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1、 考點九　三角函數的圖象與性質 一、選擇題 1．(2019·天津紅橋區(qū)二模)已知函數f(x)＝cos，則f(x)在區(qū)間上的最小值為(　　) A． B．－ C．－1 D．0 答案　C 解析　∵x∈，∴≤2x＋≤，當2x＋＝π時，即x＝時，函數f(x)有最小值－1，故選C. 2．(2019·東北三省四市一模)下列各點中，可以作為函數y＝sinx－cosx圖象的對稱中心的是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　原函數可化為y＝2sin，令x－＝kπ(k∈Z)，則x＝kπ＋(k∈Z)，則函數的對稱中心為(k∈Z)，當k＝0時，對稱中心為，故選A. 3．

2、函數f(x)＝tan的單調遞增區(qū)間是(　　) A．(k∈Z) B.(k∈Z) C．(k∈Z) D.(k∈Z) 答案　B 解析　由kπ－<2x－

3、右平移個單位長度 D．向左平移個單位長度 答案　A 解析　因為y＝sin＝sin＝sin，所以為了得到函數y＝sin的圖象可以將函數y＝sinx的圖象向左平移個單位長度． 6．(2019·河北石家莊市一模)已知函數f(x)＝2cos(ωx＋φ)的部分函數圖象如圖所示，點A(0，)，B，則函數f(x)圖象的一條對稱軸方程為(　　) A．x＝－ B．x＝－ C．x＝ D．x＝ 答案　D 解析　由題意可得xB－xA＝＋×＝＝，則T＝，ω＝＝4，當x＝0時，2cosφ＝，結合函數圖象可知φ＝－，故函數的解析式為f(x)＝2cos，令4x－＝kπ，可得圖象的對稱軸方程為x＝＋(k∈Z

4、)，令k＝0可得一條對稱軸方程為x＝，故選D. 7．函數y＝x＋sin|x|，x∈[－π，π]的大致圖象是(　　) 答案　C 解析　函數是非奇非偶函數，所以排除A，B.當x∈[0，π]時，y′＝1＋cosx≥0，函數在[0，π]上單調遞增，排除D.故選C. 8．(2019·石家莊重點中學模擬)已知函數f(x)＝2sin(ωx＋φ)的圖象如圖所示，若f(x1)＝f(x2)，且x1≠x2，則f(x1＋x2)的值為(　　) A．0 B．1 C． D． 答案　B 解析　由f(x)＝2sin(ωx＋φ)，x∈的圖象，得最小正周期T＝＝＝π，所以ω＝2，所以f(x)＝2sin(2x

5、＋φ)，將點代入，得sin＝－1，又φ∈，解得φ＝，所以f(x)＝2sin，因為f(x1)＝f(x2)且x1≠x2，由圖象得x1＋x2＝，所以f(x1＋x2)＝2sin＝1，故選B. 二、填空題 9．已知函數f(x)＝sin[2(x＋φ)](φ>0)是偶函數，則φ的最小值是________． 答案　 解析　因為f(x)＝sin(2x＋2φ)是偶函數，所以2φ＝＋kπ，k∈Z，即φ＝＋，k∈Z，又φ>0，故當k＝0時，φ取得最小值. 10．(2019·河南百校聯(lián)盟仿真試卷)已知函數f(x)＝sin(ω>0)的兩條對稱軸之間距離的最小值為4，將函數f(x)的圖象向右平移1個單位長度后得到

6、函數g(x)的圖象，則g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(2019)＝________. 答案?。? 解析　由題意得＝4，即T＝8，所以ω＝，故f(x)＝sin，所以g(x)＝f(x－1)＝sin＝sinx，因為g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(8)＝0，所以g(1)＋g(2)＋g(3)＋…＋g(2019)＝g(1)＋g(2)＋g(3)＝＋1. 11．(2019·靜海區(qū)模擬)已知函數y＝cosx與y＝sin(2x＋φ)(0≤φ＜π)，它們的圖象有一個橫坐標為的交點，則φ的值是________． 答案　 解析　由題意得，兩個函數圖象的交點坐標為，即，代入y＝sin(2x＋φ)得＝

7、sin，因為0≤φ＜π，所以≤＋φ＜，所以＋φ＝，φ＝. 12．(2017·全國卷Ⅱ)函數f(x)＝sin2x＋cosx－的最大值是________． 答案　1 解析　f(x)＝1－cos2x＋cosx－＝－2＋1.∵x∈，∴cosx∈[0,1]， ∴當cosx＝時，f(x)取得最大值，最大值為1. 三、解答題 13．已知函數f(x)＝2sinωx(0<ω<6)的圖象關于直線x＝對稱，將f(x)的圖象向右平移個單位，再向上平移1個單位可以得到函數g(x)的圖象． (1)求函數g(x)的解析式； (2)求函數g(x)在區(qū)間上的值域． 解　(1)由題意f＝2sin＝±2， 故＝

8、kπ＋，k∈Z，∴ω＝4k＋2，k∈Z， 又0<ω<6，∴ω＝2，∴f(x)＝2sin2x， 故g(x)＝2sin＋1. (2)根據題意，∵－≤x≤， ∴－≤2x－≤， ∴－1≤sin≤，∴－1≤g(x)≤＋1， 即函數g(x)在區(qū)間上的值域為[－1, ＋1]． 14．(2019·天津質量調查二)已知函數f(x)＝cosx(sinx－cosx)． (1)求f(x)的最小正周期和最大值； (2)討論f(x)在區(qū)間上的單調性． 解　(1)由題意得f(x)＝cosxsinx－cos2x ＝sin2x－(1＋cos2x)＝sin2x－cos2x－ ＝sin－. 所以f(x)的

9、最小正周期T＝＝π， 其最大值為1－. (2)令z＝2x－，則函數y＝sinz的單調遞增區(qū)間是，k∈Z. 由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ， 得－＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z， 設A＝，B＝，易知A∩B＝，所以當x∈時，f(x)在區(qū)間上單調遞增，在區(qū)間上單調遞減． 一、選擇題 1．(2017·全國卷Ⅰ)已知曲線C1：y＝cosx，C2：y＝sin，則下面結論正確的是(　　) A．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2 B．把C1上各點的橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2

10、 C．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度，得到曲線C2 D．把C1上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度，得到曲線C2 答案　D 解析　∵C2：y＝sin＝sin＝cos2x＋＝cos，根據三角函數圖象變換的規(guī)律，可得D正確． 2．(2019·云南昆明高三第二次統(tǒng)考)若直線x＝aπ(0

11、x≥1的解集為. 3．已知a是實數，且a≠0，則函數f(x)＝acosax的圖象可能是(　　) 答案　C 解析　對于A，D，注意到當x＝0時，f(x)＝acos0＝a≠0，因此結合選項知，A，D不正確；對于B，其最小正周期為T＝＝π，a＝2，此時相應的最大值是2，這與所給的圖象不相吻合，因此B不正確，綜上所述，故選C. 4．(2019·全國卷Ⅱ)下列函數中，以為周期且在區(qū)間單調遞增的是(　　) A．f(x)＝|cos2x| B．f(x)＝|sin2x| C．f(x)＝cos|x| D．f(x)＝sin|x| 答案　A 解析　作出函數f(x)＝|cos2x|的圖象，如圖．

12、 由圖象可知f(x)＝|cos2x|的周期為，在區(qū)間上單調遞增．同理可得f(x)＝|sin2x|的周期為，在區(qū)間上單調遞減，f(x)＝cos|x|的周期為2π.f(x)＝sin|x|不是周期函數，排除B，C，D.故選A. 5．(2019·江西撫州臨川一中模擬)已知函數f(x)＝sin(ωx＋φ)(ω>0,0<φ<π)的圖象經過兩點A，B，f(x)在內有且只有兩個極值點，且極大值點大于極小值點，則f(x)＝(　　) A．sin B．sin C．sin D．sin 答案　D 解析　根據題意可以畫出函數f(x)的圖象大致如右圖，因為f(0)＝sinφ＝，又0<φ<π，由圖可知φ＝，所

13、以f(x)＝sin，因為f＝sin＝0，由圖可知，＋T＝，所以T＝＝，故ω＝9，所以f(x)＝sin，故選D. 6．(2019·河南鄭州第三次質檢)已知函數f(x)＝Asin(ωx＋φ)的部分圖象如圖所示，則使f(a＋x)－f(a－x)＝0成立的a的最小正值為(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　由圖象易知，A＝2，f(0)＝1，即2sinφ＝1，即φ＝，又f＝0，所以sin＝0，所以·ω＋＝kπ，k∈Z，即ω＝，k∈Z，又T<

14、即2a＋＝kπ＋，k∈Z，可得a＝＋，k∈Z，所以a的最小正值為，故選B. 7．(2019·河南洛陽第三次統(tǒng)一考試)函數f(x)＝sin的圖象與函數g(x)的圖象關于直線x＝對稱，則關于函數y＝g(x)，以下說法正確的是(　　) A．最大值為1，圖象關于直線x＝對稱 B．在上單調遞減，為奇函數 C．在上單調遞增，為偶函數 D．周期為π，圖象關于點對稱 答案　B 解析　設點P(x，y)是函數y＝g(x)圖象上的任意一點，則點Q在函數y＝f(x)的圖象上，y＝sin＝－sin2x＝g(x)．對于A，函數y＝g(x)的最大值為1，圖象不關于直線x＝對稱，錯誤；對于B，g(－x)＝－g(

15、x)，所以函數g(x)是奇函數，由2kπ－≤2x≤2kπ＋得kπ－≤x≤kπ＋(k∈Z)，所以函數在上單調遞減，正確；對于C，顯然函數y＝g(x)不是偶函數，錯誤；對于D，函數的周期為π，解2x＝kπ得x＝，所以圖象的對稱中心為，錯誤．故選B. 8．已知ω>0，函數f(x)＝sin在區(qū)間上單調遞減，則實數ω的取值范圍是(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　正弦函數y＝sinx的單調遞減區(qū)間為，k∈Z，所以2kπ＋<ωx＋<2kπ＋(k∈Z)在上恒成立，所以解得4k＋≤ω≤2k＋(k∈Z)．又因為ω＞0,4k＋＜2k＋(k∈Z)，所以k＝0，所以ω∈.故選A. 二、填空題

16、 9．函數f(x)＝sin＋cos的最大值為________． 答案　 解析　由誘導公式可得：cos＝cos＝sin，則f(x)＝sin＋sin＝sin，函數的最大值為. 10．(2019·江西名校5月聯(lián)合考試)設f(x)＝sin2x＋cos2x，將f(x)的圖象向右平移φ(φ>0)個單位長度，得到g(x)的圖象，若g(x)是偶函數，則φ的最小值為________． 答案　 解析　因為f(x)＝2sin，所以g(x)＝2sin，又g(x)是偶函數， 所以－2φ＋＝＋kπ，k∈Z，即φ＝－－，k∈Z，因為φ>0，所以當k＝－1時，φmin＝. 11．(2019·福建三模)已知直線

17、y＝n與函數f(x)＝msinx＋cosx的圖象相鄰兩個交點的橫坐標分別為x1＝－，x2＝，則m＝________. 答案　1 解析　依題意f(x)＝sin(x＋φ)，由題意知x＝＝為函數f(x)＝msinx＋cosx的圖象的一條對稱軸，所以±＝m＋，解得m＝1. 12．設0

18、＝， 當且僅當＝， 即t＝tan＝，亦即x＝時等號成立，故ymin＝. 三、解答題 13．(2018·北京高考)已知函數f(x)＝sin2x＋sinxcosx. (1)求f(x)的最小正周期； (2)若f(x)在區(qū)間上的最大值為，求m的最小值． 解　(1)函數f(x)＝sin2x＋sinxcosx＝＋sin2x＝sin＋， ∴f(x)的最小正周期為T＝＝π. (2)若f(x)在區(qū)間上的最大值為， 可得2x－∈， 即有2m－≥.解得m≥. ∴m的最小值為. 14．已知函數f(x)＝sin(2x＋φ)－cos(2x＋φ)(0<φ<π)． (1)若φ＝，在給定的坐標系

19、中，畫出函數f(x)在[0，π]上的圖象； (2)若f(x)是偶函數，求φ； (3)在(2)的前提下，將函數y＝f(x)的圖象向右平移個單位后，再將得到的圖象上各點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍，縱坐標不變，得到函數y＝g(x)的圖象，求g(x)在[0，π]上的單調遞減區(qū)間． 解　(1)當φ＝時， f(x)＝sin－cos ＝sin2x＋cos2x－cos2x＋sin2x ＝sin2x＋cos2x ＝2sin. 列表： x 0 π y 1 2 0 －2 0 1 函數y＝f(x)在區(qū)間[0，π]上的圖象如圖： (2)f(x)＝sin(2x＋φ)－cos(2x＋φ) ＝2sin. 因為f(x)為偶函數，則y軸是f(x)圖象的對稱軸， 所以＝1， 則φ－＝kπ＋(k∈Z)，即φ＝kπ＋(k∈Z)， 又因為0<φ<π，故φ＝. (3)由(2)知f(x)＝2sin＝2cos2x， 將f(x)的圖象向右平移個單位后， 得到f的圖象，再將橫坐標變?yōu)樵瓉淼?倍， 得到g(x)＝f， 所以g(x)＝f＝2cos. 當2kπ≤－≤2kπ＋π(k∈Z)， 即4kπ＋≤x≤4kπ＋(k∈Z)時， g(x)單調遞減，因此g(x)在[0，π]上的單調遞減區(qū)間為.