《(人教A版,理科)高考數(shù)學一輪細講精練【選修4-2】矩陣與變換》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《(人教A版,理科)高考數(shù)學一輪細講精練【選修4-2】矩陣與變換（18頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、 選修?4－2 矩陣與變換 A [最新考綱] 1．了解二階矩陣的概念，了解線性變換與二階矩陣之間的關(guān)系． 2．了解旋轉(zhuǎn)變換、反射變換、伸縮變換、投影變換、切變變換這五種變換的概 念與矩陣表示． 3．理解變換的復合與矩陣的乘法；理解二階矩陣的乘法和簡單性質(zhì)． 4．理解逆矩陣的意義，會求出簡單二階逆矩陣． 5．理解矩陣的特征值與特征向量，會求二階矩陣的特征值與特征向量.

2、 (1)行矩陣[a11? a12]與列矩陣êê ú的乘法規(guī)則： 知?識?梳?理 1．矩陣的乘法規(guī)則 éb11ù ú ?b21? ú＝[a??×b??＋a??×b??]． (2)二階矩陣êê ú與列向量ê???ú的乘法規(guī)則： ?[a11 a12]êê ?????????????????ê úê???ú＝ê ú. ??????????????ê úê ú＝ ???? .ê －c a???ú éb11ù ú 11 11 12 21 ?b21? éa11 a12ù éx0ù ú ê?ú ?a21 a22?

3、?y0? éa11 a12ùéx0ù éa11×x0＋a12×y0ù ê úê?ú ê ú ?a21 a22??y0? ?a21×x0＋a22×y0? 設(shè)?A?是一個二階矩陣，α、β?是平面上的任意兩個向量，λ、λ1、λ2?是任意三個實 數(shù)，則 ①A(λα)＝λAα；②A(α＋β)＝Aα＋Aβ； ③A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ. (3)兩個二階矩陣相乘的結(jié)果仍然是一個矩陣，其乘法法則如下： éa11 a12ùéb11 b12ù ê úê ú ?a21 a22??b21 b22? éa11×b11＋a12×b21 a11×b12＋a

4、12×b22ù ê ú ê ú ?a21×b11＋a22×b21 a21×b12＋a22×b22? 性質(zhì)：①一般情況下，AB≠BA，即矩陣的乘法不滿足交換律；②矩陣的乘法滿 足結(jié)合律，即(AB)C＝A(BC)；③矩陣的乘法不滿足消去律． 2．矩陣的逆矩陣 (1)逆矩陣的有關(guān)概念：對于二階矩陣?A，B，若有?AB＝BA＝E，則稱?A?是可逆 的，B?稱為?A?的逆矩陣．若二階矩陣?A?存在逆矩陣?B，則逆矩陣是唯一的，通 常記?A?的逆矩陣為?A－1，A－1＝B. éa bù (2)逆矩陣的求法：一般地，對于二階可逆矩陣?A＝ê ú(detA＝a

5、d－bc≠0)，它 ?c d? 的逆矩陣為 é d －b?ù êad－bc ad－bc?ú A－1＝ ??ad－bc ad－bc? (3)?逆?矩?陣?與?二?元?一?次?方?程?組?：?如?果?關(guān)?于?變?量?x?，?y?的?二?元?一?次?方?程?組 ìax＋by＝m， éa bù éxù éa bù í 的系數(shù)矩陣?A＝ê ú可逆，那么該方程組有唯一解ê?ú＝ê ú－ ?cx＋dy＝n ?c d? ?y? ?c d? émù 1ê ú， ?n?? ê －c??? a????ú. 其中?A－ é?d?－b

6、?ù êad－bc?ad－bc?ú 1＝ ??ad－bc?ad－bc? 3．二階矩陣的特征值和特征向量 (1)特征值與特征向量的概念 設(shè)?A?是一個二階矩陣，如果對于實數(shù)?λ，存在一個非零向量?α，使得?Aα＝λα， 那么?λ?稱為?A?的一個特征值，而?α?稱為?A?的一個屬于特征值?λ?的一個特征向量． (2)特征多項式與特征方程 éa bù éxù éxù 設(shè)?λ?是二階矩陣?A＝ê ú的一個特征值，它的一個特征向量為?ξ＝ê?ú，則?Aê?ú ?c d? ?y? ?y? éxù ＝λê?ú， ?y? éxù ìax＋

7、by＝λx， 即ê?ú滿足二元一次方程組í ?y? ?cx＋dy＝λy， ì(λ－a)x－by＝0 éλ－a －bùéxù é0ù 故í ê úê?ú＝ê?ú(*) ?－cx＋(λ－d)y＝0 ?－c λ－d???y? ?0? 則(*)式有非零解的充要條件是它的系數(shù)矩陣的行列式 ?λ－a －b? ?λ－a －b? éa bù ? ??＝?0.?記?f(λ)?＝? ??為矩陣?A?＝ê ú?的特征多項式；方程 ?－c λ－d? ?－c λ－d? ?c d? ?λ－a －b? éa bù ? ?＝0，即?f(λ)＝0?稱為矩陣?A＝ê ú的特征方程

8、． ?－c λ－d? ?c d? (3)特征值與特征向量的計算 ?λ－a －b? 如果?λ?是二階矩陣?A?的特征值，則?λ?是特征方程?f(λ)＝?? ?＝λ2－(a＋d)λ ?－c λ－d? ＋ad－bc＝0?的一個根． 解這個關(guān)于?λ?的二元一次方程，得?λ＝λ1、λ2，將?λ＝λ1、λ2?分別代入方程組(*)， 分別求出它們的一個非零解 í???????? í???????? 記?ξ1＝ê???ú，ξ2＝ê???ú. 則?Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此?λ1、λ2?是矩陣?A＝ê ú的特征值，ξ1＝ê???ú，ξ2 ?y1?

9、 ＝ê??2ú為矩陣?A?的分別屬于特征值?λ1、λ2?的一個特征向量． ìx＝x1，?ìx＝x2， éx1ù éx2ù ?y＝y(tǒng)1，??y＝y(tǒng)2， ?y1? ?y2? éa bù éx1ù ?c d? éx?ù ?y2? 診?斷?自?測 é1 0 ù?é5ù 1.?ê ú?ê?ú＝________. ?0 －1???7? é1? 0 ùé5ù? é úê??ú＝êê ?0×5＋(－1)×7 ??－7? 解析 ê ?0 －1??7? é?5?ù 答案 ê ú ??－7? 1×5＋0×7 ù?é??5ù ú＝ê??ú. ú

10、 ? ?12 ?－12 －2ùú 1??ú ? é1 ê2 2．若?A＝ê 1ù???é?1 2ú?ê?2 1ú，B＝ê 2??  2 1  ，則?AB＝________. ?12 1úê－1 é1 ê2 解析 AB＝ê 1ùé?1?－1ù 2úê?2??2ú 1?ú 2???2?2?? é1×1＋1×??－1?÷ ê1 1＋1 ?－1? ×2ùú 1?? ?－1?＋1? 1 2×? è?? 2? 2 1?? ?－1?＋1? 1ú 2×è? 2÷?

11、2×2? ＝éê ê2 2 2 è 2? ＝ è ?2×2 2×? 2÷? 0 0ù ú. ?0 0?  ? ÷ é0 答案 ê ?0 é－1 3．設(shè)?A＝ê ? 0 0ù ú 0? 0ù????é0?－1ù ú，B＝ê?????ú，則?AB?的逆矩陣為________． 1???????1???0? ??? 0? 1??????? ?－1? 0? é－1 0ù é 0 1ù 解析 ∵A－1＝ê ú，B－1＝ê ú ?－1 0????? 0? 1? ＝éê?? ú. é

12、 0 1ù?é－1 0ù ∴(AB)－1＝B－1A－1＝ê ú?ê ú 0??1ù ?1?0? é0 答案 ê ?1 1ù ú 0? 1ú變換作用下的結(jié)果為________． é1 4．函數(shù)?y＝x2?在矩陣?M＝êê0 ? 0ù ú 4? ú＝éêx′ùú éxù＝ê 解析 êê 1ú ê1y??ú? ?y′? ê?ú ???????????? ?4 ? 4? ú  0??y? é1?0ù?é??xù  x＝x′，y＝4y′， 代入?y＝x

13、2，得?y′＝1x′2，即?y＝1x2. 解析 A?的特征多項式?f(λ)＝?? ??－6? λ－2? 4 4 1 答案 y＝4x2 é1 5ù 5．若?A＝ê ú，則?A?的特征值為________． ?6 2? ?λ－1 －5? ? ? ＝(λ－1)(λ－2)－30＝λ2－3λ－28＝(λ－7)(λ＋4)， ∴A?的特征值為?λ1＝7，λ2＝－4. 答案 7?和－4 考點一 矩陣與變換 é2

14、aù 【例?1】?(2014·?蘇州市自主學習調(diào)查)已知?a，b?是實數(shù)，如果矩陣?M＝ê ú所 ?b 1? 對應(yīng)的變換將直線?x－y＝1?變換成?x＋2y＝1，求?a，b?的值． y y 解 設(shè)點(x，)是直線?x－y＝1?上任意一點，在矩陣?M?的作用下變成點(x′，′)， é2 aù?éxù éx′ù 則ê ú?ê?ú＝ê ú， ?b 1???y? ?y′? ìx′＝2x＋ay， 所以í ?y′＝bx＋y. 因為點(x′，y′)，在直線?x＋2y＝1?上，所以 ì2＋2b＝1， (2＋2b)x＋(a＋2)y＝1，即í ?a＋2＝－1，

15、 ì?a＝－3， 所以í 1 ? ?b＝－2. 規(guī)律方法?理解變換的意義，掌握矩陣的乘法運算法則是求解的關(guān)鍵，利用待定 系數(shù)法，構(gòu)建方程是解決此類題的關(guān)鍵． B B 【訓練?1】已知變換?S?把平面上的點?A(3,0)，?(2,1)分別變換為點?A′(0,3)，?′(1， －1)，試求變換?S?對應(yīng)的矩陣?T. éa 解 設(shè)?T＝ê ?b cù??????é3ù?éx′ù?éa ú，則?T：ê?ú→ê??ú＝ê d???0????y′???b cù?é3ù?é3aù?é0ù?????ìa＝0， ú?ê?ú＝ê?ú＝ê

16、?ú，解得í d???0????3b????3???????b＝1； é2ù éx′ù éa T：ê?ú→ê ú＝ê ?1? ?y′? ?b cù?é2ù?é2a＋cù?é?1ù ú?ê?ú＝ê????ú＝ê??ú， d???1????2b＋d????－1? ìc＝1， é0 1?ù 解得í 綜上可知?T＝ê ú. ??d＝－3， ?1 －3? 考點二 二階逆矩陣與二元一次方程組 é2 －3ù y 【例?2】?已知矩陣?M＝ê ú所對應(yīng)的線性變換把點?A(x，?)變成點?A′(13,5)， ?1 －1? 試求?M?的逆矩陣及

17、點?A?的坐標． é2 －3ù 解 依題意得由?M＝ê ú，得|M|＝1， ?1 －1? é－1 故?M－1＝ê ?－1 3ù ú. 2? é2? －3ù?éxù? é13ù éxù ú?ê?ú?＝?êê úú?得?ê?ú?＝?êê ?1 －1???y? ?y? ú?ê ú?＝?éê－1×13＋3×5ùú?＝?éê 2ù ú?，故 ??－3? 2????5???? ?－1×13＋2×5? 從而由?ê é－1 ??5??????????－1 3ù?é13ù úê?ú ìx＝2， í

18、 ∴A(2，－3)為所求． ??y＝－3， 規(guī)律方法?求逆矩陣時，可用定義法解方程處理，也可以用公式法直接代入求 解．在求逆矩陣時要重視(AB)－1＝B－1A－1?性質(zhì)的應(yīng)用． ú， é2 【訓練?2】?已知矩陣?A＝êê ?1 3ù ú 2? (1)求矩陣?A?的逆矩陣； ì2x＋3y－1＝0， (2)利用逆矩陣知識解方程組í ?x＋2y－3＝0. ú， 解 (1)法一 éa 設(shè)逆矩陣為?A－1＝êê ?c bù ú d? ú＝ê ú，得í2b＋3d＝0，

19、?ab＋＋22cd＝＝01，， é2 則由êê ?1  3ùéa úê úê 2??c  bù?é1 ú??ê d???0  0ù ú 1? ì2a＋3c＝1， ú. ìa＝2， 解得íb＝－3， c 2?1 ?d＝－，，  é?2 A－1＝ê ?－1  －3ù ú 2?? ú＝ê ú， éa 法二 由公式知若?A＝êê ?c bù?é2 ú??ê d???1 3ù ú 2? ì2

20、x＋3y－1＝0， (2)已知方程組í ?x＋2y－3＝0， ì2x＋3y＝1， 可轉(zhuǎn)化為í ?x＋2y＝3， ú，X＝ê?ú，B＝ê??ú，且由(1)， é2 即?AX＝B，其中?A＝êê ?1 3ù????éxù????é1ù ú?????ê?ú?????ê?ú 2???????y???????3? 得?A－1＝êê ú. é?2 －3ù ú ?－1 2?? 因此，由?AX＝B，同時左乘?A－1，有 úê??ú＝ê?? ú. é?2 A－1AX＝A－1B＝êê ?－1 －3ùé1ù?é－7

21、ù úê?ú??ê???ú 2???3????5?? ìx＝－7， 即原方程組的解為í ?y＝5. 考點三 求矩陣的特征值與特征向量 ú對應(yīng)的線性變換把點?P(1,1)變成點?P′(3,3)， é1 【例?3】?已知?a∈R?，矩陣?A＝êê ?a 2ù ú 1? 求矩陣?A?的特征值以及每個特征值的一個特征向量． ú???ê??ú＝ê??? ú＝ê??ú， 1?????1?? ?a＋1?? ?3? é1 解 由題意êê ?a 2ù?é1ù?é?3?ù?é3ù ú?ê?ú??ê????

22、ú??ê?ú f(λ)＝?? ?＝(λ－1)2－4＝(λ＋1)(λ－3)， λ－1? 得?a＋1＝3，即?a＝2，矩陣?A?的特征多項式為 ?λ－1 －2?? ? ??－2 令?f(λ)＝0，所以矩陣?A?的特征值為?λ1＝－1，λ2＝3. ①對于特征值?λ1＝－1， ìx＋y＝0， ìx＝1， 解相應(yīng)的線性方程組?í 得一個非零解í ?2x＋2y＝0 ?y＝－1. 因此，α＝êê ú是矩陣?A?的屬于特征值?λ?＝－1?的一個特征向量； ?－1? ②對于特征值?λ2＝3，解相應(yīng)的線性方程組í 規(guī)律方法??已知?A＝êê

23、 é?1?ù ú 1 ì2x－2y＝0， ?－2x＋2y＝0 ìx＝1， 得一個非零解í ?y＝1. é1ù 因此，β＝ê?ú是矩陣?A?的屬于特征值?λ2＝3?的一個特征向量． ?1? éa bù ú，求特征值和特征向量，其步驟為： ú ?c d? ?(λ－a) (1)令?f(λ)＝? ??－c －b?? ?＝(λ－a)(λ－d)－bc＝0，求出特征值?λ； (λ－d)? ì?(λ－a)x－by＝0， (2)列方程組í ??－cx＋(λ－d)y＝0； (3)賦值法求特征向量，一般取?

24、x＝1?或者?y＝1，寫出相應(yīng)的向量． ú，求?M?的特征值及屬于各 é?3 【訓練?3】?(2014·?揚州質(zhì)檢)已知矩陣?M＝êê ?－1 特征值的一個特征向量． －1ù ú 3?? ?＝ λ－3? ?λ－3 解 由矩陣?M?的特征多項式?f(λ)＝?? ??1 1?? ? 當?λ1＝2?時，由?Mê?ú＝2ê?ú， (λ－3)2－1＝0，解得?λ1＝2，λ2＝4，即為矩陣?M?的特征值． éxù 設(shè)矩陣?M?的特征向量為ê?ú， ?y? éxù éxù ?y? ?y? ì－x＋y＝0

25、， 可得í ?x－y＝0. 可令?x＝1，得?y＝1， ∴α1＝ê??ú是?M?的屬于?λ1＝2?的特征向量． 當?λ2＝4?時，由?Mê?ú＝4ê?ú， ??∴α2＝ê ú是?M?的屬于?λ2＝4?的特征向量． é1ù ?1? éxù éxù ?y? ?y? ìx＋y＝0， 可得í ?x＋y＝0， 取?x＝1，得?y＝－1， é 1ù ?－1? éa? bù??? éa? bùé?1???ù ú，則ê??? ú

26、ê?? ú＝êê ?c d???? ?c d??－1? ?－1? 用坐標轉(zhuǎn)移的思想求曲線在變換作用下的新方程 【典例】?二階矩陣?M?對應(yīng)的變換?T?將點(1，－1)與(－2，1)分別變換成點(－1， －1)與(0，－2)． (1)求矩陣?M； (2)設(shè)直線?l?在變換?T?作用下得到了直線?m：x－y＝4，求?l?的方程． [審題視點] (1)變換前后的坐標均已知，因此可以設(shè)出矩陣，用待定系數(shù)法求解． (2)知道直線?l?在變換?T?作用下的直線?m，求原直線，可用坐標轉(zhuǎn)移法． é－1ù 解 (1)設(shè)?M＝ê ú， ú

27、 ê 0úêa búê－2ú é ùé ù＝é ù， ?c d?? 1? ??－2? ? ??c＝3， 所以?M＝éê ? ? ìa－b＝－1， ì－2a＋b＝0， 所以í 且í ? ? ?c－d＝－1， ?－2c＋d＝－2， 1 2ù ú. ?3 4?  解得 ìa＝1， íb＝2， d＝4， (2)因為ê?? ú?＝éê úê?ú＝êê éx′ù 1?? 2ùéxù? éx＋2y??ù ??y′?? ?3? 4??y? ??3x＋4y? ú且

28、?m：x′－y′＝4， ú 所以(x＋2y)－(3x＋4y)＝4， 即?x＋y＋2＝0，∴直線?l?的方程是?x＋y＋2＝0. [反思感悟] (1)本題考查了求變換矩陣和在變換矩陣作用下的曲線方程問題，題 目難度屬中檔題． (2)本題突出體現(xiàn)了待定系數(shù)法的思想方法和坐標轉(zhuǎn)移的思想方法?. (3)本題的易錯點是計算錯誤和第(2)問中坐標轉(zhuǎn)移的方向錯誤． 【自主體驗】 (2014·?南京金陵中學月考)求曲線?2x2－2xy＋1＝0?在矩陣?MN?對應(yīng)的?變換作 ú，N＝ ?－1 ú. é1 用下得到的曲線方

29、程，其中?M＝êê ?0 0ù ú 2? é??1 ê ê 0ù ú 1? 2??－1 ú＝ê ú. 1?? ?－2 2? é1 解 MN＝êê ?0 0ùé?1 úê úê 0ù?é?1?0ù ú??ê?ú 設(shè)?P(x′，y′)是曲線?2x2－2xy＋1＝0?上任意一點，點?P?在矩陣?MN?對應(yīng)的變換 下變?yōu)辄c?P′(x，y)， 0ùéx′ù ú＝éê x′?? ù ú， ?－2x′＋2y′? éxù é 1 則êê?ú＝ê ?y? ?－2  úê úê???

30、ú 2??y′? y 于是?x′＝x，y′＝x＋2， 代入?2x′2－2x′y′＋1＝0，得?xy＝1. 所以曲線?2x2－2xy＋1＝0?在?MN?對應(yīng)的變換作用下得到的曲線方程為?xy＝1. 解析 í?????????????? 可寫成éê ??y′＝5x＋6y， 一、填空題 éxù éx′ù é3x＋4yù 1．已知變換?T：ê?ú→ê ú＝ê ú，則該變換矩陣為________． ?y? ?y′? ?5x＋6y?

31、 ì?x′＝3x＋4y， 3 4ùéxù éx′ù úê?ú＝ê ú. ?5 6??y? ?y′? é3 4ù 答案 ê ú ?5 6? é3 2．計算ê ?5 7ùé?2?ù úê???ú等于________． 8??－1? é3? 7ùé?2???ù ú＝éê ?5? 8??－1?? ê ?5×2－8? ??2???? é3×2－7ù －1ù 解析 ê úê ú?＝ê ú. ú é－1ù 答案 ê ú ??2?? é5 3．矩陣ê ?0 0ù ú的逆矩陣為________． 1?

32、 0?ù é5? 0ù é1 ＝5，∴éê 5?? 0ù ú. ú的逆矩陣為ê ê5 解析 ê ú ?0? 1??????? ?0? 1? 0?ú ú ??0 1? é1 ù 答案 êê5 ú ??0 1? 則éê ＝éê ùú，éê ＝éê?? ú. ?＝(λ－6)(λ＋3)＋18＝0. 解析 f(λ)＝? λ＋3?? －6 é3 a?ù 4．若矩陣?A＝ê ú把直線?l：2x＋y－7＝0?變換成另一直線?l′：9x＋y－91＝ ?b 13? 0，則?a＝________，b＝________.

33、 解析 取?l?上兩點(0,7)和(3.5,0)， 3 a?ùé0ù 7a 3 a?ùé3.5ù 10.5ù úê?ú úê ú ?b 13??7? ?91? ?b 13???0?? ?3.5b? 由已知(7a,91)，(10.5,3.5b)在?l′上，代入得?a＝0，b＝－1. 答案 0 －1 é6 －3ù 5．矩陣?M＝ê ú的特征值為________． ?6 －3? ?λ－6 3? ? ? ∴λ＝0?或?λ＝3. 答案 0?或?3 é1 6．已知矩陣?M＝ê ?3 2ù?é1ù?é??0ù ú

34、，α＝ê?ú，β＝ê??ú，則?M(2α＋4β)＝________. ?2? 4???????????????－3? é2ù＋é? 0??ù ú?＝ê?? ú?，M(2α＋4β)＝éê ú＝êê ??－12?? ??－8?????????? ?3? 4??－8? ?4? ?－26? é 2ù 1 2ùé 2ù é－14ù 解析 2α＋4β＝ê?ú ê úê ú. ú é－14ù 答案 ê ú ?－26? ú的作用下變換為曲線?C?，則?C??的方 é1 7．曲線?C1：x2＋2y2＝1?在矩陣?M＝êê ?0 2ù

35、ú?2?????????2 1? 程為________． 解析 設(shè)?P(x，y)為曲線?C2?上任意一點，P′(x′，y′)為曲線?x2＋2y2＝1?上與?P 對應(yīng)的點， ì?x＝x′＋2y′， ??y＝y(tǒng)′ é1 2ùé?x′?ù é?x?ù 則ê úê ú＝ê?ú，即í ê úê ú ê?ú ?0 1???y′? ??y? ? ìx′＝x－2y， í ? ?y′＝y(tǒng). －1??ú ì?a＝2， 解析 設(shè)?A＝êê ú，由ê??? úê??ú＝ê??ú，得í ??c＝3. ì?b＝1， úê??

36、ú＝3ê??ú＝ê??ú，得?í?????? 所以í ??c＋d＝3. ??d＝0. 因為?P′是曲線?C1?上的點， 所以?C2?的方程為(x－2y)2＋y2＝1. 答案 (x－2y)2＋y2＝1 é2 －1ù é4 －1ù 8．已知矩陣?A＝ê ú，B＝ê ú，則滿足?AX＝B?的二階矩陣?X?為 ?－4 3? ?－3 1? ________． 解析 由題意，得?A－1＝ AX＝B， ∴X＝A－1B＝. é9 ù 答案 êê2 ú ??5 －1? é1ù 9．已知矩陣?A?將點(1,0)變換為(2,3)，且屬于特征值?3?的一

37、個特征向量是êê?ú，則 ?1? 矩陣?A?為________． éa bù éa bùé1ù é2ù ú ê úê?ú ê?ú ?c d? ?c d??0? ?3? éa bùé1ù é1ù é3ù ìa＋b＝3， 由ê ê úê?ú ê?ú ê?ú ?c d??1? ?1? ?3? é2 1ù 所以?A＝ê ú. ê ú ?3 0? é2 答案 êê ?3 1ù ú ú 0? 二、解答題 10．(2012·?江蘇卷)已知矩陣?A?的逆矩陣?A－1＝錯誤!，求矩陣?A?的特征值． 解 因為

38、?AA－1＝E，所以?A＝(A－1)－1. 因為?A－1＝錯誤!，所以?A＝(A－1)－1＝錯誤!， f(λ)＝?? ?＝λ2－3λ－4. ??－2?? λ－1? 于是矩陣?A?的特征多項式為 ?λ－2 －3?? ? 令?f(λ)＝0，解得?A?的特征值?λ1＝－1，λ2＝4. ú，A?的一個特征值?λ＝2，其對應(yīng)的特征向量是?α1＝ê??ú. é 1 11．已知矩陣?A＝ê ?－1 aù?????????????????????????????????????é2ù b???1? ?＝λ2－5λ＋

39、6＝0，得?λ1＝2，λ2＝3， 當?λ1＝2?時，α1＝ê??ú，當?λ2＝3?時，得?α2＝ê??ú. 由?β＝mα1＋nα2，得í???????? 解得?m＝3，n＝1. ∴A5β＝A5(3α1＋α2)＝3(A5α1)＋A5α2＝3(λ51α1)＋λ25α2＝3×25ê??ú＋35ê??ú＝ê?? ú. é7ù (1)求矩陣?A；(2)若向量?β＝ê?ú，計算?A5β?的值． ?4? é 1 2ù 解 (1)A＝ê ú. ?－1 4? ?λ－1 －2? (2)矩陣?A?的特征多項式為?f(λ)＝? ? 1 λ－4? é2ù é1ù ?1? ?1?

40、 ì2m＋n＝7， ??m＋n＝4， é2ù é1ù é435ù ?1? ?1? ?339? éa 12．(2012·?福建卷)設(shè)曲線?2x2＋2xy＋y2＝1?在矩陣?A＝ê ?b 0ù ú(a＞0)對應(yīng)的變換作 1? 用下得到的曲線為?x2＋y2＝1. (1)求實數(shù)?a，b?的值； (2)求?A2?的逆矩陣． 解 (1)設(shè)曲線?2x2＋2xy＋y2＝1?上任意點?P(x，y)在矩陣?A?對應(yīng)的變換作用下的 像是?P′(x′，y′)． éx′ù éa 由ê ú＝ê ?y′? ?b 0ùéxù?

41、é?ax?ù???ìx′＝ax， úê?ú＝ê????ú，得í 1??y????bx＋y?????y′＝bx＋y. 又點?P′(x′，y′)在?x2＋y2＝1?上，所以?x′2＋y′2＝1， 即?a2x2＋(bx＋y)2＝1， 整理得(a2＋b2)x2＋2bxy＋y2＝1， ìa2＋b2＝2， ìa＝1， ìa＝－1， 依題意得í 解得í 或í ?2b＝2， ?b＝1 ?b＝1. ìa＝1， 因為?a＞0，所以í ?b＝1. é1 0ù é1 0ùé1 0ù é1 0ù (2)由(1)知，A＝ê ú，A2＝ê úê ú＝ê ú. ?1 1? ?1 1??1 1? ?2 1? é1 1 所以|A2|＝1，(A2)－＝ê ?－2 0ù ú. 1?