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1、專題訓練(二)　特殊平行四邊形的性質與判定 班別 姓名 1．如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，且DE∥AC，AE∥BD. 求證：四邊形AODE是矩形． 2．如圖，在?ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，CF＝AE，連接AF，BF. (1)求證：四邊形BFDE是矩形； (2)若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求證：AF是∠DAB的平分線． 3．

2、如圖1，在?ABCD中，AF平分∠BAD交BC于點F，CE平分∠BCD交AD于點E. (1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形； (2)如圖2，若BE⊥EC，求證：四邊形ABFE是菱形． 圖1　　　　　　　　　圖2 4．(1)如圖1，在紙片?ABCD中，AD＝5，S?ABCD＝15，過點A作AE⊥BC，垂足為點E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE′的位置，拼成四邊形AEE′D，則四邊形AEE′D的形狀為( ) A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形

3、 D．正方形 (2)如圖2，在(1)中的四邊形紙片AEE′D中，在EE′上取一點F，使EF＝4，剪下△AEF，將它平移至△DE′F′的位置，拼成四邊形AFF′D. ①求證：四邊形AFF′D是菱形； ②求四邊形AFF′D的兩條對角線的長． 5．如圖所示，E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，AD的中點． (1)當四邊形ABCD是矩形時，四邊形EFGH是菱形，請說明理由； (2)當四邊形ABCD滿足什么條件時，四邊形EFGH為正方形？并說明理由．

4、 6．如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E. (1)求證：四邊形ADCE為矩形； (2)當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明． 參考答案 1．(吉林中考)如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相

5、交于點O，且DE∥AC，AE∥BD.求證：四邊形AODE是矩形． 證明：∵DE∥AC，AE∥BD， ∴四邊形AODE是平行四邊形． 又∵四邊形ABCD為菱形， ∴AC⊥BD，即∠AOD＝90°. ∴四邊形AODE是矩形． 2．如圖，在?ABCD中，過點D作DE⊥AB于點E，點F在邊CD上，CF＝AE，連接AF，BF. (1)求證：四邊形BFDE是矩形； (2)若CF＝6，BF＝8，DF＝10，求證：AF是∠DAB的平分線． 證明：(1)∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AB∥CD，AB＝CD. ∵CF＝AE， ∴BE＝DF. ∴四邊形BFDE為平行四邊

6、形． ∵DE⊥AB，∴∠DEB＝90°. ∴四邊形BFDE是矩形． (2)∵四邊形BFDE是矩形， ∴∠BFD＝90°.∴∠BFC＝90°. 在Rt△BFC中，由勾股定理得 BC＝＝＝10. ∴AD＝BC＝10. 又∵DF＝10，∴AD＝DF. ∴∠DAF＝∠DFA. ∵AB∥CD，∴∠DFA＝∠FAB. ∴∠DAF＝∠FAB. ∴AF是∠DAB的平分線． 3．如圖1，在?ABCD中，AF平分∠BAD交BC于點F，CE平分∠BCD交AD于點E. 圖1　　　　　　　　　圖2 (1)求證：四邊形AFCE是平行四邊形； (2)如圖2，若BE⊥EC，求證

7、：四邊形ABFE是菱形． 證明：(1)∵AF平分∠BAD，CE平分∠BCD， ∴∠FAE＝∠BAE，∠FCE＝∠FCD. ∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠BAE＝∠FCD，AD∥BC. ∴∠FAE＝∠FCE，∠FCE＝∠CED. ∴∠FAE＝∠CED. ∴AF∥EC. 又∵AE∥CF， ∴四邊形AFCE為平行四邊形． (2)∵AF∥EC，BE⊥EC， ∴∠AOE＝∠BEC＝90°. ∴∠AOE＝∠AOB＝90°. 在△ABO和△AEO中， ∴△ABO≌△AEO(ASA)． ∴BO＝EO. 同理可得△ABO≌△FBO， ∴AO＝FO. ∴四邊形ABFE

8、是平行四邊形． 又∵AF⊥BE， ∴平行四邊形ABFE是菱形． 4．(南昌中考)(1)如圖1，在紙片?ABCD中，AD＝5，S?ABCD＝15，過點A作AE⊥BC，垂足為點E，沿AE剪下△ABE，將它平移至△DCE′的位置，拼成四邊形AEE′D，則四邊形AEE′D的形狀為(C) A．平行四邊形 B．菱形 C．矩形 D．正方形 (2)如圖2，在(1)中的四邊形紙片AEE′D中，在EE′上取一點F，使EF＝4，剪下△AEF，將它平移至△DE′F′的位置，拼成四邊形AFF′D. ①求證：四邊形

9、AFF′D是菱形； ②求四邊形AFF′D的兩條對角線的長． 解：①證明：∵在紙片?ABCD中，AD＝5，S?ABCD＝15，過點A作AE⊥BC，垂足為E， ∴AE＝3. ∵△DE′F′是由△AEF平移得到的， ∴AF∥DF′，AF＝DF′. ∴四邊形AFF′D是平行四邊形． 在Rt△AEF中，由勾股定理，得 AF＝＝＝5， ∴AF＝AD＝5. ∴四邊形AFF′D是菱形． ②連接AF′，DF， 在Rt△DE′F中，E′F＝FF′－E′F′＝5－4＝1， E′D＝3， ∴DF＝＝＝. 在Rt△AEF′中，EF′＝EF＋FF′＝4＋5＝9，AE＝3， ∴AF′＝＝＝3

10、. 5．如圖所示，E，F(xiàn)，G，H分別是四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，AD的中點． (1)當四邊形ABCD是矩形時，四邊形EFGH是菱形，請說明理由； (2)當四邊形ABCD滿足什么條件時，四邊形EFGH為正方形？并說明理由． 解：(1)∵四邊形ABCD是矩形，∴AC＝BD. ∵EF＝AC，EH＝BD， ∴EF＝EH. 同理可得：EF＝EH＝GH ＝GF. ∴四邊形EFGH是菱形． (2)當四邊形ABCD滿足AC＝BD且AC⊥BD時，四邊形EFGH為正方形． 證明：∵E，F(xiàn)分別是四邊形ABCD的邊AB，BC的中點， ∴EF∥AC，EF＝AC. 同理：EH∥

11、BD，EH＝BD，GF＝BD，GH＝AC. 又∵AC＝BD，∴EF＝EH＝GH＝GF. ∴四邊形EFGH是菱形． ∵AC⊥BD，∴EF⊥EH. ∴四邊形EFGH是正方形． 6．(安順中考)如圖，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足為點D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分線，CE⊥AN，垂足為點E. (1)求證：四邊形ADCE為矩形； (2)當△ABC滿足什么條件時，四邊形ADCE是一個正方形？并給出證明． 解：(1)證明：∵在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠BAD＝∠DAC. ∵AN是△ABC的外角∠CAM的平分線， ∴∠MAE＝∠CAE. ∴∠DAE＝∠DAC＋∠CAE＝×180°＝90°. 又∵AD⊥BC，CE⊥AN， ∴∠ADC＝∠CEA＝90°. ∴四邊形ADCE為矩形． (2)當∠BAC＝90°時，四邊形ADCE是正方形． 證明：∵∠BAC＝90°，AB＝AC，AD⊥BC， ∴∠ACD＝∠DAC＝45°.∴DC＝AD. 又由(1)知，四邊形ADCE為矩形， ∴四邊形ADCE是正方形． 八年級數(shù)學備課組 8