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1、第三章 應(yīng)變狀態(tài)理論,,2020/7/22,2,外力(或溫度變化)作用下，物體內(nèi)部各部分之間要產(chǎn)生相對(duì)運(yùn)動(dòng)。物體的這種運(yùn)動(dòng)形態(tài)，稱為變形。 本章任務(wù)有兩個(gè)： 1、分析一點(diǎn)的應(yīng)變狀態(tài)； 2、建立幾何方程和應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。,2020/7/22,3,3.1 位移分量與應(yīng)變分量幾何方程 3.2 一點(diǎn)的形變狀態(tài) 形變張量 3.3 轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)變分量的變換 3.4 主形變 形變張量不變量 3.5 體應(yīng)變 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,3.1 位移分量與應(yīng)變分量 幾何方程,2020/7/22,5,在外力作用下，物體整體發(fā)生位置和形狀的變化，一般說(shuō)來(lái)各點(diǎn)的位移不同。,,,,,2020/7/22,6,如果各點(diǎn)的位移完全相同

2、，物體發(fā)生剛體平移；,,,,如果各點(diǎn)的位移不同，但各點(diǎn)間的相對(duì)距離保持不變，物體發(fā)生剛體轉(zhuǎn)動(dòng)等剛體移動(dòng)。,,,,,,2020/7/22,7,如果各點(diǎn)(或部分點(diǎn)）間的相對(duì)距離發(fā)生變化，則物體發(fā)生了變形。這種變形一方面表現(xiàn)在微線段長(zhǎng)度的變化，稱為線應(yīng)變；一方面表現(xiàn)在微線段間夾角的變化，稱為切應(yīng)變。,,,,,,,2020/7/22,8,我們從物體中取出x方向上長(zhǎng)dx的線段PA，變形后為PA，P點(diǎn)的位移為(u,v)，A點(diǎn) x方向的位移為,y方向上的位移為,dx,dx,2020/7/22,9,PA的正應(yīng)變?cè)谛∽冃螘r(shí)是由x方向的位移所引起的，因此PA正應(yīng)變?yōu)?PA的轉(zhuǎn)角為,dx,dx,,2020/7/22

3、,10,我們從物體中取出y方向上長(zhǎng)dy的線段PB，變形后為PB，B點(diǎn)y方向的位移為,x 方向上的位移為,PB的正應(yīng)變?cè)谛∽冃螘r(shí)是由y方向的位移所引起的，因此PB正應(yīng)變?yōu)椋?PB的轉(zhuǎn)角為：,2020/7/22,11,線段PA的轉(zhuǎn)角是,線段PB的轉(zhuǎn)角是,于是，直角APB的改變量為,A,有時(shí)用張量分量,,,,P,A,B,2020/7/22,12,這樣，平面上一點(diǎn)的變形我們用該點(diǎn)x方向上的正應(yīng)變、y方向上的正應(yīng)變和xy方向構(gòu)成的直角的變化來(lái)描述，稱為應(yīng)變分量，也就是所說(shuō)的幾何方程。 從幾何方程可見，當(dāng)物體的位移分量完全確定時(shí)，形變分量即完全確定。,,思考題：當(dāng)形變分量完全確定時(shí)，位移分量是否能完全確

4、定。,2020/7/22,13,同樣，空間一點(diǎn)的變形我們用該點(diǎn)x、y、z方向上的正應(yīng)變和xy、yz、zx方向構(gòu)成的直角的變化切應(yīng)變來(lái)描述。,張量形式為,2020/7/22,14,空間的應(yīng)變分量共九個(gè)分量，是一個(gè)對(duì)稱張量，和應(yīng)力張量一樣，它們遵從坐標(biāo)變換規(guī)則，同樣存在著三個(gè)互相垂直的主方向，對(duì)應(yīng)的主應(yīng)變值是該張量的特征值。這些互相垂直的主方向構(gòu)成的直角在該應(yīng)變張量的變形時(shí)，角度不變，由主平面組成的單元體，由正方體變?yōu)橹苯情L(zhǎng)方體。在主方向構(gòu)成的坐標(biāo)系中，張量分量構(gòu)成對(duì)角陣，切應(yīng)變分量為零。,2020/7/22,15,物體除形變外，還存在轉(zhuǎn)動(dòng)、剛體位移： （a）均勻形變：u、v、w是線性函數(shù)，稱為均

5、勻形變； （b）剛體位移：“形變?yōu)榱恪睍r(shí)的位移，即是“與形變無(wú)關(guān)的位移”； （c）純形變：形變分量不等于零，而轉(zhuǎn)動(dòng)分量等于零。,3.2 一點(diǎn)的形變狀態(tài)，形變張量,,2020/7/22,17,,相對(duì)位移張量 6個(gè)應(yīng)變分量是通過位移分量的9個(gè)一階偏導(dǎo)，即： 引入 其中 為那勃勒算子， 是位移矢量，不難 算得 的3個(gè)分量為:,,,,,,2020/7/22,18,這里的 稱為轉(zhuǎn)動(dòng)矢量，而 ， ， 稱為轉(zhuǎn)動(dòng)分量。 由此，可將相對(duì)位移張量分解為兩個(gè)張量： = +,,,,,,,,,2020/7/22,19,如物體中一點(diǎn)M的形變分量為 則相對(duì)位移張量（非對(duì)稱）

6、可分解為應(yīng)變張量與轉(zhuǎn)動(dòng)張量。,,,,,,,上式，等號(hào)右邊第一項(xiàng)為對(duì)稱張量，表示微元體的純變形，稱為應(yīng)變張量，第二項(xiàng)為反對(duì)稱張量，它表示微元體的剛體轉(zhuǎn)動(dòng)，即表示物體變形后微元體的方位變化。,2020/7/22,20,3.3 轉(zhuǎn)軸時(shí)應(yīng)變分量的變換,,設(shè)在坐標(biāo)軸oxyz下，物體內(nèi)某一點(diǎn)的6個(gè)應(yīng)變分量為 ?，F(xiàn)使坐標(biāo)軸旋轉(zhuǎn)一個(gè)角度，新老坐標(biāo)的關(guān)系為： 其中 表示新坐標(biāo)軸對(duì)老坐標(biāo)軸的方向余弦。,2020/7/22,21,位移矢量在新坐標(biāo)系中的3個(gè)分量 分別為：,其中為3個(gè)新坐標(biāo)軸的單位矢量。 利用方向?qū)?shù)公式:,,,,2020/7/22,22,同理，可求其它五個(gè)應(yīng)變分

7、量。經(jīng)整理可得：,于是新坐標(biāo)系中的應(yīng)變分量為,,,2020/7/22,23,同理，可以給出某一點(diǎn)沿任意方向微分線段的伸長(zhǎng)率,張量式表示為,,,3.4 主形變，形變張量不變量,,2020/7/22,25,,與應(yīng)力狀態(tài)相類似，把切應(yīng)變等于零的面稱為主平面。主平面的法線方向稱為主應(yīng)變方向，主平面上的正應(yīng)變就是主應(yīng)變。同樣存在第一、第二和第三應(yīng)變不變量。,,3.5 體應(yīng)變 應(yīng)變協(xié)調(diào)方程,2020/7/22,27,體應(yīng)變：物體變形后單位體積的改變。 如給定的六面體，其微分體積為,其變形后的體積為：,,,則體應(yīng)變?yōu)?,2020/7/22,28,,又可表示為：,,對(duì)于某一初始連續(xù)的物體，按某一應(yīng)變狀態(tài)變形后

8、必須保持其整體性和連續(xù)性，即物體既不開裂，又不重疊，此時(shí)所給定的應(yīng)變狀態(tài)是協(xié)調(diào)的，否則是不協(xié)調(diào)的。,2020/7/22,29,從數(shù)學(xué)的觀點(diǎn)說(shuō)，要求位移函數(shù) 在其定義域內(nèi)為單值連續(xù)函數(shù)。如出現(xiàn)了開裂，位移函數(shù)就會(huì)出現(xiàn)間斷；出現(xiàn)了重疊，位移函數(shù)就不可能為單值。因此，為保持物體變形后的連續(xù)性，各應(yīng)變分量之間，必須有一定的關(guān)系。,2020/7/22,30,,由前面的討論可知，在小變形情況下的六個(gè)應(yīng)變分量是通過六個(gè)幾何方程與三個(gè)位移函數(shù)相聯(lián)系的。如已知位移分量 ，極易通過幾何方程求得各個(gè)應(yīng)變分量。 但反過來(lái)，如給定一組應(yīng)變 ，幾何方程是關(guān)于未知位移函數(shù) 的微分方程組，其中包含了六個(gè)方程，但僅三個(gè)未知函數(shù)。由于方程的個(gè)數(shù)超過了未知數(shù)的個(gè)數(shù)，如任意給定 ，則幾何方程不一定有解，僅當(dāng) ，滿足某種可積條件，或稱為應(yīng)變協(xié)調(diào)關(guān)系時(shí)，才能由幾何幾何方程積分得到單值連續(xù)的位移場(chǎng)。,,,2020/7/22,31,ij應(yīng)變張量各分量滿足的應(yīng)變協(xié)調(diào)條件：,可看出，前三式分別是xy，yz，zx平面內(nèi)的應(yīng)變分量的協(xié)調(diào)方程，后三式分別是正應(yīng)變ii，和三個(gè)剪應(yīng)變之間的協(xié)調(diào)方程。 從物理意義上講：如果位移函數(shù)是連續(xù)的變形，自然也就可以協(xié)調(diào)。因而在以后用位移法解題時(shí)，應(yīng)變協(xié)調(diào)方程可以自然滿足，而用應(yīng)力法解題時(shí)，則需要同時(shí)考慮應(yīng)變協(xié)調(diào)方程。,