《第九章直線、平面簡(jiǎn)單幾何體階段質(zhì)量檢測(cè)》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《第九章直線、平面簡(jiǎn)單幾何體階段質(zhì)量檢測(cè)（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、 第九章　直線、平面、簡(jiǎn)單幾何體 (自我評(píng)估、考場(chǎng)亮劍，收獲成功后進(jìn)入下一章學(xué)習(xí)！) (時(shí)間120分鐘，滿分150分) 一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中， 只有一項(xiàng)是符合題目要求的． 1．若l為一條直線，α、β、γ為三個(gè)互不重合的平面，給出下面三個(gè)命題： ①α⊥γ，β⊥γ?α⊥β；②α⊥γ，β∥γ?α⊥β；③l∥α，l⊥β?α⊥β. 其中正確的命題有 (　　) A．0個(gè)　　　　　　　　B．1個(gè) C．2個(gè) D．3個(gè)

2、 解析：對(duì)于①，α與β可能平行，故錯(cuò)．②③正確． 答案：C 2．(2010·唐山模擬)關(guān)于直線a、b，以及平面M、N，給出下列命題： ①若a∥M，b∥M，則a∥b； ②若a∥M，b⊥M，則a⊥b； ③若a∥b，b∥M，則a∥M； ④若a⊥M，a∥N，則M⊥N. 其中正確命題的個(gè)數(shù)為 (　　) A．0 B．1 C．2 D．3 解析：①中a與b可以相交或平行或異面，故①錯(cuò)．③中a可能在平面M內(nèi)， 故③錯(cuò)

3、． 答案：C 3．圓x2＋(y＋1)2＝3繞直線kx－y－1＝0旋轉(zhuǎn)一周所得的幾何體的體積為 (　　) A．36π B．12π C．4π D．4π 解析：顯然直線過圓心(0，－1)，故旋轉(zhuǎn)一周所得幾何體為球，∴V球＝πR3＝π·3 ＝4π. 答案：C 4．長(zhǎng)方體三個(gè)面的面積分別為2、6和9，則長(zhǎng)方體的體積是 (　　) A．6 B．3 C．11 D．12 解析：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)、寬、高分別為a，b，

4、c，則有 ab＝2，bc＝6，ac＝9，∴V＝＝＝6. 答案：A 5．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，若E是AD的中點(diǎn)，則 直線A1B與直線C1E的位置關(guān)系是 (　　) A．平行　　　　　　B．相交 C．共面　　　　　　D．垂直 解析：易證A1B⊥平面AB1C1D，又C1E?平面AB1C1D， ∴A1B⊥C1E. 答案：D 6．(2009·廣東高考)給定下列四個(gè)命題： ①若一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線與另一個(gè)平面都平行，那么這兩個(gè)平面相互平行； ②若一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面相互垂直； ③垂直于同一直線的兩條直線相互

5、平行； ④若兩個(gè)平面垂直，那么一個(gè)平面內(nèi)與它們的交線不垂直的直線與另一個(gè)平面也不垂 直． 其中，為真命題的是 (　　) A．①和② B．②和③ C．③和④ D．②和④ 解析：①顯然錯(cuò)誤，因?yàn)檫@兩條直線相交時(shí)才滿足條件；②成立；③錯(cuò)誤，這兩條直 線可能平行，相交，也可能異面；④成立，用反證法容易證明． 答案：D 7．已知兩條不同直線l1和l2及平面α，則直線l1∥l2的一個(gè)充分條件是 (　　) A．l1∥α且

6、l2∥α B．l1⊥α且l2⊥α C．l1∥α且l2?α D．l1∥α且l2?α 解析：對(duì)選項(xiàng)A，l1與l2還可能相交或成異面直線，A錯(cuò)．根據(jù)直線與平面垂直的性 質(zhì)定理，B正確．另外，對(duì)于選項(xiàng)C，l1與l2不一定平行，C錯(cuò)．對(duì)于選項(xiàng)D，l1與 l2還可能為異面直線． 答案：B 8．(2010·溫州模擬)已知三個(gè)平面α、β、γ，若β⊥γ，且α與β、α與γ均相交但不垂直， a、b分別為α、β內(nèi)的直線，則 (　　) A．?b?β，b⊥γ

7、 B．?b?β，b∥γ C．?a?α，a⊥γ D．?a?α，a∥γ 解析：選項(xiàng)A中β⊥γ，但并不是平面β內(nèi)的任意直線都與平面γ垂直，故選項(xiàng)A不 正確；由于β⊥γ，只有在平面β內(nèi)與平面β與γ的交線平行的直線才和平面γ平行， 選項(xiàng)B不正確；若存在a?α，a⊥γ，則必然α⊥γ，選項(xiàng)C不正確；只要在平面α內(nèi) 存在與平面α與γ的交線平行的直線，則此直線平行于平面γ，故選項(xiàng)D正確． 答案：D 9．如右圖所示，點(diǎn)P在正方形ABCD所在平面外，PD⊥平面 ABCD，PD＝AD，則PA與BD所成角的度數(shù)為 (　　) A．30°

8、 B．45° C．60° D．90° 解析：以DA、DC、DP為鄰邊構(gòu)造正方體BP，易知PA與BD所成的角為60°. 答案：C 10．已知長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝3，BC＝2，BB1＝1，BD1與平面AC所成 的角為θ，則cosθ的值是 (　　) A.　　　 　　B. C.　　　　 　D. 解析：由于DD1⊥平面AC，∴∠D1BD即為BD1與平面AC所成的角，∵AB＝3，BC ＝2，BB1＝1，∴BD＝，BD1＝，∴cos∠DBD1＝＝. 答案：A 11．(A)如圖，平面α⊥平面β，A∈α，

9、B∈β，AB與平面 α、β所成的角分別為和.過A、B分別作兩平面交線 的垂線，垂足為A′、B′，若AB＝12，則A′B′＝(　　) A．4 B．6 C．8 D．9 解析：在Rt△ABB′中， AB′＝AB·sin＝12×＝6. 在Rt△ABA′中，AA′＝AB·sin＝×12＝6. 在Rt△A′AB′中， A′B′＝＝＝6. 答案：B (B)如圖，在45°的二面角α－l－β的棱上有兩點(diǎn)A、B， 點(diǎn)C、D分別在α，β內(nèi)，且AC⊥AB，∠ABD＝45°， AC＝AB＝BD＝1，則

10、CD的長(zhǎng)度為 (　　) A.　　　　　　B. C.　　　　　　D. 解析：由于＝＋AB―→＋， 所以CD的長(zhǎng)度即為| |＝， 則 2＝(＋＋)2 ＝＋2＋ 2＋2(·＋·＋·)， 其中·＝0，·＝1·1cos135°＝－. 又cos〈，〉＝cos45°·cos45°＝， 所以·＝1·1·(－)＝－， 故| |＝ ＝ ＝. 答案：B 12．(A)(2009·寧夏、海南高考)如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1 的棱長(zhǎng)為1，線段B1D1上有兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)E、F，且EF＝， 則下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是

11、 (　　) A．AC⊥BE B．EF∥平面ABCD C．三棱錐A－BEF的體積為定值 D．△AEF的面積與△BEF的面積相等 解析：如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1中， AC⊥BD，AC⊥BB1， BD∩BB1＝B，∴AC⊥平面BB1D1D， BE?平面BB1D1D， ∴AC⊥BE，∴A對(duì)． ∵EF∥DB，∴EF∥平面ABCD，∴B對(duì)． S△BEF＝×EF×BB1＝××1＝， AO⊥平面BB1D1D，AO＝， ∴VA－BEF＝××＝， ∴三棱錐的體積為定值，C對(duì)． 答案：D (B)已知在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，高

12、為4，則點(diǎn)A1 到截面AB1D1的距離是 (　　) A. B. C. D. 解析：如圖建立坐標(biāo)系，則A1(2,0,4)，A(2,0,0)，B1(2,2,4)，D1(0，0,4)． 設(shè)平面AB1D1的法向量為 n＝(x，y，z)， 則 解得x＝2z且y＝－2z， 不妨設(shè)n＝(2，－2,1)， 設(shè)點(diǎn)A1到平面AB1D1的距離為h， 則h＝＝. 答案：C 二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分

13、．把答案 填在題中的橫線上． 13．如圖所示，四棱錐P－ABCD的底面是一直角梯形， AB∥CD，CD＝2AB，E為PC的中點(diǎn)，則BE與平面PAD 的位置關(guān)系為________． 解析：取PD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，AF，由題中條件易得四 邊形ABEF為平行四邊形，從而進(jìn)一步可推出BE∥AF， 根據(jù)線面平行的判定定理可得BE∥平面PAD(或取CD的中 點(diǎn)M，連結(jié)EM，BM，由條件可推出平面BEM∥平面PAD，進(jìn)一步也可得出 BE∥平面PAD)． 答案：平行 14．在四棱錐中，其底面是正方形，一條側(cè)棱垂直于底面，不通過此棱的一個(gè)側(cè)面與底 面所成的二面角為45°，且最長(zhǎng)的側(cè)棱長(zhǎng)

14、為15 cm，則棱錐的高為________． 解析：設(shè)高為h，由不過此棱的一側(cè)面與底面成45°角，得正方形邊長(zhǎng)也是h，所以 h＝15，所以h＝5 cm. 答案：5 cm 15．在三棱錐P－ABC中，△ABC是邊長(zhǎng)為6的等邊三角形，PA＝PB＝PC＝4，則 點(diǎn)P到平面ABC的距離為________；若P、A、B、C四點(diǎn) 在某個(gè)球面上，則球的半徑為________． 解析：如圖，P在底面的射影為E，AD＝3，AE＝2， PE＝6，∠APE＝30°， 球心為O，設(shè)球半徑OP＝R，則有關(guān)系式R2＝AE2＋OE2 即R2＝(2)2＋(6－R)2，則R＝4. 答案：6；4 16．(

15、A)正三棱柱ABC－A1B1C1中，AB＝4，AA1＝2，D為A1B1的中點(diǎn)，則AD與平 面ACC1A1所成角等于________． 解析：如圖，在平面A1B1C1內(nèi)過點(diǎn)D作DF⊥A1C1于F， 連結(jié)AF，則由該三棱柱是正三棱柱知DF⊥平面AA1C1C， ∠DAF即為AD與平面ACC1A1所成的角，根據(jù)題目條件在 Rt△AFD中可求得AD＝2，DF＝，所以∠DAF＝. 答案： (B)已知平行六面體ABCD－A1B1C1D1的AB＝5，AD＝3，AA1＝7，∠BAD＝60°， ∠BAA1＝∠DAA1＝90°，則AC1的長(zhǎng)是________． 解析：如圖，由題意得， ＝＋＋，

16、 ∴||2＝||2＋||2＋||2＋2||·||·cos90°＋ 2||·||·cos60°＋2||·||·cos90° ＝72＋32＋52＋2×3×5×＝98， ∴| |＝7. 答案：7 三、解答題：本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟． 17．(本小題滿分10分)在正四棱錐P－ABCD中，PA＝2，直線PA與平面ABCD所成 的角為60°，求正四棱錐P－ABCD的體積V. 解：作PO⊥平面ABCD，垂足為O.連結(jié)AO，O是正方形ABCD的中心，∠PAO是 直線PA與平面ABCD所成的角． ∠PAO＝60°，PA＝2. ∴PO＝. AO＝1

17、，AB＝， ∴V＝PO·SABCD ＝××2＝. 18．(本小題滿分12分)(2009·山東高考)如圖，在直四棱 柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形， AB∥CD，AB＝4，BC＝CD＝2，AA1＝2，E、E1分 別是棱AD、AA1的中點(diǎn)． (1)設(shè)F是棱AB的中點(diǎn)，證明：直線EE1∥平面FCC1； (2)證明：平面D1AC⊥平面BB1C1C. 解：(1)證明：法一：取A1B1的中點(diǎn)為F1，連結(jié)FF1、C1F1， 由于FF1∥BB1∥CC1，所以F1∈平面FCC1， 因此平面FCC1即為平面C1CFF1. 連結(jié)A1D、F1C， 由于A1F1

18、綊D1C1綊CD， 所以四邊形A1DCF1為平行四邊形， 因此A1D∥F1C. 又EE1∥A1D，得EE1∥F1C， 而EE1?平面FCC1，F(xiàn)1C?平面FCC1， 故EE1∥平面FCC1. 法二：因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，CD＝2，AB＝4，AB∥CD， 所以CD綊AF， 因此四邊形AFCD為平行四邊形， 所以AD∥FC. 又CC1∥DD1，F(xiàn)C∩CC1＝C，F(xiàn)C?平面FCC1，CC1?平面FCC1， 所以平面ADD1A1∥平面FCC1， 又EE1?平面ADD1A1， 所以EE1∥平面FCC1. (2)證明：連結(jié)AC，在△FBC中，F(xiàn)C＝BC＝FB， 又F為AB的

19、中點(diǎn)，所以AF＝FC＝FB， 因此∠ACB＝90°，即AC⊥BC. 又AC⊥CC1，且CC1∩BC＝C， 所以AC⊥平面BB1C1C， 而AC?平面D1AC， 故平面D1AC⊥平面BB1C1C. 19．(本小題滿分12分)在直三棱柱ABC—A1B1C1中， ∠ABC＝90°，AB＝BC＝1. (1)求異面直線B1C1與AC所成角的大小； (2)若直線A1C與平面ABC所成角為45°，求三棱錐 A1—ABC的體積． 解：(1)∵BC∥B1C1， ∴∠ACB為異面直線B1C1與AC所成角(或它的補(bǔ)角)． ∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，∴∠ACB＝45°， ∴異面直

20、線B1C1與AC所成角為45°. (2)∵AA1⊥平面ABC， ∴∠ACA1為直線A1C與平面ABC所成的角， ∠ACA1＝45°， ∵∠ABC＝90°，AB＝BC＝1，AC＝， ∴AA1＝， ∴三棱錐A1—ABC的體積 0VA1—ABC＝S△ABC·AA1＝. 20．(本小題滿分12分)如圖所示，在直三棱柱ABC－A1B1C1中， AB＝1，AC＝AA1＝， ∠ABC＝60°. (1)證明：AB⊥A1C； (2)求二面角A－A1C－B的余弦值． 解：(1)證明：∵三棱柱ABC－A1B1C1為直三棱柱，∴AB⊥AA1， 在△ABC中，AB＝1，AC＝，∠ABC＝60

21、°， 由正弦定理得∠ACB＝30°， ∴∠BAC＝90°，即AB⊥AC， ∴AB⊥平面ACC1A1， 又A1C?平面ACC1A1， ∴AB⊥A1C. (2)如圖，作AD⊥A1C交A1C于D點(diǎn)，連結(jié)BD， 由三垂線定理知BD⊥A1C， ∴∠ADB為二面角A－A1C－B的平面角． 在Rt△AA1C中，AD＝＝＝， 在Rt△BAD中，tanADB＝＝， ∴cosADB＝， 即二面角A－A1C－B的余弦值為. 21．(A)(本小題滿分12分)在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD 是梯形，AD∥BC，∠ABC＝90°，平面PAB⊥平面ABCD， 平面PAD⊥平面ABCD.

22、 (1)求證：PA⊥平面ABCD； (2)若平面PAB∩平面PCD＝l，問：直線l能否與平面ABCD 平行？請(qǐng)說明理由． 解：(1)證明：因?yàn)椤螦BC＝90°，AD∥BC，所以AD⊥AB. 又平面PAB⊥平面ABCD，且平面PAB∩平面ABCD＝AB，所以AD⊥平面PAB， 所以AD⊥PA. 同理可得AB⊥PA. 由于AB、AD?平面ABCD，且AB∩AD＝A， 所以PA⊥平面ABCD. (2)法一：不平行． 假定直線l∥平面ABCD， 由于l?平面PCD，且平面PCD∩平面ABCD＝CD， 所以l∥CD. 同理可得l∥AB，所以AB∥CD. 這與AB和CD是直

23、角梯形ABCD的兩腰相矛盾， 故假設(shè)錯(cuò)誤，所以直線l與平面ABCD不平行． 法二：因?yàn)樘菪蜛BCD中AD∥BC， 所以直線AB與直線CD相交， 設(shè)AB∩CD＝T. 由T∈CD，CD?平面PCD得T∈平面PCD. 同理T∈平面PAB. 即T為平面PCD與平面PAB的公共點(diǎn)，于是PT為平面PCD與平面PAB的交線． 由T∈CD且T∈AB得，T∈平面ABCD. 所以直線l與平面ABCD不平行． (B)(本小題滿分12分)已知在四棱錐P－ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA＝AD＝1，AB＝2， E、F分別是AB、PD的中點(diǎn)． (1)求證：AF∥平面PE

24、C； (2)求PC與平面ABCD所成角的大??； (3)求二面角P－EC－D的大?。? 解：以A為原點(diǎn)，如圖建立空間直角坐標(biāo)系． 則A(0,0,0)，B(2,0,0)，C(2,1,0)，D(0,1,0)，F(xiàn)(0，，)，E(1,0,0)， P(0,0,1)． (1)證明：取PC的中點(diǎn)O，連結(jié)OE. 則O(1，，)， ＝(0，，)， ＝(0，，)，∴∥. 又OE?平面PEC，AF?平面PEC. ∴AF∥平面PEC. (2)由題意可得＝(2,1，－1)． 平面ABCD的法向量＝(0,0，－1)． ∴cos〈，〉＝＝＝. 即直線PC與平面ABCD所成角的大小為arcsin.

25、 (3)設(shè)平面PEC的法向量為m＝(x，y，z)． ＝(1,0，－1)，＝(1,1,0)． 則可得 令z＝－1，則m＝(－1,1，－1)． 由(2)可得平面ABCD的法向量是＝(0,0，－1)． cos〈m，〉＝＝＝. ∴二面角P－EC－D的大小為arccos. 22．(A)(本小題滿分12分)如圖，正三棱柱ABC－A1B1C1的各棱長(zhǎng)都等于2，D在AC1 上，F(xiàn)為BB1的中點(diǎn)，且FD⊥AC1. (1)試求的值； (2)求二面角F－AC1－C的大小； (3)求點(diǎn)C1到平面ACF的距離． 解：(1)如圖，連結(jié)AF、FC1. ∵三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱且各棱長(zhǎng)

26、都等于2，且F為BB1的中點(diǎn)， ∴Rt△ABF≌Rt△C1B1F， ∴AF＝FC1. 在△AFC1中，F(xiàn)D⊥AC1， ∴D為AC1的中點(diǎn)，即＝1. (2)取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)BE、DE， 易得DE與FB平行且相等， ∴四邊形DEBF是平行四邊形， ∴FD與BE平行． ∵三棱柱ABC－A1B1C1是正三棱柱， ∴△ABC是正三角形，∴BE⊥AC，∴FD⊥AC. 又∵FD⊥AC1， ∴FD⊥平面ACC1， ∴二面角F－AC1－C的大小為90°. (3)運(yùn)用等體積法求解． 設(shè)點(diǎn)C1到平面ACF的距離為h， ∴AC＝2，AF＝CF＝，∴S△ACF＝2. 又VF－ACC

27、1＝VB－ACC1＝×2×＝， ∴VF－ACC1＝VC1－ACF＝S△ACF×h，得h＝. (B)(本小題滿分12分)如圖所示，已知矩形ABCD中，AB＝，AD＝1.將△ABD沿 BD折起，使點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影落在DC上． (1)求證：平面ADC⊥平面BCD； (2)求點(diǎn)C到平面ABD的距離； (3)若E為BD中點(diǎn)，求二面角B－AC－E的大小． 解：法一：(1)證明：∵點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影落在DC上， 即平面ADC經(jīng)過平面BCD的垂線， ∴平面ADC⊥平面BCD. (2)依條件可知BC⊥DC，又平面ADC⊥平面BCD，且平面ADC∩平面BCD＝CD， ∴BC

28、⊥平面ADC.∵DA?平面ADC， ∴BC⊥DA.① 依條件可知DA⊥AB.② ∵AB∩BC＝B，∴由①、②得DA⊥平面ABC. 設(shè)點(diǎn)C到平面ABD的距離為d， 由VC－ABD＝VD－ABC， 得·d·S△ABD＝·DA·S△ABC， 即·d···1＝·1··1·1， 解得d＝.即點(diǎn)C到平面ABD的距離為. (3)如圖，取AB中點(diǎn)F，連結(jié)EF.∵E為BD中點(diǎn)， ∴EF∥AD. 由(2)中結(jié)論可知DA⊥平面ABC，∴EF⊥平面ABC. 過F作FG⊥AC，垂足為G，連結(jié)EG， 則GF為EG在平面ABC內(nèi)的射影，∴EG⊥AC， ∴∠EGF是所求二面角的平面角． 在△

29、ABC中，∵FG⊥AC，BC⊥AC，∴FG∥BC， FG＝BC＝.又EF綊AD，∴EF＝. ∴在Rt△EFG中容易求得∠EGF＝45°， 即二面角B－AC－E的大小是45°. 法二：證明：如圖，以C為原點(diǎn)，CB所在直線為x軸，DC所在直線為y軸， 平面BCD的方向向上過點(diǎn)C的法向量為z軸建立空 間直角坐標(biāo)系． 則C(0,0,0)，B(1,0,0)，D(0，－，0)． ∵點(diǎn)A在平面BCD內(nèi)的射影落在DC上， ∴設(shè)A(0，y，z)． 由·＝0且| |＝1， 得 ∴點(diǎn)A的坐標(biāo)為A(0，－，)． (1)∵n1＝(0,0,1)是平面BCD的一個(gè)法向量，＝(1,0,0)是平面AD

30、C的一個(gè)法 向量， 而n1·＝(0,0,1)·(1,0,0)＝0， ∴平面ADC⊥平面BCD. (2)設(shè)點(diǎn)C到平面ABD的距離為d. ∵＝(0，，－)，＝(1，，－)， ＝(0，－，－)，容易求出平面ABD的一個(gè)法向量為n2＝(－，1，－1)． ∴d＝|||cos〈，n2〉|＝|1×|＝. 即點(diǎn)C到平面ABD的距離為. (3)∵＝(－1，－，)，＝(1,0,0)， ∴容易求出平面ABC的一個(gè)法向量為n3＝(0,1,1)． ∵A(0，－，)，E(，－，0)， ∴＝(，0，－)， ＝(，－，0)． ∴容易求出平面AEC的一個(gè)法向量為n4＝(2，，)． ∵n3·n4＝0＋＋＝2，|n3|＝，|n4|＝2， ∴cos〈n3，n4〉＝＝＝， ∴二面角B－AC－E的大小是45°. 15