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1、選修45不等式選講,知識梳理,考點自診,1.絕對值三角不等式 (1)定理1:若a,b是實數,則|a+b|,當且僅當時,等號成立; (2)性質:|a|-|b||ab||a|+|b|; (3)定理2:若a,b,c是實數,則|a-c|, 當且僅當時,等號成立.,|a|+|b|,ab0,|a-b|+|b-c|,(a-b)(b-c)0,知識梳理,考點自診,2.絕對值不等式的解法 (1)含絕對值的不等式|x|a(a0)的解法: |x|axa或x0)和|ax+b|c(c0)型不等式的解法: |ax+b|c; |ax+b|c. (3)|x-a|+|x-b|c(c0)和|x-a|+|x-b|c(c0)型不等式的

2、解法: 利用絕對值不等式的幾何意義求解,體現了數形結合的思想; 利用“零點分段法”求解,體現了分類討論的思想; 通過構造函數,利用函數的圖像求解,體現了函數與方程及數形結合的思想.,-cax+bc,ax+bc或ax+b-c,知識梳理,考點自診,2ab,4.不等式證明的方法 證明不等式常用的方法有比較法、綜合法、分析法等.,知識梳理,考點自診,1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”. (1)對|a-b||a|+|b|,當且僅當ab0時,等號成立.() (2)|a+b|+|a-b||2a|. () (3)|x-a|+|x-b|的幾何意義是表示數軸上的點x到點a,b的距離之和. ()

3、(4)用反證法證明命題“a,b,c全為0”時假設為“a,b,c全不為0”. () (5)若m=a+2b,n=a+b2+1,則nm. (),,,,,,知識梳理,考點自診,2. 若|a-c|c-b C.|a||b|-|c|D.|a|<|b|+|c|,解析:|a|-|c||a-c|<|b|,即|a|<|b|+|c|,故選D.,D,3.(2018山東青島第二次模擬)已知|x-a|

4、|-3

5、絕對值不等式的解法 例1(2018全國1,文23)已知f(x)=|x+1|-|ax-1|. (1)當a=1時,求不等式f(x)1的解集; (2)若x(0,1)時不等式f(x)x成立,求a的取值范圍.,考點1,考點2,考點1,考點2,解題心得解含有兩個以上絕對值符號的不等式,一般解法是零點分段法.即令各個絕對值式子等于0,求出各自零點,把零點在數軸上從小到大排列,然后按零點分數軸形成的各區(qū)間去絕對值,進而將絕對值不等式轉化為常規(guī)不等式.,考點1,考點2,對點訓練1(2018湖南湘潭三模,23)已知函數f(x)=|3x-1|-|2x+1|+a. (1)求不等式f(x)a的解集; (2)若恰好存在4

6、個不同的整數n,使得f(n)<0,求a的取值范圍.,解 (1)由f(x)a,得|3x-1||2x+1|, 不等式兩邊同時平方,得9x2-6x+14x2+4x+1, 即5x210 x,解得x2, 所以不等式f(x)a的解集為(-,0)(2,+).,考點1,考點2,考點1,考點2,考向2利用絕對值三角不等式求最值 例2(2018皖江八校5月聯考,23)已知函數f(x)=|3x-2|.,考點1,考點2,解題心得求含絕對值的函數最值時,常用的方法有三種:(1)利用絕對值的幾何意義;(2)利用絕對值三角不等式,即|a|+|b||ab||a|-|b|;(3)利用零點分區(qū)間法,去絕對值轉化為分段函數求解.,

7、考點1,考點2,考點1,考點2,解 (1)f(x)+f(2x+5)=|x-1|+|2x+4|x+9, 當x-2時,不等式為4x-12,x-3,x(-,-3; 當-2

8、1,考點2,(2)由(1)知,y=f(x)的圖像與y軸交點的縱坐標為2,且各部分所在直線斜率的最大值為3,故當且僅當a3且b2時,f(x)ax+b在0,+)成立,因此a+b的最小值為5.,考點1,考點2,解題心得(1)解決與絕對值有關的綜合問題的關鍵是去掉絕對值,化為分段函數來解決.(2)數形結合是解決與絕對值有關的綜合問題的常用方法.,考點1,考點2,對點訓練3(2018湖北華中師大附中5月押題,23)已知函數f(x)=|2x-1|-a(aR). (1)若f(x)在-1,2上的最大值是最小值的2倍,解不等式f(x)5; (2)若存在實數x使得f(x)< f(x+1)成立,求實數a的取值范圍.

9、,考點1,考點2,考點1,考點2,不等式的證明 例4(2017全國2,文23)已知a0,b0,a3+b3=2.證明: (1)(a+b)(a5+b5)4; (2)a+b2.,考點1,考點2,解題心得不等式證明的常用方法是:比較法、綜合法與分析法.其中運用綜合法證明不等式時,主要是運用基本不等式證明,與絕對值有關的不等式證明常用絕對值三角不等式.證明過程中一方面要注意不等式成立的條件,另一方面要善于對式子進行恰當的轉化、變形.,考點1,考點2,對點訓練4(2018寧夏銀川考前模擬,23)已知a0,b0,a2+b2=a+b.證明: (1)(a+b)22(a2+b2); (2)(a+1)(b+1)4.

10、,解 (1)因為(a+b)2-2(a2+b2)=2ab-a2-b2=-(a-b)20. 所以(a+b)22(a2+b2). (2)由(1)及a2+b2=a+b得a+b2.,于是(a+1)(b+1)4.,考點1,考點2,1.含絕對值不等式的恒成立問題的求解方法 (1)分離參數法:運用“f(x)af(x)maxa,f(x)af(x)mina”可解決恒成立中的參數范圍問題. (2)數形結合法:在研究不等式f(x)g(x)恒成立問題時,若能作出兩個函數的圖像,則通過圖像的位置關系可直觀解決問題. 2.含絕對值不等式的證明,可用“零點分段法”討論去掉絕對值符號,也可利用重要不等式|a+b||a|+|b|及其推廣形式|a1+a2++an||a1|+|a2|++|an|. 3.不等式求解和證明中應注意的事項 作差比較法適用的主要是多項式、分式、對數式、三角式,作商比較法適用的主要是高次冪乘積結構.,考點1,考點2,1.在解決有關絕對值不等式的問題時,充分利用絕對值不等式的幾何意義解決問題能有效避免分類討論不全面的問題.若用零點分段法求解,要掌握分類討論的標準,做到不重不漏. 2.在利用算術-幾何平均不等式求最值時,要注意檢驗等號成立的條件,特別是多次使用不等式時,必須使等號同時成立.,