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1、第二章 部分習題分析與解答,2-2 假使地球自轉速度加快到能使赤道上的物體處于失重狀態(tài),一晝夜的時間有多長?,解答:,按題意有:,分析:,由于物體地球自轉時,有向心加速度存在.當提供此加速度的力即為重力時,物體處于失重狀態(tài),由向心加速度和角速度的關系就可得一晝夜所需的時間.,則地球自轉一天所需的時間為:,2-4 圖示一斜面,傾角為,底邊AB長為l=2.1m,質量為m的物體 從斜面頂端由靜止開始向下滑動,斜面的摩擦因數(shù)為=0.14.試問,當為何值時,物體在斜面上下滑的時間最短?其數(shù)值為多少?,解答:,取沿斜面為坐標軸Ox,原點O位于斜面頂點,則由牛頓第二定律有,分析:,該題關鍵在列出動力學和運動

2、學方程后,解出傾角與時間的函數(shù)關系=f(t),然后運用對 t求極值的方法即可得出數(shù)值來.,又物體在斜面上作勻變速直線運動,故有:,則:,為使下滑時間最短,可令 ,由上式得:,則可得:,此時:,2-8 直升飛機的螺旋槳由兩個對稱的葉片組成.每一葉片的質量m=136kg,長l=3.66m,求當它的轉速n=320r/min時,兩個葉片根部的張力.(設葉片是寬度一定、厚度均勻的薄片）,分析:,螺旋槳旋轉時，葉片上各點的加速度不同，在其各部分兩側的張力也不同；由于葉片的質量是連續(xù)分布的，在求葉片根部的張力時，可選取葉片上一小段，分析其受力，列出動力學方程，然后采用積分的方法求解。,解答:,設葉片

3、根部為原點O，沿葉片背離原點O的方向，距原點O為r處為dr一小段葉片，其兩側對它的拉力分別為FT（r）與FT（r+dr）葉片轉動時，該小段葉片作圓周運動，由牛頓定律有,由于 時外側 ,所以有:,上式中取 ,即得葉片根部的張力,負號表示張力方向與坐標方向相反.,2-9在一只半徑為R的半球形碗內，有一粒質量為m的小鋼球。當鋼球以角速度在水平面內沿碗內壁作勻速圓周運動時，它距碗旅底有多高？,分析:,維持鋼球在水平面內作勻角速度轉動時，必須使鋼球受到一與向心加速度相對應的力（向心力），而該力是由碗內壁對球的支持力FN的分力來提供的，由于支持為FN始終垂直于碗內壁，所以支持力的大小和方向

4、是隨而變的。取圖示Oxy坐標，列出動力學方程，即可求解鋼球距碗底的高度。,解答:,取鋼球為隔離體,其受力分析如圖所示.在圖示坐標中列動力學方程:,且有:,由上述各式可解得鋼球距離碗底的高度為:,可見,h隨 的變化而變化.,2-10一質量為m的小球最初位于如圖2-10(a)所示的A點，然后沿半徑為r的光滑圓軌道ADCB下滑。試求小球到達點C時的角速度和對圓軌道的作用力。,分析:,該題可由牛頓第二定律求解。在取自然坐標的情況下，沿圓弧方向的加速度就是切向加速度at，與其相對應的外力Ft是重力的切向分量mgsin,而與法向加速度an相對應的外力是支持力FN和重力的法向分量mgcos .由此，可分別

5、列出切向和法向的動力學方程Ft=mdv/dt和Fn=man.由于小球在滑動過程中加速度不是恒定的，因此，需應用積分求解，為使運算簡便，可轉換積分變量。,解答:,小球在運動過程是受到重力P和圓軌道對它的支持力FN,取如圖所示的自然坐標系,由牛頓定律得:,代入(1)式,并根據(jù)小球從點A運動到點C的始末條件,進行積分,有:,得:,則小球在點C的角速度為:,由式(2)得:,由此可得小球對圓軌道的作用力為:,負號表示 與 反向.,2-12一質量為10kg的質點在力F=（120N.s-1)t+40N的作用下，沿x軸作直線運動。在t=0時，質點位于x=5.0m處，其速度vo=6.0m.s-1.求質點在任

6、意時刻的速度和位置。,分析:,這是在變力作用下的動力學問題。由于力是時間的函數(shù)，而加速度a=dv/dt，這時，動力學方程就成為速度對時間的一階微分方程，解此微分方程可得質點的速度v(t)；由速度的定義v=dx/dt，用積分的方法可求出質點的位置。,解答:,因加速度 ,在直線運動中,根據(jù)牛頓定律有:,依據(jù)質點運動的初始條件,即t0=0時,v0=6.0ms-2,運用分離變量法對上式積分,得:,又因v=dx/dt,并由質點運動的初始條件:t0=0時x0=5.0m,對上式分離變量積分,有,2-13輕型飛機連同駕駛員總質量為1.0103kg,飛機以55.0ms-1的速率在水平跑道上著陸后,駕駛員開始

7、制動,若阻力與時間成正比,比例系數(shù)=5.0102 Ns-1,求(1)10s后飛機的速率;(2)飛機著陸后10s內滑行的距離.,分析:,飛機連同駕駛員在水平跑道上運動可視為質點作直線運動,其水平方向所受制動力F為變力,且是時間的函數(shù),在求速率和距離時,可根據(jù)動力學方程和運動學規(guī)律,采用分離變量法求解.,解答:,以地面飛機滑行方向為坐標正方向,由牛頓定律及初始條件,有:,因此,飛機著陸10s后的速率為:,又,故飛機著陸后10s內所滑行的距離為:,2-15 自地球表面垂直上拋一物體,要使它不返回地面,其初速度最小為多少?(略去空氣阻力作用),分析:,要使豎直上拋物體能脫離地球不再返回地面,即使其離開

8、地球引力的范圍,其速度V0,為此,可根據(jù)物體在地球引力場中的動力學方程導出V-r關系加以討論,就可確定脫離地球引力場所需的最小初速度即逃逸速度.,解答:,由動力學方程得:,為使初速度最小,可取末速度接近于零,即v=0,此時物體可視為無限遠,即h,由上式可得:,2-16 質量為45.0kg的物體,由地面以初速60.0ms-1豎直向上發(fā)射,物體受到空氣的阻力為Fr=kv,且k=0.03N/ms-1. （1）求物體發(fā)射到最大高度所需的時間.（2）最大高度是多少?,解答:,(1)物體 在空中受重力mg和空氣阻力Fr=kv作用而減速.由牛頓定律得,根據(jù)始末條件對上式積分,有:,(2)利用 的關系代入式(1),可得:,分離變量后積分:,