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1、2020/7/1,鄭平正 制作鄭平正 制作,,,去“數(shù)學(xué)廣角”嘍?。。?2020/7/1,鄭平正 制作鄭平正 制作,3.1回歸分析的基本思想及其初步應(yīng)用（三）,高二數(shù)學(xué) 選修2-3 第三章 統(tǒng)計(jì)案例,2020/7/1,鄭平正 制作,比《數(shù)學(xué)3》中“回歸”增加的內(nèi)容,數(shù)學(xué)３——統(tǒng)計(jì) 畫散點(diǎn)圖 了解最小二乘法的思想 求回歸直線方程 y＝bx＋a 用回歸直線方程解決應(yīng)用問題,選修2-3——統(tǒng)計(jì)案例 引入線性回歸模型 y＝bx＋a＋e 了解模型中隨機(jī)誤差項(xiàng)e產(chǎn)生的原因 了解相關(guān)指數(shù) R2 和模型擬合的效果之間的關(guān)系 了解殘差圖的作用 利用線性回歸模型解決一類非線性回歸問題 正確理解分

2、析方法與結(jié)果,2020/7/1,鄭平正 制作,復(fù)習(xí)回顧,2、數(shù)據(jù)點(diǎn)和它在回歸直線上相應(yīng)位置的差異 是隨機(jī)誤差的效應(yīng)，稱 為殘差。,3、對(duì)每名女大學(xué)生計(jì)算這個(gè)差異，然后分別將所得的值平方后加起來，用數(shù)學(xué)符號(hào)表示為： 稱為殘差平方和，它代表了隨機(jī)誤差的效應(yīng)。,2020/7/1,鄭平正 制作,4、兩個(gè)指標(biāo)： （1）類比樣本方差估計(jì)總體方差的思想，可以用作 為 的估計(jì)量， 越小，預(yù)報(bào)精度越高。,（2）我們可以用相關(guān)指數(shù)R2來刻畫回歸的效果，其 計(jì)算公式是：,R2 ?1，說明回歸方程擬合的越好；R2?0，說明回歸方程擬合的越差。,2020/7/1,鄭平正 制作,表

3、3-2列出了女大學(xué)生身高和體重的原始數(shù)據(jù)以及相應(yīng)的殘差數(shù)據(jù)。,在研究兩個(gè)變量間的關(guān)系時(shí)，首先要根據(jù)散點(diǎn)圖來粗略判斷它們是否線性相關(guān)，是否可以用回歸模型來擬合數(shù)據(jù)。,5、殘差分析與殘差圖的定義：,然后，我們可以通過殘差 來判斷模型擬合的效果，判斷原始數(shù)據(jù)中是否存在可疑數(shù)據(jù)，這方面的分析工作稱為殘差分析。,我們可以利用圖形來分析殘差特性，作圖時(shí)縱坐標(biāo)為殘差，橫坐標(biāo)可以選為樣本編號(hào)，或身高數(shù)據(jù)，或體重估計(jì)值等，這樣作出的圖形稱為殘差圖。,2020/7/1,鄭平正 制作,殘差圖的制作及作用 1、坐標(biāo)縱軸為殘差變量，橫軸可以有不同的選擇； 2、若模型選擇的正確，殘差圖中的點(diǎn)應(yīng)該分布在以橫軸為

4、心的帶形區(qū)域； 3、對(duì)于遠(yuǎn)離橫軸的點(diǎn)，要特別注意。,身高與體重殘差圖,,,幾點(diǎn)說明： 第一個(gè)樣本點(diǎn)和第6個(gè)樣本點(diǎn)的殘差比較大，需要確認(rèn)在采集過程中是否有人為的錯(cuò)誤。如果數(shù)據(jù)采集有錯(cuò)誤，就予以糾正，然后再重新利用線性回歸模型擬合數(shù)據(jù)；如果數(shù)據(jù)采集沒有錯(cuò)誤，則需要尋找其他的原因。 另外，殘差點(diǎn)比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型計(jì)較合適，這樣的帶狀區(qū)域的寬度越窄，說明模型擬合精度越高，回歸方程的預(yù)報(bào)精度越高。,2020/7/1,鄭平正 制作,例1 在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：,求出Y對(duì)的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。,解：,2020/7/1,鄭

5、平正 制作,例1 在一段時(shí)間內(nèi)，某中商品的價(jià)格x元和需求量Y件之間的一組數(shù)據(jù)為：,求出Y對(duì)的回歸直線方程，并說明擬合效果的好壞。,列出殘差表為,0.994,因而，擬合效果較好。,0,0.3,-0.4,-0.1,0.2,4.6,2.6,-0.4,-2.4,-4.4,2020/7/1,鄭平正 制作,例2 關(guān)于x與y有如下數(shù)據(jù)： 有如下的兩個(gè)線性模型： （1） ；（2） 試比較哪一個(gè)擬合效果更好。,2020/7/1,鄭平正 制作,6、注意回歸模型的適用范圍：,（1）回歸方程只適用于我們所研究的樣本的總體。樣本數(shù)據(jù)來自哪個(gè)總體的，預(yù)報(bào)時(shí)也僅適用于這個(gè)總體。 （2）模型的時(shí)效

6、性。利用不同時(shí)間段的樣本數(shù)據(jù)建立的模型，只有用來對(duì)那段時(shí)間范圍的數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)報(bào)。 （3）建立模型時(shí)自變量的取值范圍決定了預(yù)報(bào)時(shí)模型的適用范圍，通常不能超出太多。 （4）在回歸模型中，因變量的值不能由自變量的值完全確定。正如前面已經(jīng)指出的，某個(gè)女大學(xué)生的身高為172cm，我們不能利用所建立的模型預(yù)測(cè)她的體重，只能給出身高為172cm的女大學(xué)生的平均體重的預(yù)測(cè)值。,2020/7/1,鄭平正 制作,7、一般地，建立回歸模型的基本步驟為：,2020/7/1,鄭平正 制作,案例2 一只紅鈴蟲的產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x有關(guān)?，F(xiàn)收集了7組觀測(cè)數(shù)據(jù)列于表中：,（1）試建立產(chǎn)卵數(shù)y與溫度x之間的回歸方程；并預(yù)測(cè)溫度為28

7、oC時(shí)產(chǎn)卵數(shù)目。 （2）你所建立的模型中溫度在多大程度上解釋了產(chǎn)卵數(shù)的變化？,2020/7/1,鄭平正 制作,畫散點(diǎn)圖,,假設(shè)線性回歸方程為 ：?=bx+a,選 模 型,,,所以，二次函數(shù)模型中溫度解釋了74.64%的產(chǎn)卵數(shù)變化。,探索新知,,,,,,,,,,,,,,,,,,,方案1,,當(dāng)x=28時(shí)，y =19.8728-463.73≈ 93,一元線性模型,2020/7/1,鄭平正 制作,奇怪？,93>66 ? 模型不好？,2020/7/1,鄭平正 制作,,方案2,問題3,合作探究,t=x2,二次函數(shù)模型,2020/7/1,鄭平正 制作,,方案2解答,平方變換：令t=x2，產(chǎn)卵數(shù)y和溫度x之間

8、二次函數(shù)模型y=bx2+a就轉(zhuǎn)化為產(chǎn)卵數(shù)y和溫度的平方t之間線性回歸模型y=bt+a,作散點(diǎn)圖，并由計(jì)算器得：y和t之間的線性回歸方程為y=0.367t-202.54，相關(guān)指數(shù)R2=r2≈0.8962=0.802,將t=x2代入線性回歸方程得： y=0.367x2 -202.54 當(dāng)x=28時(shí)，y=0.367282-202.54≈85，且R2=0.802， 所以，二次函數(shù)模型中溫度解 釋了80.2%的產(chǎn)卵數(shù)變化。,2020/7/1,鄭平正 制作,產(chǎn)卵數(shù),氣溫,指數(shù)函數(shù)模型,方案3,,合作探究,對(duì)數(shù),2020/7/1,鄭平正 制作,,方案3解答,當(dāng)x=28oC 時(shí)，y ≈44 ，指數(shù)回歸模型中溫

9、度解釋了98.5%的產(chǎn)卵數(shù)的變化,由計(jì)算器得：z關(guān)于x的線性回歸方程 為z=0.118x-1.665 ， 相關(guān)指數(shù)R2=r2≈0.99252=0.985,2020/7/1,鄭平正 制作,,最好的模型是哪個(gè)?,線性模型,二次函數(shù)模型,指數(shù)函數(shù)模型,2020/7/1,鄭平正 制作,比一比,最好的模型是哪個(gè)?,2020/7/1,鄭平正 制作,——這些問題也使用于其他問題。,涉及到統(tǒng)計(jì)的一些思想： 模型適用的總體； 模型的時(shí)間性； 樣本的取值范圍對(duì)模型的影響； 模型預(yù)報(bào)結(jié)果的正確理解。,小結(jié),2020/7/1,鄭平正 制作,什么是回歸分析？ （內(nèi)容）,從一組樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，確定變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系式

10、對(duì)這些關(guān)系式的可信程度進(jìn)行各種統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)，并從影響某一特定變量的諸多變量中找出哪些變量的影響顯著，哪些不顯著 利用所求的關(guān)系式，根據(jù)一個(gè)或幾個(gè)變量的取值來預(yù)測(cè)或控制另一個(gè)特定變量的取值，并給出這種預(yù)測(cè)或控制的精確程度,2020/7/1,鄭平正 制作,回歸分析與相關(guān)分析的區(qū)別,相關(guān)分析中，變量 x 變量 y 處于平等的地位；回歸分析中，變量 y 稱為因變量，處在被解釋的地位，x 稱為自變量，用于預(yù)測(cè)因變量的變化 相關(guān)分析中所涉及的變量 x 和 y 都是隨機(jī)變量；回歸分析中，因變量 y 是隨機(jī)變量，自變量 x 可以是隨機(jī)變量，也可以是非隨機(jī)的確定變量 相關(guān)分析主要是描述兩個(gè)變量之間線性關(guān)系的密切程度；回歸分析不僅可以揭示變量 x 對(duì)變量 y 的影響大小，還可以由回歸方程進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制,2020/7/1,鄭平正 制作,練習(xí) 假設(shè)關(guān)于某設(shè)備的使用年限x和所支出的維修費(fèi)用 y（萬元），有如下的統(tǒng)計(jì)資料。,若由資料知,y對(duì)x呈線性相關(guān)關(guān)系。試求： （1）線性回歸方程 的回歸系數(shù) ； （2）求殘差平方和； （3）求相關(guān)系數(shù) ； （4）估計(jì)使用年限為10年時(shí)，維修費(fèi)用是多少？,2020/7/1,鄭平正 制作,解：,（1）由已知數(shù)據(jù)制成表格。,所以有,