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第2課時(shí) 指數(shù)型、對(duì)數(shù)型函數(shù)模型 的應(yīng)用舉例,指數(shù)函數(shù)模型、對(duì)數(shù)函數(shù)模型 思考：解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是什么? 提示:解決實(shí)際應(yīng)用問題的關(guān)鍵是選擇和建立恰當(dāng)?shù)暮瘮?shù)模型.,f(x)=abx+c,f(x)=mlogax+n,【知識(shí)點(diǎn)撥】 1.建立函數(shù)模型應(yīng)把握的三個(gè)關(guān)口 (1)事理關(guān):通過閱讀、理解,明白問題講什么,熟悉實(shí)際背景,為解題打開突破口. (2)文理關(guān):將實(shí)際問題的文字語言轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)的符號(hào)語言,用數(shù)學(xué)式子表達(dá)數(shù)學(xué)關(guān)系. (3)數(shù)理關(guān):在構(gòu)建數(shù)學(xué)模型的過程中,利用已有的數(shù)學(xué)知識(shí)進(jìn)行檢驗(yàn),從而認(rèn)定或構(gòu)建相應(yīng)的數(shù)學(xué)問題.,2.解決擬合函數(shù)模型的應(yīng)用題的四個(gè)環(huán)節(jié) (1)作圖：根據(jù)已知數(shù)據(jù)，畫出散點(diǎn)圖. (2)選擇函數(shù)模型：一般是根據(jù)散點(diǎn)圖的特征，聯(lián)想哪些函數(shù)具有類似的圖象特征，找?guī)讉€(gè)比較接近的函數(shù)模型嘗試. (3)求出函數(shù)模型：求出(2)中找到的幾個(gè)函數(shù)模型的解析式. (4)檢驗(yàn)：將(3)中求出的幾個(gè)函數(shù)模型進(jìn)行比較、驗(yàn)證，得出最適合的函數(shù)模型.,類型 一 指數(shù)函數(shù)模型 【典型例題】 1.某種細(xì)胞分裂時(shí)，由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，4個(gè)分裂成8個(gè)……，現(xiàn)有2個(gè)這樣的細(xì)胞，分裂x次后得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)y為( ) A.y=2x+1 B.y=2x-1 C.y=2x D.y=2x,2.某海濱城市現(xiàn)有人口100萬人，如果年平均自然增長率為1.2%.解答下面的問題： (1)寫出該城市人口數(shù)y(萬人)與年份x(年)的函數(shù)關(guān)系. (2)計(jì)算10年后該城市人口總數(shù)(精確到0.1萬人). (3)計(jì)算大約多少年后該城市人口將達(dá)到120萬人(精確到1年).,【解題探究】1.對(duì)于細(xì)胞分裂問題，一個(gè)細(xì)胞經(jīng)過x次分裂后得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)一般怎樣表示？若是n個(gè)細(xì)胞呢？ 2.解決連續(xù)增長問題應(yīng)建立何種數(shù)學(xué)模型？ 探究提示： 1.由1個(gè)分裂成2個(gè)，2個(gè)分裂成4個(gè)，4個(gè)分裂成8個(gè)……，分裂x次后得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)為2x個(gè)，若是n個(gè)細(xì)胞，則細(xì)胞個(gè)數(shù)為n·2x個(gè). 2.對(duì)于連續(xù)增長的問題一般情況下可建立指數(shù)型函數(shù)模型y=a(1+p)x.,【解析】1.選A.2個(gè)細(xì)胞分裂一次成4個(gè)，分裂兩次成8個(gè)，分裂3次成16個(gè)，所以分裂x次后得到的細(xì)胞個(gè)數(shù)為y=2x+1.,2.(1)1年后該城市人口總數(shù)為 y=100+100×1.2%=100×(1+1.2%)， 2年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)2， 3年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)3， …… x年后該城市人口總數(shù)為y=100×(1+1.2%)x(x∈N).,(2)10年后該城市人口總數(shù)為 y=100×(1+1.2%)10=100×1.01210≈112.7(萬人). (3)設(shè)x年后人口將達(dá)到120 萬人， 即可得到100×(1+1.2%)x=120， 所以大約16年后該城市人口總數(shù)達(dá)到120萬人.,【拓展提升】解應(yīng)用問題的四步驟 讀題?建模?求解?反饋 (1)讀題：通過分析、畫圖、列表、歸類等方法，快速弄清數(shù)據(jù)之間的關(guān)系，數(shù)據(jù)的單位等，弄清已知什么,求解什么,需要什么. (2)建模：正確選擇自變量，將問題表示為這個(gè)變量的函數(shù)，通過設(shè)元,將實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)關(guān)系式或建立數(shù)學(xué)模型，不要忘記考察函數(shù)的定義域.,(3)求解：通過數(shù)學(xué)運(yùn)算將數(shù)學(xué)模型中的未知量求出. (4)反饋：根據(jù)題意檢驗(yàn)所求結(jié)果是否符合實(shí)際情況,并正確作答.,【變式訓(xùn)練】某鋼鐵廠的年產(chǎn)量由2004年的40萬噸，增加到 2014年的60萬噸，如果按此增長率計(jì)算，預(yù)計(jì)該鋼鐵廠2024 年的年產(chǎn)量為______. 【解析】設(shè)年增長率為r，則有40(1+r)10=60， 所以(1+r)10= 所以2024年的年產(chǎn)量為60(1+r)10 =60× =90(萬噸). 答案：90萬噸,類型 二 對(duì)數(shù)函數(shù)模型 【典型例題】 1.某地為了抑制一種有害昆蟲的繁殖，引入了一種以該昆蟲為食物的特殊動(dòng)物，已知該動(dòng)物的繁殖數(shù)量y(只)與引入時(shí)間x(年)的關(guān)系為y=alog2(x+1)，若該動(dòng)物在引入一年后的數(shù)量為100只，則第7年它們發(fā)展到( ) A.300只 B.400只 C.600只 D.700只,2.燕子每年秋天都要從北方飛向南方過冬，研究燕子的專家 發(fā)現(xiàn)，兩歲燕子的飛行速度可以表示為v=5log2 (m/s)，其 中q表示燕子的耗氧量，則燕子靜止時(shí)的耗氧量為______.當(dāng) 一只兩歲燕子的耗氧量為80個(gè)單位時(shí)，其速度是______.,【解題探究】1.對(duì)于題1中的參數(shù)a應(yīng)利用哪些數(shù)值來確定？ 2.借助已知對(duì)數(shù)值求解實(shí)際問題的關(guān)鍵是什么？ 探究提示： 1.可由該動(dòng)物在引入一年后的數(shù)量為100只，即x=1，此時(shí)y=100，代入y=alog2(x+1)中，可解得a. 2.借助已知對(duì)數(shù)值求解實(shí)際問題的關(guān)鍵是充分借助對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，把求解數(shù)值用已知對(duì)數(shù)值表示.,【解析】1.選A.將x=1,y=100代入y=alog2(x+1) 得,100=alog2(1+1)，解得a=100，所以x=7時(shí)， y=100log2(7+1)=300. 2.由題意，燕子靜止時(shí)v=0，即5log2 =0，解得q=10；當(dāng) q=80時(shí)，v=5log2 =15(m/s). 答案：10 15m/s,【互動(dòng)探究】題1中，若引入的此種特殊動(dòng)物繁殖到500只以上時(shí)，也將對(duì)生態(tài)環(huán)境造成危害，那么多少年時(shí)，必須采取措施進(jìn)行預(yù)防？ 【解析】500=100log2(x+1)，解得x=31.所以31年時(shí)，必須采取措施進(jìn)行預(yù)防.,【拓展提升】對(duì)數(shù)函數(shù)應(yīng)用題的基本類型和求解策略 (1)基本類型：有關(guān)對(duì)數(shù)函數(shù)的應(yīng)用題一般都會(huì)給出函數(shù)解析式，然后根據(jù)實(shí)際問題再求解. (2)求解策略：首先根據(jù)實(shí)際情況求出函數(shù)解析式中的參數(shù),或給出具體情境,從中提煉出數(shù)據(jù),代入解析式求值,然后根據(jù)數(shù)值回答其實(shí)際意義.,【變式訓(xùn)練】2012年6月16日，“神舟九號(hào)”載人飛船經(jīng)“長 征二號(hào)F”運(yùn)載火箭發(fā)射升空.火箭起飛質(zhì)量是箭體的質(zhì)量m和 燃料質(zhì)量x的和，在不考慮空氣阻力的條件下，假設(shè)火箭的最 大速度y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系為y=k［ln(m+x)-ln( m)］+4ln2(其 中k≠0)，當(dāng)燃料質(zhì)量為( -1)m噸時(shí)，該火箭的最大速度為4km/s，則y關(guān)于x的函數(shù)解析式為______.,【解題指南】先由燃料質(zhì)量為( -1)m時(shí)，則該火箭的最大速 度為4km/s，代入y=k［ln(m+x)-ln( m)］+4ln2中，確定出k 的值. 【解析】由題意，x=( -1)m時(shí),y=4km/s，即 4=k{ln［m+( -1)m］-ln( m)}+4ln2,所以k=8,故 y=8［ln(m+x)-ln( m)］+4ln2. 答案：y=8［ln(m+x)-ln( m)］+4ln2,類型 三 擬合模型 【典型例題】 1.(2013·廈門高一檢測)今有一組數(shù)據(jù)如下： 在以下四個(gè)模擬函數(shù)中，最適合這組數(shù)據(jù)的函數(shù)是( ) A.v=log2t B.v= C.v= D.v=2t-2,2.四人賽跑，假設(shè)其跑過的路程和時(shí)間的函數(shù)關(guān)系分別是f1(x)=x2，f2(x)=4x，f3(x)=log2x，f4(x)=2x，他們一直跑 下去，最終跑在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是( ) A.f1(x)=x2 B.f2(x)=4x C.f3(x)=log2x D.f4(x)=2x,【解題探究】1.對(duì)于表格給出的數(shù)據(jù)，如何選擇合適的模擬函數(shù)？ 2.指數(shù)函數(shù)的增長具有什么特點(diǎn)？ 探究提示： 1.可用直接法，將表中的數(shù)據(jù)直接代入所給出的模擬函數(shù)中，驗(yàn)證哪個(gè)最適合即可. 2.指數(shù)函數(shù)的變化呈爆炸方式增長，隨著變量的增大，與其他函數(shù)類型相比，其函數(shù)值將增長得最快.,【解析】1.選C.可將自變量的值取整數(shù)，代入備選答案，易知C成立． 2.選D.因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)的變化呈爆炸方式增長，所以一直跑下去，最終在最前面的人具有的函數(shù)關(guān)系是f4(x)=2x，應(yīng)選D.,【拓展提升】數(shù)據(jù)擬合問題的三種求解策略 (1)直接法：若由題中條件能明顯確定需要用的數(shù)學(xué)模型,或題中直接給出了需要用的數(shù)學(xué)模型,則可直接代入表中的數(shù)據(jù),問題即可獲解. (2)列式比較法：若題所涉及的是最優(yōu)化方案問題,則可根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)先列式,然后進(jìn)行比較.,(3)描點(diǎn)觀察法：若根據(jù)題設(shè)條件不能直接確定需要用哪種數(shù)學(xué)模型,則可根據(jù)表中的數(shù)據(jù)在直角坐標(biāo)系中進(jìn)行描點(diǎn),作出散點(diǎn)圖,然后觀察這些點(diǎn)的位置變化情況,確定所需要用的數(shù)學(xué)模型,問題即可順利解決.,【變式訓(xùn)練】某研究小組在一項(xiàng)實(shí)驗(yàn)中獲得一組數(shù)據(jù)，將其整理得到如圖所示的散點(diǎn)圖，下列函數(shù)中，最能近似刻畫y與t之間關(guān)系的是( ) A.y=2t B.y=t3 C.y=log2t D.y=2t2 【解析】選C.由曲線的緩慢增長趨勢知，應(yīng)為對(duì)數(shù)函數(shù)型，故選C.,圖表型應(yīng)用問題 【典型例題】 1.某天0時(shí)，小鵬同學(xué)生病了，體溫上升，吃過藥后感覺好多了，中午時(shí)體溫基本正常(大約37℃),但是下午他的體溫又開始上升，直到半夜才感覺不發(fā)燒了，下面能反映小鵬這一天體溫變化情況的圖象大致是( ),2.某上市股票在30天內(nèi)每股的交易價(jià)格P(元)與時(shí)間t(天)組成有序數(shù)對(duì)(t,P)，點(diǎn)(t,P)落在如圖中的兩條線段上.,該股票在30天內(nèi)的日交易量Q(萬股)與時(shí)間t(天)的部分?jǐn)?shù)據(jù)如下表： (1)根據(jù)提供的圖象，寫出該種股票每股的交易價(jià)格P(元)與時(shí)間t(天)所滿足的函數(shù)關(guān)系. (2)根據(jù)表中數(shù)據(jù)確定日交易量Q(萬股)與時(shí)間t(天)所滿足的一次函數(shù)關(guān)系.,【解析】1.選C.觀察圖象A，體溫逐漸降低，不符合題意；圖象B不能反映他下午體溫又開始上升；圖象D不能反映他下午體溫又開始上升與直到半夜才感覺不發(fā)燒了.,2.(1)由圖象知，前20天滿足的是遞增的直線方程，且過點(diǎn) (0,2),(20,6)，容易求得其方程為P= t+2；從20天到30天滿 足遞減的直線方程，且過點(diǎn)(20,6),(30,5)，求得方程為 P= +8，所以每股的交易價(jià)格P(元)與時(shí)間t(天)所滿足的函 數(shù)關(guān)系為,(2)設(shè)日交易量Q(萬股)與時(shí)間t(天)所滿足的一次函數(shù)關(guān)系為Q=kt+b，過點(diǎn)(4,36),(10,30)，解得k=-1,b=40，所以 Q=-t+40,0≤t≤30,t∈N.,【拓展提升】圖表型應(yīng)用問題的解決思路 (1)結(jié)合圖象特征，觀察坐標(biāo)軸所代表的含義. (2)緊扣題目的語言敘述，將其轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)特征(單調(diào)性， 最值，奇偶性).,【規(guī)范解答】指數(shù)函數(shù)模型在實(shí)際中的應(yīng)用,【典例】,【條件分析】,(1)根據(jù)圖象求k,b的值. (2)若市場需求量為Q，它近似滿足 當(dāng)P=Q時(shí)的市場價(jià)格稱為均衡價(jià)格，為使均衡價(jià)格控制在不低 于9元的范圍內(nèi)，求稅率t的最小值.,【規(guī)范解答】(1)由圖可知 ①時(shí)，有 解得 ………………………… 4分,(2)當(dāng)P=Q時(shí)，得 ……………… 6分 解得 ………… 8分 令 ∵x≥9,∴m∈(0, ］③,在t= (17m2-m-2)中，對(duì) 稱軸為直線 且圖象開口向下. …… 10分 ∴m= 時(shí)，t取得最小值 此時(shí)，x=9. ……………… 12分,【失分警示】,【防范措施】 1.轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用意識(shí) 在解決函數(shù)問題時(shí)經(jīng)常應(yīng)用轉(zhuǎn)化思想，如本例中通過換元法轉(zhuǎn)化成一元二次函數(shù)求最值. 2.二次函數(shù)求最值準(zhǔn)確應(yīng)用變量的范圍 在求解二次函數(shù)最值問題時(shí)一定要注意自變量的范圍以及和對(duì)稱軸的關(guān)系.例如本例中利用換元法得到二次函數(shù)后注意應(yīng)用準(zhǔn)確.,【類題試解】某地區(qū)為響應(yīng)上級(jí)號(hào)召，在2013年初，新建了一批有200萬平方米的廉價(jià)住房，供困難的城市居民 居?。捎谙掳肽晔芪飪r(jià)的影響，根據(jù)本地區(qū)的實(shí)際情況，估計(jì)今后廉價(jià)住房的年平均增長率只能達(dá)到5%. (1)經(jīng)過x年后，該地區(qū)的廉價(jià)住房為y萬平方米，求y=f(x)的解析式，并求此函數(shù)的定義域． (2)作出函數(shù)y=f(x)的圖象，并結(jié)合圖象求：經(jīng)過多少年后，該地區(qū)的廉價(jià)住房能達(dá)到300萬平方米.,【解析】(1)經(jīng)過1年后，廉價(jià)住房面積為 200＋200×5%＝200(1＋5%)； 經(jīng)過2年后為200(1＋5%)2； …… 經(jīng)過x年后，廉價(jià)住房面積為200(1+5%)x， ∴y=200(1+5%)x(x∈N*)．,(2)作函數(shù)y=f(x)=200(1+5%)x(x≥0)的圖象，如圖所示： 作直線y＝300，與函數(shù)y=200(1+5%)x(x≥0)的圖象交于A點(diǎn)，則A(x0,300)， A點(diǎn)的橫坐標(biāo)x0的值就是函數(shù)值y＝300時(shí)所經(jīng)過的時(shí)間x的值． 因?yàn)?＜x0＜9，則取x0＝9， 即經(jīng)過9年后，該地區(qū)的廉價(jià)住房 能達(dá)到300萬平方米．,1.某種商品2012年提價(jià)25%，2013年欲恢復(fù)成原價(jià)，則應(yīng)降 價(jià)( ) A.30% B.25% C.20% D.15% 【解析】選C.設(shè)2012年提價(jià)前的價(jià)格為a,2013年要恢復(fù)成原 價(jià)應(yīng)降價(jià)x.于是有a(1+25%)(1-x)=a，解得x＝ 即應(yīng)降價(jià)20%.,2.從2013年起，在20年內(nèi)某海濱城市力爭使全市工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)總產(chǎn)值翻兩番，如果每年的增長率是8%，則達(dá)到翻兩番目標(biāo)的最少年數(shù)為( ) A.17 B.18 C.19 D.20 【解析】選C.設(shè)2013年該市工農(nóng)業(yè)總產(chǎn)值為a，達(dá)到翻兩番目標(biāo)最少需n年，則翻兩番后變?yōu)?a，由a(1+8%)n≥4a，得(1+8%)n≥4(n∈N*), ∴n≥log1.084≈18.01,又∵n∈N*, ∴n=19.,3.現(xiàn)測得(x,y)的兩組值為(1,2)，(2,5)，現(xiàn)有兩個(gè)擬合模型，甲：y=x2+1；乙：y=3x-1.若又測得(x,y)的一組對(duì)應(yīng)值為(3,10.2)，則應(yīng)選用______作為擬合模型較好． 【解析】將已知的三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)分別代入兩個(gè)解析式得，前兩個(gè)點(diǎn)均適合，但第三個(gè)點(diǎn)更適合甲，比較發(fā)現(xiàn)選甲更好． 答案：甲,4.物體在常溫下的溫度變化可以用牛頓冷卻規(guī)律來描述：設(shè) 物體的初始溫度是T0，經(jīng)過一定時(shí)間t后的溫度是T，則 T-Ta=(T0-Ta)· 其中Ta表示環(huán)境溫度，h稱為半衰期．現(xiàn)有 一杯用88℃熱水沖的速溶咖啡，放在24℃的房間中，如果咖啡 降溫到40℃需要20min，那么降溫到35℃時(shí)，需要多長時(shí)間？,【解析】由題意知40-24=(88-24)· 即 解之，得h＝10. 故T-24=(88-24)· 當(dāng)T=35時(shí)，代入上式，得35-24=(88-24)· 即 兩邊取對(duì)數(shù)，用計(jì)算器求得t≈25. 因此，約需要25min，可降溫到35℃.,