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1、三維圖形變換包括三維圖形幾何變換和投影變換。 三維圖形幾何變換是指對三維圖形的幾何信息經(jīng)過平移、比例、旋轉(zhuǎn)等變換后產(chǎn)生新的圖形。三維圖形幾何變換實現(xiàn)從不同位置觀察三維物體的模擬。 投影變換就是將三維立體（或物體）投射到投影面上得到二維平面圖形。其實質(zhì)是用二維圖形表達三維對象。,與二維幾何變換類似，三維圖形幾何變換也是通過對頂點坐標做矩陣變換來實現(xiàn)。 在定義了規(guī)范化齊次坐標系之后，三維圖形變換可以表示為圖形點集的規(guī)范化齊次坐標矩陣與某一變化矩陣相乘的形式。,三維變換的基本概念,,三維齊次坐標變換矩陣簡稱為三維變換矩陣。 其形式為：,三維變換的基本概念,三維空間點的三維變換可以表示為點的規(guī)范化齊次

2、坐標矩陣與三維變換矩陣相乘的形式。,三維變換的基本概念,T3D按功能可劃分為4個子矩陣。,3x3階子矩陣，作用是對點進行比例、對稱、旋轉(zhuǎn)和錯切變換。,1x3階子矩陣，作用是對點進行平移變換。,3x1階子矩陣，作用是對點進行透視變換。,1x1階子矩陣，作用是產(chǎn)生整體比例變換。,三維變換的基本概念,常見的幾種三維齊次坐標變換矩陣：,一、比例變換：,二、平移變換：,矩陣中的a e j分別為x y z三個方向的比例因子。,矩陣中的l m n分別為x y z三個方向的平移量。,三維幾何變換,三、旋轉(zhuǎn)變換：,旋轉(zhuǎn)角度正負向定義符合右手螺旋定則。即大拇指表示坐標軸正向，四指握拳的方向為旋轉(zhuǎn)角的正向。,三維幾

3、何變換,常見的幾種三維齊次坐標變換矩陣：,當物體分別繞x、y、 z軸旋轉(zhuǎn)時，旋轉(zhuǎn)變換矩陣分別為：,繞x軸旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)前后坐標變換的關(guān)系為：,,三維幾何變換,繞y軸旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)前后坐標變換的關(guān)系為：,,三維幾何變換,繞z軸旋轉(zhuǎn),旋轉(zhuǎn)前后坐標變換的關(guān)系為：,,三維幾何變換,四、三維復合變換變換：,三維復合變換是指圖形作一次以上的變換，變換結(jié)果是每次變換矩陣的乘積。,三維幾何變換,三維齊次坐標變換矩陣,四、三維復合變換變換繞任意軸的三維旋轉(zhuǎn)變換,假設已知空間有任意軸AB，點A的坐標為(xA, yA, zA)，AB矢量的方向系數(shù)為(a, b, c)。現(xiàn)有空間點P(x, y, z)，繞AB軸逆時針方向旋轉(zhuǎn)角

4、后為P(x, y, z)，若旋轉(zhuǎn)變換矩陣為TrAB，則有：,三維齊次坐標變換矩陣,變換步驟： 平移將點A平移至原點。 旋轉(zhuǎn)將平移后的軸OB繞y軸旋轉(zhuǎn)a角，使OB變換成位于zoy面內(nèi)的矢量B”。 旋轉(zhuǎn)再繞x軸旋轉(zhuǎn)b角，使矢量與oz軸重合。 點P旋轉(zhuǎn)點P繞oz軸旋轉(zhuǎn)q角。 逆變換按上述步驟做逆變換，使AB回到原來位置。,三維齊次坐標變換矩陣,四、三維復合變換變換繞任意軸的三維旋轉(zhuǎn)變換,上述變換過程用矩陣表示為：,要推導出7個矩陣相乘后的結(jié)果矩陣，是一項復雜且易出錯的工作。OpenGL通過操作矩陣堆棧完成多個矩陣相乘。,平面幾何投影,計算機圖形顯示的核心是創(chuàng)建三維物體的二維圖像，因為計算機的屏幕是二

5、維平面。 投影即是三維物體通過投射，在投影面上生成二維平面圖形。投影分為平面幾何投影和觀察投影。,平面幾何投影主要指平行投影和透視投影。 觀察投影是指在觀察空間下進行的圖形投影變換。 投影的過程實質(zhì)上是一種變換，在計算機內(nèi)部，不同的變換可以用不同的矩陣表示。,平面幾何投影,平行投影：互相平行的投射線照射物體，在投影面內(nèi)產(chǎn)生三維物體的影像。平行投影體系生成物體的三視圖和軸測圖。,透視投影：點光源發(fā)出的光線照射物體，在投影面上產(chǎn)生三維物體的影像。 透視圖分為單點透視、兩點透視和三點透視。,透視投影和平行投影的本質(zhì)區(qū)別在于透視投影的投影中心到投影面之間的距離是有限的；平行投影的投影中心到投影面之間的

6、距離是無限的。,透視投影屬于中心投影,正投影和斜投影屬于平行投影,平面幾何投影,平面幾何投影,三維投影變換平行正投影三視圖,三視圖包括主視圖、俯視圖和左視圖，由三維形體經(jīng)投影變換得到。要繪制三視圖，需求得變換矩陣，經(jīng)投影變換得到三維形體上各頂點的投影坐標，即可繪制出三視圖。 三維投影變換的實質(zhì)是將三維形體上各點投影到同一個平面上，得到的是一個二維的投影視圖。,三維投影變換平行正投影三視圖,主視圖投影矩陣為：,三維投影變換平行正投影三視圖,俯視圖：三維形體向xoy面（又稱H面）作垂直投影得到俯視圖。,三維投影變換平行正投影三視圖,俯視圖投影矩陣：,立體向XOY面投影,三維投影變換平行正投影三視圖

7、,俯視圖投影矩陣：,XOY面繞OX軸向下旋轉(zhuǎn)90度,三維投影變換平行正投影三視圖,俯視圖投影矩陣：,水平投影圖形向下移動,三維投影變換平行正投影三視圖,俯視圖投影矩陣：,三維投影變換平行正投影三視圖,側(cè)視圖：獲得側(cè)視圖是將三維形體往yoz面（側(cè)面W）作垂直投影。,三維投影變換平行正投影三視圖,側(cè)視圖投影矩陣：,立體向YOZ面投影,三維投影變換平行正投影三視圖,側(cè)視圖投影矩陣：,YOZ面繞OZ軸旋轉(zhuǎn),三維投影變換平行正投影三視圖,側(cè)視圖投影矩陣：,側(cè)投影圖形沿水平方向平移,三維投影變換平行正投影三視圖,側(cè)視圖投影矩陣：,三維投影變換平行正投影三視圖,最終得到立體的三視圖,三維投影變換正軸測圖,正

8、軸測圖簡介： 選不平行于基本投影面的平面為投影面，以垂直于投影面的矢量為投影矢量，得到的三維形體的圖形，稱為正軸測圖。如右圖示。,三維投影變換正軸測圖,正軸測投影是以任意平面為投影面所做的投影。如圖，若以ABC為投影面，投影矢量OF垂直于ABC平面，點E為原點O在ABC上的投影。產(chǎn)生正軸測投影的思路為：,將投影矢量OF通過兩次旋轉(zhuǎn)變化至與Z軸重合，此時ABC平面變化至與XOY面平行，三維向XOY面做投影即可。,三維投影變換正軸測圖,用矩陣表示正軸測變換的過程：,矢量OF繞Y軸旋轉(zhuǎn)a角,三維投影變換正軸測圖,用矩陣表示正軸測變換的過程：,矢量OF繞X軸旋轉(zhuǎn) 角,三維投影變換正軸測圖,用矩陣表示正

9、軸測變換的過程：,再將三維形體向XOY面投影,三維投影變換正軸測圖,將上述三個變換矩陣相乘得到正軸測變換矩陣：,三維投影變換正等軸測圖,正等軸測投影是x、y、z三個方向的軸向伸縮系數(shù)相等的正軸測投影，此時有：OA=OB=OC。 推導可得：,三維投影變換正等軸測圖,正等軸測投影變換矩陣可寫為：,三維投影變換 透視投影,透視投影是中心投影。下圖為一點透視投影原理圖，XOY為投影面，點P為空間點，p為點p在投影面上的投影。投影中心在Z軸上，且距投影面為d。透視投影的大小與距離d的大小成反比。,三維投影變換 透視投影,透視投影分為一點透視、兩點透視和三點透視，通過調(diào)整變換矩陣中的p、q、r的取值，可以

10、得到不同的透視圖和不同的透視效果。,透視投影由變換矩陣中的透視因子實現(xiàn)。,OpenGL中的變換,OpenGL圖形軟件包是為三維應用而設計的，包含了大量的有關(guān)三維變換的操作。OpenGL中常用的變換包括模型視圖變換、投影變換和視見區(qū)（視景體）變換。 模型視圖變換用于確定場景的位置，實現(xiàn)用戶在任意位置、任意方向上進行觀察。通過設定觀察參考坐標系實現(xiàn)視圖變換；通過對模型進行平移、旋轉(zhuǎn)、縮放等，實現(xiàn)模型變換。 投影變換定義了一個觀察空間，指定已完成的場景轉(zhuǎn)換成屏幕上顯示的最終圖像的過程。常用的投影包括平行投影和透視投影。,OpenGL中的變換矩陣堆棧,計算機圖形學中，所有的變換都是通過矩陣相乘來實現(xiàn)的

11、。OpenGL中，對象的坐標變換也是通過矩陣來實現(xiàn)的。 OpenGL中包含兩個重要的矩陣：模型視圖矩陣和投影矩陣。模型視圖矩陣用于物體的模型視圖變換，投影矩陣用于投影變換。 通過使用函數(shù)glMatrixMode(Glenum mode);指定當前操作的矩陣對象的類型。,OpenGL中的變換矩陣堆棧,指定矩陣類型函數(shù)的參數(shù)mode有兩個值： GL_MODELVIEW：表示對模型矩陣進行操作； GL_PROJECTION：表示對投影矩陣進行操作； 一旦設置了當前操作矩陣，它就將保持為當前的矩陣對象，直到再次調(diào)用函數(shù)glMatrixMode進行修改為止。 默認情況下，系統(tǒng)處理的當前矩陣是模型視圖矩陣

12、。,OpenGL中的變換矩陣堆棧,在構(gòu)造復雜模型時，常常需要通過多個變換調(diào)整各部分的大小、方位；或者模擬一個運動機構(gòu)，需要用不同的變換矩陣來實現(xiàn)各部分自己的運動規(guī)律。 為了能保存多次變換的中間過程，以便在進行一些變換后能恢復到某些變換前的狀態(tài)，OpenGL為模型視圖矩陣和投影矩陣各維護著一個矩陣堆棧，棧頂矩陣就是當前的模型視圖矩陣或投影矩陣。 矩陣堆棧用于保存和恢復矩陣的狀態(tài)，主要用于具有層次結(jié)構(gòu)的模型繪制，以提高繪圖效率。,層次模型的概念： 在大多數(shù)的應用中，都需要方便的創(chuàng)建和操作許多復雜的對象。通常，可以將這些復雜的對象分成一些相對獨立的子對象，然后描述這些對象組合成完整對象時需要的規(guī)則，

13、據(jù)此可以方便地描述、創(chuàng)建和操作復雜對象。,OpenGL中的變換矩陣堆棧,右圖為AS3.0中的顯示對象的等級結(jié)構(gòu)，是一個典型的層次結(jié)構(gòu)。 在AS中，是通過容器構(gòu)建顯示對象的層次結(jié)構(gòu)的，而在OpenGL中，則是通過矩陣堆棧實現(xiàn)層次結(jié)構(gòu)的模型繪制。,OpenGL中的變換矩陣堆棧,OpenGL中的變換矩陣堆棧,OpenGL實現(xiàn)矩陣堆棧操作的函數(shù)： void glPushMatrix(void); void glPopMatrix(void); 函數(shù)glPushMatrix將當前堆棧的棧頂矩陣復制一個，并將其壓入當前矩陣堆棧。該函數(shù)用來保存當前變換矩陣。 函數(shù)glPopMatrix用于將當前矩陣堆棧的棧

14、頂矩陣彈出，堆棧中的下一個矩陣變?yōu)闂ｍ斁仃嚕串斍白儞Q矩陣）。該函數(shù)用來恢復當前變換矩陣原先的狀態(tài)。,OpenGL中的變換模型視圖變換,模型視圖矩陣是一個4G4階矩陣，用于指定場景的視圖變換（如生產(chǎn)三視圖、軸測圖等）和幾何變換（模型的縮放、旋轉(zhuǎn)、平移等）。 在進行模型視圖矩陣操作之前，必須先調(diào)用函數(shù) glMatrixMode(GL_MODELVIEW); 指定變換只能影響模型視圖矩陣。,OpenGL中的變換模型視圖變換,模型視圖變換的實現(xiàn)主要有兩種方法。 一、直接定義矩陣（p221） 利用函數(shù) void glLoadMatrixfd(const TYPE *m); 將m指定的矩陣置為當前矩陣堆

15、棧的棧頂矩陣。其中，m是指向一個4x4矩陣的指針。 注意：如果矩陣m作用的模型是OpenGL庫函數(shù)定義的模型，則m矩陣以列優(yōu)先順序保存變換矩陣的數(shù)據(jù)；即前面推導的變換矩陣要轉(zhuǎn)秩。如果模型以頂點數(shù)組定義，而頂點數(shù)組是按行存儲點坐標，則矩陣m以行優(yōu)先順序保存變換矩陣的數(shù)據(jù)。,OpenGL中的變換模型視圖變換,設置自定義矩陣的步驟： glfloat m=; glMatrixMode(GL_MODELCIEW); glLoadMatrixf(m); 實例分析：軸測圖，mysolid旋轉(zhuǎn),注意：OpenGL坐標系的XOY平面是正立投影面，因此生成三視圖的矩陣與課本中的矩陣有所不同。,OpenGL中的變換

16、模型視圖變換,OpenGL坐標系如圖所示，在該坐標下下，三視圖變換矩陣如下。,1. 主視圖，所有點的z坐標為0，變換矩陣為：,OpenGL中的變換模型視圖變換,2. 俯視圖變換矩陣推導過程如下。 （1） 向XOZ面投影：,OpenGL中的變換模型視圖變換,2. 俯視圖變換矩陣推導過程如下。 （2）繞X軸旋轉(zhuǎn)90：,OpenGL中的變換模型視圖變換,2. 俯視圖變換矩陣推導過程如下。 （3） 沿Y軸移動m：,OpenGL中的變換模型視圖變換,2. 俯視圖變換矩陣推導過程如下。 （4） 三步復合變換后得到在OpenGL屏幕坐標系中俯視圖變換矩陣：,OpenGL中的變換模型視圖變換,3. 右視圖變換

17、矩陣推導過程如下。 （1） 向YOZ面投影：,OpenGL中的變換模型視圖變換,3. 右視圖變換矩陣推導過程如下。 （2） 繞Y軸旋轉(zhuǎn)-90：,OpenGL中的變換模型視圖變換,3. 右視圖變換矩陣推導過程如下。 （3）沿x軸移動-l：,OpenGL中的變換模型視圖變換,3. 右視圖變換矩陣推導過程如下。 （4） 三步復合變換后得到在OpenGL屏幕坐標系中右視圖變換矩陣：,OpenGL中的變換模型視圖變換,二、利用高級矩陣函數(shù) 在OpenGL中，還可以通過一些高級矩陣函數(shù)實現(xiàn)模型的平移、旋轉(zhuǎn)和縮放。高級矩陣包括： glTranslategf(TYPE x, TYPE y, TYPE z)；

18、glRotate df(TYPE angle, TYPE x, TYPE y, TYPE z）； glScale df(TYPE x, TYPE y, TYPE z)；,glTranslatedf(x, y, z,)： 把當前矩陣（如頂點坐標矩陣）與平移變換矩陣相乘。三個參數(shù)為x, y, z三個方向的平移量。如果參數(shù)值為浮點數(shù)，則函數(shù)名寫為glTranslatef；參數(shù)值為雙精度數(shù)，則函數(shù)名寫為glTranslated； glRotatedf(angle, x, y, z): 把當前矩陣（如頂點坐標矩陣）與旋轉(zhuǎn)變換矩陣相乘。Angle參數(shù)表示旋轉(zhuǎn)角度，從原點到點（x, y, z）的有向連線為旋

19、轉(zhuǎn)軸，逆時針方向為正角度方向。,OpenGL中的變換模型視圖變換,glScalefd(x, y, z,)： 把當前矩陣（如頂點坐標矩陣）與比例變換矩陣相乘。三個參數(shù)分別為x, y, z三個方向的比例因子。,OpenGL中的變換模型視圖變換,OpenGL中的變換模型視圖變換,調(diào)用矩陣函數(shù)繪制模型視圖時，后調(diào)用的矩陣將成為新的當前模型視圖矩陣，并影響此后繪制的圖形，會造成變換效果的累積。如果不需要這樣的累積，可以調(diào)用重置矩陣函數(shù)： glLoadIdentity(void); 該函數(shù)將單位矩陣設置為當前變換矩陣。一般在指定當前操作矩陣對象后，都要調(diào)用重置矩陣函數(shù)，將之前變換的影響消除。,視圖變換主要

20、用于確定觀察參考坐標系，即確定視點的位置和觀察方向。 也可以通過函數(shù)gluLookAt調(diào)整視點位置，以達到觀察立體不同側(cè)面的效果。 gluLookAt(xe, ye, ze, xo, yo, zo, xu, yu, zu) 該函數(shù)有3組共9個參數(shù)，第一組3個參數(shù)，指定視點（相機鏡頭）在x、y、z三個方向的坐標；第二組3個參數(shù)指定視點（鏡頭）瞄準的點坐標；第三組3個參數(shù)，指定朝上的向量。（注意：朝上矢量不能與視線矢量重疊）,OpenGL中的變換模型視圖變換,OpenGL中的變換投影變換,OpenGL提供了兩種投影方式：一種是正投影，一種是透視投影。通過調(diào)用不同的函數(shù)實現(xiàn)不同的投影變換。 為避免不

21、必要的變換發(fā)生，必須調(diào)用 glMatrixMode(GL_PROJECTION) 指定當前處理的矩陣是投影變換矩陣。 例如： glMatrixMode (GL_PROJECTION); glLoadIdentity(); glOrtho (-3.0, 3.0, -3.0, 3.0, -10.0, 10.0);,OpenGL中的變換投影變換,一、正投影變換 正投影變換由函數(shù)glOrtho()實現(xiàn)。該函數(shù)創(chuàng)建一個正交平行的視景體。在該視景體中產(chǎn)生三維物體的平行投影。如果沒有其它變換，比如旋轉(zhuǎn)等，投影方向為z軸負方向。 glOrtho()函數(shù)創(chuàng)建了一個有限的觀察空間，空間的六個邊界面為裁剪面。,“軸

22、測圖”例程修改視景體裁剪面觀察裁剪效果。,OpenGL中的變換投影變換,二、透視投影變換 透視投影的特點是物體的視圖有近大遠小的效果。OpenGL透視投影函數(shù)有兩個： 1. glFrustum()： 該函數(shù)指定的透視視景體 如圖為所示。,glFrustum(left, right, bottom, top, near, far); 函數(shù)的六個參數(shù)分別定義了該視景體的left, right, bottom, top, near及 far的數(shù)值。 視點位于坐標系原點。,2. gluPerspective()： gluPerspective()函數(shù)指定投影變換方式為透視變換，通過不同的參數(shù)定義透視視

23、景體。 下圖為gluPerspective()函數(shù)指定的透視視景體。 視點位于坐標原點。,OpenGL中的變換投影變換,gluPerspective()有4個參數(shù)： gluPerspective(fovy, aspect, near, far); fovy：為yoz平面上的視角，取值范圍為0.0, 180.0； aspect：為視景體的縱橫比； near和far：分別是觀察點與視景體的前后裁剪面的距離。,OpenGL中的變換投影變換,投影變換OpenGL的三維坐標變換,例：太陽系（變換矩陣堆棧實現(xiàn)模型變換）,glMatrixMode(GL_MODELVIEW); glLoadIdentity(

24、); gluLookAt (0.0, 0.0, 5.0, 0.0, 0.0, 0.0, 0.0, 1.0, 0.0); glPushMatrix(); glutWireSphere(1.0, 20, 20); /* draw sun */ glRotatef ((GLfloat) year, 0.0, 1.0, 0.0); glTranslatef (2.0, 0.0, 0.0); glRotatef ((GLfloat) day, 0.0, 1.0, 0.0); glutWireSphere(0.2, 10, 10); /* draw earth*/ glPopMatrix();,投影變換O

25、penGL的三維坐標變換,例：太陽系（投影變換）,glMatrixMode (GL_PROJECTION); glLoadIdentity (); glOrtho (-3.0, 3.0, -3.0, 3.0, 1.0, 20.0); /*或者 gluPerspective(60.0, (GLfloat) w/(GLfloat) h, 1.0, 20.0); 觀察：視點位置不變時，平行投影和透視投影的視覺效果的不同。在兩種投影方式時修改gluLookAt函數(shù)視點坐標的效果。,投影變換OpenGL的三維坐標變換,例：機械臂 機械臂由兩部分（上、下臂）組成，希望實現(xiàn)上下臂的共同旋轉(zhuǎn)和下臂的獨立旋

26、轉(zhuǎn)。 1. 設定投影矩陣參數(shù)和調(diào)整物體的基本位置： glMatrixMode (GL_PROJECTION); glLoadIdentity (); gluPerspective(65.0, (GLfloat) w/(GLfloat) h, 1.0, 20.0);//設定投影矩陣 glMatrixMode(GL_MODELVIEW); glLoadIdentity(); glTranslatef (0.0, 0.0, -5.0); //將模型移遠5個單位。因為OpenGL庫函數(shù)定義的模型中心點都在原點，透視投影變換視點也在原點處，不調(diào)整原點位置無法觀察模型。,投影變換OpenGL的三維坐標變換

27、,2. 繪制上、下臂 調(diào)用glutWireCube (1.0)函數(shù)繪制的立方體，通過glScalef函數(shù)改變長寬高的比例。 glPushMatrix(); glScalef(2.0, 0.4, 1.0); glutWireCube (1.0); glPopMatrix(); 比例變換只作于改變形體的長寬比，不能影響其它運動，因此需要glPushMatrix();和glPopMatrix();函數(shù)來限制變換矩陣的影響范圍。 下臂繪制也如此。,投影變換OpenGL的三維坐標變換,3. 調(diào)整上臂旋轉(zhuǎn)中心 glTranslatef (-1.0, 0.0, 0.0); //將旋轉(zhuǎn)中心沿x軸方向移-1 g

28、lRotatef ((GLfloat) shoulder, 0.0, 0.0, 1.0); //實現(xiàn)以點（-1,0,0）為基點的繞z軸的旋轉(zhuǎn) glTranslatef (1.0, 0.0, 0.0); //消除前一個平移變換對立體位置的影響， 即長方體的中心仍保持在原點。,投影變換OpenGL的三維坐標變換,3. 調(diào)整下臂旋轉(zhuǎn)中心 glTranslatef (1.0, 0.0, 0.0); //將立體沿x軸方向平移1 glRotatef ((GLfloat) elbow, 0.0, 0.0, 1.0); //實現(xiàn)以點（1,0,0）為基點的繞z軸的旋轉(zhuǎn) glTranslatef (1.0, 0.0, 0.0); //將立體再沿x軸方向平移1 注意：調(diào)整上臂旋轉(zhuǎn)中心的所有變換矩陣與調(diào)整下臂旋轉(zhuǎn)中心的所有變換矩陣在同一對glPushMatrix()和glPopMatrix()函數(shù)內(nèi)，因此角度為GLfloat) shoulder的旋轉(zhuǎn)也作用于下臂，實現(xiàn)按下s鍵時上下臂一起旋轉(zhuǎn)。,