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《反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)》教案2 教學(xué)目標(biāo) 一、知識(shí)與技能 1．進(jìn)一步熟悉作函數(shù)圖象的主要步驟，會(huì)作反比例函數(shù)的圖象． 2．體會(huì)函數(shù)的三種表示方法的相互轉(zhuǎn)換，對(duì)函數(shù)進(jìn)行認(rèn)識(shí)上的整合． 3．逐步提高從函數(shù)圖象中獲取信息的能力，探索并掌握反比例函數(shù)的主要性質(zhì)． 二、過(guò)程與方法 1．經(jīng)歷反比例函數(shù)主要性質(zhì)的發(fā)現(xiàn)過(guò)程． 2．體會(huì)分類(lèi)討論思想、數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用． 三、情感態(tài)度與價(jià)值觀 1．積極參與探索活動(dòng)，注意多和同伴交流看法． 2．在動(dòng)手作圖的過(guò)程中，體會(huì)做中的樂(lè)趣，養(yǎng)成勤于動(dòng)手，樂(lè)于探索的習(xí)慣． 教學(xué)重點(diǎn) 掌握反比例函數(shù)的作圖． 教學(xué)難點(diǎn) 反比例函數(shù)三種表示方法的相互轉(zhuǎn)換． 教具準(zhǔn)備 1．教師準(zhǔn)備：投影儀、直尺、圓規(guī)． 2．學(xué)生準(zhǔn)備：預(yù)習(xí)本節(jié)課的內(nèi)容． 教學(xué)過(guò)程 一、創(chuàng)設(shè)問(wèn)題情境，引入新課 活動(dòng)1 （1）畫(huà)函數(shù)y=3x-1的圖象；（2）求上述函數(shù)與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)． 設(shè)計(jì)意圖： 總結(jié)一次函數(shù)圖象作法的基本步驟及其性質(zhì)，為學(xué)習(xí)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)作準(zhǔn)備． 師生行為： 學(xué)生獨(dú)立思考、操作、交流、回答；教師可與學(xué)生平等交流，提問(wèn)學(xué)生． 生：（1）列表：（由于一次函數(shù)的圖象是一條直線(xiàn)，所以只需找到兩個(gè)點(diǎn)）． x 0 y -1 0 （2）描點(diǎn)：以表中各組對(duì)應(yīng)值作為點(diǎn)的坐標(biāo)，在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)． （3）連線(xiàn)：連接兩點(diǎn)即可得y=3x-1的圖象（圖象略）令x=0，則y=-1，∴一次函數(shù)與y軸交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，-1），令y=0，得x=，∴一次函數(shù)與x軸交點(diǎn)的坐標(biāo)為（，0）． 師：很好，什么叫做反比例函數(shù)？ 生：如果兩個(gè)變量x、y之間的關(guān)系可以表示成y=（k為常數(shù)且k≠0）的形式，那么y是x的反比例函數(shù)，反比例函數(shù)的自變量x不能為零． 師：請(qǐng)同學(xué)們猜一猜，一次函數(shù)的圖象是一條直線(xiàn)，那么反比例函數(shù)的圖象是什么樣的呢？你能畫(huà)出例如y=，y=，y=-，y=-的圖象嗎？ 生：我認(rèn)為反比例函數(shù)的圖象是斷開(kāi)的，因?yàn)閤≠0． 生：我認(rèn)為反比例函數(shù)的圖象是與x軸、y軸無(wú)交點(diǎn)，因?yàn)閤≠0，y≠0． 師：反比例函數(shù)的圖象到底如何呢？下面我們親自動(dòng)手操作就會(huì)發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)圖象的特點(diǎn)． 二、探索、研究──揭示反比例函數(shù)的特點(diǎn) 活動(dòng)2 【例2】畫(huà)出反比例函數(shù)y=與y=-的圖象． 設(shè)計(jì)意圖： 進(jìn)一步熟悉作出函數(shù)圖象的主要步驟，會(huì)作反比例函數(shù)的圖象．同時(shí)讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)函數(shù)三種表示方法的相互轉(zhuǎn)換，對(duì)函數(shù)進(jìn)行認(rèn)識(shí)上的整合，去為發(fā)現(xiàn)反比例函數(shù)的性質(zhì)作準(zhǔn)備． 師生行為： 學(xué)生初次遇到作非線(xiàn)性函數(shù)的圖象，而且反比例函數(shù)的圖象是由斷開(kāi)的兩支曲線(xiàn)組成，因此在作圖過(guò)程中應(yīng)給學(xué)生留有思考的時(shí)間和交流的空間． 學(xué)生可以先自己動(dòng)手畫(huà)圖，相互觀摩． 在此活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注： ①學(xué)生能否順利進(jìn)行三種表示方法的相互轉(zhuǎn)換； ②是否熟悉作出函數(shù)圖象的主要步驟，會(huì)作反比例函數(shù)的圖象； ③在動(dòng)手作圖的過(guò)程中，能否勤于動(dòng)手，樂(lè)于探索． 師：這是我們初次遇到作反比例函數(shù)的圖象．但作圖象的步驟和要求與畫(huà)一次函數(shù)圖象基本一樣．第一步應(yīng)該做什么？ 生：列表．由于自變量x≠0，列表時(shí)，我們是否在0的兩邊對(duì)稱(chēng)地取互為相反數(shù)的x值．這樣y就只差一個(gè)符號(hào)，可以減少計(jì)算量． 師：這個(gè)同學(xué)的想法很好！“三思而后行”，使自己的思路變得如何清晰，是很了不起的事．我們不妨分成兩個(gè)大組，第一大組列函數(shù)y=的表格，第二大組列函數(shù)y=-的表格． 生：解：列表表示幾組x與y的對(duì)應(yīng)值（填空）： x…-6-5-4-3-2-1123456… y=…-1-1.2-1.5-2-3-66321.51.21… y=-…11.21.5236-6-3-2-1.5-1.2-1… 師：你還記得如何用“描點(diǎn)”的方法畫(huà)出函數(shù)的圖象嗎？ 生：從列出的表格可知，畫(huà)y=的圖象需描點(diǎn)（-6，-1），（-5，-1.2），（-4，-1.5），（-3，-2），（-2，-3），（-1，-6），（1，6），（2，3），（3，2），（4，1.5），（5，1.2），（6，1）… 畫(huà)y=-的圖象需描點(diǎn)（-6，1），（-5，1.2），（-1，1.5），（-3，2），（-2，3），（-1，6），（1，-6），（2，-3），（3，-2），（4，-1.5），（5，-1.2），（6，-1）… 生：我們找到了點(diǎn)在直角坐標(biāo)系內(nèi)描出相應(yīng)的點(diǎn)，接著該連線(xiàn)了吧？這么多的點(diǎn)從哪兒連起呢？ 生：我認(rèn)為連線(xiàn)要用平滑的曲線(xiàn)把各個(gè)點(diǎn)按自變量由小到大的順序連起來(lái)． 師：很好！反比例函數(shù)是我們第一次遇到的非直線(xiàn)的函數(shù)圖象，而且反比例函數(shù)的圖象是由斷開(kāi)的兩支曲線(xiàn)組成，我們從描出的點(diǎn)的變化趨勢(shì)就可看出，切記不能用折線(xiàn)連接． 師生共析： 用平滑的曲線(xiàn)按自變量從小到大的順序把描出點(diǎn)連接起來(lái)，就可得到下圖: 師：我們利用列表、描點(diǎn)、連線(xiàn)，得到了y=與y=-的圖象，它們有什么共同的特征？它們之間有什么關(guān)系呢？ 生：比較反比例函數(shù)y=與y=-的圖象可以發(fā)現(xiàn)，它們都是由兩條曲線(xiàn)組成，曲線(xiàn)都無(wú)限地接近x、y軸，但不會(huì)與x軸、y軸相交． 師：也就是反比例函數(shù)的圖象是雙曲線(xiàn)． 生：還可以發(fā)現(xiàn)y=與y=-的圖象都是軸對(duì)稱(chēng)圖形，各有兩條對(duì)稱(chēng)軸．它們都不會(huì)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)． 活動(dòng)3 練習(xí)： 在下面的平面直角坐標(biāo)系中，如下圖畫(huà)出反比例函數(shù)y=與y=-的圖象，可以利用y=與y=-圖象之間的關(guān)系畫(huà)出函數(shù)y=-的圖象． 設(shè)計(jì)意圖： 進(jìn)一步熟悉畫(huà)反比例函數(shù)圖象的一般步驟和需要注意的問(wèn)題：列表時(shí)，自變量的值可以選取絕對(duì)值相等而符號(hào)相反的一對(duì)一對(duì)的數(shù)值，這樣可以簡(jiǎn)化運(yùn)算，又便于描點(diǎn)，作出圖象的對(duì)稱(chēng)；列表，描點(diǎn)時(shí)，要盡可能多取一些數(shù)值，多描一些點(diǎn)，這樣便于連線(xiàn)．在連線(xiàn)時(shí)，必須用光滑曲線(xiàn)連接各點(diǎn)，而又不能用折線(xiàn)等． 師生行為： 由學(xué)生自己獨(dú)立完成． 教師巡視對(duì)有困難的學(xué)生給予指導(dǎo)，然后讓兩個(gè)同學(xué)板演． 在此活動(dòng)中教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注： ①能否掌握畫(huà)反比例函數(shù)圖象的步驟； ②能否用光滑的曲線(xiàn)畫(huà)出； ③能否利用y=與y=-的關(guān)系畫(huà)出函數(shù)的圖象． 活動(dòng)4 觀察函數(shù)y=和y=-以及y=和y=-的圖象． （1）你能發(fā)現(xiàn)它們的共同特征以及不同點(diǎn)嗎？ （2）每個(gè)函數(shù)的圖象分別位于哪幾個(gè)象限？ （3）在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的變化如何變化？ 設(shè)計(jì)意圖： 提高學(xué)生從函數(shù)圖象中獲取信息的能力，探索并掌握反比例函數(shù)的主要性質(zhì)，體會(huì)分類(lèi)討論的思想，數(shù)形結(jié)合思想的運(yùn)用．并引導(dǎo)學(xué)生積極參與探索活動(dòng)，注意多和同伴交流看法． 師生行為： 學(xué)生分組針對(duì)上面3個(gè)問(wèn)題結(jié)合畫(huà)出的圖象分類(lèi)討論，歸納總結(jié)反比例函數(shù)圖象的特點(diǎn)和性質(zhì)． 教師參與到學(xué)生的討論中去，積極引導(dǎo)． 在此活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注： ①學(xué)生能否從反比例函數(shù)y=，y=-和y=與y=-圖象中歸納出它們的相同點(diǎn)和不同點(diǎn)． ②學(xué)生能否積極參與到小組討論中，大膽發(fā)表自己的見(jiàn)解，傾聽(tīng)別人的看法． 師：觀察y=和y=-以及y=和y=-的圖象，函數(shù)y=的圖象在哪些象限由什么因素來(lái)決定？ 生：y=，y=的圖象都在第一、第三象限；而y=-和y=-的圖象都在第二、第四象限． 所以y=的圖象在哪些象限，由k來(lái)決定．當(dāng)k>0時(shí)反比例函數(shù)的圖象位于第一、第三象限；當(dāng)k<0時(shí)，反比例函數(shù)的圖象位于第二、四象限． 師：很好！我們已知道反比例函數(shù)的圖象是兩支，我們把它叫做雙曲線(xiàn)，而函數(shù)是研究?jī)蓚€(gè)變量之間的關(guān)系的．像y=和y=-以及y=與y=-，它們的圖象在每個(gè)象限，y隨x的變化如何變化？ 生：由y=的圖象可以發(fā)現(xiàn)，位于第一象限內(nèi)的圖象，從左向右看，x在增大，曲線(xiàn)成下降趨勢(shì)，說(shuō)明函數(shù)值y隨x的增大而減小，位于第三象限的一支也隨x的增大減?。? 生：由y=-的圖象可以發(fā)現(xiàn)，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大． 生：而y=與y=-的圖象也不難發(fā)現(xiàn)：對(duì)于y=，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減小，對(duì)于y=-，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大． 師生共析： 所以，y隨x的變化情況也同k有關(guān)系，即y=，當(dāng)k>0時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減??；當(dāng)k<0時(shí)，在每一個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而增大． 生：為什么要強(qiáng)調(diào)在“每一個(gè)象限內(nèi)”呢？ 師：大家知道，反比例函數(shù)的圖象是“斷開(kāi)”的．所以，y隨x的變化情況也是“斷開(kāi)”的，因此需在每一個(gè)象限內(nèi)分別討論： 綜上所述，反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)如下： （1）反比例函數(shù)y=（k為常數(shù)，k≠0）的圖象是雙曲線(xiàn)； （2）當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線(xiàn)的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x值的增大而減??； （3）當(dāng)k<0時(shí)，雙曲線(xiàn)的兩支分別位于第二、第四象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x值的增大而增大． 下面我們就根據(jù)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)完成下列練習(xí)． 三、鞏固提高 活動(dòng)5 1．請(qǐng)指出下面的圖象中，如下圖哪一個(gè)是反比例函數(shù)的圖象（ ） 2．如右圖，這是下列四個(gè)函數(shù)中哪一個(gè)函數(shù)的圖象（ ） A．y=5x B．y=2x+3 C．y= D．y=- 設(shè)計(jì)意圖： 熟悉反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，進(jìn)一步體會(huì)數(shù)形結(jié)合的思想． 師生行為： 學(xué)生獨(dú)立思考完成． 教師巡視，引導(dǎo)“學(xué)困生”完成任務(wù)． 在此活動(dòng)中，學(xué)生應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注： （1）學(xué)生能否熟練掌握反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)． （2）學(xué)生是否能將剛學(xué)過(guò)的知識(shí)用于實(shí)踐． 生：解：1．反比例函數(shù)的圖象是雙曲線(xiàn)，所以應(yīng)選Ｃ． 2．從上圖中可以看出是反比例函數(shù)的圖象，而給出的四個(gè)函數(shù)中，AB都不是反比例函數(shù)，而D雖是反比例函數(shù)，但y=-中，k=-3<0，圖象應(yīng)在二、四象限，應(yīng)選C． 四、課堂總結(jié)，提高認(rèn)識(shí) 活動(dòng)6 你對(duì)本節(jié)知識(shí)有哪些認(rèn)識(shí)？ 設(shè)計(jì)意圖： 這種形式的小結(jié)，激發(fā)了學(xué)生的主動(dòng)參與意識(shí)調(diào)動(dòng)了學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣，為每一位學(xué)生都制造了在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)中獲得成功的體驗(yàn)體會(huì)，并為程度不同的學(xué)生提供了充分展示自己的機(jī)會(huì)，尊重學(xué)生的個(gè)體差異，滿(mǎn)足多樣化的學(xué)習(xí)需要，從而使小節(jié)活動(dòng)不流于形式而具有實(shí)效性，為學(xué)生提供更好的空間以梳理自己在本節(jié)課中的收獲． 小結(jié)活動(dòng)既要注重引導(dǎo)學(xué)生對(duì)反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)又充分認(rèn)識(shí)，又要從能力、情感態(tài)度等方面關(guān)注學(xué)生對(duì)課堂的整體感受． 師生行為： 教師可由學(xué)生隨意說(shuō)出一個(gè)反比例函數(shù)，然后由另一個(gè)學(xué)生說(shuō)出它的性質(zhì)或制作卡片（卡片上可直接寫(xiě)上幾個(gè)反比例函數(shù)或反比例函數(shù)的圖象）．讓學(xué)生抽取并回答卡片上提出的問(wèn)題． 在活動(dòng)中，教師應(yīng)重點(diǎn)關(guān)注： （1）不同層次學(xué)生對(duì)本節(jié)課知識(shí)的認(rèn)識(shí)程序； （2）學(xué)生獨(dú)立面對(duì)困難和克服困難的能力． 板書(shū)設(shè)計(jì) 17．1．2反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)（一） 1．反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì) （1）y=，y=- （2）y=，y=- ①反比例函數(shù)的圖象是雙曲線(xiàn)； ②當(dāng)k>0時(shí)，雙曲線(xiàn)的兩支分別位于第一、第三象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x值的增大而減小； ③當(dāng)k<0時(shí)，雙曲線(xiàn)的兩支分別位于第二、四象限，在每個(gè)象限內(nèi)y隨x值的增大而增大． 2．練習(xí) 活動(dòng)與探究 右如圖A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3）是函數(shù)y=圖象在第一象限分支上的三個(gè)點(diǎn)，且x10）的圖象與反比例函數(shù)y=（k>0）的圖象分別交于A、C兩點(diǎn)．若Rt△AOB與Rt△COD的面積分別記為S1、S2，請(qǐng)你分析S1和S2的大小關(guān)系，并寫(xiě)出分析過(guò)程． 過(guò)程：∵A、C是y=（k>0）上的點(diǎn)，x1y1=x2y2=k，S△AOB=│x1y1│=k， S△COD=│x2y2│=k． 結(jié)果：S△AOB=S△COD即面積相等． 備課資料 參考例題 【例1】反比例函數(shù)y=的圖象所在象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，求a的值． 分析：根據(jù)反比例函數(shù)解析式的一般式y(tǒng)=（k≠0），可知此函數(shù)為反比例函數(shù)，13-a2=1；2a-3≠0，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，圖象在象限內(nèi)，y隨x的增大而增大，則2a-3<0． 解：由 所以a=-2． 【例2】已知一次函數(shù)y=k1x+b中，y隨x的增大而減小，且b>0；反比例函數(shù)y=中，k1=k2，那么它們?cè)谕蛔鴺?biāo)系中的圖象只可能是（ ） 分析：由一次函數(shù)y=k1x+b中，y隨x的增大而減小，則可知k1<0．又b>0，故直線(xiàn)與y軸交點(diǎn)在y軸的正半軸上． 因k2=k1，而且k1<0，所以k2<0．雙曲線(xiàn)y=在第二、第四象限，故選C．