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第一章 解三角形
§1.1 正弦定理和余弦定理
1．1.1 正弦定理(一)
課時目標
1．熟記正弦定理的內(nèi)容；
2．能夠初步運用正弦定理解斜三角形．
1．在△ABC中，A＋B＋C＝π，＋＋＝.
2．在Rt△ABC中，C＝，則＝sin_A，＝sin_B.
3．一般地，把三角形的三個角A，B，C和它們的對邊a，b，c叫做三角形的元素．已知三角形的幾個元素求其他元素的過程叫做解三角形．
4．正弦定理：在一個三角形中，各邊和它所對角的正弦的比相等，即＝＝，這個比值是三角形外接圓的直徑2R.
一、選擇題
1．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若A∶B∶C＝1∶2∶3，則
a∶b∶c等于( )
A．1∶2∶3 B．2∶3∶4
C．3∶4∶5 D．1∶∶2
答案 D
2．若△ABC中，a＝4，A＝45°，B＝60°，則邊b的值為( )
A.＋1 B．2＋1
C．2 D．2＋2
答案 C
解析 由正弦定理＝，
得＝，∴b＝2.
3．在△ABC中，sin2A＝sin2B＋sin2C，則△ABC為( )
A．直角三角形 B．等腰直角三角形
C．等邊三角形 D．等腰三角形
答案 A
解析 sin2A＝sin2B＋sin2C?(2R)2sin2A＝(2R)2sin2B＋(2R)2sin2C，即a2＝b2＋c2，由勾股定理的逆定理得△ABC為直角三角形．
4．在△ABC中，若sin A>sin B，則角A與角B的大小關(guān)系為( )
A．A>B B．A
sin B?2Rsin A>2Rsin B?a>b?A>B.
5．在△ABC中，A＝60°，a＝，b＝，則B等于( )
A．45°或135° B．60°
C．45° D．135°
答案 C
解析 由＝得sin B＝
＝＝.
∵a>b，∴A>B，B<60°
∴B＝45°.
6．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，如果c＝a，B＝30°，那么角C等于( )
A．120° B．105° C．90° D．75°
答案 A
解析 ∵c＝a，∴sin C＝sin A＝sin(180°－30°－C)
＝sin(30°＋C)＝，
即sin C＝－cos C.
∴tan C＝－.
又C∈(0°，180°)，∴C＝120°.
二、填空題
7．在△ABC中，AC＝，BC＝2，B＝60°，則C＝_________.
答案 75°
解析 由正弦定理得＝，∴sin A＝.
∵BC＝2bsin A，
所以本題有兩解，由正弦定理得：
sin B＝＝＝，故B＝60°或120°.
當B＝60°時，C＝90°，c＝＝4；
當B＝120°時，C＝30°，c＝a＝2.
所以B＝60°，C＝90°，c＝4或B＝120°，C＝30°，c＝2.
能力提升
13．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c若a＝，b＝2，sin B＋cos B＝，則角A的大小為________．
答案
解析 ∵sin B＋cos B＝sin(＋B)＝.
∴sin(＋B)＝1.
又0b
無解
一解(銳角)
1.1.1 正弦定理(二)
課時目標
1．熟記正弦定理的有關(guān)變形公式；
2．能夠運用正弦定理進行簡單的推理與證明．
1．正弦定理：＝＝＝2R的常見變形：
(1)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c；
(2)＝＝＝＝2R；
(3)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；
(4)sin A＝，sin B＝，sin C＝.
2．三角形面積公式：S＝absin C＝bcsin A＝casin B.
一、選擇題
1．在△ABC中，sin A＝sin B，則△ABC是( )
A．直角三角形 B．銳角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰三角形
答案 D
2．在△ABC中，若＝＝，則△ABC是( )
A．直角三角形 B．等邊三角形
C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
答案 B
解析 由正弦定理知：＝＝，
∴tan A＝tan B＝tan C，∴A＝B＝C.
3．在△ABC中，sin A＝，a＝10，則邊長c的取值范圍是( )
A. B．(10，＋∞)
C．(0,10) D.
答案 D
解析 ∵＝＝，∴c＝sin C.
∴00)，
則，解得.
∴sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝7∶5∶3.
6．已知三角形面積為，外接圓面積為π，則這個三角形的三邊之積為( )
A．1 B．2
C. D．4
答案 A
解析 設(shè)三角形外接圓半徑為R，則由πR2＝π，
得R＝1，由S△＝absin C＝＝＝，∴abc＝1.
二、填空題
7．在△ABC中，已知a＝3，cos C＝，S△ABC＝4，則b＝________.
答案 2
解析 ∵cos C＝，∴sin C＝，
∴absin C＝4，∴b＝2.
8．在△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知A＝60°，a＝，b＝1，則c＝________.
答案 2
解析 由正弦定理＝，得＝，
∴sin B＝，故B＝30°或150°.由a>b，
得A>B，∴B＝30°，故C＝90°，
由勾股定理得c＝2.
9．在單位圓上有三點A，B，C，設(shè)△ABC三邊長分別為a，b，c，則＋＋＝________.
答案 7
解析 ∵△ABC的外接圓直徑為2R＝2，
∴＝＝＝2R＝2，
∴＋＋＝2＋1＋4＝7.
10．在△ABC中，A＝60°，a＝6，b＝12，S△ABC＝18，則＝________，c＝________.
答案 12 6
解析?。剑剑?2.
∵S△ABC＝absin C＝×6×12sin C＝18，
∴sin C＝，∴＝＝12，∴c＝6.
三、解答題
11．在△ABC中，求證：＝.
證明 因為在△ABC中，＝＝＝2R，
所以左邊＝
＝＝＝＝右邊．
所以等式成立，即＝.
12．在△ABC中，已知a2tan B＝b2tan A，試判斷△ABC的形狀．
解 設(shè)三角形外接圓半徑為R，則a2tan B＝b2tan A
?＝
?＝
?sin Acos A＝sin Bcos B
?sin 2A＝sin 2B
?2A＝2B或2A＋2B＝π
?A＝B或A＋B＝.
∴△ABC為等腰三角形或直角三角形．
能力提升
13．在△ABC中，B＝60°，最大邊與最小邊之比為(＋1)∶2，則最大角為( )
A．45° B．60° C．75° D．90°
答案 C
解析 設(shè)C為最大角，則A為最小角，則A＋C＝120°，
∴＝
＝
＝＋＝＝＋，
∴tan A＝1，A＝45°，C＝75°.
14．在△ABC中，a，b，c分別是三個內(nèi)角A，B，C的對邊，若a＝2，C＝，
cos ＝，求△ABC的面積S.
解 cos B＝2cos2 －1＝，
故B為銳角，sin B＝.
所以sin A＝sin(π－B－C)＝sin＝.
由正弦定理得c＝＝，
所以S△ABC＝acsin B＝×2××＝.
1．在△ABC中，有以下結(jié)論：
(1)A＋B＋C＝π；
(2)sin(A＋B)＝sin C，cos(A＋B)＝－cos C；
(3)＋＝；
(4)sin ＝cos ，cos ＝sin ，tan ＝.
2．借助正弦定理可以進行三角形中邊角關(guān)系的互化，從而進行三角形形狀的判斷、三角恒等式的證明．
1．1.2 余弦定理(一)
課時目標
1．熟記余弦定理及其推論；
2．能夠初步運用余弦定理解斜三角形．
1．余弦定理
三角形中任何一邊的平方等于其他兩邊的平方的和減去這兩邊與它們的夾角的余弦的積的兩倍．即a2＝b2＋c2－2bccos_A，b2＝c2＋a2－2cacos_B，c2＝a2＋b2－2abcos_C.
2．余弦定理的推論
cos A＝；cos B＝；cos C＝.
3．在△ABC中：
(1)若a2＋b2－c2＝0，則C＝90°；
(2)若c2＝a2＋b2－ab，則C＝60°；
(3)若c2＝a2＋b2＋ab，則C＝135°.
一、選擇題
1．在△ABC中，已知a＝1，b＝2，C＝60°，則c等于( )
A. B．3
C. D．5
答案 A
2．在△ABC中，a＝7，b＝4，c＝，則△ABC的最小角為( )
A. B.
C. D.
答案 B
解析 ∵a>b>c，∴C為最小角，
由余弦定理cos C＝
＝＝.∴C＝.
3．在△ABC中，已知a＝2，則bcos C＋ccos B等于( )
A．1 B. C．2 D．4
答案 C
解析 bcos C＋ccos B＝b·＋c·＝＝a＝2.
4．在△ABC中，已知b2＝ac且c＝2a，則cos B等于( )
A. B. C. D.
答案 B
解析 ∵b2＝ac，c＝2a，∴b2＝2a2，b＝a，
∴cos B＝＝＝.
5．在△ABC中，sin2＝ (a，b，c分別為角A，B，C的對應邊)，則△ABC的形狀為( )
A．正三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰三角形
答案 B
解析 ∵sin2＝＝，
∴cos A＝＝?a2＋b2＝c2，符合勾股定理．
故△ABC為直角三角形．
6．在△ABC中，已知面積S＝(a2＋b2－c2)，則角C的度數(shù)為( )
A．135° B．45° C．60° D．120°
答案 B
解析 ∵S＝(a2＋b2－c2)＝absin C，
∴a2＋b2－c2＝2absin C，∴c2＝a2＋b2－2absin C.
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C，
∴sin C＝cos C，
∴C＝45° .
二、填空題
7．在△ABC中，若a2－b2－c2＝bc，則A＝________.
答案 120°
8．△ABC中，已知a＝2，b＝4，C＝60°，則A＝________.
答案 30°
解析 c2＝a2＋b2－2abcos C
＝22＋42－2×2×4×cos 60°
＝12
∴c＝2.
由正弦定理：＝得sin A＝.
∵a0，b>0)，則最大角為________．
答案 120°
解析 易知：>a，>b，設(shè)最大角為θ，
則cos θ＝＝－，
∴θ＝120°.
10．在△ABC中，BC＝1，B＝，當△ABC的面積等于時，tan C＝________.
答案?。?
解析 S△ABC＝acsin B＝，∴c＝4.由余弦定理得，b2＝a2＋c2－2accos B＝13，
∴cos C＝＝－，sin C＝，
∴tan C＝－＝－2.
三、解答題
11．在△ABC中，已知CB＝7，AC＝8，AB＝9，試求AC邊上的中線長．
解 由條件知：cos A＝＝＝，設(shè)中線長為x，由余弦定理知：x2＝2＋AB2－2··ABcos A＝42＋92－2×4×9×＝49
?x＝7.
所以，所求中線長為7.
12．在△ABC中，BC＝a，AC＝b，且a，b是方程x2－2x＋2＝0的兩根，2cos(A＋B)＝1.
(1)求角C的度數(shù)；
(2)求AB的長；
(3)求△ABC的面積．
解 (1)cos C＝cos[π－(A＋B)]
＝－cos(A＋B)＝－，
又∵C∈(0°，180°)，∴C＝120°.
(2)∵a，b是方程x2－2x＋2＝0的兩根，
∴
∴AB2＝b2＋a2－2abcos 120°＝(a＋b)2－ab＝10，
∴AB＝.
(3)S△ABC＝absin C＝.
能力提升
13．(2010·濰坊一模)在△ABC中，AB＝2，AC＝，BC＝1＋，AD為邊BC上的高，則AD的長是________．
答案
解析 ∵cos C＝＝，
∴sin C＝.
∴AD＝AC·sin C＝.
14．在△ABC中，acos A＋bcos B＝ccos C，試判斷三角形的形狀．
解 由余弦定理知
cos A＝，cos B＝，
cos C＝，
代入已知條件得
a·＋b·＋c·＝0，
通分得a2(b2＋c2－a2)＋b2(a2＋c2－b2)＋c2(c2－a2－b2)＝0，
展開整理得(a2－b2)2＝c4.
∴a2－b2＝±c2，即a2＝b2＋c2或b2＝a2＋c2.
根據(jù)勾股定理知△ABC是直角三角形．
1．利用余弦定理可以解決兩類有關(guān)三角形的問題：
(1)已知兩邊和夾角，解三角形．
(2)已知三邊求三角形的任意一角．
2．余弦定理與勾股定理
余弦定理可以看作是勾股定理的推廣，勾股定理可以看作是余弦定理的特例．
1．1.2 余弦定理(二)
課時目標
1．熟練掌握正弦定理、余弦定理；
2．會用正、余弦定理解三角形的有關(guān)問題．
1．正弦定理及其變形
(1)＝＝＝2R.
(2)a＝2Rsin_A，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C.
(3)sin A＝，sin B＝，sin C＝.
(4)sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c.
2．余弦定理及其推論
(1)a2＝b2＋c2－2bccos_A.
(2)cos A＝.
(3)在△ABC中，c2＝a2＋b2?C為直角；c2>a2＋b2?C為鈍角；c2b B．a(chǎn)0，∴a2>b2，∴a>b.
6．如果將直角三角形的三邊增加同樣的長度，則新三角形的形狀是( )
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．由增加的長度確定
答案 A
解析 設(shè)直角三角形三邊長為a，b，c，且a2＋b2＝c2，
則(a＋x)2＋(b＋x)2－(c＋x)2
＝a2＋b2＋2x2＋2(a＋b)x－c2－2cx－x2＝2(a＋b－c)x＋x2>0，
∴c＋x所對的最大角變?yōu)殇J角．
二、填空題
7．在△ABC中，邊a，b的長是方程x2－5x＋2＝0的兩個根，C＝60°，則邊c＝________.
答案
解析 由題意：a＋b＝5，ab＝2.
由余弦定理得：c2＝a2＋b2－2abcos C
＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab＝52－3×2＝19，
∴c＝.
8．設(shè)2a＋1，a,2a－1為鈍角三角形的三邊，那么a的取值范圍是________．
答案 20，∴a>，最大邊為2a＋1.
∵三角形為鈍角三角形，∴a2＋(2a－1)2<(2a＋1)2，
化簡得：02a＋1，
∴a>2，∴2β B．α＝β
C．α<β D．α＋β＝90°
答案 B
2．設(shè)甲、乙兩樓相距20 m，從乙樓底望甲樓頂?shù)难鼋菫?0°，從甲樓頂望乙樓頂?shù)母┙菫?0°，則甲、乙兩樓的高分別是( )
A．20 m， m
B．10 m,20 m
C．10(－) m,20 m
D. m， m
答案 A
解析 h甲＝20tan 60°＝20(m)．
h乙＝20tan 60°－20tan 30°＝(m)．
3．如圖，為測一樹的高度，在地面上選取A、B兩點，從A、B兩點分別測得望樹尖的仰角為30°，45°，且A、B兩點之間的距離為60 m，則樹的高度為( )
A．30＋30 m B．30＋15m
C．15＋30m D．15＋3m
答案 A
解析 在△PAB中，由正弦定理可得
＝，
PB＝＝，
h＝PBsin 45°＝(30＋30)m.
4．從高出海平面h米的小島看正東方向有一只船俯角為30°，看正南方向一只船俯角為45°，則此時兩船間的距離為( )
A．2h米 B.h米
C.h米 D．2h米
答案 A
解析 如圖所示，
BC＝h，AC＝h，
∴AB＝＝2h.
5．在某個位置測得某山峰仰角為θ，對著山峰在平行地面上前進600 m后測仰角為原來的2倍，繼續(xù)在平行地面上前進200 m后，測得山峰的仰角為原來的4倍，則該山峰的高度是( )
A．200 m B．300 m
C．400 m D．100 m
答案 B
解析 如圖所示，600·sin 2θ＝200·sin 4θ，
∴cos 2θ＝，∴θ＝15°，
∴h＝200·sin 4θ＝300 (m)．
6．平行四邊形中，AC＝，BD＝，周長為18，則平行四邊形面積是( )
A．16 B．17.5 C．18 D．18.53
答案 A
解析 設(shè)兩鄰邊AD＝b，AB＝a，∠BAD＝α，
則a＋b＝9，a2＋b2－2abcos α＝17，
a2＋b2－2abcos(180°－α)＝65.
解得：a＝5，b＝4，cos α＝或a＝4，b＝5，cos α＝，
∴S?ABCD＝ab sin α＝16.
二、填空題
7．甲船在A處觀察乙船，乙船在它的北偏東60°的方向，兩船相距a海里，乙船正向北行駛，若甲船是乙船速度的倍，則甲船應取方向__________才能追上乙船；追上時甲船行駛了________海里．
答案 北偏東30° a
解析
如圖所示，設(shè)到C點甲船追上乙船，
乙到C地用的時間為t，乙船速度為v，
則BC＝tv，AC＝tv，B＝120°，
由正弦定理知＝，
∴＝，
∴sin∠CAB＝，∴∠CAB＝30°，∴∠ACB＝30°，
∴BC＝AB＝a，
∴AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos 120°
＝a2＋a2－2a2·＝3a2，∴AC＝a.
8．△ABC中，已知A＝60°，AB∶AC＝8∶5，面積為10，則其周長為________．
答案 20
解析 設(shè)AB＝8k，AC＝5k，k>0，則
S＝AB·AC·sin A＝10k2＝10.
∴k＝1，AB＝8，AC＝5，由余弦定理：
BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A
＝82＋52－2×8×5×＝49.
∴BC＝7，∴周長為：AB＋BC＋CA＝20.
9．已知等腰三角形的底邊長為6，一腰長為12，則它的內(nèi)切圓面積為________．
答案
解析 不妨設(shè)三角形三邊為a，b，c且a＝6，b＝c＝12，
由余弦定理得：
cos A＝＝＝，
∴sin A＝ ＝.
由(a＋b＋c)·r＝bcsin A得r＝.
∴S內(nèi)切圓＝πr2＝.
10．某艦艇在A處測得遇險漁船在北偏東45°，距離為10 n mile的C處，此時得知，該漁船沿北偏東105°方向，以每小時9 n mile的速度向一小島靠近，艦艇時速21 n mile，則艦艇到達漁船的最短時間是______小時．
答案
解析 設(shè)艦艇和漁船在B處相遇，則在△ABC中，由已知可得：∠ACB＝120°，設(shè)艦艇到達漁船的最短時間為t，則AB＝21t，BC＝9t，AC＝10，則(21t)2＝(9t)2＋100－2×10×9tcos 120°，
解得t＝或t＝－(舍)．
三、解答題
11．如圖所示，在山頂鐵塔上B處測得地面上一點A的俯角為α，在塔底C處測得A處的俯角為β.已知鐵塔BC部分的高為h，求山高CD.
解 在△ABC中，∠BCA＝90°＋β，
∠ABC＝90°－α，
∠BAC＝α－β，∠CAD＝β.
根據(jù)正弦定理得：＝，
即＝，
∴AC＝
＝.
在Rt△ACD中，CD＝ACsin∠CAD＝ACsin β
＝.
即山高CD為.
12．已知圓內(nèi)接四邊形ABCD的邊長AB＝2，BC＝6，CD＝DA＝4，求圓內(nèi)接四邊形ABCD的面積．
解
連接BD，則四邊形面積
S＝S△ABD＋S△CBD＝AB·AD·sin A＋BC·CD·sin C.
∵A＋C＝180°，∴sin A＝sin C.
∴S＝(AB·AD＋BC·CD)·sin A＝16sin A.
由余弦定理：在△ABD中，BD2＝22＋42－2×2×4cos A＝20－16cos A，
在△CDB中，BD2＝42＋62－2×4×6cos C＝52－48cos C，
∴20－16cos A＝52－48cos C.
又cos C＝－cos A，∴cos A＝－.∴A＝120°.
∴四邊形ABCD的面積S＝16sin A＝8.
能力提升
13．如圖所示，為了解某海域海底構(gòu)造，在海平面內(nèi)一條直線上的A、B、C三點進行測量．已知AB＝50 m，BC＝120 m，于A處測得水深AD＝80 m，于B處測得水深BE＝200 m，于C處測得水深CF＝110 m，求∠DEF的余弦值．
解 作DM∥AC交BE于N，交CF于M.
DF＝＝＝10(m)，
DE＝＝＝130(m)，
EF＝＝＝150(m)．
在△DEF中，由余弦定理的變形公式，得
cos∠DEF＝
＝＝.
即∠DEF的余弦值為.
14．江岸邊有一炮臺高30 m，江中有兩條船，由炮臺頂部測得俯角分別為45°和30°，而且兩條船與炮臺底部連成30°角，求兩條船之間的距離．
解 如圖所示：
∠CBD＝30°，∠ADB＝30°，∠ACB＝45°
∵AB＝30，
∴BC＝30，
BD＝
＝30.
在△BCD中，
CD2＝BC2＋BD2－2BC·BD·cos 30°＝900，
∴CD＝30，即兩船相距30 m.
1．測量底部不可到達的建筑物的高度問題．由于底部不可到達，這類問題不能直接用解直角三角形的方法解決，但常用正弦定理和余弦定理，計算出建筑物頂部到一個可到達的點之間的距離，然后轉(zhuǎn)化為解直角三角形的問題．
2．測量角度就是在三角形內(nèi)利用正弦定理和余弦定理求角的正弦值或余弦值，再根據(jù)需要求出所求的角．
第一章 解三角形 復習課
課時目標
1．掌握正弦定理、余弦定理的內(nèi)容，并能解決一些簡單的三角形度量問題．
2．能夠運用正弦定理、余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關(guān)的實際問題．
一、選擇題
1．在△ABC中，A＝60°，a＝4，b＝4，則B等于( )
A．45°或135° B．135°
C．45° D．以上答案都不對
答案 C
解析 sin B＝b·＝，且bsin Asin B，則△ABC是( )
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．等腰三角形
答案 C
解析 cos Acos B>sin Asin B?cos(A＋B)>0，
∴A＋B<90°，∴C>90°，C為鈍角．
3．已知△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝k∶(k＋1)∶2k，則k的取值范圍是( )
A．(2，＋∞) B．(－∞，0)
C. D.
答案 D
解析 由正弦定理得：a＝mk，b＝m(k＋1)，
c＝2mk(m>0)，
∵ 即，∴k>.
4．如圖所示，D、C、B三點在地面同一直線上，DC＝a，從C、D兩點測得A點的仰角分別是β、α(β<α)．則A點離地面的高AB等于( )
A. B.
C. D.
答案 A
解析 設(shè)AB＝h，則AD＝，
在△ACD中，∵∠CAD＝α－β，∴＝.
∴＝，∴h＝.
5．在△ABC中，A＝60°，AC＝16，面積為220，那么BC的長度為( )
A．25 B．51 C．49 D．49
答案 D
解析 S△ABC＝AC·AB·sin 60°＝×16×AB×＝220，∴AB＝55.
∴BC2＝AB2＋AC2－2AB·ACcos 60°＝552＋162－2×16×55×＝2 401.
∴BC＝49.
6．(2010·天津)在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別是a，b，c.若a2－b2＝bc，
sin C＝2sin B，則A等于( )
A．30° B．60°
C．120° D．150°
答案 A
解析 由sin C＝2sin B，根據(jù)正弦定理，得
c＝2b，把它代入a2－b2＝bc得
a2－b2＝6b2，即a2＝7b2.
由余弦定理，得cos A＝＝
＝＝.
又∵0°1，不合題意．∴設(shè)夾角為θ，則cos θ＝－，
得sin θ＝，∴S＝×3×5×＝6 (cm2)．
8．在△ABC中，A＝60°，b＝1，S△ABC＝，則＝____________.
答案
解析 由S＝bcsin A＝×1×c×＝，∴c＝4.
∴a＝＝
＝.
∴＝＝.
9．在△ABC中，a＝x，b＝2，B＝45°，若三角形有兩解，則x的取值范圍是
______________．
答案 2
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高中數(shù)學必修5同步練習與單元測試第一章
解三角形
高中數(shù)學
必修
同步
練習
單元測試
第一章
三角形
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