標量? 提示由物理知識容易得到W=|F||s|cos α,決定功的大小的量有力、位移及其夾角,其中力、位移是矢量,功是標量.,四,思維辨析,一,二,三,2.填空:(1)兩個非零向量的數(shù)量積.,(2)規(guī)定:零向量與任一向量的數(shù)量積為零. 3.關于平面向量數(shù)量積的說明: (1)“”是數(shù)量積的運算符號,既不能省略不寫,也不能寫成“”; (2)數(shù)量積的結果為數(shù)量

2、,不再是向量; (3)向量數(shù)量積的正負由兩個向量的夾角θ決定:當θ是銳角時,數(shù)量積為正;當θ是鈍角時,數(shù)量積為負;當θ是直角時,數(shù)量積等于零.,四,思維辨析,,,,,一,二,三,四,答案(1)-2 (2)8,思維辨析,一,二,三,四,思維辨析,二、平面向量數(shù)量積的幾何意義 問題思考 1.向量運算中的加法、減法、數(shù)乘都有幾何意義,數(shù)量積運算有沒有幾何意義?觀察下列圖形,如何表達OB1?它與數(shù)量積的關系是什么? 提示向量的數(shù)量積也有幾何意義,題圖中OB1=|b|cos θ, ab=|a|OB1.,一,二,三,四,思維辨析,2.填空:(1)投影的概念 ①向量b在a的方向上的投影為|b|cos θ

3、. ②向量a在b的方向上的投影為|a|cos θ . (2)數(shù)量積的幾何意義. 數(shù)量積ab等于a的長度|a|與b在a的方向上的投影|b|cos θ的乘積. 3.關于投影的說明: (1)向量a在向量b方向上的投影與向量b在向量a方向上的投影是不同的;,,,,,,,一,二,三,四,思維辨析,4.做一做:(1)若|a|=3,|b|=4,a與b的夾角是120,則向量a在向量b方向上的投影等于 . (2)若ab=-6,|a|=8,則向量b在向量a方向上的投影等于 .,一,二,三,四,思維辨析,三、平面向量數(shù)量積的運算律 問題思考 1.如果根據(jù)實數(shù)乘法的運算律,類比得出向量數(shù)量積的運算律,如下表,這

4、些結果正確嗎?,提示除結合律中的(ab)c=a(bc)是錯誤的,其他都是正確的.,一,二,三,四,思維辨析,2.填空:向量數(shù)量積的運算律,,,,,,,一,二,三,四,思維辨析,四、平面向量數(shù)量積的性質 問題思考 1.填空:向量數(shù)量積的性質 設向量a與b都是非零向量,它們的夾角為θ. (1)a⊥b?ab=0.,,,,,,,,,,,一,二,三,四,思維辨析,答案30,一,二,三,四,思維辨析,判斷下列說法是否正確,正確的在后面的括號內打“√”,錯誤的打“”. (1)0a=0a. ( ) (2)若ab=0,則a與b至少有一個為零向量. ( ) (3)若ab>0,則a與b的夾角為銳角. ( ) (4)

5、若ac=bc(c≠0),則a=b. ( ) (5)對于任意向量a,都有aa=|a|2. ( ) (6)一個向量在另一個向量方向上的投影是一個向量. ( ) (7)(ab)c=a(bc). ( ) (8)兩向量數(shù)量積的符號是由兩向量夾角的余弦值決定的. ( ) 答案(1) (2) (3) (4) (5)√ (6) (7) (8)√,探究一,探究二,探究三,求平面向量的數(shù)量積 角度1 數(shù)量積的簡單計算 【例1】 已知|a|=2,|b|=3,a與b的夾角為120,求: (1)ab;(2)a2-b2;(3)(2a-b)(a+3b);(4)|a+b|. 分析依據(jù)數(shù)量積、模、夾角的定義→逐一進行計算即可,

6、探究一,探究二,探究三,求向量的數(shù)量積時,需明確兩個關鍵點:相關向量的模和夾角.若相關向量是兩個或兩個以上向量的線性運算,則需先利用向量數(shù)量積的運算律及多項式乘法的相關公式進行化簡.,探究一,探究二,探究三,角度2 幾何圖形中的數(shù)量積的計算,探究一,探究二,探究三,(1)解決幾何圖形中的向量的數(shù)量積運算問題,要充分利用圖形特點及其含有的特殊向量,這里的特殊向量主要指具有特殊夾角或已知長度的向量.對于以圖形為背景的向量數(shù)量積運算的題目,只需把握圖形的特征,并寫出相應點的坐標即可求解.,探究一,探究二,探究三,探究一,探究二,探究三,探究一,探究二,探究三,利用數(shù)量積求向量的模 【例3】 (1)已

7、知向量a,b滿足|a|=|b|=5,且a與b的夾角為60,則|2a+b|= .,探究一,探究二,探究三,根據(jù)數(shù)量積的定義aa=|a||a|cos 0=|a|2,得 ,這是求向量的模的一種方法.即要求一個向量的模,先求這個向量與自身的數(shù)量積(一定非負),再求它的算術平方根.對于復雜的向量也是如此.例如,求|a+b|,可先求(a+b)2=(a+b)(a+b),再取其算術平方根即為|a+b|.,探究一,探究二,探究三,變式訓練2已知向量a,b滿足|a|=2,|b|=3,|a+b|=4,求|a-b|. 解因為|a+b|=4,所以|a+b|2=42, 所以a2+2ab+b2=16.① 因為|a

8、|=2,|b|=3, 所以a2=|a|2=4,b2=|b|2=9, 代入①式得4+2ab+9=16,得2ab=3. 又因為(a-b)2=a2-2ab+b2=4-3+9=10, 所以|a-b|= .,探究一,探究二,探究三,利用數(shù)量積解決向量的夾角與垂直問題 【例4】 (1)若非零向量a,b滿足|a|=|b|,且(2a+b)⊥b,則a與b的夾角為( ) A.30 B.60 C.120 D.150 (2)已知非零向量a,b滿足|a|=|b|=|a+b|,求a與a+b的夾角及a與a-b的夾角. 分析(1)將已知條件展開變形后利用數(shù)量積的定義求解;(2)可采用數(shù)形結合的方法構成平面圖形求解. (1

9、)解析因為(2a+b)⊥b,所以2(a+b)b=0, 所以2ab+|b|2=0.設a,b的夾角為θ, 則2|a||b|cos θ+|b|2=0. 又|a|=|b|,所以2|b|2cos θ+|b|2=0, 因此cos θ=- ,從而θ=120.選C. 答案C,探究一,探究二,探究三,探究一,探究二,探究三,求平面向量夾角的方法: (1)求向量的夾角,主要是利用公式 求出夾角的余弦值,從而求得夾角.可以直接求出ab的值及|a|,|b|的值,然后代入求解,也可以尋找|a|,|b|,ab三者之間的關系,然后代入求解. (2)求向量的夾角,還可結合向量線性運算、模的幾何意義,利用數(shù)形結合的方法

10、求解.,探究一,探究二,探究三,延伸探究本例(1)中,若非零向量a,b的夾角為60,且|a|=|b|,當(a+2b)⊥(ka-b)時,求實數(shù)k的值. 解因為(a+2b)⊥(ka-b), 所以(a+2b)(ka-b)=0, 即k|a|2+(2k-1)ab-2|b|2=0,,1,2,3,4,5,答案B,6,1,2,3,4,5,6,答案C,1,2,3,4,5,6,答案B,1,2,3,4,5,6,4.若向量a與b的夾角為60,|b|=4,(a+2b)(a-3b)=-72,則|a|=( ) A.2 B.4 C.6 D.12 解析因為(a+2b)(a-3b)=-72, 所以a2-ab-6b2=-72, 即|a|2-|a||b|cos 60-6|b|2=-72, 所以|a|2-2|a|-24=0.又|a|≥0,故|a|=6. 答案C,1,2,3,4,5,6,5.已知兩個單位向量a,b的夾角為60,若(2a+b)⊥(a+λb),則λ= . 解析∵(2a+b)⊥(a+λb),∴(2a+b)(a+λb)=0, ∴2a2+2λab+ab+λb2=0.,1,2,3,4,5,6,答案22,