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1、 平行四邊形及其性質(zhì)（提高） 【學(xué)習(xí)目標(biāo)】 1．理解平行四邊形的概念，掌握平行四邊形的性質(zhì)定理和判定定理. 2．能初步運(yùn)用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行推理和計(jì)算，并體會(huì)如何利用所學(xué)的三角形的知識(shí)解決四邊形的問題． 3. 了解平行四邊形的不穩(wěn)定性及其實(shí)際應(yīng)用． 4. 掌握兩個(gè)推論：“夾在兩條平行線間的平行線段相等”?！皧A在兩條平行線間的垂線段相等” ． 【要點(diǎn)梳理】 知識(shí)點(diǎn)一、平行四邊形的定義 平行四邊形：兩組對(duì)邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形. 平行四邊形ABCD記作“ABCD”，讀作“平行四邊形ABCD”. 要點(diǎn)詮釋：平行四邊形的基本元素：邊、角、對(duì)角線.相鄰的兩邊為鄰邊

2、，有四對(duì)；相對(duì)的邊為對(duì)邊，有兩對(duì)；相鄰的兩角為鄰角，有四對(duì)；相對(duì)的角為對(duì)角，有兩對(duì)；對(duì)角線有兩條. 知識(shí)點(diǎn)二、平行四邊形的性質(zhì)定理 平行四邊形的對(duì)角相等； 平行四邊形的對(duì)邊相等； 平行四邊形的對(duì)角線互相平分； 要點(diǎn)詮釋：（1）平行四邊形的性質(zhì)定理中邊的性質(zhì)可以證明兩邊平行或兩邊相等；角的性質(zhì)可以證明兩角相等或兩角互補(bǔ)；對(duì)角線的性質(zhì)可以證明線段的相等關(guān)系或倍半關(guān)系. （2）由于平行四邊形的性質(zhì)內(nèi)容較多，在使用時(shí)根據(jù)需要進(jìn)行選擇. （3）利用對(duì)角線互相平分可解決對(duì)角線或邊的取值范圍的問題，在解答時(shí)應(yīng)聯(lián)系三角形三邊的不等關(guān)系來解決. 知識(shí)點(diǎn)三、平行線的性質(zhì)定理 1.兩條平行線

3、間的距離： （1）定義：兩條平行線中，一條直線上的任意一點(diǎn)到另一條直線的距離，叫做這兩條平行線間的距離.注：距離是指垂線段的長度，是正值. 2．平行線性質(zhì)定理及其推論 夾在兩條平行線間的平行線段相等. 平行線性質(zhì)定理的推論： 夾在兩條平行線間的垂線段相等. 【典型例題】 類型一、平行四邊形的性質(zhì) 1、如圖，平行四邊形ABCD的周長為60，對(duì)角線交于O，△AOB的周長比△BOC的周長大8，求AB，BC的長． 　　　　　 【答案與解析】 解： ∵四邊形ABCD是平行四邊形． 　　　∴ AB＝CD，AD＝BC，AO＝CO， 　　　∵ □ABCD的周長是60．

4、　　　∴2AB＋2BC＝60，即AB＋BC＝30，① 　　　又∵△ AOB的周長比△BOC的周長大8． 　　　即（AO＋OB＋AB）－（BO＋OC＋BC）＝AB－BC＝8， ② 　　　由①②有 　　　解得 　　　∴AB，BC的長分別是19和11． 【總結(jié)升華】根據(jù)平行四邊形對(duì)角線互相平分，利用方程的思想解題. 【變式】如圖：在平行四邊形ABCD中，CE是∠DCB的平分線，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，AB＝6，BC＝4.求AE：EF：FB的值. 　　　　　 【答案】 解：∵ ABCD是平行四邊形，所以AB∥CD，∠ECD＝∠CEB ∵CE為∠DCB的角平分線，∴∠ECD＝∠ECB

5、，∴∠ECB＝∠CEB， ∴BC＝BE∵BC＝4，所以BE＝4∵AB＝6，F(xiàn)為AB的中點(diǎn)，所以BF＝3 ∴EF＝BE－BF＝1，AE＝AB－BE＝2 ∴AE：EF：FB＝2：1：3. 2、平行四邊形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，且AD≠CD，過點(diǎn)O作OM⊥AC，交AD于點(diǎn)M，如果△CDM的周長是40cm，求平行四邊形ABCD的周長． 【思路點(diǎn)撥】由四邊形ABCD是平行四邊形，即可得AB=CD，AD=BC，OA=OC，又由OM⊥AC，根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)，即可得AM=CM，又由△CDM的周長是40cm，即可求得平行四邊形ABCD的周長． 【答案與解析】 解：∵四邊形ABCD是平行四

6、邊形， ∴AB=CD，AD=BC，OA=OC，∵OM⊥AC，∴AM=CM，∵△CDM的周長是40， 即：DM+CM+CD=DM+AM+CD=AD+CD=40， ∴平行四邊形ABCD的周長為：2（AD+CD）=2×40=80（cm）． ∴平行四邊形ABCD的周長為80cm． 【總結(jié)升華】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)與線段垂直平分線的性質(zhì)．解題的關(guān)鍵是注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 【變式】將一張透明的平行四邊形膠片沿對(duì)角線剪開，得到圖①中的兩張三角形膠片△ABC和△DEF，將這兩張三角形膠片的頂點(diǎn)B與頂點(diǎn)E重合，把△DEF繞點(diǎn)B順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，這時(shí)AC與DF相交于點(diǎn)O． （1）當(dāng)△DEF旋

7、轉(zhuǎn)至如圖②位置，點(diǎn)B（E），C，D在同一直線上時(shí)，AF與CD的數(shù)量關(guān)系是 AF=CD________； （2）當(dāng)△DEF繼續(xù)旋轉(zhuǎn)至如圖③位置時(shí)，（1）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說明理由． 【答案】 解：（1）AF=CD， 理由是：∵在△ABC和△DEF中 ∴△ABC≌△DEF（SAS），∴BF=EC，∵AB=DE，∴AF=CD，故答案為：AF=CD． （2）成立， 理由是：∵△ABC≌△DEF，∴AB=DE，BC=EF，∠ABC=∠DEF， ∴∠ABC-∠FBC=∠DEF-∠FBC，∴∠ABF=∠DEC，∵在△ABF和△DEC中 ∴△ABF≌△DEC（SA

8、S），∴AF=CD． 3、如圖，在平行四邊形ABCD中，∠ABC、∠BCD的平分線相交于點(diǎn)O，BO延長線交CD延長線于點(diǎn)E，求證：OB=OE． 【思路點(diǎn)撥】在平行四邊形ABCD中，∵AB∥DC，∴∠ABE=∠CEB，又∵BE平分∠ABC，∴∠ABE=∠CBE，用等量代換可得∠CBE=∠CEB，所以△BCE是等腰三角形，又因?yàn)镃O平分∠BCE，因?yàn)榈妊切稳€合一，所以O(shè)B=OE． 【答案與解析】證明：∵AB∥DC， ∴∠ABE=∠CEB，又∵BE平分∠ABC， ∴∠ABE=∠CBE，∴∠CBE=∠CEB， ∴CB=CE，∴△BCE是等腰三角形， 又∵CO平分∠BCE，∴∠B

9、CO=∠ECO， ∴OB=OE． 【總結(jié)升華】本題考查平行四邊形的性質(zhì)以及等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是知道平行四邊形對(duì)邊平行以及等腰三角形的三線合一． 4、如圖1，P為Rt△ABC所在平面內(nèi)任一點(diǎn)（不在直線AC上），∠ACB=90°，M為AB的中點(diǎn)． 操作：以PA、PC為鄰邊作平行四邊形PADC，連接PM并延長到點(diǎn)E，使ME=PM，連接DE． （1）請(qǐng)你猜想與線段DE有關(guān)的三個(gè)結(jié)論，并證明你的猜想； （2）若將“Rt△ABC”改為“任意△ABC”，其他條件不變，利用圖2操作，并寫出與線段DE有關(guān)的結(jié)論（直接寫答案）． 【思路點(diǎn)撥】（1）連接BE，證△PMA≌△EMB，推出PA=B

10、E，∠MPA=∠MEB，推出PA∥BE．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出PA∥DC，PA=DC，推出BE∥DC，BE=DC，得出平行四邊形CDEB即可； （2）連接BE，證△PMA≌△EMB，推出PA=BE，∠MPA=∠MEB，推出PA∥BE．根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)得出PA∥DC，PA=DC，推出BE∥DC，BE=DC，得出平行四邊形CDEB即可． 【答案與解析】 （1） DE∥BC，DE=BC，DE⊥AC， 證明：連接BE， ∵M(jìn)為AB中點(diǎn)，∴AM=MB， 在△PMA和△EMB中 ∵， ∴△PMA≌△EMB（SAS）， ∴PA=BE，∠MPA=∠MEB， ∴PA∥BE． ∵四邊形

11、PADC是平行四邊形， ∴PA∥DC，PA=DC， ∴BE∥DC，BE=DC， ∴四邊形DEBC是平行四邊形，∴DE∥BC，DE=BC． ∵∠ACB=90°，∴BC⊥AC，∴DE⊥AC． （2）解：DE∥BC，DE=BC． 【總結(jié)升華】本題考查了平行四邊形性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定，平行線的性質(zhì)和判定的綜合運(yùn)用． 【變式】已知：如圖，在平行四邊形ABCD中，DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，∠DAB的平分線交DE于點(diǎn)M，交DF于點(diǎn)N，交DC于點(diǎn)P． （1）求證：∠ADE=∠CDF； （2）如果∠B=120°，求證：△DMN是等邊三角形． 【答案】 證明：（1）∵

12、四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠DAB=∠C，DC∥AB，∵DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F， ∴∠ADE=90°-∠DAB，∠CDF=90°-∠C，∴∠ADE=∠CDF． （2）證明：∵∠DAB的平分線交DE于點(diǎn)M，交DF于點(diǎn)N，交DC于點(diǎn)P， ∴∠DAP=∠BAP，∵DC∥AB，∴∠DPA=∠BAP，∴∠DAP=∠DPA， ∴DA=DP，∵∠ADE=∠CDF，∠DAP=∠DPA，DA=DP， ∴△DAM≌△DPN，∴DM=DN， ∵∠B=120°，∴∠MDN=360°-∠DEB-∠EFB-∠B=360°-90°-90°-120°=60°， ∴△DMN是等邊三角形． 類

13、型二、平行線性質(zhì)定理及其推論 5、如圖1，已知直線m∥n，點(diǎn)A、B在直線n上，點(diǎn)C、P在直線m上； （1）寫出圖1中面積相等的各對(duì)三角形：△CAB與△PAB、△BCP與△APC、△ACO與△BOP__________________； （2）如圖①，A、B、C為三個(gè)頂點(diǎn)，點(diǎn)P在直線m上移動(dòng)到任一位置時(shí)，總有__________△PAB與△ABC的面積相等； （3）如圖②，一個(gè)五邊形ABCDE，你能否過點(diǎn)E作一條直線交BC（或延長線）于點(diǎn)M，使四邊形ABME的面積等于五邊形ABCDE的面積． 【思路點(diǎn)撥】（1）找出圖①中同底等高的三角形，這些三角形的面積相等； （2）因?yàn)閮善叫芯€

14、間的距離是相等的，所以點(diǎn)C、P到直線n間的距離相等，也就是說△ABC與△PAB的公共邊AB上的高相等，所以總有△PAB與△ABC的面積相等； （3）只要作一個(gè)三角形CEM與三角形CED的面積相等即可． 【答案與解析】 解：（1）∵m∥n， ∴點(diǎn)C、P到直線n間的距離與點(diǎn)A、B到直線m間的距離相等； 又∵同底等高的三角形的面積相等， ∴圖①中符合條件的三角形有：△CAB與△PAB、△BCP與△APC，△ACO與△BOP； （2）∵m∥n， ∴點(diǎn)C、P到直線n間的距離是相等的， ∴△ABC與△PAB的公共邊AB上的高相等， ∴總有△PAB與△ABC的面積相等； （3）連接

15、EC，過點(diǎn)D作直線DM∥EC交BC延長線于點(diǎn)M，連接EM，線段EM所在的直線即為所求的直線． 【總結(jié)升華】本題主要考查了三角形的面積及平行線的性質(zhì)，利用平行線間的距離相等得到同底等高的三角形是解題的關(guān)鍵． 【鞏固練習(xí)】 一.選擇題 1．平行四邊形一邊長12，那么它的兩條對(duì)角線的長度可能是( )． A.8和16 B.10和16 C.8和14 D.8和12 2．以不共線的三點(diǎn)A、B、C為頂點(diǎn)的平行四邊形共有( )個(gè)． A.1 B.2 C.3 D.無數(shù) 3．平行四邊形兩鄰邊分別為24和16，若兩長邊間的距離為8，則兩短邊間的距離為( )． A.5 B.6

16、 C.8 D.12 4. 國家級(jí)歷史文化名城--金華，風(fēng)光秀麗，花木蔥蘢．某廣場上一個(gè)形狀是平行四邊形的花壇（如圖），分別種有紅、黃、藍(lán)、綠、橙、紫6種顏色的花．如果有AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD，那么下列說法中錯(cuò)誤的是（　?。? A．紅花，綠花種植面積一定相等 B．紫花，橙花種植面積一定相等 C．紅花，藍(lán)花種植面積一定相等 D．藍(lán)花，黃花種植面積一定相等 5. 如圖，O為平行四邊形ABCD對(duì)角線AC、BD的交點(diǎn)，EF經(jīng)過點(diǎn)O，且與邊AD、BC分別交于點(diǎn)E、F，若BF=DE，則圖中的全等三角形最多有（　　） A．8對(duì) B．6對(duì) C．5對(duì)

17、D．4對(duì) 6．在平行四邊形ABCD中，點(diǎn)A1，A2，A3，A4和C1，C2，C3，C4分別AB和CD的五等分點(diǎn)，點(diǎn)B1，B2和D1，D2分別是BC和DA的三等分點(diǎn)，已知四邊形A4B2C4D2的面積為1，則平行四邊形ABCD面積為（　?。? A 2 B C D 15 二.填空題 7. 如圖, E、F分別是ABCD 的兩邊AB、CD的中點(diǎn), AF交DE于P, BF交CE于Q,則PQ與AB的關(guān)系是 . 8. 如圖，在ABCD中，E是BA延長線上一點(diǎn)，AB＝AE，連結(jié)EC交AD于點(diǎn)F，若CF平分∠BCD，AB＝3，

18、則BC的長為 ． 9. 在ABCD中, ∠A的平分線分BC成4和3的兩條線段, 則ABCD的周長為_______________. 10.如圖，在ABCD中，AB＝3，AD＝4，∠ABC＝60°，過BC的中點(diǎn)E作EF⊥AB，垂足為點(diǎn)F，與DC的延長線相交于點(diǎn)H，則△DEF的面積是__________. 11. 如圖，在周長為20的ABCD中，AB≠AD，AC、BD 相交于點(diǎn)O，OE⊥BD交AD于E，則△ABE的周長為________. 12．如圖，在ABCD中，AB＝6，AD＝9，∠BAD的平分線交BC于點(diǎn)E，交DC的延長線于點(diǎn)F，BG⊥AE，垂足為

19、G，AF＝5，，則△CEF的周長為______． 三.解答題 13. 如圖，P是平行四邊形ABCD內(nèi)部一點(diǎn)，PA，PB，PC，PD將平行四邊形ABCD分成4個(gè)三角形，它們的面積分別為a，ar，ar2，ar3（a＞0，r＞0），試確定點(diǎn)P的位置，并說明理由． 14. 如圖，過平行四邊形ABCD內(nèi)任一點(diǎn)P作各邊的平行線分別交AB、BC、CD、DA于E、F、G、H． 求證：S平行四邊形ABCD-S平行四邊形AEPH=2S△AFG． 15. 如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，△A′BD與△ABD關(guān)于BD所在的直線對(duì)稱，A′B與DC相交于點(diǎn)E，連接AA′． （1）

20、請(qǐng)直接寫出圖中所有的等腰三角形（不另加字母）； （2）求證：A′E=CE．【答案與解析】 一.選擇題 1．【答案】B； 【解析】設(shè)對(duì)角線長為，需滿足，只有B選項(xiàng)符合題意. 2．【答案】C； 【解析】分別以AB，BC，AC為對(duì)角線作平行四邊形. 3．【答案】D； 【解析】過C點(diǎn)作CF垂直于BD的延長線，CF就是兩短邊間的距離，如圖所示，∠C＝30°，CF＝. 4.【答案】C； 【解析】∵AB∥EF∥DC，BC∥GH∥AD ∴GH、BD、EF把一個(gè)平行四邊形分割成四個(gè)小平行四邊形， ∴一條對(duì)角線可以把一個(gè)平行四變形的面積一分為二， 據(jù)此可從圖中獲得S黃=

21、S藍(lán)，S綠=S紅，S（紫+黃+綠）=S（橙+紅+藍(lán)）， 根據(jù)等量相減原理知S紫=S橙， ∴A、B、D說法正確， 再考查S紅與S藍(lán)顯然不相等．故選C．． 5.【答案】B； 【解析】共6對(duì)，有△ABD≌△CDB，△ABC≌△CDA，△AOD≌△COB，△AOB≌△COD，△AOE≌△COF，△DOE≌△BOF， 理由是：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD=BC，AB=CD， ∵在△ABC和△CDA中 ， ∴△ABC≌△CDA， 同理△ABD≌△CDB， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴OA=OC，OB=OD， ∵在△AOD和△COB中 ， ∴△AO

22、D≌△COB， 同理，△AOB≌△COD， ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC， ∴∠AEO=∠CFO， ∵在△AOE和△COF中 ， ∴△AOE≌△COF， 同理，△DOE≌△BOF，故選B． 6.【答案】C； 【解析】設(shè)平行四邊形ABCD的面積是S，設(shè)AB=5a，BC=3b．AB邊上的高是3x，BC邊上的高是5y． 則S=5a?3x=3b?5y．即ax=by=． △AA4D2與△B2CC4全等，B2C=BC=b，B2C邊上的高是?5y=4y． 則△AA4D2和△B2CC4的面積是2by=． 同理△D2C4D與△A4BB2的面積是． 則四邊形A4B

23、2C4D2的面積是S--，即=1， 解得S=．故選C． 二.填空題 7.【答案】PQ∥AB，PQ＝AB； 【解析】P，Q分別是AF，BF的中點(diǎn). 8.【答案】6； 【解析】易證△AEF≌△DCF，所以AF＝DF，由CF平分∠BCD，AD∥BC可證AB＝DC＝DF＝3，所以BC＝AD＝6. 9.【答案】20或22； 【解析】由題意，AB可能是4，也可能是3，故周長為20或22. 10.【答案】； 【解析】由題意，平行四邊形的高為， . 11.【答案】10； 【解析】因?yàn)锽O＝DO，OE⊥BD，所以BE＝DE，△ABE的周長為AB＋AE＋DE＝. 12．【答案】7；

24、 【解析】可證△ABE與△CEF均為等腰三角形，AB＝BE＝6，CE＝CF＝9－6＝3，由勾股定理算得AG＝EG＝2，所以EF＝AF－AE＝5－4＝1，△CEF的周長為7. 二.解答題 13.【解析】 解：由題意可知S△APD+S△BPC=S△APB+S△DPC=SABCD． 因?yàn)閞＞0，下面分三種情況討論． （1）若a+ar=ar2+ar3，得r=1， 此時(shí)，S△APD=S△BPC=S△APB=S△DPC．則點(diǎn)P必為AC與BD之交點(diǎn)； （2）若a+ar2=ar+ar3，也可得r=1， 此時(shí)，S△APD+S△BPC=S△APB+S△DPC．則點(diǎn)P必為AC與BD之交點(diǎn)； （3

25、）若a+ar3=ar+ar2，由此可得：a（1+r）（1-r）2=0， 因?yàn)閍＞0，r＞0，所以r=1，結(jié)論仍舊同（1）． 綜上所述，點(diǎn)P必為對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)． 14.【解析】 證明：S△AFG=S平行四邊形-（S△AGD+S△GFC+S△ABF）， =S平行四邊形-（S平行四邊形AEPH+S平行四邊形HPGD+S平行四邊形FPGC+S平行四邊形BEPF+S平行四邊形AEPH）， =S平行四邊形ABCD?(2S平行四邊形AEPH+S平行四邊形HPGD+S平行四邊形FPGC+S平行四邊形BEPF)， =S平行四邊形ABCD?(S平行四邊形AEPH+S平行四邊形ABCD)， =（S平行四邊形ABCD-S平行四邊形AEPH）， ∴S平行四邊形ABCD-S平行四邊形AEPH=2S△AFG． 15.【解析】 （1）解：等腰三角形有△DA′A，△A′BA，△EDB． （2）證明：∵平行四邊形ABCD， ∴∠C=∠DAB，AD=BC， ∵A′BD與△ABD關(guān)于BD所在的直線對(duì)稱， ∴△A′DB≌△ADB， ∴AD=A′D，∠DA′B=∠DAB， ∴A′D=BC，∠C=∠DA′B， 在△A′DE和△CEB中 ， ∴△A′DE≌△CEB， ∴A′E=CE． 第11頁 共11頁