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1、第三章 差分方程及其應(yīng)用 在經(jīng)濟與管理及其它實際問題中，許多數(shù)據(jù)都是以等間隔時間周期統(tǒng)計的。例如，銀行中的定期存款是按所設(shè)定的時間等間隔計息，外貿(mào)出口額按月統(tǒng)計，國民收入按年統(tǒng)計，產(chǎn)品的產(chǎn)量按月統(tǒng)計等等。這些量是變量，通常稱這類變量為離散型變量。描述離散型變量之間的關(guān)系的數(shù)學(xué)模型成為離散型模型。對取值是離散化的經(jīng)濟變量，差分方程是研究他們之間變化規(guī)律的有效方法。 本章介紹差分方程的基本概念、解的基本定理及其解法，與微分方程的基本概念、解的基本定理及其解法非常類似，可對照微分方程的知識學(xué)習(xí)本章內(nèi)容。 §1 基本概念 線性差分方程解的基本定理 一、 基本概念 1、函數(shù)的差分 對離

2、散型變量，差分是一個重要概念。下面給出差分的定義。 設(shè)自變量取離散的等間隔整數(shù)值：是的函數(shù)，記作。顯然，的取值是一個序列。當(dāng)自變量由改變到時，相應(yīng)的函值之差稱為函數(shù)在的一階差分，記作，即 。 由于函數(shù)的函數(shù)值是一個序列，按一階差分的定義，差分就是序列的相鄰值之差。當(dāng)函數(shù)的一階差分為正值時，表明序列是增加的，而且其值越大，表明序列增加得越快；當(dāng)一階差分為負(fù)值時，表明序列是減少的。 例如：設(shè)某公司經(jīng)營一種商品，第月初的庫存量是，第月調(diào)進(jìn)和銷出這種商品的數(shù)量分別是和，則下月月初，即第月月初的庫存量應(yīng)是 ， 若將上式寫作 ， 則等式兩端就是相鄰兩月庫存量的改變量。若記 ， 并將理解

3、為庫存量是時間的函數(shù)，則稱上式為庫存量函數(shù)在時刻（此處以月為單位）的差分。 按一階差分的定義方式，我們可以定義函數(shù)的高階差分。函數(shù)在的一階差分的差分為函數(shù)在的二階差分，記作，即 。 依次定義函數(shù)在的三階差分為 。 一般地，函數(shù)在的階差分定義為 。 上式表明，函數(shù)在的階差分是該函數(shù)的個函數(shù)值，的線性組合。 例1 設(shè)，求，。 解 。 。 2、 差分方程的基本概念 先看例題。 設(shè)是初始存款（時的存款），年利率，如以復(fù)利計息，試確定年末的本利和。 在該問題中，如將時間（以年為單位）

4、看作自變量，則本利和可看作是的函數(shù)：。這個函數(shù)是要求的未知函數(shù)。雖然不能立即寫出函數(shù)關(guān)系，但可以寫出相鄰兩個函數(shù)值之間的關(guān)系式 ，， （1-1） 如寫作函數(shù)在的差分的形式，則上式為 ，， （1-2） 由（1-1）式可算出年末的本利和為 ，。 （1-3） 在（1-1）式和（1-2）式中，因含有未知函數(shù)，所以這是一個函數(shù)方程；又由于在方程（1-1）中含有兩個未知函數(shù)的函數(shù)值和，在方程（1-2）中含有未知函數(shù)的差分，像這樣的函數(shù)方程稱為差分方程。在方程（1-2）中，僅含未知函數(shù)的函數(shù)值的一

5、階差分，在方程（1-1）中，未知函數(shù)的下標(biāo)最大差數(shù)是，即，故方程（1-1）或方程（1-2）稱為一階差分方程。 （1-3）式是在之間的函數(shù)關(guān)系式，就是要求的未知函數(shù)，它滿足差分方程（1-1）或（1-2），這個函數(shù)稱為差分方程的解。 由上例題分析，差分方程的基本概念如下： 含有自變量，未知函數(shù)以及未知函數(shù)差分的函數(shù)方程，稱為差分方程。 由于差分方程中必須含有未知函數(shù)的差分（自變量、未知函數(shù)可以不顯含），因此差分方程也可稱為含有未知函數(shù)差分的函數(shù)方程。 例如 就是一個差分方程，按函數(shù)差分定義，任意階的差分都可以表示為函數(shù)在不同點的函數(shù)值的線性組合，因此上差分方程又可分別表示為。正因如此，差

6、分方程又可定義為 含有自變量和多個點的未知函數(shù)值的函數(shù)方程稱為差分方程。差分方程中實際所含差分的最高階數(shù)，稱為差分方程的階數(shù)?；蛘哒f，差分方程中未知函數(shù)下標(biāo)的最大差數(shù)，稱為差分方程的階數(shù)。上方程為二階差分方程。 階差分方程的一般形式可表示為 ， （1-4） 或， （1-5） 由于經(jīng)濟學(xué)中經(jīng)常遇到是形如（1-5）式的差分方程，所以以后我們只討論由（1-5）式的差分方程。 若把一個函數(shù)代入差分方程中，使其成為恒等式，則稱為差分方程的解。含有任意常數(shù)的個數(shù)等于差分方程的階數(shù)的解，稱為差分方程得通解；給任意常數(shù)以確定值的解，稱為差分方

7、程得特解。用以確定通解中任意常數(shù)的條件稱為初始條件。 一階差分方程的初始條件為一個，一般是（是常數(shù)）；二階差分方程的初始條件為兩個，一般是，（，是常數(shù)）；依次類推。 二、線性差分方程解的基本定理 現(xiàn)在我們來討論線性差分方程解的基本定理，將以二階線性差分方程為例，任意階線性差分方程都有類似結(jié)論。 二階線性差分方程的一般形式 ， （1-6） 其中，和均為的已知函數(shù)，且。若，則（1-6）式稱為二階非齊次線性差分方程；若，則（1-6）式稱為 ， （1-7） 定理1 若函數(shù)，是二階齊次線性差分方程（1-7）的解，則 ，

8、也該方程的解，其中、是任意常數(shù)。 定理2(齊次線性差分方程解的結(jié)構(gòu)定理) 若函數(shù)，是二階齊次線性差分方程（1-7）的線性無關(guān)特解，則是該方程的通解，其中、是任意常數(shù)。 定理3（非齊次線性差分方程解的結(jié)構(gòu)定理） 若是二階非齊次線性差分方程（1-6）的一個特解，是齊次線性差分方程（1-7）的通解，則差分方程（1-6）的通解為 。 定理4 (解的疊加原理) 若函數(shù)，分別是二階非齊次線性差分方程 與 的特解，則是差分方程的特解。 §2 一階常系數(shù)線性差分方程的迭代解法 一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為 ， （2-1） 其中常數(shù)，為的

9、已知函數(shù)，當(dāng)不恒為零時，（2-1）式稱為一階非齊次差分方程；當(dāng)時，差分方程 。 （2-2） 稱為與一階非次線性差分方程對應(yīng)的一階齊次差分方程。 下面給出差分方程（2-2）的迭代解法。 一、求齊次差分方程的通解 把方程（2-2）寫作，假設(shè)在初始時刻，即時，函數(shù)取任意常數(shù)。分別以代入上式，得 最后一式就是齊次差分方程（2-2）的通解。特別地，當(dāng)時，齊次差分方程（2-2）的通解為 ，。 二、求齊次線性差分方程的通解 1、設(shè)為常數(shù) 此時，非齊次差分方程（2-1）可寫作 。 分別以代入上式，得 。 （2-3）

10、若，則由（2-3）式用等比級數(shù)求和公式，得 ，， 或 ，， 其中為任意常數(shù)。 若，則由（2-3）式，得 ，， 其中為任意常數(shù)。 綜上討論，差分方程的通解為 （2-4） 上述通解的表達(dá)式是兩項之和，其中第一項是齊次差分方程（2-2）的通解，第二項是非齊次差分方程（2-1）的一個特解。 這里，當(dāng)時，由上式所確定的解序列的特性作兩點說明： 例1 求解差分方程。 解：由于，，。由通解公式（2-4），差分方程的通解為 ，（為任意常數(shù)）。 2、為一般情況 此時，非齊次差分方程可寫作 。 分別以代入上式，得 （2-5） 其中是

11、任意常數(shù)。（2-5）式就是非齊次差分方程（2-1）的通解。其中第一項是齊次差分方程（2-2）的通解，第二項是非齊次線性差分方程（2-1）的一個特解。 例1 求差分方程的通解。 解 由于，。由通解式（2-5）得非齊次線性差分方程的特解 ， 于是，所求通解為 。 其中為任意常數(shù)。 §2 一階常系數(shù)線性差分方程 一、一階常系數(shù)線性差分方程的解法 一階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為 ， （3-1） 與一階非次線性差分方程對應(yīng)的一階齊次差分方程為 。 （3-2） 1、求齊次線

12、性差分方程的通解 為了求出一階齊次差分方程（3-2）的通解，由上節(jié)定理2，只要求出其一非零的特解即可。注意到方程（3-2）的特點，是的常數(shù)倍，而函數(shù)恰滿足這個特點。不妨設(shè)方程有形如下式的特解 ， 其中是非零待定常數(shù)。將其代入方程（3-2）中，有 ， 即 。 由于，因此是方程（3-2）的解的充要條件是。所以時，一階齊次差分方程（2）的非零特解為 。 從而差分方程（3-2）通解為 （為任意常數(shù)）。 稱一次代數(shù)方程為差分方程（3-1）或（3-2）的特征方程；特征方程的根為特征根或特征值。 由上述分析，為求出一階齊次差分方程（2）的通解，應(yīng)先寫出其特征方程，進(jìn)而求出特征根，寫出

13、其特解；最后寫出其通解。 2、求非齊次線性差分方程的特解和通解 下面僅就函數(shù)為幾種常見形式用待定系數(shù)法求非齊次線性差分方程（3-1）的特解。根據(jù)的形式，按表1確定特解的形式，比較方程兩端的系數(shù)，可得到特解。 表1： 的形式 確定待定特解的條件 待定特解的形式 是次多項式 不是特征根 是次多項式 是特征根 令 不是特征根 是特征根 說明：當(dāng)時，因和為已知，令，則可計算出。 例1 求差分方程的通解。 解：特征方程為，特征根。齊次差分方程的通解為 。 由于，不是特征根。因此設(shè)非齊次差分方程特解形式為 。 將其代入已知方程，有

14、 ， 解得，所以。于是，所求通解為 ，（為任意常數(shù)）。 例2 求差分方程的通解。 解：特征方程為，特征根。齊次差分方程的通解為 。 由于，是特征根。因此非齊次差分方程的特解為 。 將其代入已知差分方程得 ， 比較該方程的兩端關(guān)于的同次冪的系數(shù)，可解得，。故。 于是，所求通解為 ，（為任意常數(shù)）。 例3 求差分方程的通解。 解：已知方程改寫為，即。求解如下兩個方程 ， （3-3） ， （3-4） 對方程（3-3）：特征根，，不是特征根，設(shè)特解為，將其代入方程（3-

15、3）有 ， 可解得，。故。 對方程（3-4）：特征根，，是特征根，設(shè)特解為。將其代入方程（3-4）解得。于是，。 因此，齊次差分方程的通解為。所求通解為 ，（為任意常數(shù)）。 例4 求差分方程的通解。 解：因特征根，齊次差分方程的通解。 ，，，，。令 。 因為不是特征根，設(shè)特解。將其代入原方程有 。 （3-5） 因為，，將其代入（3-5）式，并整理得 。 比較上式兩端的系數(shù)，解得，。故非齊次差分方程的特解 。 于是，所求通解為 ，（為任意常數(shù)）。 §3 二階常系數(shù)齊次線性差分方程 二階常系數(shù)線性差分方程的一般形式為 ， （

16、3-6） 其中，為已知常數(shù)，且，為已知函數(shù)。與方程（7）相對應(yīng)的二階齊次線性差分方程為 。 （3-7） 1、求齊次線性差分方程的通解 為了求出二階齊次差分方程（3-7）的通解，首先要求出兩個線性無關(guān)的特解。與一階齊次差分方程同樣分析，設(shè)方程（3-7）有特解 ， 其中是非零待定常數(shù)。將其代入方程（3-7）式有 。 因為，所以是方程（3-7）的解的充要條件是 。 （3-8） 稱二次代數(shù)方程（3-8）為差分方程（3-7）或（3-8）的特征方程，對應(yīng)的根稱為特征根。 （1）、特征方程有相異實根與 此時，

17、齊次差分方程（3-7）有兩個特解和，且它們線性無關(guān)。于是，其通解為 ，（，為任意常數(shù)）。 （2）、特征方程有同根 這時，，齊次差分方程（3-7）有一個特解 ， 直接驗證可知 也是齊次差分方程（3-7）的特解。顯然，與線性無關(guān)。于是，齊次差分方程（8）的通解為 ，（，為任意常數(shù)）。 （3）、特征方程有共軛復(fù)根 此時，直接驗證可知，齊次差分方程（3-7）有兩個線性無關(guān)的特解 ， ， 其中，由確定，。于是，齊次差分方程（3-7）的通解為 ，（，為任意常數(shù)）。 例5 求差分方程的通解。 解：特征方程是，特征根為二重根，于是，所求通解為 ，（，為任意常數(shù)）。 例6 求差

18、分方程滿足初值條件的特解。 解：特征方程為，它有一對共軛復(fù)根。令，由，得。于是原方程的通解為 。 將初值條件代入上式解得，。于是所求特解為 。 §4 二階常系數(shù)非齊次線性差分方程 求非齊次線性差分方程的特解和通解 利用待定系數(shù)法可求出的幾種常見形式的非齊次差分方程（3-6）的特解。如表3 表3 的形式 確定待定特解的條件 待定特解的形式 是次多項式 不是特征根 是次多項式 是單特征根 是2重特征根 令 不是特征根 是單特征根 是2重特征根 例7 求差分方程的通解。 解：特征根為，。 ，其中，。因是單

19、根，故設(shè)特解為 。 將其代入差分方程得 ， 即。 解得，，因此特解為。所求通解為 ，（，為任意常數(shù)）。 例8 求差分方程的通解。 解：特征根為。 ，其中，。因為二重根，應(yīng)設(shè)特解為 。 將其代入差分方程得，解得，特解為。通解為 ，（，為任意常數(shù)）。 例9 求差分方程滿足初值條件，的特解。 解: 特征根為。因為，由，得。所以齊次差分方程的通解為 。 ，其中，。因不是特征根，故設(shè)特解。將其代入差分方程得，從而。于是所求特解。因此原方程通解為 。 將分別代入上式，解得，。故所求特解為 。 §4 差分方程在經(jīng)濟學(xué)中的應(yīng)用 一、籌措教育經(jīng)費模型 某家庭從

20、現(xiàn)在著手從每月工資中拿出一部分資金存入銀行，用于投資子女的教育。并計劃20年后開始從投資帳戶中每月支取1000元，直到10年后子女大學(xué)畢業(yè)用完全部資金。要實現(xiàn)這個投資目標(biāo)，20年內(nèi)共要籌措多少資金？每月要向銀行存入多少錢？假設(shè)投資的月利率為0.5%。 設(shè)第個月投資帳戶資金為元，每月存入資金為元。于是，20年后關(guān)于的差分方程模型為 。 （4-1） 并且。 解方程（4-1），得通解 ， 以及 從而有 。 從現(xiàn)在到20年內(nèi)，滿足的差分方程為 ， （4-2） 且。 解方程（4-2），得通解 ，

21、 以及 從而有 。 即要達(dá)到投資目標(biāo)，20年內(nèi)要籌措資金90 073.45元，平均每月要存入銀行194.95元。 二、價格與庫存模型 設(shè)為第個時段某類產(chǎn)品的價格，為第個時產(chǎn)品的庫存量，為該產(chǎn)品的合理庫存量。一般情況下，如果庫存量超過合理庫存，則該產(chǎn)品的價格下跌，如果庫存量低于合理庫存，則該產(chǎn)品的價格上漲，于是有方程 ， （4-3） 其中為比例常數(shù)。由（4-3）式變形可得 。 （4-4） 又設(shè)庫存量的改變與產(chǎn)品銷售狀態(tài)有關(guān)，且在第時段庫存增加量等于該時段的供求之差，即 ，

22、 （4-5） 若設(shè)供給函數(shù)和需求函數(shù)分別為 ， 代入到（4-5）式得 ， 再由（4-4）式得方程 。 （4-6） 設(shè)方程（4-6）的特解為，代入方程得，方程（4-6）對應(yīng)的齊次方程的特征方程為 ， 解得，于是 若，并設(shè)，則方程（4-6）的通解為 。 若，則為兩個實根，方程（4-6）的通解為 。 由于，則當(dāng)時，將迅速變化，方程無穩(wěn)定解。 因此，當(dāng)，即，亦即時，價格相對穩(wěn)定。其中為正常數(shù)。 三、動態(tài)經(jīng)濟系統(tǒng)的蛛網(wǎng)模型 在自由市場上你一定注意過這樣的現(xiàn)象：一個時期由于豬肉的上市量遠(yuǎn)大于需求量時，銷售不暢會導(dǎo)

23、致價格下跌，農(nóng)民覺得養(yǎng)豬賠錢，于是轉(zhuǎn)而經(jīng)營其它農(nóng)副產(chǎn)品。過一段時間豬肉上市量減少，供不應(yīng)求導(dǎo)致價格上漲，原來的飼養(yǎng)戶覺得有利可圖，又重操舊業(yè)，這樣下一個時期會重新出現(xiàn)供大于求價格下跌的局面。在沒有外界干預(yù)的條件下，這種現(xiàn)象將一直循環(huán)下去，在完全自由競爭的市場體系中，這種現(xiàn)象是永遠(yuǎn)不可避免的。由于商品的價格主要由需求關(guān)系來決定的，商品數(shù)量越多，意味需求量減少，因而價格越低。而下一個時期商品的數(shù)量是由生產(chǎn)者的供求關(guān)系決定，商品價格越低，生產(chǎn)的數(shù)量就越少。當(dāng)商品數(shù)量少到一定程度時，價格又出現(xiàn)反彈。這樣的需求和供給關(guān)系決定了市場經(jīng)濟中價格和數(shù)量必然是振蕩的。有的商品這種振蕩的振幅越來越小，最后趨于平穩(wěn)

24、，有的商品的振幅越來越大，最后導(dǎo)致經(jīng)濟崩潰。 圖1：蛛網(wǎng)模型圖 現(xiàn)以豬肉價格的變化與需求和供給關(guān)系來研究上述振蕩現(xiàn)象。 設(shè)第個時期（長度假定為一年）豬肉的產(chǎn)量為，價格為，產(chǎn)量與價格的關(guān)系為，本時期的價格又決定下一時期的產(chǎn)量，因此，。這種產(chǎn)銷關(guān)系可用下述過程來描述： ， 設(shè) ， 。以產(chǎn)量和價格分別作為坐標(biāo)系的橫軸和縱軸，繪出圖1。這種關(guān)系很象一個蜘蛛網(wǎng)，故稱為蛛網(wǎng)模型。 對于蛛網(wǎng)模型，假定商品本期的需求量決定于本期的價格，即需求函數(shù)為，商品本期產(chǎn)量決定于前一期的價格，即供給函數(shù)為。根據(jù)上述假設(shè)，蛛網(wǎng)模型可以用下述聯(lián)立方程式來表示 ， 其中，均

25、為常數(shù)且均大于零。 蛛網(wǎng)模型分析了商品的產(chǎn)量和價格波動的三種情況?，F(xiàn)在只討論一種情形：供給曲線斜率的絕對值大于需求曲線斜率的絕對值。即當(dāng)市場由于受到干擾偏離原有的均衡狀態(tài)以后，實際價格和實際產(chǎn)量會圍繞均衡水平上下波動，但波動的幅度越來越小，最后會回復(fù)到原來的均衡點。 圖2：收斂型蛛網(wǎng) 假設(shè)，在第一期由于某種外在原因的干擾，如惡劣的氣候條件，實際產(chǎn)量由均衡水平減少為。根據(jù)需求曲線，消費者愿意支付的價格購買全部的產(chǎn)量，于是，實際價格上升為。根據(jù)第一期較高的價格水平，按照供給曲線，生產(chǎn)者將第二期的產(chǎn)量增加為；在第二期，生產(chǎn)者為了出售全部的產(chǎn)量，接受消費者所愿

26、意支付的價格，于是，實際價格下降為。根據(jù)第二期的較低的價格水平，生產(chǎn)者將第三期的產(chǎn)量減少為；在第三期，消費者愿意支付的價格購買全部的產(chǎn)量，于是，實際價格又上升為。根據(jù)第三期較高的價格水平，生產(chǎn)者又將第四期的產(chǎn)量增加為。如此循環(huán)下去（如圖2所示），實際產(chǎn)量和實際價格的波動幅度越來越小，最后恢復(fù)到均衡點所代表的水平。 由此可見，圖2中的平衡點所代表的平衡狀態(tài)是穩(wěn)定的。也就是說，由于外在的原因，當(dāng)價格和產(chǎn)量偏離平衡點后，經(jīng)濟制度中存在著自發(fā)的因素，能使價格和產(chǎn)量自動地恢復(fù)均衡狀態(tài)。產(chǎn)量和價格的變化軌跡形成了一個蜘蛛網(wǎng)似的圖形，這就是蛛網(wǎng)模型名稱的由來。 下面給出具體實例： 據(jù)統(tǒng)計，某城

27、市2001年的豬肉產(chǎn)量為30萬噸，價格為6.00元/公斤。2002年生產(chǎn)豬肉25萬噸，價格為8.00元/公斤。已知2003年的豬肉產(chǎn)量為25萬噸，若維持目前的消費水平與生產(chǎn)方式，并假定豬肉產(chǎn)量與價格之間是線性關(guān)系。問若干年以后的產(chǎn)量與價格是否會趨于穩(wěn)定？若穩(wěn)定請求出穩(wěn)定的產(chǎn)量和價格。 設(shè)2001年豬肉的產(chǎn)量為，豬肉的價格為，2002年豬肉的產(chǎn)量為，豬肉的價格為，依此類推。根據(jù)線性假設(shè)，需求函數(shù)是一條直線，且和在直線上，因此得需求函數(shù)為 ， （4-7） 供給函數(shù)也是一條直線，且和在直線上，因此得供給函數(shù)為 ， （4-8） 將（4-7）式代入到（4-8）式得關(guān)于的差分方程 。 （4-9） 利用迭代法解方程（4-9）。于是有 ， 所以 ， 從而 ， 于是，（萬噸）。 類似于上述推導(dǎo)過程，得到關(guān)于的表達(dá)式 ， 于是，（元/公斤）。 若干年以后的產(chǎn)量與價格都會趨于穩(wěn)定，其穩(wěn)定的產(chǎn)量為（萬噸），穩(wěn)定的價格為（元/公斤）。