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【2006高考試題】 一、選擇題（共29題） 1．（安徽卷）若拋物線的焦點與橢圓的右焦點重合，則的值為 A． B． C． D． 2．（福建卷）已知雙曲線(a>0,b<0)的右焦點為F，若過點F且傾斜角為60°的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是 A.( 1,2) B. (1,2) C.[2,+∞] D.(2,+∞) 3．（福建卷）已知雙曲線的右焦點為F，若過點F的直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，則此雙曲線離心率的取值范圍是 A.(,) B. (-,) C.[ ,] D. [-,] 解析：雙曲線的漸近線與過右焦點的直線平行，或從該位置繞焦點旋轉(zhuǎn)時，直線與雙曲線的右支有且只有一個交點，∴≥k，又k≥，選C 4.（廣東卷）已知雙曲線，則雙曲線右支上的點到右焦點的距離與點到右準線的距離之比等于 A. B. C. 2 D. 4 解析：依題意可知 ，，故選C. 5．（湖北卷）設(shè)過點的直線分別與軸的正半軸和軸的正半軸交于兩點，點與點關(guān)于軸對稱，為坐標原點，若且，則點的軌跡方程是 A． B． C． D． 6．（湖南卷）過雙曲線M:的左頂點A作斜率為1的直線,若與雙曲線M的兩條漸近線分別相交于B、C,且|AB|=|BC|,則雙曲線M的離心率是 ( ) A. B. C. D. 7．（江蘇卷）已知兩點M（－2，0）、N（2，0），點P為坐標平面內(nèi)的動點，滿足?。?，則動點P（x，y）的軌跡方程為 （A）　　?。˙）　　　（C）　　?。―） 【思路點撥】本題主要考查平面向量的數(shù)量積運算，拋物線的定義. 8．（江西卷）設(shè)O為坐標原點，F(xiàn)為拋物線y2＝4x的焦點，A是拋物線上一點，若＝－4，則點A的坐標是（ ） A．（2，±2） B. (1，±2) C.（1，2） D.(2，2) 解：F（1，0）設(shè)A（，y0）則＝（ ，y0），＝（1－，－y0），由 · ＝－4Ty0＝±2，故選B 9．（江西卷）P是雙曲線的右支上一點，M、N分別是圓（x＋5）2＋y2＝4和（x－5）2＋y2＝1上的點，則|PM|－|PN|的最大值為（ ） A. 6 B.7 C.8 D.9 10．（遼寧卷）雙曲線的兩條漸近線與直線圍成一個三角形區(qū)域,表示該區(qū)域的不等式組是 (A) (B) (C) (D) 【解析】雙曲線的兩條漸近線方程為，與直線圍成一個三角形區(qū)域時有。 11．（遼寧卷）曲線與曲線的 (A)焦距相等 (B) 離心率相等 (C)焦點相同 (D)準線相同 12．（遼寧卷）直線與曲線 的公共點的個數(shù)為 (A)1 (B)2 (C)3 (D)4 【解析】將代入得： ，顯然該關(guān)于的方程有兩正解，即x有四解，所以交點有4個，故選擇答案D。 【點評】本題考查了方程與曲線的關(guān)系以及絕對值的變換技巧，同時對二次方程的實根分布也進行了簡單的考查。 13．（遼寧卷）方程的兩個根可分別作為（　　） Ａ．一橢圓和一雙曲線的離心率 Ｂ．兩拋物線的離心率 Ｃ．一橢圓和一拋物線的離心率 Ｄ．兩橢圓的離心率 解：方程的兩個根分別為2，，故選A 14．（全國卷I）雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，則 A． B． C． D． 解：雙曲線的虛軸長是實軸長的2倍，∴ m<0，且雙曲線方程為，∴ m=，選A. 15．（全國卷I）拋物線上的點到直線距離的最小值是 A． B． C． D． 解：設(shè)拋物線上一點為(m，－m2)，該點到直線的距離為，當m=時，取得最小值為，選A. 16．（全國II）已知△ABC的頂點B、C在橢圓＋y2＝1上，頂點A是橢圓的一個焦點，且橢圓的另外一個焦點在BC邊上，則△ABC的周長是 （A）2 （B）6 （C）4 （D）12 解析(數(shù)形結(jié)合)由橢圓的定義橢圓上一點到兩焦點的距離之和等于長軸長2a,可得的周長為4a=,所以選C 17．（全國II）已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝x，則雙曲線的離心率為 （A） (B) (C) (D) 解析:雙曲線焦點在x軸,由漸近線方程可得,故選A 19．（山東卷）在給定雙曲線中，過焦點垂直于實軸的弦長為，焦點到相應(yīng)準線的距離為，則該雙曲線的離心率為 (A) (B)2 (C) (D)2 解：不妨設(shè)雙曲線方程為（a>0，b>0），則依題意有， 據(jù)此解得e＝，選C 20．(陜西卷)已知雙曲線 － =1(a>)的兩條漸近線的夾角為,則雙曲線的離心率為 A.2 B. C. D. 解：雙曲線(a>)的兩條漸近線的夾角為，則，∴ a2=6，雙曲線的離心率為 ，選D． 21．（四川卷）已知兩定點，如果動點滿足，則點的軌跡所包圍的圖形的面積等于 （A） （B） （C） （D） 解：兩定點，如果動點滿足，設(shè)P點的坐標為(x，y)， 則，即，所以點的軌跡所包圍的圖形的面積等于4π，選B. 22．（四川卷）直線與拋物線交于兩點，過兩點向拋物線的準線作垂線，垂足分別為，則梯形的面積為 （A）48 （B）56 （C）64 （D）72 23．（天津卷）如果雙曲線的兩個焦點分別為、，一條漸近線方程為，那么它的兩條準線間的距離是（ ） A． 　　 B．　　　　　 C． 　　 D． 解析：如果雙曲線的兩個焦點分別為、，一條漸近線方程為，∴ ，解得，所以它的兩條準線間的距離是，選C. 24．（天津卷）橢圓的中心為點，它的一個焦點為，相應(yīng)于焦點的準線方程為，則這個橢圓的方程是（　?。? Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ． 解析：橢圓的中心為點它的一個焦點為∴ 半焦距，相應(yīng)于焦點F的準線方程為 ∴ ，，則這個橢圓的方程是，選D. 25．（浙江卷）若雙曲線上的點到左準線的距離是到左焦點距離的 ，則m= （A） （B） （C） （D） 解：雙曲線上的點到左準線的距離是到左焦點距離的 ，則離心率e=3，∴ ，m=，選C. 26．（浙江卷）拋物線的準線方程是 (A) (B) (C) (D) 解：2p＝8，p＝4，故準線方程為x＝－2，選A 27．(重慶卷)設(shè)是右焦點為的橢圓上三個不同的點，則“成等差數(shù)列”是“”的 （A）充要條件 （B）必要不充分條件 （C）充分不必要條件 （D）既非充分也非必要 28．（上海春）拋物線的焦點坐標為( ) （A）. （B）. （C）. （D）. 解：（直接計算法）因為p=2 ，所以拋物線y2=4x的焦點坐標為 ．應(yīng)選B． 29．（上海春）若，則“”是“方程表示雙曲線”的( ) （A）充分不必要條件. （B）必要不充分條件. （C）充要條件. （D）既不充分也不必要條件. 解：應(yīng)用直接推理和特值否定法．當k>3時，有k-3>0,k+3>0，所以方程 表示雙曲線；當方程 表示雙曲線時，k=-4 是可以的，這不在k>3里．故應(yīng)該選A． 二、填空題（共8題） 30．（江西卷）已知為雙曲線的兩個焦點，為雙曲線右支上異于頂點的任意一點，為坐標原點．下面四個命題 Ａ．的內(nèi)切圓的圓心必在直線上； Ｂ．的內(nèi)切圓的圓心必在直線上； Ｃ．的內(nèi)切圓的圓心必在直線上； Ｄ．的內(nèi)切圓必通過點． 其中真命題的代號是 （寫出所有真命題的代號）． 31．（山東卷）已知拋物線y2=4x,過點P(4,0)的直線與拋物線相交于A(x1,y1),B(x2,y2)兩點， 則y12+y22的最小值是 . 解：顯然30，又＝4（）38，當且僅當時取等號，所以所求的值為32。 32．（山東卷）已知橢圓中心在原點，一個焦點為F（－2，0），且長軸長是短軸長的2倍，則該橢圓的標準方程是 ． 解：已知為所求； 33．(上海卷)若曲線＝||＋1與直線＝＋沒有公共點， 則、分別應(yīng)滿足的條件是 ． 解：作出函數(shù)的圖象， 如右圖所示： 所以，； 34．(上海卷)已知雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標為,且焦距與虛軸長之比為，則雙曲線的標準方程是____________________. 解：雙曲線中心在原點，一個頂點的坐標為,則焦點在x軸上，且a=3，焦距與虛軸長之比為，即，解得，則雙曲線的標準方程是. 35．(上海卷)若曲線與直線沒有公共點，則的取值范圍是_________. 解：曲線得|y|>1，∴ y>1或y<－1，曲線與直線沒有公共點，則的取值范圍是[－1，1]. 36．（四川卷）如圖，把橢圓的長軸分成等份，過每個分點作軸的垂線交橢圓的上半部分于七個點，是橢圓的一個焦點，則 ; 37（浙江卷）雙曲線上的點到左焦點的距離與到左準線的距離的比是3，則m 等于 。 解析：雙曲線上的點到左焦點的距離與到左準線的距離的比是3，即離心率e=3，所以，m=. 三、解答題（共29題） O F x y P M H 38．（安徽卷）如圖，F(xiàn)為雙曲線C：的右焦點。P為雙曲線C右支上一點，且位于軸上方，M為左準線上一點，為坐標原點。已知四邊形為平行四邊形，。 （Ⅰ）寫出雙曲線C的離心率與的關(guān)系式； （Ⅱ）當時，經(jīng)過焦點F且品行于OP的直線交雙曲線于A、B點，若，求此時的雙曲線方程。 39．（北京卷）已知點，動點滿足條件.記動點的軌跡為. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）若是上的不同兩點，是坐標原點，求的最小值. 解：（1）依題意，點P的軌跡是以M，N為焦點的雙曲線的右支，所求方程為： （x>0） （1） 當直線AB的斜率不存在時，設(shè)直線AB的方程為x＝x0，此時A（x0，）， B（x0，－），＝2 當直線AB的斜率存在時，設(shè)直線AB的方程為y＝kx＋b，代入雙曲線方程中，得：（1－k2）x2－2kbx－b2－2＝0……………………1° 依題意可知方程1°有兩個不相等的正數(shù)根，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則 解得|k|>1又＝x1x2＋y1y2＝x1x2＋（kx1＋b）（kx2＋b）＝（1＋k2）x1x2＋kb（x1＋x2）＋b2＝>2 綜上可知的最小值為2 40．（北京卷）橢圓的兩個焦點F1、F2，點P在橢圓C上，且P F1⊥PF2,,| P F1|=,,| P F2|=. （I）求橢圓C的方程； （II）若直線L過圓x2+y2+4x-2y=0的圓心M交橢圓于A、B兩點，且A、B關(guān)于點M對稱，求直線L的方程。 解法二：(Ⅰ)同解法一. (Ⅱ)已知圓的方程為（x+2）2+(y－1)2=5,所以圓心M的坐標為（－2，1）. 設(shè)A，B的坐標分別為（x1,y1）,(x2,y2).由題意x1x2且 ① ② 由①－②得 ③ 因為A、B關(guān)于點M對稱，所以x1+ x2=－4, y1+ y2=2, 代入③得＝，即直線l的斜率為， 所以直線l的方程為y－1＝（x+2），即8x－9y+25=0.(經(jīng)檢驗，所求直線方程符合題意.) 41．（福建卷）已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點。 （Ⅰ）求過點O、F，并且與橢圓的左準線l相切的圓的方程； （Ⅱ）設(shè)過點F且不與坐標軸垂直交橢圓于A、B兩點，線段 AB的垂直平分線與x軸交于點G，求點G橫坐標的取值范圍. 本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考查平面解析幾何的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力。 （II）設(shè)直線AB的方程為 代入整理得 直線AB過橢圓的左焦點F，方程有兩個不等實根。 記中點 則 的垂直平分線NG的方程為 令得 點G橫坐標的取值范圍為 42．（福建卷）已知橢圓的左焦點為F，O為坐標原點。 （I）求過點O、F，并且與橢圓的左準線相切的圓的方程； （II）設(shè)過點F的直線交橢圓于A、B兩點，并且線段AB的中點在直線上，求直線AB的方程。 本小題主要考查直線、圓、橢圓和不等式等基本知識，考查平面解析幾何的基本方法，考查運算能力和綜合解題能力。 （II）設(shè)直線AB的方程為 代入整理得 直線AB過橢圓的左焦點F，方程有兩個不等實根， 記中點則 線段AB的中點N在直線上， ，或 當直線AB與軸垂直時，線段AB的中點F不在直線上。 直線AB的方程是或 43．（湖北卷）設(shè)分別為橢圓的左、右頂點，橢圓長半軸的長等于焦距，且為它的右準線。 （Ⅰ）、求橢圓的方程； （Ⅱ）、設(shè)為右準線上不同于點（4，0）的任意一點，若直線分別與橢圓相交于異于的點，證明點在以為直徑的圓內(nèi)。 點評：本小題主要考查直線、圓和橢圓等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學知識進行推理運算的能力和解決問題的能力。 將代入，化簡得·＝（2－x0）. ∵2－x0>0，∴·>0，則∠MBP為銳角，從而∠MBN為鈍角， 故點B在以MN為直徑的圓內(nèi)。 44．（湖南卷）已知橢圓C1:,拋物線C2:,且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點. (Ⅰ)當AB⊥軸時,求、的值，并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上； (Ⅱ)是否存在、的值，使拋物線C2的焦點恰在直線AB上？若存在，求出符合條件的、的值；若不存在，請說明理由. 解：（Ⅰ）當AB⊥x軸時，點A、B關(guān)于x軸對稱，所以m＝0，直線AB的方程為： x =1，從而點A的坐標為（1，）或（1，－）. 因為點A在拋物線上.所以，即.此時C2的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上. （II）解法一： 假設(shè)存在、的值使的焦點恰在直線AB上，由（I）知直線AB的斜率存在，故可設(shè)直線AB的方程為． A y B O x 由消去得…① 設(shè)A、B的坐標分別為（x1,y1）, （x2,y2）, 則x1,x2是方程①的兩根，x1＋x2＝. 　　由　消去y得. ………………② 因為C2的焦點在直線上，所以. 　或． 由上知，滿足條件的、存在，且或，． 解法二： 設(shè)A、B的坐標分別為，． 因為AB既過C1的右焦點，又過C2的焦點， 所以. 即. 　 ……① 由（Ⅰ）知，于是直線AB的斜率， ……② 且直線AB的方程是, 所以. ……③ 又因為，所以. ……④ 45．（湖南卷）已知橢圓C1：，拋物線C2：，且C1、C2的公共弦AB過橢圓C1的右焦點. （Ⅰ）當軸時，求p、m的值，并判斷拋物線C2的焦點是否在直線AB上； ?。á颍┤羟覓佄锞€C2的焦點在直線AB上，求m的值及直線AB的方程. 解?。á瘢┊擜B⊥x軸時，點A、B關(guān)于x軸對稱，所以m＝0，直線AB的方程為 x=1，從而點A的坐標為（1，）或（1，－）. 因為點A在拋物線上，所以，即. 此時C2的焦點坐標為（，0），該焦點不在直線AB上. （Ⅱ）解法一　當C2的焦點在AB時，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程為. 由消去y得. ……① 設(shè)A、B的坐標分別為（x1,y1）, （x2,y2）, 則x1,x2是方程①的兩根，x1＋x2＝. 解法二　當C2的焦點在AB時，由（Ⅰ）知直線AB的斜率存在，設(shè)直線AB的方程 為. 由消去y得. 　　　　　　　 ……① 因為C2的焦點在直線上， 所以，即.代入①有. 即. ……② 設(shè)A、B的坐標分別為（x1,y1）, （x2,y2）, 則x1,x2是方程②的兩根，x1＋x2＝. 由消去y得. 　　……③ 解法三　設(shè)A、B的坐標分別為（x1,y1）, （x2,y2）, 因為AB既過C1的右焦點，又是過C2的焦點， 所以. 即. ……① 由（Ⅰ）知，于是直線AB的斜率，　　 ……② 且直線AB的方程是, 所以. ……③ 又因為，所以. ……④ 將①、②、③代入④得，即. 當時，直線AB的方程為； 當時，直線AB的方程為. 46．（江蘇卷）已知三點P（5，2）、（－6，0）、（6，0）. （Ⅰ）求以、為焦點且過點P的橢圓的標準方程； （Ⅱ）設(shè)點P、、關(guān)于直線y＝x的對稱點分別為、、，求以、為焦點且過點的雙曲線的標準方程。 本小題主要考查橢圓與雙曲線的基本概念、標準方程、幾何性質(zhì)等基礎(chǔ)知識和基本運算能力。 O P A F B D x y 47．（江西卷）如圖，橢圓的右焦點為，過點的一動直線繞點轉(zhuǎn)動，并且交橢圓于 兩點，為線段的中點． （1）求點的軌跡的方程； （2）若在的方程中，令， ．設(shè)軌跡的最高點和最 低點分別為和．當為何值時，為一個正三角形？ 解：如圖，（1）設(shè)橢圓Q：（a>b>0） 上的點A（x1，y1）、B（x2，y2），又設(shè)P點坐標為P（x，y），則 1°當AB不垂直x軸時，x11x2， 由（1）－（2）得b2（x1－x2）2x＋a2（y1－y2）2y＝0 \b2x2＋a2y2－b2cx＝0…………（3） 2°當AB垂直于x軸時，點P即為點F，滿足方程（3） 故所求點P的軌跡方程為：b2x2＋a2y2－b2cx＝0 48．（遼寧卷）已知點,是拋物線上的兩個動點,是坐標原點,向量,滿足.設(shè)圓的方程為 (I) 證明線段是圓的直徑; (II)當圓C的圓心到直線X-2Y=0的距離的最小值為時，求P的值。 【解析】(I)證明1: 整理得: 設(shè)M(x,y)是以線段AB為直徑的圓上的任意一點,則 即 整理得: 故線段是圓的直徑 證明3: 整理得: ……(1) 以線段AB為直徑的圓的方程為 展開并將(1)代入得: 故線段是圓的直徑 (II)解法1:設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則 又因 所以圓心的軌跡方程為 設(shè)圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則 當y=p時,d有最小值,由題設(shè)得 . 設(shè)直線x-2y+m=0到直線x-2y=0的距離為,則 因為x-2y+2=0與無公共點,所以當x-2y-2=0與僅有一個公共點時,該點到直線x-2y=0的距離最小值為 將(2)代入(3)得 解法3: 設(shè)圓C的圓心為C(x,y),則 圓心C到直線x-2y=0的距離為d,則 又因 49．（遼寧卷）已知點是拋物線上的兩個動點，是坐標原點，向量滿足，設(shè)圓的方程為． （1）證明線段是圓的直徑； （2）當圓的圓心到直線的距離的最小值為時，求的值． 解析：本小題主要考查平面向量的基本運算，圓與拋物線的方程，點到直線的距離等基礎(chǔ)知識，以及綜合運用解析幾何知識解決問題的能力。 （I）證法一： 即 整理得......................12分 設(shè)點M（x,y）是以線段AB為直徑的圓上的任意一點，則 即 展開上式并將①代入得 故線段是圓的直徑。 證法二： 即， 整理得①……3分 若點在以線段為直徑的圓上，則 去分母得 點滿足上方程，展開并將①代入得 所以線段是圓的直徑. （Ⅱ）解法一：設(shè)圓的圓心為，則 ， 又 所以圓心的軌跡方程為： 設(shè)圓心到直線的距離為，則 當時，有最小值，由題設(shè)得\……14分 因為與無公共點. 所以當與僅有一個公共點時，該點到的距離最小，最小值為 將②代入③，有…………14分 解法三：設(shè)圓的圓心為，則 若圓心到直線的距離為，那么 又 當時，有最小值時，由題設(shè)得 50．（全國卷I）在平面直角坐標系中，有一個以和為焦點、離心率為的橢圓，設(shè)橢圓在第一象限的部分為曲線C，動點P在C上，C在點P處的切線與軸的交點分別為A、B，且向量。求： （Ⅰ）點M的軌跡方程； （Ⅱ）的最小值。 51．（全國卷I）設(shè)P是橢圓短軸的一個端點，為橢圓上的一個動點，求的最大值。 解: 依題意可設(shè)P(0,1),Q(x,y),則 |PQ|=,又因為Q在橢圓上, 所以,x2=a2(1－y2) , |PQ|2= a2(1－y2)+y2－2y+1=(1－a2)y2－2y+1+a2 =(1－a2)(y－ )2－+1+a2 . 因為|y|≤1,a>1, 若a≥, 則||≤1, 當y=時, |PQ|取最大值; 若10) （2）直線ME的方程為 由得 同理可得 設(shè)重心G（x, y），則有 O A B P F 　 消去參數(shù)得 2．（江西卷）如圖，設(shè)拋物線的焦點為F，動點P在直線上運動，過P作拋物線C的兩條切線PA、PB，且與拋物線C分別相切于A、B兩點. （1）求△APB的重心G的軌跡方程. （2）證明∠PFA=∠PFB. 解：（1）設(shè)切點A、B坐標分別為， ∴切線AP的方程為： 切線BP的方程為： 解得P點的坐標為： 所以△APB的重心G的坐標為 ， 所以，由點P在直線l上運動，從而得到重心G的軌跡方程為： 方法2：①當所以P點坐標為，則P點到直線AF的距離為： 即 所以P點到直線BF的距離為： 所以d1=d2，即得∠AFP=∠PFB. ②當時，直線AF的方程： 直線BF的方程： 所以P點到直線AF的距離為： 同理可得到P點到直線BF的距離，因此由d1=d2，可得到∠AFP=∠PFB. 3. (重慶卷) 已知中心在原點的雙曲線C的右焦點為(2,0)，右頂點為。 (1) 求雙曲線C的方程； (2) 若直線l：與雙曲線C恒有兩個不同的交點A和B，且(其中O為原點)，求k的取值范圍。 而 于是 ② 由①、②得 故k的取值范圍為 4. (重慶卷) 已知橢圓C1的方程為，雙曲線C2的左、右焦點分別為C1的左、右頂點，而C2的左、右頂點分別是C1的左、右焦點。 (1) 求雙曲線C2的方程； (2) 若直線l：與橢圓C1及雙曲線C2恒有兩個不同的交點，且l與C2的兩個交點A和B滿足(其中O為原點)，求k的取值范圍。 解此不等式得 ③ 由①、②、③得 故k的取值范圍為 5. (浙江) 17．如圖，已知橢圓的中心在坐標原點，焦點F1，F(xiàn)2在x軸上，長軸A1A2的長為4，左準線l與x軸的交點為M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1． (Ⅰ)求橢圓的方程； (Ⅱ)若直線l1：x＝m(|m|＞1)，P為l1上的動點，使∠F1PF2最大的點P記為Q，求點Q的坐標(用m表示)． （II）設(shè)P( 當時， 當時, 只需求的最大值即可。 直線的斜率，直線的斜率 當且僅當=時，最大， 6. （天津卷）拋物線C的方程為，過拋物線C上一點P(x0,y0)(x 0≠0)作斜率為k1,k2的兩條直線分別交拋物線C于A(x1,y1)B(x2,y2)兩點(P,A,B三點互不相同)，且滿足. （Ⅰ）求拋物線C的焦點坐標和準線方程； （Ⅱ）設(shè)直線AB上一點M，滿足，證明線段PM的中點在y軸上； （Ⅲ）當=1時，若點P的坐標為（1，-1），求∠PAB為鈍角時點A的縱坐標的取值范圍. 設(shè)點的坐標為，由，則． 將③式和⑥式代入上式得，即． ∴線段的中點在軸上． （Ⅲ）因為點在拋物線上，所以，拋物線方程為． 由③式知，代入得． 將代入⑥式得，代入得． 因此，直線、分別與拋物線的交點、的坐標為 ，． 于是，， ． 因為鈍角且、、三點互不相同，故必有． 求得的取值范圍是或．又點的縱坐標滿足，故當時，；當時，．即 7. （上海）本題共有3個小題,第1小題滿分4分, 第2小題滿分6分, 第3小題滿分6分. 已知拋物線y2=2px(p>0)的焦點為F,A是拋物線上橫坐標為4、且位于x軸上方的點,A到拋物線準線的距離等于5,過A作AB垂直于y軸,垂足為B,OB的中點為M. (1)求拋物線方程; (2)過M作MN⊥FA, 垂足為N,求點N的坐標; (3)以M為圓心,MB為半徑作圓M.當K(m,0)是x軸上一動點時,丫討論直線AK與圓M的位置關(guān)系. 由題意得, ,圓M.的圓心是點(0,2), 半徑為2, 當m=4時, 直線AK的方程為x=4,此時,直線AK與圓M相離. 當m≠4時, 直線AK的方程為y=(x-m),即為4x-(4-m)y-4m=0, 圓心M(0,2)到直線AK的距離d=,令d>2,解得m>1 ∴當m>1時, AK與圓M相離; 當m=1時, AK與圓M相切; 當m<1時, AK與圓M相交. 8. （上海）點A、B分別是橢圓長軸的左、右端點，點F是橢圓的右焦點，點P在橢圓上，且位于軸上方，。 （1）求點P的坐標； （2）設(shè)M是橢圓長軸AB上的一點，M到直線AP的距離等于，求橢圓上的點到點M的距離的最小值。 (2) 直線AP的方程是－+6=0. 設(shè)點M(,0),則M到直線AP的距離是. 于是=,又－6≤≤6,解得=2. 橢圓上的點(,)到點M的距離有 , 由于－6≤≤6, ∴當=時,d取得最小值 9. （山東卷）已知動圓過定點，且與直線相切，其中. （I）求動圓圓心的軌跡的方程； （II）設(shè)A、B是軌跡上異于原點的兩個不同點，直線和的傾斜角分別為和，當變化且為定值時，證明直線恒過定點，并求出該定點的坐標. （1）當時，即時，所以，所以由①知：所以因此直線的方程可表示為，即所以直線恒過定點 （2）當時，由，得== 將①式代入上式整理化簡可得：，所以， 此時，直線的方程可表示為即 所以直線恒過定點 所以由（1）（2）知，當時，直線恒過定點，當時直線恒過定點. 10. (全國卷Ⅰ)）已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與共線。 （Ⅰ）求橢圓的離心率； （Ⅱ）設(shè)M為橢圓上任意一點，且，證明為定值。 （II）證明：（1）知，所以橢圓可化為 設(shè)，由已知得 11. (全國卷Ⅰ) 已知橢圓的中心為坐標原點O，焦點在軸上，斜率為1且過橢圓右焦點F的直線交橢圓于A、B兩點，與共線. （1）求橢圓的離心率； （2）設(shè)M為橢圓上任意一點，且，證明為定值. 解：設(shè)橢圓方程為 則直線AB的方程為 化簡得. 令則 共線，得 又 ∴ ∴即，∴ ∴ 故離心率為 Q P N M F O 12. (全國卷II)、、、四點都在橢圓上，為橢圓在軸正半軸上的焦點．已知與共線，與共線，且．求四邊形的面積的最小值和最大值． 解：如圖，由條件知MN和PQ是橢圓的兩條弦，相交于焦點F(0,1)，且PQ⊥MN，直線PQ、NM中至少有一條存在斜率，不妨設(shè)PQ的斜率為K，又PQ過點F(0,1)，故PQ的方程為=+1 將此式代入橢圓方程得(2+)+2－1=0 設(shè)P、Q兩點的坐標分別為(，)，(，)，則 從而 亦即 ②當=0時，MN為橢圓長軸，|MN|=2，|PQ|=?！郤=|PQ||MN|=2 綜合①②知四邊形PMQN的最大值為2，最小值為。 13．(全國卷III) 設(shè)兩點在拋物線上，是AB的垂直平分線， （Ⅰ）當且僅當取何值時，直線經(jīng)過拋物線的焦點F？證明你的結(jié)論； （Ⅱ）當時，求直線的方程. 解：（Ⅰ）∵拋物線，即， ∴焦點為………………………………………………………1分 （1）直線的斜率不存在時，顯然有………………………………3分 （2）直線的斜率存在時，設(shè)為k，截距為b 即直線：y=kx+b 由已知得： ……………5分 ……………7分 即的斜率存在時，不可能經(jīng)過焦點……………………………………8分 所以當且僅當=0時，直線經(jīng)過拋物線的焦點F…………………………9分 14、(全國卷III) 設(shè)，兩點在拋物線上，是的垂直平分線。 （Ⅰ）當且僅當取何值時，直線經(jīng)過拋物線的焦點？證明你的結(jié)論； （Ⅱ）當直線的斜率為2時，求在軸上截距的取值范圍。 21．解：（Ⅰ）兩點到拋物線的準線的距離相等， ∵拋物線的準線是軸的平行線，，依題意不同時為0 ∴上述條件等價于 ∵ ∴上述條件等價于 即當且僅當時，經(jīng)過拋物線的焦點。 15.（遼寧卷）已知橢圓的左、右焦點分別是F1（－c，0）、F2（c，0），Q是橢圓外的動點，滿足點P是線段F1Q與該橢圓的交點，點T在線段F2Q上，并且滿足 （Ⅰ）設(shè)為點P的橫坐標，證明； （Ⅱ）求點T的軌跡C的方程； （Ⅲ）試問：在點T的軌跡C上，是否存在點M， 使△F1MF2的面積S=若存在，求∠F1MF2 的正切值；若不存在，請說明理由. （Ⅰ）證法一：設(shè)點P的坐標為 由P在橢圓上，得 由，所以 ………………………3分 證法二：設(shè)點P的坐標為記 則 由 解法二：設(shè)點T的坐標為 當時，點（，0）和點（－，0）在軌跡上. 當|時，由，得. 又，所以T為線段F2Q的中點. 設(shè)點Q的坐標為（），則 因此 ① 由得 ② 將①代入②，可得 綜上所述，點T的軌跡C的方程是……………………7分 解法二：C上存在點M（）使S=的充要條件是 ③ ④ 由④得 上式代入③得 于是，當時，存在點M，使S=； 當時，不存在滿足條件的點M.………………………11分 當時，記， 由知，所以…………14分 16．（湖南卷）已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦點為F1、F2，離心率為e. 直線l：y＝ex＋a與x軸．y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F1關(guān)于直線l的對稱點，設(shè)＝λ. （Ⅰ）證明：λ＝1－e2； （Ⅱ）若，△PF1F2的周長為6；寫出橢圓C的方程； （Ⅲ）確定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形. 證法二：因為A、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是設(shè)M的坐標是 所以 因為點M在橢圓上，所以 即 解得 （Ⅱ）當時，，所以 由△MF1F2的周長為6，得 所以 橢圓方程為 （Ⅲ）解法一：因為PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 設(shè)點F1到l的距離為d，由 得 所以 即當△PF1F2為等腰三角形. 17．（湖南卷）已知橢圓C：＋＝1（a＞b＞0）的左．右焦點為F1、F2，離心率為e. 直線l：y＝ex＋a與x軸．y軸分別交于點A、B，M是直線l與橢圓C的一個公共點，P是點F1關(guān)于直線l的對稱點，設(shè)＝λ. （Ⅰ）證明：λ＝1－e2； （Ⅱ）確定λ的值，使得△PF1F2是等腰三角形. （Ⅰ）證法一：因為A、B分別是直線l：與x軸、y軸的交點，所以A、B的坐標分別是. 所以點M的坐標是（）. 由 即 （Ⅱ）解法一：因為PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|，即 設(shè)點F1到l的距離為d，由 得 所以 即當△PF1F2為等腰三角形. 解法二：因為PF1⊥l，所以∠PF1F2=90°+∠BAF1為鈍角，要使△PF1F2為等腰三角形，必有|PF1|=|F1F2|， 設(shè)點P的坐標是， 則 由|PF1|=|F1F2|得 兩邊同時除以4a2，化簡得 從而 于是. 即當時，△PF1F2為等腰三角形. 18.．（湖北卷）設(shè)A、B是橢圓上的兩點，點N（1，3）是線段AB的中點，線段AB的垂直平分線與橢圓相交于C、D兩點. （Ⅰ）確定的取值范圍，并求直線AB的方程； （Ⅱ）試判斷是否存在這樣的，使得A、B、C、D四點在同一個圓上？并說明理由. 解法2：設(shè) 依題意， （II）解法1：代入橢圓方程，整理得 ③ ③的兩根， 于是由弦長公式可得 ④ 故當時，A、B、C、D四點均在以M為圓心，為半徑的圓上. （注：上述解法中最后一步可按如下解法獲得： A、B、C、D共圓△ACD為直角三角形，A為直角 ⑧ 由⑥式知，⑧式左邊= 由④和⑦知，⑧式右邊= ∴⑧式成立，即A、B、C、D四點共圓 19. （福建卷）已知方向向量為的直線l過點（）和橢圓的焦點，且橢圓C的中心關(guān)于直線l的對稱點在橢圓C的右準線上. （Ⅰ）求橢圓C的方程； （Ⅱ）是否存在過點E（－2，0）的直線m交橢圓C于點M、N，滿足cot ∠MON≠0（O為原點）.若存在，求直線m的方程；若不存在，請說明理由. （I）解法一：直線， ① 過原點垂直的直線方程為， ② 解①②得 ∵橢圓中心（0，0）關(guān)于直線的對稱點在橢圓C的右準線上， ∵直線過橢圓焦點，∴該焦點坐標為（2，0）. 故橢圓C的方程為 ③ （II）解法一：設(shè)M（），N（）. 當直線m不垂直軸時，直線代入③，整理得 點O到直線MN的距離 即 即 整理得 當直線m垂直x軸時，也滿足. 故直線m的方程為 或或 經(jīng)檢驗上述直線均滿足. 所以所求直線方程為 或或 解法二：設(shè)M（），N（）. 當直線m不垂直軸時，直線代入③，整理得 ∵E（－2，0）是橢圓C的左焦點， ∴|MN|=|ME|+|NE| = 以下與解法一相同. ∴=，整理得 解得或 故直線m的方程為或或 經(jīng)檢驗上述直線均滿足 所以所求直線方程為或或 20.（北京卷）如圖，直線 l1：y＝kx（k>0）與直線l2：y＝－kx之間的陰影區(qū)域（不含邊界）記為W，其左半部分記為W1，右半部分記為W2． （I）分別用不等式組表示W(wǎng)1和W2； （II）若區(qū)域W中的動點P(x，y)到l1，l2的距離之積等于d2，求點P的軌跡C的方程； （III）設(shè)不過原點O的直線l與（II）中的曲線C相交于M1，M2兩點，且與l1，l2分別交于M3，M4兩點．求證△OM1