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第六章　萬有引力與航天 4　萬有引力理論的成就 1．行星的運(yùn)動可看做勻速圓周運(yùn)動，則行星繞太陽運(yùn)動的軌道半徑R的三次方與周期T的平方的比值為常量＝k，下列說法正確的是 (　　)． A．公式＝k只適用于圍繞太陽運(yùn)行的行星 B．圍繞同一星球運(yùn)行的行星或衛(wèi)星，k值不相等 C．k值與被環(huán)繞星球的質(zhì)量和行星或衛(wèi)星的質(zhì)量都有關(guān)系 D．k值僅由被環(huán)繞星球的質(zhì)量決定 解析　由G＝mR可得＝，所以k＝，k值只和被環(huán)繞星球的質(zhì)量有關(guān)，即圍繞同一星球運(yùn)行的行星或衛(wèi)星，k值相等，所以只有D正確． 答案　D 2．把太陽系各行星的運(yùn)動近似看成勻速圓周運(yùn)動，則離太陽越遠(yuǎn)的行星 (　　)． A．周期越小 B．線速度越小 C．角速度越小 D．加速度越小 解析　行星繞太陽做勻速圓周運(yùn)動，所需的向心力由太陽對行星的引力提供，由G＝m得v＝ ，可知r越大，線速度越小，B正確．由G＝mω2r得ω＝ ，可知r越大，角速度越小，C正確．又由T＝知，ω越小，周期T越大，A錯(cuò)．由G＝ma得a＝，可知r越大，a越小，D正確． 答案　BCD 3．設(shè)地球表面重力加速度為g0，物體在距離地心4R(R是地球的半徑)處，由于地球的作用而產(chǎn)生的加速度為g，則為 (　　)． A．1 B. C. D. 解析　地球表面上的重力加速度和在離地心4R處的加速度均由地球?qū)ξ矬w的萬有引力產(chǎn)生，所以有 在地面上，G＝mg0，① 離地心4R處，G＝mg，② 由①②兩式得＝2＝. 答案　D 4．某行星和地球繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道均可視為圓．每過N年，該行星會運(yùn)行到日地連線的延長線上，如圖6－4－5所示．該行星與地球的公轉(zhuǎn)半徑之比為 (　　)． 圖6－4－5 A. 　　 B. C. 　　 D. 解析　設(shè)地球和行星的軌道半徑分別為r1、r2，運(yùn)行周期分別為T1、T2.由開普勒行星運(yùn)動第三定律＝k得＝，又NT1＝(N－1)T2，聯(lián)立解得＝. 答案　B 5．質(zhì)量為m的探月航天器在接近月球表面的軌道上飛行，其運(yùn)動視為勻速圓周運(yùn)動．已知月球質(zhì)量為M，月球半徑為R，月球表面重力加速度為g，引力常量為G，不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則航天器的 (　　)． A．線速度v＝ B．角速度ω＝ C．運(yùn)行周期T＝2π D．向心加速度a＝ 解析　探月航天器在接近月球表面的軌道上飛行，萬有引力提供向心力，有G＝ma＝m＝mω2R＝mR，可得a＝，v＝，ω＝，T＝2π，所以A正確，D錯(cuò)誤；又由于不考慮月球自轉(zhuǎn)的影響，則G＝mg，即GM＝gR2，所以ω＝，T＝2π，所以B錯(cuò)誤，C正確． 答案　AC 6．火星直徑約為地球直徑的一半，質(zhì)量約為地球質(zhì)量的十分之一，它繞太陽公轉(zhuǎn)的軌道半徑約為地球繞太陽公轉(zhuǎn)半徑的1.5倍．根據(jù)以上數(shù)據(jù)，以下說法中正確的是 (　　)． A．火星表面重力加速度的數(shù)值比地球表面的小 B．火星公轉(zhuǎn)的周期比地球的長 C．火星公轉(zhuǎn)的線速度比地球的大 D．火星公轉(zhuǎn)的向心加速度比地球的大 解析　本題考查萬有引力定律和有關(guān)天體運(yùn)動的問題，意在考查學(xué)生對天體運(yùn)動中各物理量之間的相互關(guān)系的掌握情況和分析比較能力．由mg＝得：＝·＝×2＝，所以選項(xiàng)A正確；由G＝mr，得T＝ ，＝＝＞1，所以選項(xiàng)B正確；由G＝m，得v＝ ，a＝＝，所以選項(xiàng)C、D都不對． 答案　AB 7．為了研究太陽演化進(jìn)程，需要知道太陽目前的質(zhì)量M.已知地球半徑R＝6.4×106 m，地球質(zhì)量m＝6.0×1024 kg，日地中心的距離r＝1.5×1011 m，地球表面處的重力加速度g＝10 m/s2,1年約為3.2×107 s，試估算太陽目前的質(zhì)量M. 解析　地球繞太陽做圓周運(yùn)動，萬有引力提供向心力，根據(jù)萬有引力定律和牛頓第二定律有 G＝mr① 對地球表面附近質(zhì)量為m′的物體有 G＝m′g② 聯(lián)立①②兩式解得 M＝＝1.90×1030 kg 答案　1.90×1030 kg 8．月球與地球質(zhì)量之比約為1∶80.有研究者認(rèn)為月球和地球可視為一個(gè)由兩質(zhì)點(diǎn)構(gòu)成的雙星系統(tǒng)，它們都圍繞月地連線上某點(diǎn)O做勻速圓周運(yùn)動．據(jù)此觀點(diǎn)，可知月球與地球繞O點(diǎn)運(yùn)動的線速度大小之比約為 (　　)． A．1∶6 400 B．1∶80 C．80∶1 D．6 400∶1 解析　雙星系統(tǒng)中的向心力大小相等，角速度相同．據(jù)此可得M＝m，Mω2r1＝mω2r2，聯(lián)立得＝＝，故C項(xiàng)正確． 答案　C 9．有一星球的密度與地球的密度相同，但它表面處的重力加速度是地球表面處的重力加速度的4倍，則該星球的質(zhì)量是地球質(zhì)量的 (　　)． A.倍 B．4倍 C．16倍 D．64倍 解析　由G＝mg得M＝， ρ＝＝＝ 所以R＝，則＝＝4 根據(jù)M＝＝＝＝64M地，所以D項(xiàng)正確． 答案　D 10．我國曾發(fā)射一顆繞月運(yùn)行的探月衛(wèi)星“嫦娥一號”．設(shè)想“嫦娥一號”貼近月球表面做勻速圓周運(yùn)動，其周期為T.“嫦娥一號”在月球上著陸后，自動機(jī)器人用測力計(jì)測得質(zhì)量為m的儀器重力為P.已知引力常量為G，由以上數(shù)據(jù)可以求出的量有 (　　)． A．月球的半徑 B．月球的質(zhì)量 C．月球表面的重力加速度 D．月球繞地球做勻速圓周運(yùn)動的向心加速度 解析　萬有引力提供衛(wèi)星做圓周運(yùn)動的向心力，設(shè)衛(wèi)星質(zhì)量為m′，有G＝m′R，月球表面萬有引力等于重力，G＝P＝mg月，兩式聯(lián)立可以求出月球的半徑R、質(zhì)量M、月球表面的重力加速度g月，故A、B、C都正確． 答案　ABC 11．已知地球同步衛(wèi)星的軌道半徑約為地球半徑的7倍，某行星的同步衛(wèi)星軌道半徑約為該行星半徑的3倍，該行星的自轉(zhuǎn)周期約為地球自轉(zhuǎn)周期的一半，那么該行星的平均密度與地球平均密度之比約為多少？ 解析　由萬有引力定律，對地球同步衛(wèi)星有 G＝m2(7R)， 對行星的同步衛(wèi)星有 G＝M′2(3R′)， 又M地＝πR3ρ，M行＝πR′3ρ′， 聯(lián)立以上各式得＝＝. 答案　108∶343 12．我國航天技術(shù)飛速發(fā)展，設(shè)想數(shù)年后宇航員登上了某星球表面．宇航員從距該星球表面高度為h處，沿水平方向以初速度v拋出一小球，測得小球做平拋運(yùn)動的水平距離為L，已知該星球的半徑為R，引力常量為G.求： (1)該星球表面的重力加速度； (2)該星球的平均密度． 解析　(1)小球在星球表面做平拋運(yùn)動，有L＝vt，h＝gt2 解得g＝ (2)在星球表面滿足＝mg 又M＝ρ·πR3，解得ρ＝. 答案　(1)　(2)