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1、 考點十七　推理與證明 一、選擇題 1．(2019·河北衡水質檢四)利用反證法證明：若＋＝0，則x＝y(tǒng)＝0，假設為(　　) A．x，y都不為0 B．x，y不都為0 C．x，y都不為0，且x≠y D．x，y至少有一個為0 答案　B 解析　x＝y(tǒng)＝0的否定為x≠0或y≠0，即x，y不都為0，故選B. 2．(2019·重慶巴蜀中學適應性月考七)某演繹推理的“三段”分解如下： ①函數(shù)f(x)＝lg x是對數(shù)函數(shù)；②對數(shù)函數(shù)y＝logax(a>1)是增函數(shù)；③函數(shù)f(x)＝lg x是增函數(shù)，則按照演繹推理的三段論模式，排序正確的是(　　) A．①→②→③ B．③→②→①

2、 C．②→①→③ D．②→③→① 答案　C 解析　大前提是②，小前提是①，結論是③.故排列的次序應為②→①→③，故選C. 3．若P＝－，Q＝－，a≥0，則P，Q的大小關系是(　　) A．P>Q B．P0，Q>0，＝＝，＝＝，所以<，所以P>Q. 4．用數(shù)學歸納法證明1＋＋＋…＋1)時，第一步應驗證不等式(　　) A．1＋<2 B．1＋＋<2 C．1＋＋<3 D．1＋＋＋<3 答案　B 解析　依題意得，當n＝2時，不等式為1＋＋<2，故選B. 5．設x，y，z∈(0，＋∞)，a＝x＋，b＝y(tǒng)＋

3、，c＝z＋，則a，b，c三數(shù)(　　) A．至少有一個不大于2 B．都大于2 C．至少有一個不小于2 D．都小于2 答案　C 解析　a＋b＋c＝x＋＋y＋＋z＋≥2＋2＋2＝6，當且僅當x＝y(tǒng)＝z時，等號成立，所以a，b，c三數(shù)至少有一個不小于2，故選C. 6．如圖是今年元宵花燈展中一款五角星燈連續(xù)旋轉閃爍所成的三個圖形，則照此規(guī)律閃爍，下一個呈現(xiàn)出來的圖形是(　　) 答案　A 解析　觀察三個圖案知，其規(guī)律是每次閃爍，三塊黑色區(qū)域都順時針旋轉兩個角．故選A. 7．觀察下列不等式：＋1<2，2＋<2，＋<4，＋2<2，…據(jù)此可以歸納猜想出的一般結論為(　　) A．＋<2(n∈

4、N) B.＋<2(n∈N) C．＋<2(n≥2且n∈N*) D.＋<2(n≥2且n∈N*) 答案　D 解析?。?<2即為＋<2，2＋<2即為＋<2，＋<4即為＋<2，＋2<2即為＋<2，故可以歸納猜想出的一般結論是：＋<2(n≥2且n∈N*)，故選D. 8．在△ABC中，若AC⊥BC，AC＝b，BC＝a，則△ABC的外接圓半徑r＝，將此結論拓展到空間，可得出的正確結論是：在四面體S－ABC中，若SA，SB，SC兩兩互相垂直，SA＝a，SB＝b，SC＝c，則四面體S－ABC的外接球半徑R＝(　　) A． B． C． D． 答案　A 解析　在四面體S－ABC中，三條棱SA，SB

5、，SC兩兩互相垂直，則可以把該四面體補成長方體，其中SA＝a，SB＝b，SC＝c是一個頂點處的三條棱長，所以外接球的直徑就是長方體的體對角線，則半徑R＝，故選A. 二、填空題 9．觀察三角形數(shù)組，可以推測：該數(shù)組第八行的和為________． 答案　1296 解析　第一行的和為12，第二行的和為32＝(1＋2)2， 第三行的和為62＝(1＋2＋3)2， 第四行的和為(1＋2＋3＋4)2＝102， … 第八行的和為(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7＋8)2＝1296. 10．所有真約數(shù)(除本身之外的正約數(shù))的和等于它本身的正整數(shù)叫做完全數(shù)(也稱為完備數(shù)、完美數(shù))，如6＝1＋2＋3

6、；28＝1＋2＋4＋7＋14；496＝1＋2＋4＋8＋16＋31＋62＋124＋248.此外，它們都可以表示為2的一些連續(xù)正整數(shù)次冪之和，如6＝21＋22,28＝22＋23＋24，…按此規(guī)律，8128可表示為________． 答案　26＋27＋…＋212 解析　因為6＝21＋22,28＝22＋23＋24，所以496＝16×31＝24×(25－1)＝＝24＋25＋26＋27＋28，…，8128＝64×127＝26×(27－1)＝＝26＋27＋…＋212. 11．(2019·遼寧朝陽重點高中第四次模擬)甲、乙、丙、丁四名學生，僅有一人閱讀了語文老師推薦的一篇文章．當它們被問到誰閱讀了該篇文

7、章時，甲說：“丙或丁閱讀了”；乙說：“丙閱讀了”；丙說：“甲和丁都沒有閱讀”；丁說：“乙閱讀了”．假設這四名學生中只有兩人說的是對的，那么讀了該篇文章的學生是________． 答案　乙 解析　若甲閱讀了語文老師推薦的文章，則甲、乙、丙、丁說的都不對，不滿足題意；若乙閱讀了語文老師推薦的文章，則甲、乙說的都不對，丙、丁說的都對，滿足題意；若丙閱讀了語文老師推薦的文章，則甲、乙、丙說的都對，丁說的不對，不滿足題意；若丁閱讀了語文老師推薦的文章，則甲說的對，乙、丙、丁說的都不對，不滿足題意． 12．已知數(shù)列{an}為等差數(shù)列，若am＝a，an＝b(n－m≥1，m，n∈N*)，則am＋n＝.類

8、比上述結論，對于等比數(shù)列{bn}(bn>0，n∈N*)，若bm＝c，bn＝d(n－m≥2，m，n∈N*)，則可以得到bm＋n＝________. 答案　 解析　設等比數(shù)列的首項為b1，公比為q≠0. 則bm＝c＝b1qm－1，bn＝d＝b1qn－1，＝b·q(n－m)(n＋m－1)，所以＝b1qn＋m－1＝bm＋n. 三、解答題 13．設Sn為數(shù)列{an}的前n項和，給出如下數(shù)列： ①5,3,1，－1，－3，－5，－7，…； ②－14，－10，－6，－2,2,6,10,14,18，…. (1)對于數(shù)列①，計算S1，S2，S4，S5；對于數(shù)列②，計算S1，S3，S5，S7； (

9、2)根據(jù)上述結果，對于存在正整數(shù)k，滿足ak＋ak＋1＝0的這一類等差數(shù)列{an}前n項和的規(guī)律，猜想一個正確的結論，并加以證明． 解　(1)對于數(shù)列①：S1＝5，S2＝8，S4＝8，S5＝5； 對于數(shù)列②：S1＝－14，S3＝－30，S5＝－30，S7＝－14. (2)∵ak＋ak＋1＝0，∴2a1＝(1－2k)d， ∴S2k－n－Sn＝(2k－n)a1＋d－na1－d ＝[(2k－n)(1－2k)＋(2k－n)(2k－n－1)－(1－2k)n－n(n－1)] ＝[2k－4k2－n＋2nk＋4k2－2kn－2k－2nk＋n2＋n－n＋2kn－n2＋n] ＝·0 ＝0.

10、一、選擇題 1．(2019·甘肅靜寧一中第三次模擬)用數(shù)學歸納法證明1＋2＋3＋…＋n2＝，則當n＝k＋1時，左端應在n＝k的基礎上加上(　　) A．k2＋1 B．(k＋1)2 C．(k2＋1)＋(k2＋2)＋…＋(k＋1)2 D. 答案　C 解析　當n＝k時，等式左端＝1＋2＋…＋k2，當n＝k＋1時，等式左端＝1＋2＋…＋k2＋k2＋1＋k2＋2＋…＋(k＋1)2，增加了(k2＋1)＋(k2＋2)＋(k2＋3)＋…＋(k＋1)2.故選C. 2．(2019·安徽安慶6月模擬)大于1的自然數(shù)的三次冪可以分解成若干個奇數(shù)的和，比如23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15

11、＋17＋19，…，按此規(guī)律，可得453的分解和式中一定不含有(　　) A．2069 B．2039 C．2009 D．1979 答案　D 解析　根據(jù)題中規(guī)律，443可以分解成44個奇數(shù)的和，443的分解和式中最后一個奇數(shù)是44×45－1＝1979，所以453＝1981＋1983＋…＋2069.故選D. 3．平面內(nèi)直角三角形兩直角邊長分別為a，b，則斜邊長為 ，直角頂點到斜邊的距離為.空間中三棱錐的三條側棱兩兩垂直，三個側面的面積分別為S1，S2，S3，類比推理可得底面積為 ，則三棱錐頂點到底面的距離為(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　設三條棱長分別為x，y，z，

12、又因為三個側面的面積分別為S1，S2，S3，∴S1＝xy，S2＝y(tǒng)z，S3＝xz，則S2S3＝×xyz2＝S1z2，∴z＝ .∵類比推理可得底面積為，若三棱錐頂點到底面的距離為h，可知三棱錐體積為V＝S1× ＝h×， ∴h＝＝，故選C. 4．(2019·北京通州一模)由正整數(shù)組成的數(shù)對按規(guī)律排列如下：(1,1)，(1,2)，(2,1)，(1,3)，(2,2)，(3,1)，(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)，(1,5)，(2,4)，….若數(shù)對(m，n)滿足(m2－1)(n2－3)＝2019，其中m，n∈N*，則數(shù)對(m，n)排在(　　) A．第351位 B．第353位 C．第

13、378位 D．第380位 答案　B 解析　2019＝3×673(673為質數(shù))，故或(m，n∈N*)，解得m＋n＝28，在所有數(shù)對中，兩數(shù)之和不超過27的有1＋2＋3＋…＋26＝×26＝351個，在兩數(shù)之和為28的數(shù)對中，(2,26)為第二個[第一個是(1,27)]，故數(shù)對(2,26)排在第351＋2＝353位，故選B. 答案　A 解析　 6．我國古代數(shù)學名著《九章算術》中割圓術有：“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣．”其體現(xiàn)的是一種無限與有限的轉化過程，比如在 中“…”即代表無限次重復，但原式卻是個定值x，這可以通過方程＝x確定x＝2，則1

14、＋＝(　　) A． B． C． D． 答案　C 解析　設1＋＝x，則1＋＝x，即x2－x－1＝0，解得x＝，故1＋＝，故選C. 7．面積為S的平面凸四邊形的第i條邊的邊長記為ai(i＝1,2,3,4)，此四邊形內(nèi)任一點P到第i條邊的距離記為hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝k，則h1＋2h2＋3h3＋4h4＝.類比以上性質，體積為V的三棱錐的第i個面的面積記為Si(i＝1,2,3,4)，此三棱錐內(nèi)任一點Q到第i個面的距離記為Hi(i＝1,2,3,4)，若＝＝＝＝K，則H1＋2H2＋3H3＋4H4＝(　　) A． B． C． D． 答案　B 解析　根據(jù)三棱錐的體積公式V＝S

15、H，得S1H1＋S2H2＋S3H3＋S4H4＝V，即KH1＋2KH2＋3KH3＋4KH4＝3V，所以H1＋2H2＋3H3＋4H4＝. 8．下面推理過程中使用了類比推理方法，其中推理正確的個數(shù)是(　　) ①“數(shù)軸上兩點間距離公式為|AB|＝，平面上兩點間距離公式為|AB|＝”，類比推出“空間內(nèi)兩點間的距離公式為|AB|＝”； ②“代數(shù)運算中的完全平方公式(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2”類比推出“向量中的運算(a＋b)2＝a2＋2a·b＋b2仍成立”； ③“平面內(nèi)兩不重合的直線不平行就相交”類比到空間，“空間內(nèi)兩不重合的直線不平行就相交”也成立； ④“圓x2＋y2＝1上點P(x0，y

16、0)處的切線方程為x0x＋y0y＝1”，類比推出“橢圓＋＝1(a>b>0)上點P(x0，y0)處的切線方程為＋＝1”． A．1 B．2 C．3 D．4 答案　C 解析　對于①，根據(jù)空間內(nèi)兩點間距離公式可知，類比正確；對于②，(a＋b)2＝(a＋b)·(a＋b)＝a2＋a·b＋b·a＋b2＝a2＋2a·b＋b2，類比正確；對于③，空間內(nèi)兩不重合的直線，有平行、相交和異面三種情況，類比錯誤；對于④，橢圓＋＝1(a>b>0)上點P(x0，y0)處的切線方程為＋＝1為真命題．綜合上述，可知正確個數(shù)為3，故選C. 二、填空題 9．觀察下列等式： －2＋－2＝×1×2； －2＋－2＋－2＋

17、－2＝×2×3； －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×3×4； －2＋－2＋－2＋…＋－2＝×4×5； … 照此規(guī)律， －2＋－2＋－2＋…＋－2＝________. 答案　 解析　觀察前4個等式，由歸納推理可知－2＋－2＋…＋－2＝×n×(n＋1)＝. 10．(2019·全國卷Ⅱ改編)在“一帶一路”知識測驗后，甲、乙、丙三人對成績進行預測． 甲：我的成績比乙高． 乙：丙的成績比我和甲的都高． 丙：我的成績比乙高． 成績公布后，三人成績互不相同且只有一個人預測正確，那么三人中成績最高的是________． 答案　甲 解析　若甲預測正確，則乙、丙預測錯誤，則甲比乙成績高，丙

18、比乙成績低，故3人成績由高到低依次為甲、乙、丙；若乙預測正確，則丙預測也正確，不符合題意；若丙預測正確，則甲必預測錯誤，丙比乙的成績高，乙比甲成績高，即丙比甲、乙成績都高，即乙預測正確，不符合題意． 11．(2019·山東淄博3月模擬)古代埃及數(shù)學中發(fā)現(xiàn)有一個獨特現(xiàn)象：除用一個單獨的符號表示以外，其他分數(shù)都要寫成若干個單分數(shù)和的形式．例如＝＋，可以這樣理解：假定有兩個面包，要平均分給5個人，如果每人，不夠，每人，余，再將這分成5份，每人得，這樣每人分得＋.形如(n＝2,3,4，…)的分數(shù)的分解：＝＋，＝＋，＝＋，按此規(guī)律，＝________(n＝2,3,4，…)． 答案?。? 解析　通過分

19、析題目所給的特殊項，的分解是由兩個部分構成，第一個部分是，第二個部分是，故＝＋. 12．已知kC＝nC(1≤k≤n，且k，n∈N*)可以得到幾種重要的變式，如：C＝C，將n＋1賦給n，就得到kC＝(n＋1)C，…，進一步能得到：1C＋2C·21＋…＋nC·2n－1＝nC＋nC21＋nC·22＋…＋nC·2n－1＝n(1＋2)n－1＝n·3n－1.請根據(jù)以上材料所蘊含的數(shù)學思想方法與結論，計算：C×＋C×2＋C×3＋…＋C×n＋1＝________. 答案　 解析　由kC＝(n＋1)C得C＝C，則C·k＝Ck，所以C×＋C×2＋C×3＋…＋C×n＋1＝C·0＋C·1＋C·2＋…＋C·n＋1

20、－·C·0＝×＝·. 三、解答題 13．已知f(n)＝…(n∈N*)，g(n)＝(n∈N*)． (1)當n＝1,2,3時，分別比較f(n)與g(n)的大小(直接給出結論)； (2)由(1)猜想f(n)與g(n)的大小關系，并證明你的結論． 解　(1)f(1)＝2，g(1)＝，f(1)>g(1)，f(2)＝，g(2)＝，f(2)>g(2)，f(3)＝，g(3)＝，f(3)>g(3)． (2)猜想：f(n)>g(n)(n∈N*)，即×××…×>. 下面用數(shù)學歸納法證明： ①當n＝1時，上面已證． ②假設當n＝k時，猜想成立，即 ×××…×>， 則當n＝k＋1時， f(k＋1)＝×××…××>＝＝. 因為<，所以>＝g(k＋1)，所以當n＝k＋1時猜想也成立．綜上可知，對n∈N*，猜想均成立．