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第三章　概　率(B) (時間：120分鐘　滿分：150分) 一、選擇題(本大題共12小題，每小題5分，共60分) 1．從一批產(chǎn)品(其中正品、次品都多于2件)中任取2件，觀察正品件數(shù)和次品件數(shù)，下列事件是互斥事件的是(　　) ①恰好有1件次品和恰好有兩件次品； ②至少有1件次品和全是次品； ③至少有1件正品和至少有1件次品； ④至少1件次品和全是正品． A．①② B．①③ C．③④ D．①④ 2．平面上有一組平行線，且相鄰平行線間的距離為3 cm，把一枚半徑為1 cm的硬幣任意拋擲在這個平面上，則硬幣不與任何一條平行線相碰的概率是(　　) A. B. C. D. 3．某班有50名學(xué)生，其中男、女各25名，若這個班的一個學(xué)生甲在街上碰到一位同班同學(xué)，假定每兩名學(xué)生碰面的概率相等，那么甲碰到異性同學(xué)的概率大還是碰到同性同學(xué)的概率大(　　) A．異性 B．同性 C．同樣大 D．無法確定 4．在區(qū)間上隨機(jī)取一個數(shù)x，cos x的值介于0到之間的概率為(　　) A. B. C. D. 5．已知某運動員每次投籃命中的概率低于40%.現(xiàn)采用隨機(jī)模擬的方法估計該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率：先由計算器產(chǎn)生0到9之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，指定1,2,3,4表示命中，5,6,7,8,9,0表示不命中；再以每三個隨機(jī)數(shù)為一組，代表三次投籃的結(jié)果．經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了如下20組隨機(jī)數(shù)： 907　966　191　925　271　932　812　458 569　683　431　257　393　027　556　488 730　113　537　989 據(jù)此估計，該運動員三次投籃恰有兩次命中的概率為(　　) A．0.35 B．0.25 C．0.20 D．0.15 6．12本相同的書中，有10本語文書，2本英語書，從中任意抽取3本的必然事件是(　　) A．3本都是語文書 B．至少有一本是英語書 C．3本都是英語書 D．至少有一本是語文書 7．某人射擊4槍，命中3槍，3槍中有且只有2槍連中的概率是(　　) A. B. C. D. 8．從數(shù)字1,2,3,4,5中任取兩個不同的數(shù)字構(gòu)成一個兩位數(shù)，則這個兩位數(shù)大于40的概率為(　　) A. B. C. D. 9．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，從集合A中選取不相同的兩個數(shù)，構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系上的點，觀察點的位置，則事件A＝{點落在x軸上}與事件B＝{點落在y軸上}的概率關(guān)系為(　　) A．P(A)>P(B) B．P(A)25的次數(shù)與總試驗次數(shù)的比就近似為本題結(jié)果．即＝.] 12．A　[可求得同時落在奇數(shù)所在區(qū)域的情況有4×4＝16(種)，而總的情況有6×6＝36(種)，于是由古典概型概率公式，得P＝＝.] 13. 解析　因為球半徑為a，則正方體的對角線長為2a，設(shè)正方體的邊長為x，則2a＝x，∴x＝，由幾何概型知，所求的概率P＝＝＝. 14. 解析　如圖所示，區(qū)域D表示邊長為4的正方形的內(nèi)部(含邊界)，區(qū)域E表示單位圓及其內(nèi)部， 因此P＝＝. 15. 解析　 記“弦長超過圓內(nèi)接等邊三角形的邊長”為事件A，如圖所示，不妨在過等邊三角形BCD的頂點B的直徑BE上任取一點F作垂直于直徑的弦，當(dāng)弦為CD時，就是等邊三角形的邊長，弦長大于CD的充要條件是圓心O到弦的距離小于OF，由幾何概型的概率公式得 P(A)＝＝. 16. 解析　由題意可知>，如圖所示，三棱錐S－ABC與三棱錐S－APC的高相同，因此＝＝>(PM，BN為其高線)，又＝，故>，故所求概率為(長度之比)． 17．解　a，b都是從0,1,2,3,4五個數(shù)中任取的一個數(shù)的基本事件總數(shù)為N＝5×5＝25個．函數(shù)有零點的條件為Δ＝a2－4b≥0，即a2≥4b.因為事件“a2≥4b”包含(0,0)，(1,0)，(2,0)，(2,1)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，(4,0)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共12個．所以事件“a2≥4b”的概率為P＝. 18．解　設(shè)A、B、C分別表示炸中第一、第二、第三軍火庫這三個事件． 則P(A)＝0.025，P(B)＝P(C)＝0.1， 設(shè)D表示軍火庫爆炸這個事件，則有 D＝A∪B∪C，其中A、B、C是互斥事件， ∴P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225. 19．解　如下圖所示，作OC⊥OA，C在半圓弧上，過OC中點D作OA的平行線交半圓弧于E、F，所以在上取一點B，則S△AOB≥. 連結(jié)OE、OF，因為OD＝OC＝OF， OC⊥EF，所以∠DOF＝60°，所以∠EOF＝120°，所以l＝π·1＝π. 所以P＝＝＝. 20．解　(1)甲、乙二人抽到的牌的所有情況(方片4用4′表示，其他用相應(yīng)的數(shù)字表示)為(2,3)，(2,4)，(2,4′)，(3,2)，(3,4)，(3,4′)，(4,2)，(4,3)，(4,4′)，(4′，2)，(4′，3)，(4′，4)，共12種不同情況． (2)甲抽到紅桃3，乙抽到的牌的牌面數(shù)字只能是2,4,4′，因此乙抽到的牌的牌面數(shù)字比3大的概率為. (3)甲抽到的牌的牌面數(shù)字比乙大的情況有(3,2)，(4,2)，(4,3)，(4′，2)，(4′，3)，共5種，故甲勝的概率P1＝，同理乙勝的概率P2＝.因為P1＝P2，所以此游戲公平． 21．解　(1)從8人中選出日語、俄語和韓語志愿者各1名，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件為 (A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)，(A2，B1，C1)，(A2，B1，C2)，(A2，B2，C1)，(A2，B2，C2)，(A2，B3，C1)，(A2，B3，C2)，(A3，B1，C1)，(A3，B1，C2)，(A3，B2，C1)，(A3，B2，C2)，(A3，B3，C1)，(A3，B3，C2)，共18個基本事件．由于每一個基本事件被抽取的機(jī)會均等，因此這些基本事件的發(fā)生是等可能的． 用M表示“A1恰被選中”這一事件，則 M＝{(A1，B1，C1)，(A1，B1，C2)，(A1，B2，C1)，(A1，B2，C2)，(A1，B3，C1)，(A1，B3，C2)}， 事件M由6個基本事件組成，因而P(M)＝＝. (2)用N表示“B1、C1不全被選中”這一事件，則其對立事件表示“B1、C1全被選中”這一事件，由于＝{(A1，B1，C1)，(A2，B1，C1)，(A3，B1，C1)}，事件由3個基本事件組成， 所以P()＝＝，由對立事件的概率公式得：P(N)＝1－P()＝1－＝. 22．解　由于實數(shù)對(a，b)的所有取值為：(－2，－2)，(－2，－1)，(－2,1)，(－2,2)，(－1，－2)，(－1，－1)，(－1,1)，(－1,2)，(1，－2)，(1，－1)，(1,1)，(1,2)，(2，－2)，(2，－1)，(2,1)，(2,2)，共16種． 設(shè)“直線y＝ax＋b不經(jīng)過第四象限”為事件A，“直線y＝ax＋b與圓x2＋y2＝1有公共點”為事件B. (1)若直線y＝ax＋b不經(jīng)過第四象限，則必須滿足即滿足條件的實數(shù)對(a，b)有(1,1)，(1,2)，(2,1)，(2,2)，共4種．∴P(A)＝＝.故直線y＝ax＋b不經(jīng)過第四象限的概率為. (2)若直線y＝ax＋b與圓x2＋y2＝1有公共點，則必須滿足≤1，即b2≤a2＋1. 若a＝－2，則b＝－2，－1,1,2符合要求，此時實數(shù)對(a，b)有4種不同取值； 若a＝－1，則b＝－1,1符合要求，此時實數(shù)對(a，b)有2種不同取值； 若a＝1，則b＝－1,1符合要求，此時實數(shù)對(a，b)有2種不同取值， 若a＝2，則b＝－2，－1,1,2符合要求，此時實數(shù)對(a，b)有4種不同取值． ∴滿足條件的實數(shù)對(a，b)共有12種不同取值．∴P(B)＝＝. 故直線y＝ax＋b與圓x2＋y2＝1有公共點的概率為.