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2.5 全等三角形 第6課時(shí) 教學(xué)目標(biāo) 1.掌握全等三角形的性質(zhì)與判定定理； 2.熟練應(yīng)用全等三角形的判定定理解決問題. 教學(xué)重難點(diǎn) 【教學(xué)重點(diǎn)】 掌握全等三角形的性質(zhì)與判定定理。 【教學(xué)難點(diǎn)】 應(yīng)用全等三角形的判定定理解決問題。 課前準(zhǔn)備 無 教學(xué)過程 一、情境導(dǎo)入 1．判定三角形全等的四種方法：SAS，ASA，AAS，SSS. 2．怎樣選擇合適的方法解題呢？ 二、合作探究 探究點(diǎn)一：對(duì)兩個(gè)三角形全等條件的再認(rèn)識(shí) 【類型一】 條件開放 例1 如圖，∠ABC＝∠EBD，AB＝BE，要使△ABC≌△EBD，則需要補(bǔ)充的條件為____________(填一個(gè)即可)． 解析：需要補(bǔ)充的條件為BC＝BD或∠A＝∠E或∠C＝∠D. (1)補(bǔ)充的條件為BC＝BD， ∵∠ABC＝∠EBD，AB＝BE， 又有BC＝BD， ∴△ABC≌△EBD(SAS)． (2)補(bǔ)充的條件為∠A＝∠E， ∵∠ABC＝∠EBD，AB＝BE，又有∠A＝∠E， ∴△ABC≌△EBD(ASA)． (3)補(bǔ)充的條件為∠C＝∠D， ∵∠ABC＝∠EBD，AB＝BE， 又有∠C＝∠D，∴△ABC≌△EBD(AAS)． 故填BC＝BD或∠A＝∠E或∠C＝∠D. 方法總結(jié)：①已知一邊一角，可任意添加一個(gè)角的條件，用AAS或ASA判定全等；添加邊的條件時(shí)只能添加夾這個(gè)角的邊，用SAS判定全等．若添加另一邊即這個(gè)角的對(duì)邊，符合SSA的情形，不能判定三角形全等．②添加條件時(shí)，應(yīng)結(jié)合判定全等的四種方法：SSS、SAS、ASA、AAS，注意不能是SSA的情形． 【類型二】 結(jié)論開放 例2 如圖，點(diǎn)F在BC上，AB＝AE，AC＝AF，∠EAB＝∠CAF，請(qǐng)你任意寫出一個(gè)正確結(jié)論：______________． 解析：由∠EAB＝∠CAF可得∠EAF＝∠CAB，又AB＝AE，AC＝AF，所以△ABC≌△AEF(SAS)，所以CB＝FE，∠E＝∠B，∠AFE＝∠C.故可以填：△ABC≌△AEF或CB＝FE或∠E＝∠B或∠AFE＝∠C. 方法總結(jié)：對(duì)于結(jié)論開放題，應(yīng)先結(jié)合已知條件和圖形進(jìn)行推理，得出各種結(jié)論，任選其中之一即可． 【類型三】 條件結(jié)論都開放 例3 如圖，△ADF和△BCE中，∠A＝∠B，點(diǎn)D、E、F、C在同一直線上，有如下三個(gè)關(guān)系式：①AD＝BC；②DE＝CF；③BE∥AF. (1)請(qǐng)用其中兩個(gè)關(guān)系式作為條件，另一個(gè)作為結(jié)論，寫出所有你認(rèn)為正確的命題(用序號(hào)寫出命題書寫形式，如：如果①、②，那么③)； (2)選擇(1)中你寫出的一個(gè)命題，說明它正確的理由． 解析：(1)本題主要考查全等三角形的判定，能不能成立，就看作為條件的關(guān)系式能不能證明△ADF≌△BCE，從而得到結(jié)論； (2)對(duì)于“如果①，③，那么②”進(jìn)行證明，根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠AFD＝∠BEC，因?yàn)锳D＝BC，∠A＝∠B，利用AAS判定△ADF≌△BCE，得到DF＝CE，即得到DE＝CF. 解：(1)如果①、③，那么②；如果②、③，那么①. (2)對(duì)于“如果①、③，那么②”證明如下： ∵BE∥AF，∴∠AFD＝∠BEC. 又∵AD＝BC，∠A＝∠B，∴△ADF≌△BCE. ∴DF＝CE.∴DF－EF＝CE－EF即DE＝CF. 對(duì)于“如果②、③，那么①”證明如下： ∵BE∥AF，∴∠AFD＝∠BEC. ∵DE＝CF，∴DE＋EF＝CF＋EF即DF＝CE. ∵∠A＝∠B，∴△ADF≌△BCE. ∴AD＝BC. 方法總結(jié)：對(duì)于條件結(jié)論都開放的題目，結(jié)合圖形，從中選取的條件要能使結(jié)論成立． 探究點(diǎn)二：靈活選用合適方法證明三角形全等 例4 如圖，在△ABE中，AB＝AE，AD＝AC，∠BAD＝∠EAC，BC、DE交于點(diǎn)O. 求證：(1)△ABC≌△AED； (2)OB＝OE. 解析：(1)由∠BAD＝∠EAC可知∠BAC＝∠EAD，所以由，可證△ABC≌△AED(SAS)； (2)由(1)知∠ABC＝∠AED，AB＝AE可知∠ABE＝∠AEB，所以∠OBE＝∠OEB，則OB＝OE. 證明：(1)∵∠BAD＝∠EAC，∴∠BAD＋∠DAC＝∠EAC＋∠DAC，即∠BAC＝∠EAD. 在△ABC和△AED中， ， ∴△ABC≌△AED(SAS)． (2)由(1)知∠ABC＝∠AED， ∵AB＝AE， ∴∠ABE＝∠AEB.∴∠ABE－∠ABC＝∠AEB－∠AED，即∠OBE＝∠OEB.∴OB＝OE. 探究點(diǎn)三：添加輔助線證明三角形全等 例5 如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延長線交DC于點(diǎn)E. 求證：(1)△BFC≌△DFC； (2)AD＝DE. 解析：(1)由CF平分∠BCD可知∠BCF＝∠DCF，然后通過SAS就能證出△BFC≌△DFC. (2)連接BD，要證明AD＝DE，證明△BAD≌△BED則可．由于BD＝BD，所以只需另外證明兩組角對(duì)應(yīng)相等即可． 證明：(1)∵CF平分∠BCD， ∴∠BCF＝∠DCF. 在△BFC和△DFC中，， ∴△BFC≌△DFC. (2)連接BD.∵△BFC≌△DFC， ∴BF＝DF，∴∠FBD＝∠FDB. ∵DF∥AB，∴∠ABD＝∠FDB.∴∠ABD＝∠FBD. ∵AD∥BC，∴∠BDA＝∠DBC. ∵BC＝DC，∴∠DBC＝∠BDC.∴∠BDA＝∠BDC. 又∵BD＝BD，∴△BAD≌△BED.∴AD＝DE. 方法總結(jié)：證明全等三角形中常見輔助線的作法：①連接兩點(diǎn)；②倍長中線；③過一點(diǎn)作已知直線的平行線；④過一點(diǎn)作已知直線的垂線． 探究點(diǎn)四：多次運(yùn)用三角形全等的判定 例6 如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，BC＝DC，E為AC上的一動(dòng)點(diǎn)(不與A重合)，在E移動(dòng)過程中BE和DE是否相等？若相等，請(qǐng)寫出證明過程；若不相等，請(qǐng)說明理由． 解析：要證BE＝DE，先證△ADC≌△ABC(SSS)，得到∠DAE＝∠BAE，再證△ADE≌△ABE(SAS)即可． 解：相等． 理由如下： 在△ABC和△ADC中， AB＝AD，AC＝AC，BC＝DC， ∴△ABC≌△ADC(SSS)，∴∠DAE＝∠BAE， 在△ADE和△ABE中， AB＝AD，∠DAE＝∠BAE，AE＝AE， ∴△ADE≌△ABE(SAS)，∴BE＝DE. 方法總結(jié)：把要證明的邊相等或角相等，轉(zhuǎn)化為證明它們所在的三角形全等．如果兩個(gè)三角形全等的條件不具備，可通過兩次或多次三角形全等得出． 探究點(diǎn)五：全等三角形判定的實(shí)際應(yīng)用 例7 如圖，A、B兩個(gè)建筑物分別位于河的兩岸，為了測(cè)量它們之間的距離，可以沿河岸作射線BF，且使BF⊥AB，在BF上截取BC＝CD，過D點(diǎn)作DE⊥BF，使E、C、A在一條直線上，則DE的長就是A、B之間的距離，請(qǐng)說明理由． 解：∵∠ACB＝∠DCE，BC＝CD，∠B＝∠EDC＝90°， ∴△ACB≌△ECD， ∴AB＝DE.∴DE的長就是A、B之間的距離． 方法總結(jié)：本題考查全等三角形的應(yīng)用，關(guān)鍵是通過證明三角形全等，得到線段相等，從而得出結(jié)論成立． 三、板書設(shè)計(jì) 判定三角形全等的思路： 四、教學(xué)反思 本節(jié)課學(xué)習(xí)了全等三角形四種判定方法的靈活運(yùn)用，讓學(xué)生積極主動(dòng)地去練習(xí)，學(xué)會(huì)分析已知什么，要證明什么，還需要什么條件，同時(shí)還要善于從圖形中發(fā)現(xiàn)隱含的條件：公共邊、公共角、對(duì)頂角、鄰補(bǔ)角等． 5