6、數(shù)量關(guān)系,并證明.,解析(1)補全圖形,如圖所示. (2)連接AE,如圖.,點E與點B關(guān)于直線AP對稱, AE=AB,EAP=BAP=20. AB=AD,AE=AD, AED=ADF. 又BAD=90, 2ADF+40+90=180. ADF=25. (3)AB,FE,FD滿足的數(shù)量關(guān)系為FE2+FD2=2AB2. 證明:連接AE,BF,BD,設(shè)BF交AD于點G,如圖.,點E與點B關(guān)于直線AP對稱, AE=AB,FE=FB. 可證得FEA=FBA. AB=AD,AE=AD. ADE=AED. ADE=ABF. 又DGF=AGB,,DFB=BAD=90. FB2+FD2=BD2.BD2=2AB2
7、, FE2+FD2=2AB2.,4.(2012北京,24,7分)在ABC中,BA=BC,BAC=,M是AC的中點,P是線段BM上的動點,將線段PA繞點P順時針旋轉(zhuǎn)2得到線段PQ. (1)若=60且點P與點M重合(如圖1),線段CQ的延長線交射線BM于點D,請補全圖形,并寫出 CDB的度數(shù); (2)在圖2中,點P不與點B,M重合,線段CQ的延長線與射線BM交于點D,猜想CDB的大小(用含的代數(shù)式表示),并加以證明; (3)對于適當大小的,當點P在線段BM上運動到某一位置(不與點B,M重合)時,能使得線段CQ的延長線與射線BM交于點D,且PQ=QD,請直接寫出的范圍.,解析(1)補全圖形,如圖1.
8、 CDB=30. 圖1 (2)猜想:CDB=90-. 證明:如圖2,連接AD,PC. BA=BC,M是AC的中點, BMAC.,圖2 點D,P在直線BM上, PA=PC,DA=DC. 又DP為公共邊, ADPCDP. DAP=DCP,ADP=CDP. 又PA=PQ, PQ=PC.,DCP=PQC. DAP=PQC. PQC+DQP=180, DAP+DQP=180. 在四邊形APQD中,ADQ+APQ=180. APQ=2, ADQ=180-2. CDB=ADQ=90-. (3)的范圍是45<<60.,5.(2018北京東城一模,27)已知在ABC中,AD是BAC的平分線,且A
9、D=AB,過點C作AD的垂線,交 AD的延長線于點H. (1)如圖1,若BAC=60, 直接寫出B和ACB的度數(shù); 若AB=2,求AC和AH的長; (2)如圖2,用等式表示線段AH與AB+AC之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.,解析(1)B=75,ACB=45. 作DEAC交AC于點E. RtADE中,由DAC=30,AD=AB=2可得DE=1,AE=. RtCDE中,由ACD=45,DE=1,可得EC=1. AC=+1. RtACH中,由DAC=30,可得AH=. (2)線段AH與AB+AC之間的數(shù)量關(guān)系為2AH=AB+AC. 證明: 延長AB和CH,交于點F,取BF的中點G,連接GH. 易證ACH
10、AFH.,AC=AF,HC=HF. GHBC. AB=AD, ABD=ADB, AGH=AHG, AG=AH. AB+AC=AB+AF=2AB+BF=2(AB+BG)=2AG=2AH.,解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是要通過構(gòu)造三角形,借助中位線定理尋找邊與邊之間的數(shù)量關(guān)系.,6.(2018北京西城一模,27)正方形ABCD的邊長為2.將射線AB繞點A順時針旋轉(zhuǎn),所得射線與線段BD交于點M,作CEAM于點E,點N與點M關(guān)于直線CE對稱,連接CN. (1)如圖1,當0<<45時, 依題意補全圖形; 用等式表示NCE與BAM之間的數(shù)量關(guān)系:; (2)當45<<90時,探究NCE與BAM之間的數(shù)量關(guān)系,并加
11、以證明; (3)當0<<90時,若邊AD的中點為F,直接寫出線段EF的最大值.,解析(1)補全的圖形如圖1所示. 圖1 NCE=2BAM. (2)當45<<90時,NCE=180-2BAM. 證明:如圖2,連接CM,設(shè)射線AM與CD的交點為H.,圖2 四邊形ABCD為正方形, BAD=ADC=BCD=90,直線BD為正方形ABCD的對稱軸,且點A與點C關(guān)于直線BD對稱. 射線AM與線段BD交于點M, BAM=BCM=, 1=2=90-. CEAM,,CEH=90,3+5=90. 又1+4=90,4=5, 1=3, 3=2=90-. 點N與點M關(guān)于直線CE對稱, NCE=MCE=2+
12、3=180-2BAM. (3)+1. 提示:CEA=90, 點E在以AC為直徑的圓上, 線段EF的最大值為1+.,7.(2018北京海淀一模,27)如圖,已知AOB=60,點P為射線OA上的一個動點,過點P作PEOB,交OB于點E,點D在AOB內(nèi),且滿足DPA=OPE,DP+PE=6. (1)當DP=PE時,求DE的長; (2)在點P的運動過程中,請判斷是否存在一個定點M,使得的值不變,并證明你的判斷.,解析(1)作PFDE交DE于F. PEBO,AOB=60, OPE=30, DPA=OPE=30, EPD=120. DP=PE,DP+PE=6, PDE=30,DP=PE=3. DF=PDc
13、os 30=,,DE=2DF=3. (2)存在.當點M在射線OA上且滿足MO=2時,的值不變,始終為1. 理由如下: 當點P與點M不重合時,延長EP到K,使得PK=PD,連接MK. DPA=OPE,OPE=KPA, KPA=DPA. KPM=DPM. PK=PD,PM是公共邊,,KPMDPM. MK=MD. 作MLOE于L,MNEK于N. MO=2,MOL=60, ML=MOsin 60=3, PEBO,MLOE,MNEK, 四邊形MNEL為矩形, EN=ML=3. EK=PE+PK=PE+PD=6, EN=NK. MNEK, MK=ME. ME=MK=MD,即=1. 當點P與點M重合時,OP
14、=OM=2,易求得PD=PE=3,,==1. 綜上,存在定點M,點M在射線OA上且滿足MO=2時,的值不變,始終為1.,解題關(guān)鍵解決本題第二問的關(guān)鍵是要能夠借助對稱性和解直角三角形的相關(guān)知識發(fā)現(xiàn)線段之間的數(shù)量關(guān)系.,8.(2018北京朝陽一模,27)如圖,在菱形ABCD中,DAB=60,點E為AB邊上的動點(與點A,B不重合),連接CE,將ACE的兩邊所在射線CE,CA以點C為中心順時針旋轉(zhuǎn)120,分別交射線AD于點F,G. (1)依題意補全圖形; (2)若ACE=,求AFC 的大小(用含的式子表示); (3)用等式表示線段AE、AF與CG之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.,解析(1)補全的圖形如圖所示
15、. (2)由題意可知,ECF=ACG=120. FCG=ACE=. 四邊形ABCD是菱形,DAB=60, DAC=BAC=30. AGC=30. AFC=+30. (3)線段AE、AF與CG之間的數(shù)量關(guān)系為AE+AF=CG.,證明:作CHAG于點H. 由(2)可知BAC=DAC=AGC=30, CA=CG. HG=AG. ACE=GCF,CAE=CGF, ACEGCF, AE=FG. 在RtHCG中,HG=CGcosCGH=CG, AG=CG. 即AF+AE=CG.,,解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是要根據(jù)120角構(gòu)造含30角的直角三角形,進而通過全等三角形、解直角三角形相關(guān)知識來解決.,9.(201
16、8北京豐臺一模,28)如圖,RtABC中,ACB=90,CA=CB,過點C在ABC外作射線CE,且BCE=,點B關(guān)于CE的對稱點為點D,連接AD,BD,CD,其中AD,BD分別交射線CE于點M,N. (1)依題意補全圖形; (2)當=30時,直接寫出CMA的度數(shù); (3)當0<<45時,用等式表示線段AM,CN之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.,解析(1)如圖. (2)45. (3)結(jié)論:AM=CN. 證明:作AGNC交NC的延長線于點G. 點B與點D關(guān)于CE對稱, CE是BD的垂直平分線, CB=CD.,1=2=. CA=CB,CA=CD,3=CAD. 4=90, 3=(180-ACD)=(180-9
17、0--)=45-. 5=2+3=+45-=45. 4=90,CE是BD的垂直平分線, 1+7=90,1+6=90, 6=7. AGEC, G=90=8. 在BCN和CAG中, BCNCAG.,CN=AG. RtAMG中,G=90,5=45, AM=AG. AM=CN.,思路分析本題最后一問需要構(gòu)造全等三角形來解決.,解題關(guān)鍵求線段之間的關(guān)系時經(jīng)常會利用全等、旋轉(zhuǎn)、軸對稱等變換將不在同一個三角形的線段轉(zhuǎn)化到同一個三角形中,然后找出關(guān)系.,10.(2018北京通州一模,27)如圖,直線l是線段MN的垂直平分線,交線段MN于點O,在MN下方的直線l上取一點P,連接PN,以線段PN為邊,在PN的上方作
18、正方形NPAB.射線MA交直線l于點C,連接BC. (1)設(shè)ONP=,求AMN的度數(shù); (2)寫出線段AM與BC之間的等量關(guān)系,并證明.,解析(1)連接PM,如圖1所示. 圖1 l是線段MN的垂直平分線, PM=PN, ONP=OMP=. 四邊形APNB是正方形, PA=PN,APN=90. PM=PA,AMP=MAP.,APC+CPN=90,CPN+ONP=90, APC=ONP=. MPA=90--=90-2. AMP=PAM=(180-MPA)=45+. AMN=AMP-PMN=45. (2)AM=BC. 證明如下:作AEMN,交直線MN于點E,作AGl,交直線l于點G,連接E
19、P,如圖2所示. 圖2,在AGP與PON中, AGPPON(AAS), PO=AG. 又易知AG=EO, EP=OE=AG=AC. 又APG=BAG, 45-APG=45-BAG,即EPA=CAB. 在ACB與EPA中, ACBPEA(AAS), BC=AE. 又AM=AE,,AM=BC.,11.(2018北京大興一模,27)如圖,在等腰直角ABC中,CAB=90,F是AB邊上一點,作射線CF,過點B作BGCF于點G,連接AG. (1)求證:ABG=ACF; (2)用等式表示線段CG,AG,BG之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.,解析(1)證明:CAB=90,BGCF于點G, BGF=CAB=
20、90. GFB=CFA. ABG=ACF. (2)CG=AG+BG. 證明:在CG上截取CH=BG,連接AH, ABC是等腰直角三角形, CAB=90,AB=AC. 又ABG=ACH,,ABGACH. AG=AH,GAB=HAC, GAH=90, AG2+AH2=GH2, GH=AG, CG=GH+CH=AG+BG.,12.(2018北京順義一模,27)如圖,在正方形ABCD中,E是BC邊上一點,連接AE,延長CB至點F,使BF=BE,過點F作FHAE于點H,射線FH分別交AB、CD于點M、N,交對角線AC于點P,連接AF. (1)依題意補全圖形; (2)求證:FAC=APF; (3)用等式表
21、示線段FM與PN之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.,解析(1)補全圖如圖所示. (2)證明:四邊形ABCD為正方形, BAC=BCA=45,ABC=90, PAH=45-BAE. FHAE, APF=45+BAE. BF=BE,,AF=AE,BAF=BAE. FAC=45+BAF=45+BAE. FAC=APF. (3)FM=PN. 證明:過B作BQMN交CD于點Q, MN=BQ,BQAE. 四邊形ABCD是正方形,,AB=BC,ABC=BCD=90, BAE=CBQ, ABEBCQ, AE=BQ, AE=MN. FAC=APF, AF=FP. AF=AE, AE=FP, FP=MN, FM=PN.
22、,13.(2018北京房山一模,27)如圖,已知RtABC中,C=90,BAC=30,點D為邊BC上的點,連接AD,BAD=,點D關(guān)于AB的對稱點為E,點E關(guān)于AC的對稱點為G,線段EG交AB于點F,連接AE,DE,DG,AG. (1)依題意補全圖形; (2)求AGE的度數(shù)(用含的式子表示); (3)用等式表示線段EG與EF,AF之間的數(shù)量關(guān)系,并說明理由.,解析(1)如圖. (2)由對稱性可知,AB為線段ED的垂直平分線,AC為線段EG的垂直平分線. AE=AG=AD. AEG=AGE,BAE=BAD=, EAC=BAC+BAE=30+,,EAG=2EAC=60+2, AGE=(180-EA
23、G)=60-. (3)EG=2EF+AF. 設(shè)AC交EG于點H. BAC=30,AHF=90,,FH=AF, EH=EF+FH=EF+AF, 又點E,G關(guān)于AC對稱, EG=2EH, EG=2=2EF+AF.,14.(2018北京懷柔一模,27)如圖,在ABC中,A=90,AB=AC,點D是BC上任意一點,將線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段AE,連接EC. (1)依題意補全圖形; (2)求ECD的度數(shù); (3)若CAE=7.5,AD=1,將射線DA繞點D順時針旋轉(zhuǎn)60,交EC的延長線于點F,請寫出求AF長的思路.,解析(1)如圖. (2)線段AD繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90得到線段AE. DAE=
24、90,AD=AE. DAC+CAE=90. BAC=90, BAD+DAC=90. BAD=CAE . 又AB=AC, ABDACE,,B=ACE. ABC中,A=90,AB=AC, B=ACB=ACE=45. ECD=ACB+ACE=90. (3)連接DE,由于ADE為等腰直角三角形,所以可求出DE的長. 由ADF=60,CAE=7.5,可求EDC的度數(shù)和CDF的度數(shù),從而可知DF的長. 過點A作AHDF于點H,在RtADH中,由ADF=60,AD=1可求AH、DH的長. 由DF、DH的長可求HF的長. 在RtAHF中,由AH和HF,利用勾股定理可求AF的長.,15.(2018北京延慶一模,
25、27)如圖,正方形ABCD中,點E是BC延長線上一點,連接DE,過點B作BFDE于點F,連接FC. (1)求證:FBC=CDF. (2)作點C關(guān)于直線DE的對稱點G,連接CG,FG. 依據(jù)題意補全圖形; 用等式表示線段DF,BF,CG之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明.,解析(1)證明:四邊形ABCD是正方形, DCB=90. CDF+E=90. BFDE, FBC+E=90. FBC=CDF. (2)如圖1.,圖1,線段DF,BF,CG之間的數(shù)量關(guān)系為BF=DF+CG. 證明:在BF上取點M,使得BM=DF,連接CM,如圖2所示. 四邊形ABCD是正方形, BC=DC. FBC=CDF,BM=DF,
26、 BMCDFC, CM=CF,BCM=DCF, MCF是等腰直角三角形. BFC=45. 點C與點G關(guān)于直線DE對稱, CF=GF,CFE=GFE. BFDE,BFC=45, CFE=45,,CFG=90, CFG=MCF, CMGF. CM=CF,CF=GF, CM=GF, 四邊形CGFM是平行四邊形, CG=MF, BF=BM+FM=DF+CG.,圖2,16.(2018北京東城二模,27)如圖所示,點P位于等邊ABC的內(nèi)部,且ACP=CBP. (1)BPC的度數(shù)為; (2)延長BP至點D,使得PD=PC,連接AD,CD, 依題意補全圖形; 證明:AD+CD=BD; (3)在(2)的條件下,
27、若BD的長為2,求四邊形ABCD的面積.,解析(1)120. (2)如圖1所示. 圖1 在等邊ABC中,ACB=60, ACP+BCP=60. ACP=CBP, CBP+BCP=60, BPC=180-(CBP+BCP)=120, CPD=180-BPC=60, PD=PC,,CPD為等邊三角形. ACD+ACP=ACP+BCP=60, ACD=BCP. 在ACD和BCP中, ACDBCP(SAS). AD=BP, AD+CD=BP+PD=BD. (3)如圖2,作BMAD于點M,BNDC延長線于點N.,圖2,ADB=ADC-PDC=60, ADB=CDB=60, BM=BN=BD=. 又
28、由(2)得,AD+CD=BD=2, S四邊形ABCD=SABD+SBCD=ADBM+CDBN=(AD+CD)=2=.,17.(2018北京海淀二模,27)如圖,在等邊ABC中,D,E分別是邊AC,BC上的點,且CD=CE,DBC<30,點C與點F關(guān)于直線BD對稱,連接DE,DF,AF,FE,FE交BD于G. (1)DE,DF之間的數(shù)量關(guān)系是; (2)若DBC=,求FEC的大小;(用的式子表示) (3)用等式表示線段BG,GF和FA之間的數(shù)量關(guān)系,并證明.,解析(1)DE=DF. (2)ABC是等邊三角形, C=60. DBC=, BDC=120-. 點C與點F關(guān)于直線BD對稱, BDF=BDC
29、=120-,DF=DC. FDC=120+2. 由(1)知DE=DF, F,E,C在以D為圓心,DC為半徑的圓上. FEC=FDC=60+. (3)BG=GF+FA. 證明:連接BF,延長AF,BD,交于點H, ABC是等邊三角形,,ABC=BAC=60,AB=BC=CA. 點C與點F關(guān)于直線BD對稱, BF=BC,FBD=CBD. BF=BA, BAF=BFA. 設(shè)CBD=, 則ABF=60-2, BAF=60+,,FAD=, FAD=DBC. 由(2)知FEC=60+. BGE=FEC-DBC=60. FGB=120,FGD=60. 四邊形AFGB中,AFE=360-FAB-ABG-FGB
30、=120, HFG=60, FGH是等邊三角形, FH=FG,H=60. CD=CE, DA=EB. 在AHD與BGE中, AHDBGE.,BG=AH. AH=HF+FA=GF+FA, BG=GF+FA.,18.(2018北京西城二模,27)如圖,在等邊三角形ABC中,CD為中線,點Q在線段CD上運動,將線段QA繞點Q順時針旋轉(zhuǎn),使得點A對應(yīng)的點E落在射線BC上,連接BQ,設(shè)DAQ=(0<<60且30). (1)當0<<30時, 在圖中依題意畫出圖形,并求BQE(用含的式子表示); 探究線段CE,AC,CQ之間的數(shù)量關(guān)系,并加以證明; (2)當30<<60時,直接寫出線段CE,AC,CQ之間的
31、數(shù)量關(guān)系.,解析(1)畫出的圖形如圖1所示. 圖1 ABC為等邊三角形, ABC=60. CD為等邊三角形的中線,Q為線段CD上的點, 由等邊三角形的對稱性得QA=QB. DAQ=, ABQ=DAQ=,QBE=60-. 線段QE為線段QA繞點Q順時針旋轉(zhuǎn)所得,,QE=QA,QB=QE, 可得BQE=180-2QBE=180-2(60-)=60+2. CE+AC=CQ. 證明:如圖2,延長CA到點F,使得AF=CE,連接QF,作QHAC于點H. 圖2 BQE=60+2,點E在BC上, QEC=BQE+QBE=(60+2)+(60-)=120+. 點F在CA的延長線上,DAQ=,
32、 QAF=BAF+DAQ=120+.,QAF=QEC. 又AF=EC,QA=QE, QAFQEC, QF=QC. QHAC于點H, FH=CH,CF=2CH. 在等邊三角形ABC中,CD為中線,點Q在CD上, ACQ=ACB=30, 即QCF為底角為30的等腰三角形. CH=CQcosHCQ=CQcos 30=CQ. CE+AC=AF+AC=CF=2CH=CQ, 即CE+AC=CQ. (2)當30<<60時,AC-CE=CQ.,19.(2017北京朝陽二模,28)在ABC中,ACB=90,以AB為斜邊作等腰直角三角形ABD,且點D與點C在直線AB的兩側(cè),連接CD. (1)如圖1,若ABC=30
33、,則CAD的度數(shù)為. (2)已知AC=1,BC=3. 依題意將圖2補全; 求CD的長; 小聰通過觀察、實驗、提出猜想,與同學(xué)們進行交流,通過討論,形成了求CD長的幾種想法: 想法1:延長CB,在CB延長線上截取BE=AC,連接DE.要求CD的長,需證明ACDBED, CDE為等腰直角三角形. 想法2:過點D作DHBC于點H,DGCA,交CA的延長線于點G,要求CD的長,需證明BDHADG,CHD為等腰直角三角形. 請參考上面的想法,幫助小聰求出CD的長(一種方法即可). (3)用等式表示線段AC,BC,CD之間的數(shù)量關(guān)系(直接寫出即可).,圖1 圖2,解析(1)105. (2)補全圖形
34、,如圖1所示. 圖1 證法一:如圖2.ACB=ADB=90, CAD+CBD=180. DBE+CBD=180,CAD=DBE. DA=DB,AC=BE, ACDBED. DC=DE,ADC=BDE.,CDE=90. CDE為等腰直角三角形. AC=1,BC=3, CE=4. CD=2. 圖2 證法二:如圖3. ACB=ADB=90,,CAD+CBD=180. DAG+CAD=180, CBD=DAG. DA=DB,DGA=DHB=90, BDHADG. DH=DG,BH=AG. 易證四邊形DGCH為正方形, CHD為等腰直角三角形. AC=1,BC=3, CH=2.
35、 CD=2.,圖3 (3)AC+BC=CD. (提示:由全等三角形的性質(zhì)和等腰直角三角形三邊關(guān)系即可證明AC、BC、CD的數(shù)量關(guān)系),20.(2017北京海淀二模,28)在銳角ABC中,AB=AC,AD為BC邊上的高,E為AC的中點. (1)如圖1,過點C作CFAB于F點,連接EF,若BAD=20,求AFE的度數(shù); (2)若M為線段BD上的動點(點M與點D不重合),過點C作CNAM于N點,射線EN,AB交于P點. 依題意將圖2補全; 小宇通過觀察、實驗,提出猜想:在點M運動的過程中,始終有APE=2MAD. 小宇把這個猜想與同學(xué)們進行討論,形成了證明該猜想的幾種想法: 想法1:連接DE,要證A
36、PE=2MAD,只需證PED=2MAD. 想法2:設(shè)MAD=,DAC=,只需用,表示出PEC,通過角度計算得APE=2. 想法3:在NE上取點Q,使NAQ=2MAD,要證APE=2MAD,只需證NAQAPQ. 請你參考上面的想法,幫助小宇證明APE=2MAD.(一種方法即可),,解析(1)證明:AB=AC,AD為BC邊上的高,BAD=20,BAC=2BAD=40. CFAB, AFC=90. E為AC的中點, EF=EA=AC. AFE=BAC=40. (2)補全圖形如圖(畫出一種即可).,畫出一種即可. 證明:想法1:連接DE. AB=AC,AD為BC邊上的高, D為BC的中點. E為AC的
37、中點, EDAB, 1=APE. ADC=90,E為AC的中點, AE=DE=CE=AC. 同理,AE=NE=CE=AC.,AE=NE=CE=DE. A,N,D,C在以點E為圓心,AC為直徑的圓上. 1=2MAD. APE=2MAD. 想法2:設(shè)MAD=,DAC=, CNAM,ANC=90. E為AC的中點,AE=NE=AC. ANE=NAC=MAD+DAC=+. PEC=ANE+NAC=2+2. AB=AC,ADBC, BAC=2DAC=2. APE=PEC-BAC=2. APE=2MAD.,想法3:在NE上取點Q,連接AQ,使NAQ=2MAD. 1=2. AB=AC,ADBC,BAD=CA
38、D. BAD-1=CAD-2, 即3=4.3+NAQ=4+NAQ, 即PAQ=EAN.CNAM,,ANC=90. E為AC的中點,AE=NE=AC. ANE=EAN.PAQ=ANE. AQP=AQP,PAQANQ. APE=NAQ=2MAD.,21.(2017北京東城二模,28)取一張正方形的紙片進行折疊,具體操作過程如下: 第一步:如圖1,先把正方形ABCD對折,折痕為MN; 第二步:點G在線段MD上,將GCD沿GC翻折,點D恰好落在MN上,記為點P,連接BP. 圖1 (1)判斷PBC的形狀,并說明理由; (2)作點C關(guān)于直線AP的對稱點C,連接PC,DC. 在圖2中補全圖形,并求出A
39、PC的度數(shù); 猜想PCD的度數(shù),并加以證明. (溫馨提示:當你遇到困難時,不妨連接AC,CC,研究圖形中特殊的三角形),圖2,解析(1)PBC是等邊三角形. 理由如下:在正方形ABCD中,BC=CD, 又CD=CP, BC=CP, P在MN上, PB=PC. PB=BC=PC. PBC是等邊三角形. (2)補全圖形,如圖所示.,由BA=BP,CBP=60,可求得APB=75, 由BPC=60,可得APC=135. 根據(jù)對稱性,得APC=APC=135. PCD=15. 證法一:連接AC,CC. 由可得CPC=90. 由對稱性可知PC=PC,從而可求得AC=AC=CC=AB. 從而ACC為等邊三
40、角形. 由AC=CC,DA=DC,CD=CD, 可證ACDCCD, 可得ACD=CCD=30. 根據(jù)對稱性得ACC=ACC,PCC=PCC, 所以ACP=ACP, 由ABC為等腰直角三角形,可得ACB=45,,由PBC為等邊三角形,可得BCP=60, 從而ACP=ACP=15. 所以PCD=ACD-ACP=15. 證法二:連接AC,CC. 由BA=BP,CBP=60,可求得BAP=APB=75, 又BAC=45,CAP=30. 根據(jù)對稱性,得CAP=CAP=30,從而CAC=60. 由對稱性可知AC=AC,從而ACC為等邊三角形. 以下同證法一.,22.(2017北京西城一模,28)在ABC中
41、,AB=BC,BDAC于點D. (1)如圖1,當ABC=90時,若CE平分ACB,交AB于點E,交BD于點F, 求證:BEF是等腰三角形; 求證:BD=(BC+BF); (2)點E在AB邊上,連接CE.若BD=(BC+BF),在圖2中補全圖形,判斷ACE與ABC之間的數(shù) 量關(guān)系,寫出你的結(jié)論,并寫出求解ACE與ABC關(guān)系的思路. 圖1 圖2,解析在ABC中,AB=BC,BDAC于點D. ABD=CBD,AD=CD. (1)證明:ABC=90, ACB=45. CE平分ACB, ECB=ACE=22.5. BEF=CFD=BFE=67.5. BE=BF. BEF是等腰三角
42、形. 證明:延長AB至M,使得BM=AB,連接CM.,BDCM,BD=CM, BCM=DBC=ABD=BMC=45, BFE=MCE. BC=BM. 由可得,BEF=BFE,BE=BF. BFE=MCE=BEF. EM=MC,BD=EM=(BC+BF).,(2)ACE=ABC. a.與(1)同理可證BDPC,BD=PC,BP=BC; b.由BD=(BC+BF)可知PEC和BEF分別是等腰三角形; c.由BEF+BFE+EBF=180,FCD+DFC=90,可知ACE=ABC.,解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是借助輔助線(建議使用“延長”)構(gòu)造等腰三角形,尋找邊角關(guān)系.,23.(2017北京朝陽一模,2
43、8)在ABC中,ACB=90,AC
44、F.,24.(2017北京豐臺一模,28)在邊長為5的正方形ABCD中,點E,F分別是BC,DC邊上的兩個動點(不與點B,C,D重合),且AEEF. (1)如圖1,當BE=2時,求FC的長; (2)延長EF交正方形ABCD外角平分線CP于點P. 依題意將圖2補全; 小京通過觀察、實驗提出猜想:在點E運動的過程中,始終有AE=PE.小京把這個猜想與同學(xué)們進行交流,通過討論,形成了證明該猜想的三種想法: 想法1:在AB上截取AG=EC,連接EG,要證AE=PE,需證AGEECP. 想法2:作點A關(guān)于BC所在直線的對稱點H,連接BH,CH,EH,要證AE=PE,需證EHP為等腰三角形. 想法3:將線
45、段BE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90,得到線段BM,連接CM,EM,要證AE=PE,需證四邊形MCPE為平行四邊形. 請你參考上面的想法,幫助小京證明AE=PE.(一種方法即可),,解析(1)正方形ABCD的邊長為5,BE=2, EC=3.,四邊形ABCD是正方形, B=C=90, 1+3=90, AEEF, 2+3=90, 1=2. ABEECF,,=,即=, FC=. (2)依題意補全圖形. 證法一:在AB上截取AG=EC,連接EG. AB=BC,GB=EB. B=90,BGE=45,AGE=135.,DCB=90,CP是正方形ABCD的外角平分線, ECP=135. AGE=ECP. 又1=2,A
46、GEECP. AE=PE. 證法二:作點A關(guān)于BC所在直線的對稱點H,連接BH,CH,EH. AB=BH=BC,ABE=HBE=90. 1=4,BHC=BCH=45,AE=EH,4+5=45. 1=2, 2+5=45.,ECP=135, HCP=180,點H,C,P在同一條直線上. 6=2+P=45, 5=P.EH=PE, AE=PE. 證法三:將線段BE繞點B順時針旋轉(zhuǎn)90,得到線段BM,連接CM,EM. MB=EB,MEB=45,MEC=135. 由證法一知ECP=135,MEC=ECP. MEPC. 又AB=BC,ABC=MBC=90,,ABECBM. 1=BCM,MC=AE. 由(1)
47、知1=2,2=BCM, MCEP. 四邊形MCPE為平行四邊形. MC=PE.AE=PE.,解題關(guān)鍵本題提供了三種方法,都是正確的,但有簡有繁.構(gòu)造全等在有角等的情況下,選擇截取邊.解決本題的關(guān)鍵是要根據(jù)已知添加輔助線,同時要掌握全等三角形的判定方法.,25.(2017北京順義一模,28)在正方形ABCD和正方形DEFG中,頂點B、D、F在同一直線上,H是BF的中點. (1)如圖1,若AB=1,DG=2,求BH的長; (2)如圖2,連接AH,GH. 小宇觀察圖2,提出猜想:AH=GH,AHGH.小宇把這個猜想與同學(xué)們進行交流,通過討論,形成了證明該猜想的幾種想法: 想法1:延長AH交EF于點M
48、,連接AG,GM,要證明結(jié)論成立只需證GAM是等腰直角三角形;,想法2:連接AC,GE分別交BF于點M,N,要證明結(jié)論成立只需證AMHHNG. 請你參考上面的想法,幫助小宇證明AH=GH,AHGH.(一種方法即可),解析(1)在正方形ABCD和正方形DEFG中, ABD,GDF為等腰直角三角形. AB=1,DG=2, 由勾股定理求得BD=,DF=2. B、D、F三點共線, BF=3. H是BF的中點, BH=BF=. (2)證法一:延長AH交EF于點M,連接AG,GM,,在正方形ABCD和正方形DEFG中,ABD=DFE=45, 又B、D、F共線,ABH=MFH. 又BH=FH,AHB=MHF
49、, ABHMFH. AH=MH,AB=MF. AB=AD,AD=MF. DG=FG,ADG=MFG=90, ADGMFG. AGD=MGF,AG=MG. 又DGM+MGF=90, AGD+DGM=90. AGM為等腰直角三角形. AH=MH, AH=GH,AHGH.,證法二:連接AC,GE分別交BF于點M,N, 在正方形ABCD和正方形DEFG中, ACBD,GEDF,DM=BD,DN=DF. AMD=GNH=90,B、D、F三點共線,MN=BF. H是BF的中點, BH=BF. BH=MN.,BH-MH=MN-MH. BM=HN. AM=BM=DM, AM=HN=DM. MD+DH=NH+D
50、H. MH=DN. DN=GN,MH=GN. AMHHNG. AH=GH,AHM=HGN. HGN+GHN=90, AHM+GHN=90. AHG=90. AHGH.,26.(2017北京海淀一模,28)在ABCD中,點B關(guān)于直線AD的對稱點為B,連接AB,CB,CB交AD于F點. (1)如圖1,ABC=90,求證:F為CB的中點. (2)小宇通過觀察、實驗、提出猜想:如圖2,在點B繞點A旋轉(zhuǎn)的過程中,點F始終為CB的中點.小宇把這個猜想與同學(xué)們進行交流,通過討論,形成了證明該猜想的幾種想法: 想法1:過點B作BGCD交AD于G點,只需證三角形全等; 想法2:連接BB交AD于H點,只需證H為B
51、B的中點; 想法3:連接BB,BF,只需證BBC=90. 請你參考上面的想法,證明F為CB的中點.(一種方法即可) (3)如圖3,當ABC=135時,AB,CD的延長線相交于點E,求的值.,圖3,解析(1)證明:四邊形ABCD為平行四邊形,ABC=90,ABCD為矩形,AB=CD. D=BAD=90. B,B關(guān)于直線AD對稱, BAD=BAD=90,AB=AB. BAD=D,AB=CD. AFB=CFD, AFBDFC(AAS). FB=FC. F是CB的中點. (2)證法一:過點B作BGCD交AD于G點.,B,B關(guān)于直線AD對稱, 1=2,AB=AB. BGCD,ABCD, BGAB. 2=
52、3.1=3. BA=BG. AB=CD,AB=AB, BG=CD. BGCD, 4=D. BFG=CFD, BFGCFD(AAS). FB=FC. F是CB的中點.,證法二:連接BB交AD于H點. B,B關(guān)于直線AD對稱, 直線AD是線段BB的垂直平分線. BH=HB. ADBC, ==1. FB=FC. F是CB的中點. 證法三:連接BB,BF.,B,B關(guān)于直線AD對稱, 直線AD是線段BB的垂直平分線. BF=FB.1=2. ADBC, BBBC. BBC=90. 1+3=90,2+4=90. 3=4.FB=FC. BF=FB=FC. F是CB的中點.,(3)取BE的中點G,連接GF. 由
53、(2)得,F為CB的中點, FGCE,FG=CE. ABC=135,ADBC, BAD=180-ABC=45. 由對稱性,知EAD=BAD=45. FGCE,ABCD, FGAB. GFA=FAB=45.,FGA=90,GA=GF. FG=sinEADAF=AF. 由可得=.,解題思路(1)利用三角形全等證線段相等. (2)根據(jù)題目中的想法證明. (3)連接GF,證明AFG是等腰直角三角形,以FG為中間量求解.,解題關(guān)鍵解決本題第(3)問的關(guān)鍵是要通過構(gòu)造中點尋找45角,并借助FG尋找等量關(guān)系.,27.(2017北京東城一模,28)在等腰ABC中, (1)如圖1,若ABC為等邊三角形,D為線段
54、BC中點,線段AD關(guān)于直線AB的對稱線段為線段AE,連接DE,則BDE的度數(shù)為; (2)若ABC為等邊三角形,點D為線段BC上一動點(不與B,C重合),連接AD并將線段AD繞點D逆時針旋轉(zhuǎn)60得到線段DE,連接BE. 根據(jù)題意在圖2中補全圖形; 小玉通過觀察、驗證,提出猜測:在點D運動的過程中,恒有CD=BE.經(jīng)過與同學(xué)們的充分討論,形成了幾種證明的思路: 思路1:要證明CD=BE,只需要連接AE,并證明ADCAEB; 思路2:要證明CD=BE,只需要過點D作DFAB,交AC于F,證明ADFDEB; 思路3:要證明CD=BE,只需要延長CB至點G,使得BG=CD,證明ADCDEG. 請參考以上
55、思路,幫助小玉證明CD=BE.(只需要用一種方法證明即可) (3)小玉的發(fā)現(xiàn)啟發(fā)了小明:如圖3,若AB=AC=kBC,AD=kDE,且ADE=C,此時小明發(fā)現(xiàn)BE,,BD,AC三者之間滿足一定的數(shù)量關(guān)系,這個數(shù)量關(guān)系是.(直接給出結(jié)論無需證明),解析(1)30. (2)補全圖形如圖所示. 思路1:如圖,連接AE. AD=DE,ADE=60, ADE為等邊三角形,AE=AD. 又ABC為等邊三角形,,EAD=BAC=60,AB=AC. EAD-BAD=BAC-BAD,EAB=DAC. EABDAC. CD=BE. 思路2:過點D作DFAB,交AC于F. ABC為等邊三角形,BAC=C=60, D
56、FAB,DFC=60. CDF為等邊三角形. AF=BD. ADE=ACB=ABC=60,,DAF=EDB. 又AD=DE, ADFDEB. DF=BE=CD. 思路3:延長CB至G,使BG=CD. BG+BD=CD+BD, DG=BC. ABC為等邊三角形, BC=AC,C=60. DG=AC.,由證法二知EDB=DAC, 又AD=DE, ADCDEG, DC=EG,C=G=60, GBE是等邊三角形, EG=BE, CD=BE. (3)k(BE+BD)=AC.,28.(2017北京豐臺二模,28)已知正方形ABCD,點E,F分別在射線AB,射線BC上,AE=BF,DE與AF交于點O. (1
57、)如圖1,當點E,F分別在線段AB,BC上時,則線段DE與AF的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是; (2)如圖2,當點E在線段AB的延長線上時,將線段AE沿AF平移至FG,連接DG. 依題意將圖2補全; 小亮通過觀察、實驗提出猜想:在點E運動的過程中,始終有DG2=2AD2+2AE2. 小亮把這個猜想與同學(xué)們進行交流,通過討論,形成了證明該猜想的幾種想法: 想法1:連接EG,要證明DG2=2AD2+2AE2,只需證四邊形FAEG是平行四邊形及DGE是等腰直角三角形. 想法2:延長AD,GF交于點H,要證明DG2=2AD2+2AE2,只需證DGH是直角三角形.,請你參考上面的想法,幫助小亮證明DG2=2A
58、D2+2AE2.(一種方法即可),解析(1)相等;垂直. (2)依題意補全圖形. 證法一:連接GE.,由平移可得AE=FG,AEFG,四邊形AEGF是平行四邊形. AF=EG,AFEG,1=2. 四邊形ABCD是正方形, AD=AB,DAE=ABC=90. 在AED和BFA中, AEDBFA.,3=4,AF=DE. EG=DE. 2+4=90, 1+3=90,DEG=90. DG2=DE2+EG2=2DE2. 又DE2=AD2+AE2, DG2=2AD2+2AE2. 證法二:延長AD,GF交于點H,,由平移可得AE=FG,AEFG, H+DAB=180. 四邊形ABCD是正方形, DAB=90
59、,AD=DC. H=90. DG2=GH2+DH2. HDC=DCF=90, 四邊形HDCF是矩形. HF=DC. HF=AD. HG=FG+HF, HG=AE+HF=AE+AD. 易證BF=AH且BF=AE, HD=AE-AD.,DG2=(AE+AD)2+(AE-AD)2=2AD2+2AE2.,29.(2016北京西城一模,28)在正方形ABCD中,點P是射線CB上一個動點.連接PA,PD,點M,N分別為BC,AP的中點,連接MN交PD于點Q. (1)如圖1,當點P與點B重合時,QPM的形狀是; (2)當點P在線段CB的延長線上時,如圖2. 依題意補全圖2; 判斷QPM的形狀并加以證明; (
60、3)點P與點P關(guān)于直線AB對稱,且點P在線段BC上.連接AP,若點Q恰好在直線AP上,正方形ABCD的邊長為2,請寫出求此時BP長的思路.(可以不寫出計算結(jié)果),解析(1)等腰直角三角形. (2)補全圖形,如圖所示. QPM是等腰三角形. 證明:延長BC至E,使CE=BP,連接AE,如圖.,PB=CE,PB+BC=CE+BC,即CP=BE. 四邊形ABCD是正方形, AB=DC,ABC=DCB=90. 在DCP和ABE中, DCPABE. 1=E. M為BC的中點,MB=MC. MB+BP=MC+CE,即MP=ME. M為PE的中點. N為AP的中點,NMAE. 2=E.1=2. QP=QM.
61、QPM是等腰三角形.,(3)求解思路如下: a.由題意畫出圖形,并延長BC至E,使CE=BP,連接AE,如圖. b.由(2)可得QMAE,可得=; c.由PPAD,可得PPQADQ,從而=; d.可得=; e.由點P與點P關(guān)于直線AB對稱,得BP=BP=CE,設(shè)BP=BP=CE=x,由AD=BC=2,M為BC的中點,可分別表示出PM,ME,PP,可求BP的長.,思路分析(1)易知BMN為等腰直角三角形,結(jié)合正方形的對稱性,可知QPM為等腰直角三角形. (2)依題意畫圖,由M、N為中點,構(gòu)造以MN為中位線的三角形,從而證明QPM為等腰三角形. (3)借助(2)的思想進行解題.,解題技巧這類由特殊
62、到一般的動點問題要尋求共同點,同時注意上一問對下一問的影響.,30.(2016北京海淀一模,28)在ABC中,AB=AC,BAC=90,點D在射線BC上(與B、C兩點不重合),以AD為邊作正方形ADEF,使點E與點B在直線AD的異側(cè),射線BA與射線CF相交于點G. (1)若點D在線段BC上,如圖1, 依題意補全圖1; 判斷BC與CG的數(shù)量關(guān)系與位置關(guān)系,并加以證明; (2)若點D在線段BC的延長線上,且G為CF的中點,連接GE,AB=,則GE的長為,并簡 述求GE長的思路.,解析(1)補全圖形,如圖所示. BC與CG的數(shù)量關(guān)系為BC=CG,位置關(guān)系為BCCG. 證明:AB=AC,BAC=90,
63、 B=ACB=45,1+2=90. 射線BA、CF相交于點G, CAG=BAC=90. 四邊形ADEF為正方形, DAF=2+3=90,AD=AF. 1=3. 在ABD和ACF中,,ABDACF. B=ACF=45. B=G=45,BCG=90. BC=CG,BCCG. (2)GE=. 思路如下: a.畫出圖形,如圖所示. b.與同理,可得BD=CF,BC=CG,BCCG; c.由AB=,G為CF中點,可得BC=CG=FG=CD=2; d.過點A作AMBD于M,過點E作ENFG于N,可證AMDFNE,可得AM=FN=1,NE所在直,線為FG的垂直平分線,FE=EG; e.在RtAMD中,AM=
64、1,MD=3,可得AD=,故GE=FE=AD=.,思路分析(1)補全圖形.易證ABDACF(SAS),則BCG為等腰直角三角形;(2)由于點D在BC的延長線上,所以要考慮借助(1)的證明過程,同時尋找它們之間的差異,另外,題目中有很多相等的線段,所以要考慮借助全等三角形來解決.,解題關(guān)鍵解決本題的關(guān)鍵是要發(fā)現(xiàn)全等三角形,能夠根據(jù)相等的線段構(gòu)造全等的三角形.,31.(2016北京朝陽二模,28)在ABC中,點D、E分別在AB、AC上,BE、CD相交于點O,且 DCB=EBC=A. (1)如圖1,若AB=AC,則BD與CE的數(shù)量關(guān)系是; (2)如圖2,若ABAC,請你補全圖2,思考BD與CE是否仍
65、然具有(1)中的數(shù)量關(guān)系,并說明理由; (3)如圖3,BDC=105,BD=3,且BE平分ABC,請寫出求BE長的思路.(不用寫出計算結(jié)果),解析(1)BD=CE. (2)補全圖形如圖. 證明:在BE上截取BF=CD,連接CF. DCB=EBC=A, 在DCB和FBC中, DCBFBC.BD=CF,FCB=DBC. CFE=FBC+FCB=FBC+DBC=2FBC+ABE. CEF=A+ABE.CFE=CEF.,CF=CE.BD=CE. (3)求解思路如下: a.如圖,過點E作EMBC于M; b.由BE平分ABC,可得ABC=A; c.由BDC=105,可得EBC=25,A=50,ACB=80
66、; d.由(2)知CE=BD=3,在RtCEM中,可求EM的長度; e.在RtBEM中,由EBM的度數(shù)和EM的長度,可求BE的長度.,思路分析第(1)問利用ASA證DCBEBC;要解決第(2)問,首先要把第(1)問的結(jié)論進行證明并思考兩問之間的聯(lián)系;要解決第(3)問,需要將BE放置在有已知角的直角三角形中,這樣才能借助三角函數(shù)來求邊長.,答題技巧寫“思路”的題目,可以“節(jié)省”的是題目的計算過程,可以應(yīng)用的句式是“由,可得(可求)”等.,32.(2016北京朝陽一模,28)在等腰三角形ABC中,AC=BC,點P為BC邊上一點(不與B、C重合),連接PA,以P為旋轉(zhuǎn)中心,將線段PA順時針旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)角與C相等,得到線段PD,連接DB. (1)當C=90時,請你在圖1中補全圖形,并直接寫出DBA的度數(shù); (2)如圖2,若C=,求DBA的度數(shù)(用含的代數(shù)式表示); (3)連接AD,若C=30,AC=2,APC=135,請寫出求AD長的思路.(可以不寫出計算結(jié)果),解析(1)補全圖形如圖. DBA=90. (2)過點P作PEAC交AB于點E.,PEB=CAB. AC=BC,CBA=CAB. PEB
（北京專版）2019年中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第七章 專題拓展 7.6 幾何壓軸綜合題（試卷部分）課件.ppt
