高考數(shù)學(xué)人教A版（理）一輪復(fù)習(xí)：第九篇 第8講 曲線與方程
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第8講 曲線與方程 A級(jí) 基礎(chǔ)演練(時(shí)間：30分鐘 滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1． 動(dòng)點(diǎn)P(x，y)滿足5＝|3x＋4y－11|，則點(diǎn)P的軌跡是 ( )． A．橢圓 B．雙曲線 C．拋物線 D．直線 解析 設(shè)定點(diǎn)F(1,2)，定直線l：3x＋4y－11＝0，則|PF|＝，點(diǎn)P到直線l的距離d＝. 由已知得＝1，但注意到點(diǎn)F(1,2)恰在直線l上，所以點(diǎn)P的軌跡是直線．選D. 答案 D 2．(2013·榆林模擬)若點(diǎn)P到直線x＝－1的距離比它到點(diǎn)(2,0)的距離小1，則點(diǎn)P的軌跡為 ( )． A．圓 B．橢圓 C．雙曲線 D．拋物線 解析 依題意，點(diǎn)P到直線x＝－2的距離等于它到點(diǎn)(2,0)的距離，故點(diǎn)P的軌跡是拋物線． 答案 D 3．(2013·臨川模擬)設(shè)圓(x＋1)2＋y2＝25的圓心為C，A(1,0)是圓內(nèi)一定點(diǎn)，Q為圓周上任一點(diǎn)．線段AQ的垂直平分線與CQ的連線交于點(diǎn)M，則M的軌跡方程為 ( )． A.－＝1 B.＋＝1 C.－＝1 D.＋＝1 解析 M為AQ垂直平分線上一點(diǎn)，則|AM|＝|MQ|，∴|MC|＋|MA|＝|MC|＋|MQ|＝|CQ|＝5，故M的軌跡為橢圓，∴a＝，c＝1，則b2＝a2－c2＝， ∴橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為＋＝1. 答案 D 4．(2013·煙臺(tái)月考)已知點(diǎn)P是直線2x－y＋3＝0上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，定點(diǎn)M(－1,2)，Q是線段PM延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，且|PM|＝|MQ|，則Q點(diǎn)的軌跡方程是( )． A．2x＋y＋1＝0 B．2x－y－5＝0 C．2x－y－1＝0 D．2x－y＋5＝0 解析 由題意知，M為PQ中點(diǎn)，設(shè)Q(x，y)，則P為(－2－x，4－y)，代入2x－y＋3＝0，得2x－y＋5＝0. 答案 D 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(2013·泰州月考)在△ABC中，A為動(dòng)點(diǎn)，B、C為定點(diǎn)，B，C(a>0)，且滿足條件sin C－sin B＝sin A，則動(dòng)點(diǎn)A的軌跡方程是________． 解析 由正弦定理，得－＝×， ∴|AB|－|AC|＝|BC|，且為雙曲線右支． 答案?。?(x>0且y≠0) 6. 如圖，點(diǎn)F(a,0)(a>0)，點(diǎn)P在y軸上運(yùn)動(dòng)，M在x軸上運(yùn)動(dòng)，N為動(dòng)點(diǎn)，且·＝0，＋＝0，則點(diǎn)N的軌跡方程為_(kāi)_______． 解析 由題意，知PM⊥PF且P為線段MN的中點(diǎn)，連接FN，延長(zhǎng)FP至點(diǎn)Q使P恰為QF之中點(diǎn)；連接QM，QN，則四邊形FNQM為菱形，且點(diǎn)Q恒在直線l：x＝－a上，故點(diǎn)N的軌跡是以點(diǎn)F為焦點(diǎn)，直線l為準(zhǔn)線的拋物線，其方程為：y2＝4ax. 答案 y2＝4ax 三、解答題(共25分) 7．(12分)已知長(zhǎng)為1＋的線段AB的兩個(gè)端點(diǎn)A、B分別在x軸、y軸上滑動(dòng)，P是AB上一點(diǎn)，且＝，求點(diǎn)P的軌跡C的方程． 解 設(shè)A(x0,0)，B(0，y0)，P(x，y)，＝， 又＝(x－x0，y)，＝(－x，y0－y)， 所以x－x0＝－x，y＝(y0－y)， 得x0＝x，y0＝(1＋)y. 因?yàn)閨AB|＝1＋，即x＋y＝(1＋)2， 所以2＋[(1＋)y]2＝(1＋)2， 化簡(jiǎn)得＋y2＝1. ∴點(diǎn)P的軌跡方程為＋y2＝1. 8．(13分)設(shè)橢圓方程為x2＋＝1，過(guò)點(diǎn)M(0,1)的直線l交橢圓于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P滿足＝(＋)，點(diǎn)N的坐標(biāo)為，當(dāng)直線l繞點(diǎn)M旋轉(zhuǎn)時(shí)，求： (1)動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程； (2)||的最大值，最小值． 解 (1)直線l過(guò)定點(diǎn)M(0,1)，當(dāng)其斜率存在時(shí)設(shè)為k，則l的方程為y＝kx＋1. 設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由題意知，A、B的坐標(biāo)滿足方程組消去y得(4＋k2)x2＋2kx－3＝0. 則Δ＝4k2＋12(4＋k2)>0. ∴x1＋x2＝－，x1x2＝. P(x，y)是AB的中點(diǎn)， 則由 消去k得4x2＋y2－y＝0. 當(dāng)斜率k不存在時(shí)，AB的中點(diǎn)是坐標(biāo)原點(diǎn)，也滿足這個(gè)方程，故P點(diǎn)的軌跡方程為4x2＋y2－y＝0. (2)由(1)知4x2＋2＝，∴－≤x≤ 而|NP|2＝2＋2＝2＋ ＝－32＋， ∴當(dāng)x＝－時(shí)，||取得最大值， 當(dāng)x＝時(shí)，||取得最小值. B級(jí) 能力突破(時(shí)間：30分鐘 滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．(2012·全國(guó))正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，點(diǎn)E在邊AB上，點(diǎn)F在邊BC上，AE＝BF＝.動(dòng)點(diǎn)P從E出發(fā)沿直線向F運(yùn)動(dòng)，每當(dāng)碰到正方形的邊時(shí)反彈，反彈時(shí)反射角等于入射角．當(dāng)點(diǎn)P第一次碰到E時(shí)，P與正方形的邊碰撞的次數(shù)為 ( )． A．16 B．14 C．12 D．10 解析 當(dāng)E、F分別為AB、BC中點(diǎn)時(shí)，顯然碰撞的結(jié)果為4，當(dāng)E、F分別為AB的三等分點(diǎn)時(shí)，可得結(jié)果為6(如圖1所示)．可以猜想本題碰撞的結(jié)果應(yīng)為2×7＝14(如圖2所示)．故選B. 答案 B 2．(2013·沈陽(yáng)二模)在平行四邊形ABCD中，∠BAD＝60°，AD＝2AB，若P是平面ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且滿足：x＋y＋＝0(x，y∈R)．則當(dāng)點(diǎn)P在以A為圓心，||為半徑的圓上時(shí)，實(shí)數(shù)x，y應(yīng)滿足關(guān)系式為 ( )． A．4x2＋y2＋2xy＝1 B．4x2＋y2－2xy＝1 C．x2＋4y2－2xy＝1 D．x2＋4y2＋2xy＝1 解析 如圖，以A為原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)AD＝2.據(jù)題意，得AB＝1，∠ABD＝90°，BD＝.∴B、D的坐標(biāo)分別為(1,0)、(1，)，∴＝(1,0)，＝(1，)．設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(m，n)，即＝(m，n)，則由x＋y＋＝0，得：＝x＋y，∴ 據(jù)題意，m2＋n2＝1，∴x2＋4y2＋2xy＝1. 答案 D 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．如圖所示，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，點(diǎn)M在AB上，且AM＝AB，點(diǎn)P在平面ABCD上，且動(dòng)點(diǎn)P到直線A1D1的距離的平方與P到點(diǎn)M的距離的平方差為1，在平面直角坐標(biāo)系xAy中，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡方程是________． 解析 過(guò)P作PQ⊥AD于Q，再過(guò)Q作QH⊥A1D1于H，連接PH、PM，可證PH⊥A1D1，設(shè)P(x，y)，由|PH|2－|PM|2＝1，得x2＋1－＝1，化簡(jiǎn)得y2＝x－. 答案 y2＝x－ 4．(2013·南京模擬)P是橢圓＋＝1上的任意一點(diǎn)，F(xiàn)1、F2是它的兩個(gè)焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，＝＋，則動(dòng)點(diǎn)Q的軌跡方程是________． 解析 由＝＋，又＋＝＝2 ＝－2，設(shè)Q(x，y)，則＝－＝－(x，y)＝－，－，即P點(diǎn)坐標(biāo)為－，－.又P在橢圓上，則有＋＝1，即＋＝1. 答案?。? 三、解答題(共25分) 5．(12分)(2013·鄭州模擬)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，橢圓E：＋＝1(a>0，b>0)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A，且點(diǎn)F(0，－1)為其一個(gè)焦點(diǎn)． (1)求橢圓E的方程； (2)設(shè)隨圓E與y軸的兩個(gè)交點(diǎn)為A1，A2，不在y軸上的動(dòng)點(diǎn)P在直線y＝b2上運(yùn)動(dòng)，直線PA1，PA2分別與橢圓E交于點(diǎn)M，N，證明：直線MN通過(guò)一個(gè)定點(diǎn)，且△FMN的周長(zhǎng)為定值． 解 (1)根據(jù)題意可得可解得 ∴橢圓E的方程為＋＝1. (2)由(1)知A1(0,2)，A2(0，－2)，P(x0，4)為直線y＝4上一點(diǎn)(x0≠0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直線PA1方程為y＝x＋2，直線PA2方程為y＝x－2，點(diǎn)M(x1，y1)，A1(0,2)的坐標(biāo)滿足方程組可得 點(diǎn)N(x2，y2)，A2(0，－2)的坐標(biāo)滿足方程組可得由于橢圓關(guān)于y軸對(duì)稱，當(dāng)動(dòng)點(diǎn)P在直線y＝4上運(yùn)動(dòng)時(shí)，直線MN通過(guò)的定點(diǎn)必在y軸上，當(dāng)x0＝1時(shí)，直線MN的方程為y＋1＝，令x＝0，得y＝1可猜測(cè)定點(diǎn)的坐標(biāo)為(0,1)，并記這個(gè)定點(diǎn)為B.則直線BM的斜率kBM＝＝＝，直線BN的斜率kBN＝＝＝，∴kBM＝kBN，即M，B，N三點(diǎn)共線，故直線MN通過(guò)一個(gè)定點(diǎn)B(0，1)， 又∵F(0，－1)，B(0,1)是橢圓E的焦點(diǎn)， ∴△FMN周長(zhǎng)為|FM|＋|MB|＋|BN|＋|NF|＝4b＝8，為定值． 6．(13分)(2013·玉林模擬)已知向量a＝(x，y)，b＝(1,0)，且(a＋b)⊥(a－b)． (1)求點(diǎn)Q(x，y)的軌跡C的方程； (2)設(shè)曲線C與直線y＝kx＋m相交于不同的兩點(diǎn)M、N，又點(diǎn)A(0，－1)，當(dāng)|AM|＝|AN|時(shí)，求實(shí)數(shù)m的取值范圍． 解 (1)由題意得a＋b＝(x＋，y)，a－b＝(x－，y)，∵(a＋b)⊥(a－b)，∴(a＋b)·(a－b)＝0， 即(x＋)(x－)＋y·y＝0. 化簡(jiǎn)得＋y2＝1，∴Q點(diǎn)的軌跡C的方程為＋y2＝1. (2)由得(3k2＋1)x2＋6mkx＋3(m2－1)＝0， 由于直線與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)， ∴Δ>0，即m2<3k2＋1. ① (i)當(dāng)k≠0時(shí)，設(shè)弦MN的中點(diǎn)為P(xP，yP)，xM、xN分別為點(diǎn)M、N的橫坐標(biāo)，則xP＝＝－， 從而yP＝kxP＋m＝，kAP＝＝－， 又|AM|＝|AN|，∴AP⊥MN. 則－＝－，即2m＝3k2＋1， ② 將②代入①得2m>m2，解得0下載提示(請(qǐng)認(rèn)真閱讀)
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