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第4講 古典概型 A級　基礎演練(時間：30分鐘　滿分：55分) 一、選擇題(每小題5分，共20分) 1．(2013·北京海淀期末)一對年輕夫婦和其兩歲的孩子做游戲，讓孩子把分別寫有“1”“3”“1”“4”的四張卡片隨機排成一行，若卡片按從左到右的順序排成“1314”，則孩子會得到父母的獎勵，那么孩子受到獎勵的概率為 (　　)． A. B. C. D. 解析　由題意知，基本事件有＝12個，滿足條件的基本事件就一個，故所求概率為P＝. 答案　A 2．(2013·皖南八校聯(lián)考)一個袋子中有5個大小相同的球，其中有3個黑球與2個紅球，如果從中任取兩個球，則恰好取到兩個同色球的概率是 (　　)． A. B. C. D. 解析　基本事件有C＝10個，其中為同色球的有C＋C＝4個，故所求概率為＝. 答案　C 3．(2013·福州一模)甲、乙兩人各寫一張賀年卡，隨意送給丙、丁兩人中的一人，則甲、乙將賀年卡送給同一人的概率是 (　　)． A. B. C. D. 解析　(甲送給丙，乙送給丁)，(甲送給丁，乙送給丙)，(甲、乙都送給丙)，(甲、乙都送給丁)，共四種情況，其中甲、乙將賀年卡送給同一人的情況有兩種，所以P＝＝. 答案　A 4．在一次班級聚會上，某班到會的女同學比男同學多6人，從這些同學中隨機挑選一人表演節(jié)目．若選到女同學的概率為，則這班參加聚會的同學的人數(shù)為 (　　)． A．12 B．18 C．24 D．32 解析　設女同學有x人，則該班到會的共有(2x－6)人，所以＝，得x＝12，故該班參加聚會的同學有18人，故選B. 答案　B 二、填空題(每小題5分，共10分) 5．(2013·南京模擬)在集合A＝{2,3}中隨機取一個元素m，在集合B＝{1,2,3}中隨機取一個元素n，得到點P(m，n)，則點P在圓x2＋y2＝9內(nèi)部的概率為________． 解析　由題意得到的P(m，n)有(2,1)，(2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，共6個，在圓x2＋y2＝9的內(nèi)部的點有(2,1)，(2,2)，所以概率為＝. 答案　 6．(2013·鄭州二檢)連擲兩次骰子得到的點數(shù)分別為m和n，記向量a＝(m，n)與向量b＝(1，－1)的夾角為θ，則θ∈的概率是________． 解析　∵m，n均為不大于6的正整數(shù)，∴當點A(m，n)位于直線y＝x上及其下方第一象限的部分時，滿足θ∈的點A(m，n)有6＋5＋4＋3＋2＋1＝21個，點A(m，n)的基本事件總數(shù)為6×6＝36，故所求概率為＝. 答案　 三、解答題(共25分) 7．(12分)(2012·天津)某地區(qū)有小學21所，中學14所，大學7所，現(xiàn)采用分層抽樣的方法從這些學校中抽取6所學校對學生進行視力調(diào)查． (1)求應從小學、中學、大學中分別抽取的學校數(shù)目； (2)若從抽取的6所學校中隨機抽取2所學校做進一步數(shù)據(jù)分析， ①列出所有可能的抽取結果； ②求抽取的2所學校均為小學的概率． 解　(1)由分層抽樣的定義知，從小學中抽取的學校數(shù)目為6×＝3；從中學中抽取的學校數(shù)目為6×＝2；從大學中抽取的學校數(shù)目為6×＝1.故從小學、中學、大學中分別抽取的學校數(shù)目為3,2,1. (2)①在抽取到的6所學校中，3所小學分別記為A1，A2，A3,2所中學分別記為A4，A5,1所大學記為A6，則抽取2所學校的所有可能結果為(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)，共15種． ②從6所學校中抽取的2所學校均為小學(記為事件B)的所有可能結果為(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)，共3種． 所以P(B)＝＝. 8．(13分)(2011·廣東)在某次測驗中，有6位同學的平均成績?yōu)?5分．用xn表示編號為n(n＝1,2，…，6)的同學所得成績，且前5位同學的成績?nèi)缦拢? 編號n 1 2 3 4 5 成績xn 70 76 72 70 72 (1)求第6位同學的成績x6，及這6位同學成績的標準差s； (2)從前5位同學中，隨機地選2位同學，求恰有1位同學成績在區(qū)間(68,75)中的概率． 解　(1)∵這6位同學的平均成績?yōu)?5分， ∴(70＋76＋72＋70＋72＋x6)＝75，解得x6＝90， 這6位同學成績的方差 s2＝×[(70－75)2＋(76－75)2＋(72－75)2＋(70－75)2＋(72－75)2＋(90－75)2]＝49，∴標準差s＝7. (2)從前5位同學中，隨機地選出2位同學的成績共有C＝10種， 恰有1位同學成績在區(qū)間(68,75)中的有：(70,76)，(76,72)，(76,70)，(76,72)，共4種，所求的概率為＝0.4， 即恰有1位同學成績在區(qū)間(68,75)中的概率為0.4. B級　能力突破(時間：30分鐘　滿分：45分) 一、選擇題(每小題5分，共10分) 1．甲、乙兩人喊拳，每人可以用手出0,5,10三種數(shù)字，每人則可喊0,5,10,15,20五種數(shù)字，當兩人所出數(shù)字之和等于甲所喊數(shù)字時為甲勝，當兩人所出數(shù)字之和等于乙所喊數(shù)字時為乙勝，若甲喊10，乙喊15時，則 (　　)． A．甲勝的概率大 B．乙勝的概率大 C．甲、乙勝的概率一樣大 D．不能確定 解析　兩人共有9種出數(shù)的方法，其中和為10的方法有3種，和為15的方法有2種，故甲勝的概率要大，應選A. 答案　A 2．(2013·合肥二模)將號碼分別為1,2,3,4的四個小球放入一個袋中，這些小球僅號碼不同，其余完全相同，甲從袋中摸出一個小球，其號碼為a，放回后，乙從此口袋中再摸出一個小球，其號碼為b，則使不等式a－2b＋4<0成立的事件發(fā)生的概率為 (　　)． A. B. C. D. 解析　由題意知(a，b)的所有可能結果有4×4＝16個．其中滿足a－2b＋4<0的有(1,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)，共4個，所以所求概率為. 答案　C 二、填空題(每小題5分，共10分) 3．某同學同時擲兩顆骰子，得到點數(shù)分別為a，b，則雙曲線－＝1的離心率e>的概率是________． 解析　e＝ >，∴b>2a，符合b>2a的情況有：當a＝1時，b＝3,4,5,6四種情況；當a＝2時，b＝5,6兩種情況，總共有6種情況．則所求概率為＝. 答案　 4．(2012·上海)三位同學參加跳高、跳遠、鉛球項目的比賽．若每人都選擇其中兩個項目，則有且僅有兩人選擇的項目完全相同的概率是________(結果用最簡分數(shù)表示)． 解析　根據(jù)條件求出基本事件的個數(shù)，再利用古典概型的概率計算公式求解．因為每人都從三個項目中選擇兩個，有(C)3種選法，其中“有且僅有兩人選擇的項目完全相同”的基本事件有CCC個，故所求概率為＝. 答案　 三、解答題(共25分) 5．(12分)(2012·棗莊二模)袋內(nèi)裝有6個球，這些球依次被編號為1,2,3，…，6，設編號為n的球重n2－6n＋12(單位：克)，這些球等可能地從袋里取出(不受重量、編號的影響)． (1)從袋中任意取出一個球，求其重量大于其編號的概率； (2)如果不放回的任意取出2個球，求它們重量相等的概率． 解　(1)若編號為n的球的重量大于其編號． 則n2－6n＋12>n，即n2－7n＋12>0. 解得n<3或n>4. ∴n＝1,2,5,6.∴從袋中任意取出一個球，其重量大于其編號的概率P＝＝. (2)不放回的任意取出2個球，這兩個球編號的所有可能情形共有C＝15種． 設編號分別為m與n(m，n∈{1,2,3,4,5,6}，且m≠n)球的重量相等，則有m2－6m＋12＝n2－6n＋12，即有(m－n)(m＋n－6)＝0. ∴m＝n(舍去)或m＋n＝6. 滿足m＋n＝6的情形為(1,5)，(2,4)，共2種情形． 由古典概型，所求事件的概率為. 6．某省實驗中學共有特級教師10名，其中男性6名，女性4名，現(xiàn)在要從中抽調(diào)4名特級教師擔任青年教師培訓班的指導教師，由于工作需要，其中男教師甲和女教師乙不能同時被抽調(diào)． (1)求抽調(diào)的4名教師中含有女教師丙，且4名教師中恰有2名男教師、2名女教師的概率； (2)若抽到的女教師的人數(shù)為ξ，求P(ξ≤2)． 解　由于男教師甲和女教師乙不能同時被抽調(diào)，所以可分以下兩種情況： ①若甲和乙都不被抽調(diào)，有C種方法； ②若甲和乙中只有一人被抽調(diào)，有CC種方法，故從10名教師中抽調(diào)4人，且甲和乙不同時被抽調(diào)的方法總數(shù)為C＋CC＝70＋112＝182.這就是基本事件總數(shù)． (1)記事件“抽調(diào)的4名教師中含有女教師丙，且恰有2名男教師，2名女教師”為A，因為含有女教師丙，所以再從女教師中抽取一人，若抽到的是女教師乙，則男教師甲不能被抽取，抽調(diào)方法數(shù)是C；若女教師中抽到的不是乙，則女教師的抽取方法有C種，男教師的抽取方法有C種，抽調(diào)的方法數(shù)是CC.故隨機事件“抽調(diào)的4名教師中含有女教師丙，且4名教師中恰有2名男教師、2名女教師”含有的基本事件的個數(shù)是C＋CC＝40. 根據(jù)古典概型概率的計算公式得P(A)＝＝. (2)ξ的可能取值為0,1,2,3,4，所以P(ξ≤2)＝1－P(ξ>2)＝1－P(ξ＝3)－P(ξ＝4)，若ξ＝3，則選出的4人中，可以含有女教師乙，這時取法為CC種，也可以不含女教師乙，這時有CC種，故P(ξ＝3)＝＝＝； 若ξ＝4，則選出的4名教師全是女教師，必含有乙，有C種方法，故P(ξ＝4)＝＝，于是P(ξ≤2)＝1－－＝＝. 特別提醒：教師配贈習題、課件、視頻、圖片、文檔等各種電子資源見《創(chuàng)新設計·高考總復習》光盤中內(nèi)容.