高一數(shù)學(xué)(人教A版)必修2能力強(qiáng)化提升:4-1-2 圓的一般方程
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一、選擇題 1.兩圓x2+y2-4x+6y=0和x2+y2-6x=0的圓心連線方程為( ) A.x+y+3=0 B.2x-y-5=0 C.3x-y-9=0 D.4x-3y+7=0 [答案] C [解析] 兩圓的圓心分別為(2,-3)、(3,0),直線方程為y=(x-3)即3x-y-9=0,故選C. 2.若方程x2+y2+(λ-1)x+2λy+λ=0表示圓,則λ的取值范圍是( ) A.(0,+∞) B. C.(1,+∞)∪ D.R [答案] C [解析] D2+E2-4F=(λ-1)2+4λ2-4λ>0 解不等式得λ<或λ>1,故選C. 3.過(guò)三點(diǎn)A(-1,5),B(5,5),C(6,-2)的圓的方程是( ) A.x2+y2+4x-2y-20=0 B.x2+y2-4x+2y-20=0 C.x2+y2-4x-2y-20=0 D.x2+y2+4x+4y-20=0 [答案] C [解析] 設(shè)圓的方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0, 分別代入(-1,5),(5,5)(6,-2)得 ,解得故選C. 4.方程x2+y2+Dx+Ey+F=0表示的曲線是以(-2,3)為圓心,4為半徑的圓,則D、E、F的值分別為( ) A.4,-6,3 B.-4,6,3 C.-4,6,-3 D.4,-6,-3 [答案] D [解析] 圓心為(-,-),∴-=-2,-=3,∴D=4,E=-6, 又R=代入算得F=-3. 5.與圓x2+y2-4x+6y+3=0同圓心,且過(guò)(1,-1)的圓的方程是( ) A.x2+y2-4x+6y-8=0 B.x2+y2-4x+6y+8=0 C.x2+y2+4x-6y-8=0 D.x2+y2+4x-6y+8=0 [答案] B [解析] 圓心為(2,-3), 半徑R==. 6.如果方程x2+y2+Dx+Ey+F=0(D2+E2-4F>0)所表示的曲線關(guān)于y=x對(duì)稱,則必有( ) A.D=E B.D=F C.F=E D.D=E=F [答案] A [解析] 圓心(-,-)在直線y=x上,所以D=E,故選A. 7.當(dāng)a為任意實(shí)數(shù)時(shí),直線(a-1)x-y+a+1=0恒過(guò)定點(diǎn)C,則以C為圓心,半徑為的圓的方程為( ) A.x2+y2-2x+4y=0 B.x2+y2+2x+4y=0 C.x2+y2+2x-4y=0 D.x2+y2-2x-4y=0 [答案] C [解析] 令a=0,a=1,得方程組 解得所以定點(diǎn)C的坐標(biāo)為(-1,2). 則圓C的方程為(x+1)2+(y-2)2=5, 即x2+y2+2x-4y=0. 8.若直線l:ax+by+1=0始終平分圓M:x2+y2+4x+2y+1=0的周長(zhǎng),則(a-2)2+(b-2)2的最小值為( ) A. B.5 C.2 D.10 [答案] B [解析] 由題意,得直線l過(guò)圓心M(-2,-1), 則-2a-b+1=0,則b=-2a+1, 所以(a-2)2+(b-2)2=(a-2)2+(-2a+1-2)2=5a2+5≥5, 所以(a-2)2+(b-2)2的最小值為5. 二、填空題 9.圓心是(-3,4),經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(5,1)的圓的一般方程為________. [答案] x2+y2+6x-8y-48=0 [解析] 只要求出圓的半徑即得圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,再展開化為一般式方程. 10.圓x2+2x+y2=0關(guān)于y軸對(duì)稱的圓的一般方程是________. [答案] x2+y2-2x=0 [解析] 已知圓的圓心為C(-1,0),半徑r=1,點(diǎn)C關(guān)于y軸的對(duì)稱點(diǎn)為C′(1,0),則已知圓關(guān)于y軸對(duì)稱的圓的方程為(x-1)2+y2=1,即x2+y2-2x=0. 11.設(shè)圓x2+y2-4x+2y-11=0的圓心為A,點(diǎn)P在圓上,則PA的中點(diǎn)M的軌跡方程是________. [答案] x2+y2-4x+2y+1=0 [解析] 設(shè)M(x,y),A(2,-1),則P(2x-2,2y+1),將P代入圓方程得:(2x-2)2+(2y+1)2-4(2x-2)+2(2y+1)-11=0,即為:x2+y2-4x+2y+1=0. 12.已知圓C:x2+y2+2x+ay-3=0(a為實(shí)數(shù))上任意一點(diǎn)關(guān)于直線l:x-y+2=0的對(duì)稱點(diǎn)都在圓C上,則a=________. [答案]?。? [解析] 由題意可知直線l:x-y+2=0過(guò)圓心, ∴-1++2=0,∴a=-2. 三、解答題 13.判斷方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0能否表示圓,若能表示圓,求出圓心和半徑. [分析] 本題可直接利用D2+E2-4F>0是否成立來(lái)判斷,也可把左端配方,看右端是否為大于零的常數(shù). [解析] 解法一:由方程x2+y2-4mx+2my+20m-20=0, 可知D=-4m,E=2m,F(xiàn)=20m-20, ∴D2+E2-4F=16m2+4m2-80m+80=20(m-2)2,因此,當(dāng)m=2時(shí),D2+E2-4F=0,它表示一個(gè)點(diǎn),當(dāng)m≠2時(shí),D2+E2-4F>0,原方程表示圓的方程,此時(shí),圓的圓心為(2m,-m),半徑為r==|m-2|. 解法二:原方程可化為(x-2m)2+(y+m)2=5(m-2)2,因此,當(dāng)m=2時(shí),它表示一個(gè)點(diǎn), 當(dāng)m≠2時(shí),原方程表示圓的方程. 此時(shí),圓的圓心為(2m,-m),半徑為r=|m-2|. 規(guī)律總結(jié):(1)形如x2+y2+Dx+Ey+F=0的二元二次方程,判定其是否表示圓時(shí)有如下兩種方法:①由圓的一般方程的定義判斷D2+E2-4F是否為正.若D2+E2-4F>0,則方程表示圓,否則不表示圓.②將方程配方變形成“標(biāo)準(zhǔn)”形式后,根據(jù)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程的特征,觀察是否可以表示圓. (2)在書寫本題結(jié)果時(shí),易出現(xiàn)r=(m-2)的錯(cuò)誤結(jié)果,導(dǎo)致這種錯(cuò)誤的原因是沒(méi)有理解對(duì)一個(gè)數(shù)開偶次方根的結(jié)果為非負(fù)數(shù). 14.已知圓C:x2+y2+Dx+Ey+3=0,圓心在直線x+y-1=0上,且圓心在第二象限,半徑為,求圓的一般方程. [分析] 根據(jù)圓心、半徑滿足的條件列出關(guān)系式,從而求出參數(shù)D與E的值. [解析] 圓心C(-,-),∵圓心在直線x+y-1=0上, ∴---1=0,即D+E=-2,?、? 又r==, ∴D2+E2=20,?、? 由①②可得或 又圓心在第二象限,∴-<0即D>0, ∴ ∴圓的方程為x2+y2+2x-4y+3=0. 規(guī)律總結(jié):在求解過(guò)程中,要注意圓心在第二象限這一限定條件,避免增解. 15.自A(4,0)引圓x2+y2=4的割線ABC,求弦BC中點(diǎn)P的軌跡方程. [分析] 由題目可獲取以下主要信息: ①點(diǎn)A(4,0)是定圓外一點(diǎn); ②過(guò)A的直線交圓于B,C兩點(diǎn). 解答本題可先設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P的坐標(biāo)(x,y),然后由圓的幾何性質(zhì)知OP⊥BC,再利用kOP·kAP=-1,求出P(x,y)滿足的方程.也可由圓的幾何性質(zhì)直接得出動(dòng)點(diǎn)P與定點(diǎn)M(2,0)的距離恒等于定長(zhǎng)2,然后由圓的定義直接寫出P點(diǎn)的軌跡方程. [解析] 方法一:(直接法) 設(shè)P(x,y),連接OP,則OP⊥BC, 當(dāng)x≠0時(shí),kOP·kAP=-1,即·=-1, 即x2+y2-4x=0.?、? 當(dāng)x=0時(shí),P點(diǎn)坐標(biāo)(0,0)是方程①的解, ∴BC中點(diǎn)P的軌跡方程為x2+y2-4x=0(在已知圓內(nèi)的部分). 方法二:(定義法) 由方法一知OP⊥AP,取OA中點(diǎn)M,則M(2,0),|PM|=|OA|=2, 由圓的定義知,P的軌跡方程是(x-2)2+y2=4(在已知圓內(nèi)的部分). 規(guī)律總結(jié):針對(duì)這個(gè)類型的題目,常用的方法有(1)直接法,(2)定義法,(3)代入法,其中直接法是求曲線方程最重要的方法,它可分五個(gè)步驟:①建系,②找出動(dòng)點(diǎn)M滿足的條件,③用坐標(biāo)表示此條件,④化簡(jiǎn),⑤驗(yàn)證;定義法是指動(dòng)點(diǎn)的軌跡滿足某種曲線的定義,然后據(jù)定義直接寫出動(dòng)點(diǎn)的軌跡方程;代入法,它用于處理一個(gè)主動(dòng)點(diǎn)與一個(gè)被動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題,只需找出這兩點(diǎn)坐標(biāo)之間的關(guān)系,然后代入主動(dòng)點(diǎn)滿足的軌跡方程即可. 16.已知圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,2)和(-2,-6),該圓與兩坐標(biāo)軸的四個(gè)截距之和為-2,求圓的方程. [解析] 設(shè)圓的一般方程為x2+y2+Dx+Ey+F=0. ∵圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)(4,2)和(-2,-6), 代入圓的一般方程,得 設(shè)圓在x軸上的截距為x1、x2,它們是方程x2+Dx+F=0的兩個(gè)根,得x1+x2=-D.設(shè)圓在y軸上的截距為y1、y2,它們是方程y2+Ey+F=0的兩個(gè)根,得y1+y2=-E.由已知,得-D+(-E)=-2,即D+E-2=0.?、? 由①②③聯(lián)立解得D=-2,E=4,F(xiàn)=-20. ∴所求圓的方程為x2+y2-2x+4y-20=0. 規(guī)律總結(jié):在涉及圓的方程中,若已知圓心和半徑之一,設(shè)標(biāo)準(zhǔn)方程較方便;若已知圓過(guò)定點(diǎn),則設(shè)一般方程較方便.- 1.請(qǐng)仔細(xì)閱讀文檔,確保文檔完整性,對(duì)于不預(yù)覽、不比對(duì)內(nèi)容而直接下載帶來(lái)的問(wèn)題本站不予受理。
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