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2019年浙教版七下數(shù)學(xué)第3章整式的乘除+第4章因式分解名師導(dǎo)學(xué)設(shè)計 第3章　整式的乘除 3．1　同底數(shù)冪的乘法 第1課時　同底數(shù)冪的乘法 知識點　同底數(shù)冪的乘法運算 同底數(shù)冪的乘法法則：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變，指數(shù)相加． 即am·an＝am＋n(m，n都是正整數(shù))． [注意] (1)底數(shù)必須相同； (2)相乘時底數(shù)不發(fā)生變化； (3)指數(shù)相加的和作為最終結(jié)果冪的指數(shù)． 計算： (1)(－8)12×(－8)5； (2)x·x7； (3)×； (4)a3m·a2m－1(m是正整數(shù))． 探究　　一　同底數(shù)冪的乘法運算 ?教材補充題計算： (1)x2·(－x)9； (2)16×2m＋1×2m－2； (3)(x－y)·(x－y)3·(x－y)5； (4)(a－b)2·(b－a)3. [歸納總結(jié)] (1)當(dāng)三個或三個以上同底數(shù)冪相乘時，也具有這一性質(zhì)，例如：am·an·ap＝am＋n＋p(m，n，p都是正整數(shù))． (2)在計算或化簡時，諸如題目中的x－y形式的代數(shù)式，可以看成一個整體進行運算． (3)底數(shù)互為相反數(shù)的冪相乘，可根據(jù)冪的符號法則相互轉(zhuǎn)化，使之變成同底數(shù)冪，常見變形如下： ①(－a)n＝ ②(b－a)n＝ 探究　　二　同底數(shù)冪的乘法的簡單應(yīng)用 ?教材例2變式題如果衛(wèi)星繞地球運行的速度是7.9×103 m/s，求衛(wèi)星運行1 h的路程． ? [歸納總結(jié)] 運算過程中要注意運用乘法的交換律、結(jié)合律將同底數(shù)冪放到一起相乘． 探究　　三　逆用同底數(shù)冪的乘法法則求代數(shù)式的值 ?教材補充題(1)已知a2＝m，a3＝n，求a5的值； (2)若2m＝a，2n＝b，求2m＋n的值． ? [歸納總結(jié)] 運用同底數(shù)冪的乘法法則也可以把一個冪分解成兩個同底數(shù)冪的積，其中它們的底數(shù)與原來冪的底數(shù)相同，它們的指數(shù)之和等于原來的指數(shù)．例如am＋n＝am·an.? [反思] 運用同底數(shù)冪的乘法法則判定下列計算是否正確．若不正確，請改正． (1)x4·x＝x4；(2)(－3)4·(－3)6＝310. ? 一、選擇題 1．2016·重慶A卷計算：a3·a2＝(　　) A．a(chǎn)? B．a(chǎn)5? C．a(chǎn)6? D．a(chǎn)9 2．計算(a＋b)3·(a＋b)2m·(a＋b)n所得的結(jié)果為(　　) A．(a＋b)6m＋n? B．(a＋b)2m＋n＋3 C．(a＋b)2mn＋3? D．(a＋b)6mn 3．x16不可以寫成(　　) A．x7·x9 B．x8＋x8 C．x3·x5·x6·x2 D．(－x)·(－x)2·(－x)5·(－x)8 4．下列運算中，錯誤的是(　　) A．3a5－a5＝2a5? B．－a3·(－a)5＝a8 C．a(chǎn)3·(－a)4＝a7? D．2m·3n＝6m＋n 5．若ax·a2＝a6，則x的值為(　　) A．1? B．2?? C．3? D．4 6．3n·(－9)·3n＋2的計算結(jié)果是(　　) A．－32n－2? B．－3n＋4?? C．－32n＋4? D．－3n＋6 7．規(guī)定a□b＝10a×10b，如2□3＝102×103＝105，那么4□8為(　　) A．32? B．1032? C．1012? D．1210 8．已知xa＝3，xb＝5，則xa＋b的值為(　　) A．8? B．15? C．125? D．243 二、填空題 9．2015·天津計算x2·x5＝________． 10．計算：(－a)4·(－a)2＝________． 11．填空：a4·a(__)＝a3·a(__)＝a2·a(__)＝a12. 12．計算：(1)(a＋b)4·(a＋b)·(a＋b)2＝________； (2)(x－2y)2·(2y－x)3＝________． 13．計算：(1)10m×10000＝________； (2)3n－4×(－3)3×35－n＝________． 14．一臺電子計算機每秒可運行4×109次運算，它工作7×102秒可運行__________次運算． 三、解答題 15．計算： (1)－x·x2·x4；? (2)(x＋2)3·(x＋2)5·(x＋2)；? (3)(－3)3×36；? (4)－(－p)3·(－p)3·(－p)2.? 16．宇宙空間的年齡通常以光年作單位，1光年是光在一年內(nèi)通過的距離，如果光的速度為每秒3×108米，一年約為3.2×107秒，那么1光年約為多少米？ ? 17．如果x2m－1·x3m＋2＝x11，求m的值． ? 18．已知am＝3，an＝4，化簡下列各式： (1)am＋1；　　　(2)a3＋n；　　　(3)am＋n＋2.? 19．已知a2m－n·am－n＝a5，b3m＋n·b2m－2n＝b13，求2m＋n的立方根．? 閱讀下列材料： 求1＋2＋22＋23＋24＋…＋22016的值． 解：設(shè)S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋22016，① 將等式兩邊同時乘2，得 2S＝2＋22＋23＋24＋…＋22016＋22017，② ②－①，得2S－S＝22017－1， 即S＝22017－1，則原式＝22017－1. 請你仿照此法計算： (1)1＋2＋22＋23＋24＋…＋210； (2)1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n(其中n為正整數(shù))． ? 詳解詳析 教材的地位 和作用 　　本節(jié)內(nèi)容是在前面學(xué)習(xí)了有理數(shù)的乘方和整式的加減法運算之后進行的，是對冪的意義的理解、運用和深化，又是后面學(xué)習(xí)整式乘除法的基礎(chǔ)，而整式的乘除法是代數(shù)部分的基礎(chǔ)，它將為后面學(xué)習(xí)方程、函數(shù)做鋪墊 教 學(xué) 目 標 知識與技能 　1.理解同底數(shù)冪乘法法則的推導(dǎo)過程； 　2.能夠運用同底數(shù)冪乘法的法則進行有關(guān)計算 過程與方法 　通過學(xué)生的自主探究，培養(yǎng)學(xué)生的觀察、發(fā)現(xiàn)、歸納、概括的能力．使學(xué)生初步理解“特殊——一般——特殊”的認知規(guī)律 情感、態(tài)度 與價值觀 　通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)使學(xué)生了解數(shù)學(xué)表達的簡潔美，接受數(shù)學(xué)文化的熏陶，激發(fā)學(xué)生探索創(chuàng)新的精神 教學(xué)重點難點 重點 　同底數(shù)冪乘法的法則及應(yīng)用 難點 　同底數(shù)冪乘法法則的推導(dǎo)及靈活運用 易錯點 　同底數(shù)冪相乘時，誤把指數(shù)相乘來確定積的指數(shù) 【預(yù)習(xí)效果檢測】 解：(1)(－8)12×(－8)5＝(－8)12＋5＝(－8)17＝－817. (2)x·x7＝x1＋7＝x8. (3)×＝×＝＝. (4)a3m·a2m－1＝a3m＋2m－1＝a5m－1. 【重難互動探究】 例1　[解析] 將(3)中的x－y看成一個整體，應(yīng)用同底數(shù)冪的乘法進行計算即可． 解： (1)x2·(－x)9＝－x2·x9＝－x2＋9＝－x11. (2)16×2m＋1×2m－2＝24×2m＋1×2m－2＝24＋m＋1＋m－2＝22m＋3. (3)(x－y)·(x－y)3·(x－y)5＝(x－y)1＋3＋5＝(x－y)9. (4)(a－b)2·(b－a)3＝(b－a)2·(b－a)3＝(b－a)5. 例2　[解析] 根據(jù)路程、時間、速度三者之間的關(guān)系可以求得路程． 解：(7.9×103)×(3.6×103)＝(7.9×3.6)×(103×103)＝2.844×107(m)． 答：衛(wèi)星運行1 h的路程是2.844×107 m. 例3　[解析] 逆用同底數(shù)冪的乘法法則． 解： (1)a5＝a2＋3＝a2·a3＝mn. (2)2m＋n＝2m·2n＝ab. 【課堂總結(jié)反思】 [知識框架] 不變　相加 [反思] (1)不正確．改正：x4·x＝x4＋1＝ x5. (2)正確． 【作業(yè)高效訓(xùn)練】 [課堂達標] 1．B　2.B 3．[解析] B　靈活運用同底數(shù)冪的乘法法則進行驗證．x8＋x8＝2x8≠x16，而(－x)16＝x16.故選B. 4．D 5．[解析] D　由同底數(shù)冪的乘法法則可知ax·a2＝ax＋2＝a6，所以x＋2＝6，所以x＝4. 6．[解析] C　先將9化成32，然后確定積的符號，再按照法則計算.3n·(－9)·3n＋2＝3n·(－32)·3n＋2＝－3n＋2＋n＋2＝－32n＋4. 7．C　8.B 9．[答案] x7 10．[答案] a6 11．[答案] 8　9　10 12．[答案] (1)(a＋b)7　(2)(2y－x)5或－(x－2y)5 [解析] 注意－a的偶數(shù)次方等于a的相同偶數(shù)次方，所以(x－2y)2·(2y－x)3＝(2y－x)2·(2y－x)3＝(2y－x)5，－a的奇數(shù)次方與a的相同奇數(shù)次方互為相反數(shù)，故(2)題還可以這樣解答：(x－2y)2·(2y－x)3＝(x－2y)2·[－(x－2y)]3＝－(x－2y)5，同學(xué)們可以根據(jù)各自習(xí)慣選擇解題方法． 13．[答案] (1)10m＋4 (2)－81 14．[答案] 2.8×1012 15．解：(1)原式＝－x1＋2＋4＝－x7. (2)原式＝(x＋2)3＋5＋1＝(x＋2)9. (3)原式＝－33×36＝－33＋6＝－39. (4)原式＝－(－p)3＋3＋2＝－(－p)8＝－p8. 16．[解析] 根據(jù)題意得出算式3×108×3.2×107，求解即可． 解：3×108×3.2×107＝9.6×1015(米)． 答：1光年約為9.6×1015米． 17．[解析] 先利用同底數(shù)冪的乘法法則將等式的左邊進行化簡，然后根據(jù)“兩個同底數(shù)冪相等，其指數(shù)也相等”列出方程即可求解． 解：把原式進行整理化簡，得x5m＋1＝x11， 則5m＋1＝11，解得m＝2. 18．[解析] 本題逆向運用同底數(shù)冪的乘法法則計算，以后同學(xué)們會經(jīng)常用到這種方法，即am·an＝am＋n，反之a(chǎn)m＋n＝am·an也成立． 解：(1)am＋1＝am·a＝3a. (2)a3＋n＝a3·an＝a3·4＝4a3. (3)am＋n＋2＝am·an·a2＝3×4·a2＝12a2. 19．[解析] 等式左邊運用同底數(shù)冪乘法法則進行計算，由此可以得到關(guān)于m，n的兩個關(guān)系式，聯(lián)立作為二元一次方程組，求出m，n的值． 解：由a2m－n·am－n＝a5，b3m＋n·b2m－2n＝b13， 得a3m－2n＝a5，b5m－n＝b13,? 方程組的形式． ∴解得 ∴2m＋n＝8，即2m＋n的立方根是2. [數(shù)學(xué)活動] 解：(1)設(shè)S＝1＋2＋22＋23＋24＋…＋210，① 將等式兩邊同時乘2，得2S＝2＋22＋23＋24＋…＋210＋211，② ②－①，得2S－S＝211－1，即S＝211－1，則原式＝211－1. (2)設(shè)S＝1＋3＋32＋33＋34＋…＋3n，① 將等式兩邊同時乘3，得3S＝3＋32＋33＋34＋…＋3n＋3n＋1，② ② －①，得3S－S＝3n＋1－1，即S＝(3n＋1－1)，則原式＝(3n＋1－1)． 2019年浙教版七下數(shù)學(xué)第4章因式分解名師導(dǎo)學(xué)設(shè)計 第4章　因式分解 4．1　因式分解 知識點1　因式分解 一般地，把一個多項式化成幾個整式的積的形式，叫做因式分解，有時也把這一過程叫做分解因式． [注意] (1)因式分解的對象必須是一個多項式； (2)因式分解的結(jié)果必須是幾個整式的積的形式． 一般有兩種形式：①單項式×多項式； ②多項式×多項式． (3)因式分解是一個恒等變形 1．下列等式從左到右的變形是因式分解的是(　　) A．6a2b＝3a·2ab B．(x＋2)(x－2)＝x2－4 C．2x2－4x－1＝2x(x－2)－1 D．2ab－2ac＝2a(b－c) 知識點2　因式分解與整式乘法的關(guān)系 a(b＋c＋d)ab＋ac＋ad. 因式分解與整式乘法的相互關(guān)系——互逆變形． 從右到左是因式分解，其特點是由和差形式(多項式)轉(zhuǎn)化成整式的積的形式；從左到右是整式乘法，其特點是由整式的積的形式轉(zhuǎn)化成和差形式(多項式)． 2．檢驗下列因式分解是否正確． (1)－a2b2＋4＝(ab＋2)(ab－2)；? (2)5ax2＋10ax－15a＝5a(x－1)(x＋3)；? (3)9y2－6y＋9＝3(y－1)2. 探究　　一　因式分解的簡單應(yīng)用 ?教材補充題已知x2＋mx－6可以分解為(x－2)(x＋3)，求m的值．? [歸納總結(jié)] 因式分解與多項式的乘法是互逆變形式，可以用整式的乘法得到對應(yīng)系數(shù)相等，求出未知數(shù)的值． 探究　　二　利用因式分解進行簡便運算 ?教材課內(nèi)練習(xí)第2題變式題用簡便方法計算： (1)492＋49；(2)(8)2－(3)2.? [反思] 已知多項式－9x3＋12x2－6x因式分解后，只能寫成兩個因式乘積的形式，其中一個因式是－3x，你能確定這個多項式因式分解后的另一個因式嗎？ ? 一、選擇題 1．下列式子從左到右的變形是因式分解的是(　　) A．a(chǎn)2＋4a－21＝a(a＋4)－21 B．(a－3)(a＋7)＝a2＋4a－21 C．a(chǎn)2＋4a－21＝(a－3)(a＋7) D．a(chǎn)2＋4a－21＝(a＋2)2－25 2．下列各式從左到右的變形： (1)15x2y＝3x·5xy； (2)(x＋y)(x－y)＝x2－y2； (3)x2－2x＋1＝(x－1)2； (4)x2＋3x＋1＝x. 其中是因式分解的有(　　) A．1個? B．2個? C．3個? D．4個 3．下列因式分解正確的是(　　) A．x2－y2＝(x－y)2?? B．a(chǎn)2＋a＋1＝(a＋1)2 C．xy－x＝x(y－1)?? D．2x＋y＝2(x＋y) 4．要使式子－7ab－14abx＋49aby＝－7ab(　　)的左邊與右邊相等，則“(　　)”內(nèi)應(yīng)填的式子是(　　) A．－1＋2x＋7y? B．－1－2x＋7y C．1－2x－7y? D．1＋2x－7y 5．若(x－3)(x－4)是多項式x2－ax＋12因式分解的結(jié)果，則a的值是(　　) A．12? B．－12?? C．7? D．－7 6．若多項式x2－5x＋4可分解因式為(x－4)·M，則M為(　　) A．x－1? B．x＋1?? C．x－2? D．x＋2 7．若4x3y2－6x2y3＋M可分解為2x2y2(2x－3y＋1)，則M為(　　) A．2xy? B．2x2y2?? C．－2x2y2? D．4xy2 二、填空題 8．(x＋2)2＝x2＋4x＋4從左到右的運算是________________________________________________________________________． 9．已知(x＋1)(x－1)＝x2－1，則x2－1因式分解的結(jié)果是__________． 10．因為(6a3－18a2)÷6a2＝________，所以6a3－18a2可分解因式為6a2·________. 11．計算：24.4×8＋45.6×8＝________． 三、解答題 12．若關(guān)于x的二次三項式3x2＋mx＋n因式分解的結(jié)果為(3x＋2)(x－1)，求m，n的值．? 13．若x2－5x＋6能分解成兩個因式的乘積，且有一個因式為x－2，另一個因式為mx－n，其中m，n為兩個未知的常數(shù)．請你求出m，n的值． ? 試說明：一個三位數(shù)的百位數(shù)字與個位數(shù)字交換位置后，新數(shù)與原數(shù)之差能被99整除．? 詳解詳析 教材的地位 和作用 　因式分解是代數(shù)式中的重要內(nèi)容，它與前一章整式和后一章分式的聯(lián)系極為密切．它不僅在多項式的除法、簡便運算中有著直接的應(yīng)用，也為以后學(xué)習(xí)分式的約分與通分、解方程(組)及三角函數(shù)的恒等變形做了必要的鋪墊．本節(jié)課所接觸的因式分解的概念是因式分解方法的理論基礎(chǔ)，也是本章中一個重要概念，所以學(xué)好本節(jié)課對本章的后續(xù)學(xué)習(xí)具有重要的意義 教 學(xué) 目 標 知識與技能 　1.理解因式分解的概念和意義； 　2.認識因式分解與整式乘法的相互關(guān)系——互逆變形，并會運用它們之間的相互關(guān)系探究因式分解的方法 過程與方法 　由學(xué)生自己探究解題途徑，培養(yǎng)學(xué)生觀察、分析、判斷和創(chuàng)新的能力，提高學(xué)生逆向思維的能力和綜合運用的能力 情感、態(tài)度 與價值觀 　培養(yǎng)學(xué)生接受矛盾的對立統(tǒng)一觀點，使學(xué)生養(yǎng)成獨立思考、勇于探索的學(xué)習(xí)習(xí)慣和實事求是的科學(xué)態(tài)度 教學(xué)重點難點 重點 　因式分解的概念 難點 　理解因式分解與整式乘法的相互關(guān)系，并運用它們之間的相互關(guān)系尋求因式分解的方法 易錯點 　對因式分解和整式乘法的形式判斷不清而導(dǎo)致出錯 【預(yù)習(xí)效果檢測】 1．[解析] D　在A項中，等式左邊不是多項式，不是因式分解．在B項中，它是整式的乘法．在C項中，等式的右邊不是乘積的形式，也不屬于因式分解．只有D項符合要求．故選D. 2．[解析] 因為因式分解與多項式的乘法是互逆變形，所以可以用整式的乘法來檢驗因式分解是否正確． 解：(1)因為(ab＋2)(ab－2)＝a2b2－4≠－a2b2＋4，所以因式分解－a2b2＋4＝(ab＋2)(ab－2)錯誤． (2)因為5a(x－1)(x＋3)＝5ax2＋10ax－15a，所以因式分解5ax2＋10ax－15a＝5a(x－1)(x＋3)正確． (3)因為3(y－1)2＝3y2－6y＋3≠9y2－6y＋9， 所以因式分解9y2－6y＋9＝3(y－1)2錯誤． 【重難互動探究】 例1　[解析] 因為因式分解與多項式的乘法是互逆變形，所以把(x－2)(x＋3)變?yōu)槎囗検降男问剑孟嗟汝P(guān)系即可求解． 解：因為(x－2)(x＋3)＝x2＋x－6， 所以x2＋mx－6＝x2＋x－6， 即m＝1. 例2　解：(1)492＋49＝49×(49＋1)＝49×50＝2450. (2)(8)2－(3)2＝(8＋3)(8－3)＝12×5＝60. 【課堂總結(jié)反思】 [反思] (－9x3＋12x2－6x)÷(－3x)＝3x2－4x＋2， 故這個多項式因式分解后的另一個因式是3x2－4x＋2. 【作業(yè)高效訓(xùn)練】 [課堂達標] 1．C 2．[解析] A　(1)的左邊是單項式不是多項式，不符合因式分解的定義．(2)是乘法運算．(3)符合分解因式的定義．(4)等號右邊的兩項的乘積不是整式的積的形式，所以只有(3)符合．故選A. 3．C　4.D 5．[解析] C　將(x－3)(x－4)按照多項式乘多項式的方法展開可得(x－3)(x－4)＝ x2－7x＋12，所以a＝7.故選C. 6．[解析] A　可把四個選項逐一代入檢驗． 7．[解析] B　因為2x2y2(2x－3y＋1)＝4x3y2－6x2y3＋2x2y2，所以M＝2x2y2. 8．[答案] 整式乘法 9．[答案] (x＋1)(x－1) [解析] 由因式分解是整式乘法的逆變形可得結(jié)果． 10．[答案] a－3　(a－3) [解析] 根據(jù)多項式除以單項式的運算法則，知(6a3－18a2)÷6a2＝a－3，所以根據(jù)因式分解的定義，得6a3－18a2＝6a2(a－3)． 11．[答案] 560 [解析] 24.4×8＋45.6×8＝8×(24.4＋45.6)＝8×70＝560.應(yīng)填560. 12．解：因為(3x＋2)(x－1)＝3x2－x－2， 又因為3x2＋mx＋n因式分解的結(jié)果為(3x＋2)(x－1)， 所以3x2＋mx＋n＝3x2－x－2， 所以m＝－1，n＝－2. [點評] 根據(jù)因式分解的定義知，因式分解是恒等變形，乘開后多項式的各項系數(shù)對應(yīng)相等． 13．解：根據(jù)題意，得x2－5x＋6＝(x－2)(mx－n)， 即x2－5x＋6＝mx2－(n＋2m)x＋2n， 所以m＝1，n＝3. [數(shù)學(xué)活動] [解析] 設(shè)一個三位數(shù)的百位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，個位數(shù)字為z，則這個三位數(shù)可用100x＋10y＋z表示，交換百位數(shù)字與個位數(shù)字位置后的三位數(shù)可表示為100z＋10y＋x.只需說明這兩個數(shù)之差是99的倍數(shù)即可． 解：設(shè)原數(shù)的百位數(shù)字為x，十位數(shù)字為y，個位數(shù)字為z，則原數(shù)可表示為100x＋10y＋z，交換百位數(shù)字與個位數(shù)字的位置后，新數(shù)為100z＋10y＋x. 則(100z＋10y＋x)－(100x＋10y＋z)＝99(z－x)． 因為99(z－x)÷99＝z－x. 所以新數(shù)與原數(shù)之差能被99整除．??