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第8講 函數(shù)與方程 A級(jí)　基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．函數(shù)f(x)＝sin x－x零點(diǎn)的個(gè)數(shù)是 (　　)． A．0 B．1 C．2 D．3 解析　f′(x)＝cos x－1≤0，∴f(x)單調(diào)遞減，又f(0)＝0，∴則f(x)＝sin x－x的零點(diǎn)是唯一的． 答案　B 2．(2013·泰州模擬)設(shè)f(x)＝ex＋x－4，則函數(shù)f(x)的零點(diǎn)位于區(qū)間 (　　)． A．(－1,0) B．(0,1) C．(1,2) D．(2,3) 解析　∵f(x)＝ex＋x－4，∴f′(x)＝ex＋1>0，∴函數(shù)f(x)在R上單調(diào)遞增．對(duì)于A項(xiàng)，f(－1)＝e－1＋(－1)－4＝－5＋e－1<0，f(0)＝－3<0，f(－1)f(0)>0，A不正確，同理可驗(yàn)證B、D不正確．對(duì)于C項(xiàng)，∵f(1)＝e＋1－4＝e－3<0，f(2)＝e2＋2－4＝e2－2>0，f(1)f(2)<0，故選C. 答案　C 3．(2013·石家莊期末)函數(shù)f(x)＝2x－－a的一個(gè)零點(diǎn)在區(qū)間(1,2)內(nèi)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是 (　　)． A．(1,3) B．(1,2) C．(0,3) D．(0,2) 解析　由條件可知f(1)f(2)<0，即(2－2－a)(4－1－a)<0，即a(a－3)<0，解之得00時(shí)，函數(shù)f(x)的圖象是以1為周期重復(fù)出現(xiàn)．而函數(shù)y＝x＋a是一族平行直線，當(dāng)它過點(diǎn)(0,1)(此時(shí)a＝1)時(shí)與函數(shù)f(x)的圖象交于一點(diǎn)，向左移總是一個(gè)交點(diǎn)，向右移總是兩個(gè)交點(diǎn)，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為a<1. 答案　(－∞，1) 6．函數(shù)f(x)＝則函數(shù)y＝f[f(x)]＋1的所有零點(diǎn)所構(gòu)成的集合為________． 解析　本題即求方程f[f(x)]＝－1的所有根的集合，先解方程f(t)＝－1，即或得t＝－2或t＝.再解方程f(x)＝－2和f(x)＝. 即或和或 得x＝－3或x＝和x＝－或x＝. 答案　 三、解答題(共25分) 7．(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝(x>0)． (1)作出函數(shù)f(x)的圖象； (2)當(dāng)00)為函數(shù)f(x)的“友好點(diǎn)對(duì)”，則y＝，－y＝2(－x)2＋4(－x)＋1＝2x2－4x＋1，∴＋2x2－4x＋1＝0，在同一坐標(biāo)系中作函數(shù)y1＝、y2＝－2x2＋4x－1的圖象，y1、y2的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，所以f(x)有2個(gè)“友好點(diǎn)對(duì)”，故填2. 答案　2 三、解答題(共25分) 5．(12分)設(shè)函數(shù)f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c (a>0，a，c∈R)． (1)設(shè)a>c>0.若f(x)>c2－2c＋a對(duì)x∈[1，＋∞)恒成立，求c的取值范圍； (2)函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)是否有零點(diǎn)，有幾個(gè)零點(diǎn)？為什么？ 解　(1)因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的圖象的對(duì)稱軸為x＝，由條件a>c>0，得2a>a＋c，故<＝<1，即二次函數(shù)f(x)的對(duì)稱軸在區(qū)間[1，＋∞)的左邊，且拋物線開口向上，故f(x)在[1，＋∞)內(nèi)是增函數(shù)． 若f(x)>c2－2c＋a對(duì)x∈[1，＋∞)恒成立，則f(x)min＝f(1)>c2－2c＋a，即a－c>c2－2c＋a，得c2－c<0， 所以00，f(1)＝a－c>0，則a>c>0. 因?yàn)槎魏瘮?shù)f(x)＝3ax2－2(a＋c)x＋c的圖象的對(duì)稱軸是x＝.而f＝<0， 所以函數(shù)f(x)在區(qū)間和內(nèi)各有一個(gè)零點(diǎn)，故函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1)內(nèi)有兩個(gè)零點(diǎn)． 6．(13分)已知二次函數(shù)f(x)＝x2－16x＋q＋3. (1)若函數(shù)在區(qū)間[－1,1]上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)q的取值范圍； (2)是否存在常數(shù)t(t≥0)，當(dāng)x∈[t,10]時(shí)，f(x)的值域?yàn)閰^(qū)間D，且區(qū)間D的長(zhǎng)度為12－t(視區(qū)間[a，b]的長(zhǎng)度為b－a)． 解　(1)∵函數(shù)f(x)＝x2－16x＋q＋3的對(duì)稱軸是x＝8，∴f(x)在區(qū)間[－1,1]上是減函數(shù)． ∵函數(shù)在區(qū)間[－1,1]上存在零點(diǎn)，則必有即∴－20≤q≤12. (2)∵0≤t<10，f(x)在區(qū)間[0,8]上是減函數(shù)，在區(qū)間[8,10]上是增函數(shù)，且對(duì)稱軸是x＝8. ①當(dāng)0≤t≤6時(shí)，在區(qū)間[t,10]上，f(t)最大，f(8)最小， ∴f(t)－f(8)＝12－t，即t2－15t＋52＝0， 解得t＝，∴t＝； ②當(dāng)6

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