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第一章勾股定理 章末測試卷 一、選擇題（每題3分，共36分） 1．（3分）如圖字母B所代表的正方形的面積是（　?。? A．12 B．13 C．144 D．194 2．（3分）分別以下列五組數(shù)為一個三角形的邊長：①6，8，10 ②13，5，12 ③1，2，3 ④9，40，41 ⑤3，4，5．其中能構(gòu)成直角三角形的有（　　）組． A．2 B．3 C．4 D．5 3．（3分）△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，下列命題中的假命題是（　　） A．如果∠C﹣∠B=∠A，則△ABC是直角三角形 B．如果c2=b2﹣a2，則△ABC是直角三角形，且∠C=90° C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，則△ABC是直角三角形 D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，則△ABC是直角三角形 4．（3分）下列數(shù)據(jù)中是勾股數(shù)的有（　?。┙M （1）3，5，7 （2）5，15，17 （3）1.5，2，2.5 （4）7，24，25 （5）10，24，26． A．1 B．2 C．3 D．4 5．（3分）已知直角三角形的兩直角邊之比是3：4，周長是36，則斜邊是（　?。? A．5 B．10 C．15 D．20 6．（3分）若等腰三角形的腰長為10cm，底邊長為16cm，那么底邊上的高為（　?。? A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm 7．（3分）三角形的三邊長為a，b，c，且滿足（a+b）2=c2+2ab，則這個三角形是（　?。? A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形 8．（3分）直角三角形兩直角邊長度為5，12，則斜邊上的高（　　） A．6 B．8 C． D． 9．（3分）下列三角形一定不是直角三角形的是（　?。? A．三角形的三邊長分別為5，12，13 B．三角形的三個內(nèi)角比為1：2：3 C．三角形的三邊長之比為1：2：3 D．三角形的兩內(nèi)角互余 10．（3分）放學(xué)以后，小明和小華從學(xué)校分開，分別向北和東走回家，若小明和小華行走的速度都是50米/分，小明用10分到家，小華用24分到家，小明和小華家的距離為（　?。? A．600米 B．800米 C．1000米 D．1300米 11．（3分）下面說法正確的是（　?。? A．在Rt△ABC中，a2+b2=c2 B．在Rt△ABC中，a=3，b=4，那么c=5 C．直角三角形兩直角邊都是5，那么斜邊長為10 D．直角三角形中，斜邊最長 12．（3分）在△ABC中，AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，下列關(guān)系成立的是（　?。? A．∠B+∠C＞∠A B．∠B+∠C=∠A C．∠B+∠C＜∠A D．以上都不對 二、填空題（每空3分，共12分） 13．（3分）一長為13m的木梯，架在高為12m的墻上，這時梯腳與墻的距離是　　m． 14．（3分）如圖，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，則OD2=　?。? 15．（3分）一根電線桿在一次臺風(fēng)中于地面3米處折斷倒下，桿頂端落在離桿底端4米處，電線桿在折斷之前高　　米． 16．（3分）如果直角三角形的三條邊分別為4、5、a，那么a2的值等于　?。? 三、解答題（共52分） 17．（8分）如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C偏離欲到達(dá)點(diǎn)B200m，結(jié)果他在水中實(shí)際游了520m，該河流的寬度為多少？ 18．（8分）求下列圖形中陰影部分的面積． （1）如圖1，AB=8，AC=6； （2）如圖2，AB=13，AD=14，CD=2． 19．（8分）某校校慶，在校門AB的上方A處到教學(xué)樓C的樓頂E處拉彩帶，已知AB高5m，EC高29m，校門口到大樓之間的距離BC為10m，求彩帶AE的長是多少？ 　 20．（10分）一個零件的形狀如圖所示，工人師傅按規(guī)定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如這是一塊鋼板，你能幫工人師傅計(jì)算一下這塊鋼板的面積嗎？ 21．（10分）如圖，將邊長為8cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在F處，折痕為MN，求線段CN長． 22．（8分）如圖，A、B兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求出總費(fèi)用是多少？ 參考答案 一、選擇題（每題3分，共36分） 1．（3分）如圖字母B所代表的正方形的面積是（　?。? A．12 B．13 C．144 D．194 【考點(diǎn)】勾股定理． 【專題】換元法． 【分析】由圖可知在直角三角形中，已知斜邊和一直角邊，求另一直角邊的平方，用勾股定理即可解答． 【解答】解：由題可知，在直角三角形中，斜邊的平方=169，一直角邊的平方=25， 根據(jù)勾股定理知，另一直角邊平方=169﹣25=144，即字母B所代表的正方形的面積是144． 故選C． 【點(diǎn)評】此題比較簡單，關(guān)鍵是熟知勾股定理：在直角三角形中兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方． 　 2．（3分）分別以下列五組數(shù)為一個三角形的邊長：①6，8，10 ②13，5，12 ③1，2，3 ④9，40，41 ⑤3，4，5．其中能構(gòu)成直角三角形的有（　?。┙M． A．2 B．3 C．4 D．5 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理． 【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理：如果三角形有兩邊的平方和等于第三邊的平方，那么這個是直角三角形判定則可．如果有這種關(guān)系，這個就是直角三角形． 【解答】解：因?yàn)棰?2+82=102，②132=52+122，④92+402=412，符合勾股定理的逆定理，所以能構(gòu)成直角三角形的有三組．故選B． 【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的逆定理，在應(yīng)用勾股定理的逆定理時，應(yīng)先認(rèn)真分析所給邊的大小關(guān)系，確定最大邊后，再驗(yàn)證兩條較小邊的平方和與最大邊的平方之間的關(guān)系，進(jìn)而作出判斷． 　 3．（3分）△ABC中∠A、∠B、∠C的對邊分別是a、b、c，下列命題中的假命題是（　　） A．如果∠C﹣∠B=∠A，則△ABC是直角三角形 B．如果c2=b2﹣a2，則△ABC是直角三角形，且∠C=90° C．如果（c+a）（c﹣a）=b2，則△ABC是直角三角形 D．如果∠A：∠B：∠C=5：2：3，則△ABC是直角三角形 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】直角三角形的判定方法有：①求得一個角為90°，②利用勾股定理的逆定理． 【解答】解：A、根據(jù)三角形內(nèi)角和定理，可求出角C為90度，故正確； B、解得應(yīng)為∠B=90度，故錯誤； C、化簡后有c2=a2+b2，根據(jù)勾股定理，則△ABC是直角三角形，故正確； D、設(shè)三角分別為5x，3x，2x，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得三外角分別為：90度，36度，54度，則△ABC是直角三角形，故正確． 故選B． 【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形的判定． 　 4．（3分）下列數(shù)據(jù)中是勾股數(shù)的有（　?。┙M （1）3，5，7 （2）5，15，17 （3）1.5，2，2.5 （4）7，24，25 （5）10，24，26． A．1 B．2 C．3 D．4 【考點(diǎn)】勾股數(shù)． 【分析】三個正整數(shù)，其中兩個較小的數(shù)的平方和等于最大的數(shù)的平方，則這三個數(shù)就是勾股數(shù)，據(jù)此判斷即可． 【解答】解：（1）3，5，7 不是勾股數(shù)，因?yàn)?2+52≠72； （2）5，15，17 不是勾股數(shù)，因?yàn)?2+152≠172； （3）1.5，2，2.5不是勾股數(shù)，因?yàn)?.5，2，2.5不是正整數(shù)； （4）7，24，25 是勾股數(shù)，因?yàn)?2+242=252，且7、24、25是正整數(shù)； （5）10，24，26是勾股數(shù)，因?yàn)?02+242=262，且10，24，26是正整數(shù)． 故選B． 【點(diǎn)評】本題考查了勾股數(shù)的概念：滿足a2+b2=c2的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)．說明：①三個數(shù)必須是正整數(shù)，例如：2.5、6、6.5滿足a2+b2=c2，但是它們不是正整數(shù)，所以它們不是夠勾股數(shù)．②一組勾股數(shù)擴(kuò)大相同的整數(shù)倍得到三個數(shù)仍是一組勾股數(shù)．③記住常用的勾股數(shù)再做題可以提高速度．如：3，4，5；6，8，10；5，12，13；… 　 5．（3分）已知直角三角形的兩直角邊之比是3：4，周長是36，則斜邊是（　?。? A．5 B．10 C．15 D．20 【考點(diǎn)】勾股定理． 【分析】設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為3k，4k，則斜邊為5k，列出方程求出k，即可解決問題． 【解答】解：設(shè)直角三角形的兩直角邊分別為3k，4k，則斜邊為5k． 由題意3k+4k+5k=36， 解得k=3， 所以斜邊為5k=15． 故選C． 【點(diǎn)評】本題考查勾股定理、一元一次方程等知識，解題的關(guān)鍵是靈活于勾股定理解決問題，學(xué)會設(shè)未知數(shù)列方程解決問題，屬于中考?？碱}型． 　 6．（3分）若等腰三角形的腰長為10cm，底邊長為16cm，那么底邊上的高為（　?。? A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm 【考點(diǎn)】勾股定理；等腰三角形的性質(zhì)． 【分析】可以先作出BC邊上的高AD，根據(jù)等腰三角愛哦形的性質(zhì)可得BD的長，在Rt△ADB中，利用勾股定理就可以求出高AD． 【解答】解：作AD⊥BC于D， ∵AB=AC， ∴BD=BC=8cm， ∴AD==6cm， 故選：D． 【點(diǎn)評】本題主要考查了勾股定理及等腰三角形的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握勾股定理和等腰三角形三線合一的性質(zhì)． 　 7．（3分）三角形的三邊長為a，b，c，且滿足（a+b）2=c2+2ab，則這個三角形是（　?。? A．等邊三角形 B．鈍角三角形 C．直角三角形 D．銳角三角形 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理． 【分析】對等式進(jìn)行整理，再判斷其形狀． 【解答】解：化簡（a+b）2=c2+2ab，得，a2+b2=c2所以三角形是直角三角形， 故選：C． 【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形的判定：可用勾股定理的逆定理判定． 　 8．（3分）直角三角形兩直角邊長度為5，12，則斜邊上的高（　?。? A．6 B．8 C． D． 【考點(diǎn)】勾股定理． 【分析】首先根據(jù)勾股定理，得：斜邊==13．再根據(jù)直角三角形的面積公式，求出斜邊上的高． 【解答】解：由題意得，斜邊為=13．所以斜邊上的高=12×5÷13=． 故選D． 【點(diǎn)評】運(yùn)用了勾股定理．注意：直角三角形斜邊上的高等于兩條直角邊的乘積除以斜邊． 　 9．（3分）下列三角形一定不是直角三角形的是（　　） A．三角形的三邊長分別為5，12，13 B．三角形的三個內(nèi)角比為1：2：3 C．三角形的三邊長之比為1：2：3 D．三角形的兩內(nèi)角互余 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理；三角形內(nèi)角和定理． 【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理以及直角三角形的定義一一判斷即可． 【解答】解：A、正確．∵52+122=132，∴三角形為直角三角形． B、正確．∵三角形的三個內(nèi)角比為1：2：3，∴三個內(nèi)角分別為30°，60°，90°，∴三角形是直角三角形． C、錯誤．∵12+22≠32，∴三角形不是直角三角形． D、正確．∵三角形的兩內(nèi)角互余，∴第三個角是90°，∴三角形是直角三角形． 故選C． 【點(diǎn)評】本題考查勾股定理的逆定理、三角形的內(nèi)角和等知識，解題的關(guān)鍵是靈活應(yīng)用這些知識解決問題，屬于中考?？碱}型． 　 10．（3分）放學(xué)以后，小明和小華從學(xué)校分開，分別向北和東走回家，若小明和小華行走的速度都是50米/分，小明用10分到家，小華用24分到家，小明和小華家的距離為（　?。? A．600米 B．800米 C．1000米 D．1300米 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用． 【分析】根據(jù)題意畫出圖形，再根據(jù)勾股定理求解即可． 【解答】解：如圖所示， ∵小明用10分到家，小華用24分到家， ∴OA=10×50=500（米），OB=24×50=1200（米）， ∴AB==1300（米）． 答：小明和小華家的距離為1300米． 故選：D． 【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，熟知在應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題時勾股定理與方程的結(jié)合是解決實(shí)際問題常用的方法，關(guān)鍵是從題中抽象出勾股定理這一數(shù)學(xué)模型，畫出準(zhǔn)確的示意圖．領(lǐng)會數(shù)形結(jié)合的思想的應(yīng)用． 　 11．（3分）下面說法正確的是（　?。? A．在Rt△ABC中，a2+b2=c2 B．在Rt△ABC中，a=3，b=4，那么c=5 C．直角三角形兩直角邊都是5，那么斜邊長為10 D．直角三角形中，斜邊最長 【考點(diǎn)】勾股定理． 【分析】利用直角三角形勾股定理進(jìn)行解題． 【解答】解：A，B：直角三角形直角是哪個，未知，故不能得出a2+b2=c2，c=5 C：斜邊長為5； D：由勾股定理知顯然正確． 故選D． 【點(diǎn)評】考查了直角三角形相關(guān)知識以及勾股定理的應(yīng)用． 　 12．（3分）在△ABC中，AB=12cm，AC=9cm，BC=15cm，下列關(guān)系成立的是（　?。? A．∠B+∠C＞∠A B．∠B+∠C=∠A C．∠B+∠C＜∠A D．以上都不對 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理． 【分析】根據(jù)勾股定理的逆定理進(jìn)行分析，從而得到三角形的形狀，則不難求得其各角的關(guān)系． 【解答】解：因?yàn)?22+92=152，所以三角形是直角三角形，則∠B+∠C=∠A．故選B． 【點(diǎn)評】本題考查了直角三角形的判定及勾股定理逆定理的應(yīng)用． 　 二、填空題（每空3分，共12分） 13．（3分）一長為13m的木梯，架在高為12m的墻上，這時梯腳與墻的距離是　5　m． 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用． 【分析】根據(jù)題意可知，梯子、地面、墻剛好形成一直角三角形，梯高為斜邊，利用勾股定理解此直角三角形即可． 【解答】解：∵梯子、地面、墻剛好形成一直角三角形， ∴梯腳與墻角的距離==5（m）． 故答案為：5． 【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理在實(shí)際生活中的應(yīng)用，正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵． 　 14．（3分）如圖，∠OAB=∠OBC=∠OCD=90°，AB=BC=CD=1，OA=2，則OD2=　7?。? 【考點(diǎn)】勾股定理． 【分析】連續(xù)運(yùn)用勾股定理即可解答． 【解答】解：由勾股定理可知OB=，OC=，OD= ∴OD2=7． 【點(diǎn)評】本題考查了利用勾股定理解直角三角形的能力即：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方． 　 15．（3分）一根電線桿在一次臺風(fēng)中于地面3米處折斷倒下，桿頂端落在離桿底端4米處，電線桿在折斷之前高　8　米． 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用． 【分析】先根據(jù)勾股定理求出大樹折斷部分的高度，再根據(jù)大樹的高度等于折斷部分的長與未斷部分的和即可得出結(jié)論． 【解答】解：由勾股定理得斜邊為=5米， 則原來的高度為3+5=8米． 即電線桿在折斷之前高8米． 故答案為8． 【點(diǎn)評】此題是勾股定理的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵是把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題來解決．此題也可以直接用算術(shù)的算法求解． 　 16．（3分）如果直角三角形的三條邊分別為4、5、a，那么a2的值等于　9或41　． 【考點(diǎn)】勾股定理． 【分析】此題有兩種情況，一是當(dāng)這個直角三角形的斜邊的長為5時；二是當(dāng)這個直角三角形兩條直角邊的長分別為4和5時，由勾股定理分別求出此時的a2值即可． 【解答】解：當(dāng)這個直角三角形的斜邊的長為5時， a2=52﹣42=9； 當(dāng)這個直角三角形兩條直角邊的長分別為4和5時， a2=52+42=41． 故a的值為9或41． 故答案為：9或41． 【點(diǎn)評】本題考查勾股定理的知識，解答此題的關(guān)鍵是直角三角形的斜邊沒有確定，所以要進(jìn)行分類討論，注意不要漏解，難度一般． 　 三、解答題（共52分） 17．（8分）如圖，某人欲橫渡一條河，由于水流的影響，實(shí)際上岸地點(diǎn)C偏離欲到達(dá)點(diǎn)B200m，結(jié)果他在水中實(shí)際游了520m，該河流的寬度為多少？ 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用． 【分析】從實(shí)際問題中找出直角三角形，利用勾股定理解答． 【解答】解：根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，運(yùn)用勾股定理求得AB===480m， 答：該河流的寬度為480m． 【點(diǎn)評】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，是實(shí)際問題但比較簡單． 　 18．（8分）求下列圖形中陰影部分的面積． （1）如圖1，AB=8，AC=6； （2）如圖2，AB=13，AD=14，CD=2． 【考點(diǎn)】勾股定理． 【分析】（1）首先利用勾股定理計(jì)算出BC的長，進(jìn)而得到圓的半徑BO長，再利用半圓的面積減去直角三角形面積即可； （2）首先計(jì)算出AC的長，再利用勾股定理計(jì)算出BC的長，然后利用矩形的面積公式計(jì)算即可． 【解答】解：（1）∵AB=8，AC=6， ∴BC===10， ∴BO=5， ∵S△ABC=AB×AC=×8×6=24， S半圓=π×52=， ∴S陰影=﹣24； （2）∵AD=14，CD=2， ∴AC=12， ∵AB=13， ∴CB===5， ∴S陰影=2×5=10． 【點(diǎn)評】此題主要考查了勾股定理，關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方． 　 19．（8分）某校校慶，在校門AB的上方A處到教學(xué)樓C的樓頂E處拉彩帶，已知AB高5m，EC高29m，校門口到大樓之間的距離BC為10m，求彩帶AE的長是多少？ 【考點(diǎn)】勾股定理的應(yīng)用． 【專題】探究型． 【分析】過點(diǎn)A作AF⊥CE于點(diǎn)F，由AB=5m，EC=29m可求出EF的長，再由BC=10m可知AE=BC=10m，在Rt△AEF中利用勾股定理即可求出AE的長． 【解答】解：過點(diǎn)A作AF⊥CE于點(diǎn)F， ∵AB⊥BC，EC⊥BC， ∴四邊形ABCF是矩形， ∵AB=5m，EC=29m， ∴EF29﹣5=24m， ∵BC=10m， ∴AE=BC=10m， 在Rt△AEF中， ∵AF=10m，EF=24m， ∴AE===26m． 答：彩帶AE的長是23米． 【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出直角三角形是解答此題的關(guān)鍵． 　 20．（10分）一個零件的形狀如圖所示，工人師傅按規(guī)定做得AB=3，BC=4，AC=5，CD=12，AD=13，假如這是一塊鋼板，你能幫工人師傅計(jì)算一下這塊鋼板的面積嗎？ 【考點(diǎn)】勾股定理的逆定理． 【分析】由勾股定理逆定理可得△ACD與△ABC均為直角三角形，進(jìn)而可求解其面積． 【解答】解：∵42+32=52，52+122=132， 即AB2+BC2=AC2，故∠B=90°， 同理，∠ACD=90° ∴S四邊形ABCD=S△ABC+S△ACD =×3×4+×5×12 =6+30 =36． 【點(diǎn)評】熟練掌握勾股定理逆定理的運(yùn)用，會求解三角形的面積問題． 　 21．（10分）如圖，將邊長為8cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在BC邊的中點(diǎn)E處，點(diǎn)A落在F處，折痕為MN，求線段CN長． 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問題）． 【分析】根據(jù)折疊的性質(zhì)，只要求出DN就可以求出NE，在直角△CEN中，若設(shè)CN=x，則DN=NE=8﹣x，CE=4cm，根據(jù)勾股定理就可以列出方程，從而解出CN的長． 【解答】解：設(shè)CN=xcm，則DN=（8﹣x）cm，由折疊的性質(zhì)知EN=DN=（8﹣x）cm， 而EC=BC=4cm，在Rt△ECN中，由勾股定理可知EN2=EC2+CN2， 即（8﹣x）2=16+x2， 整理得16x=48， 解得：x=3． 即線段CN長為3． 【點(diǎn)評】此題主要考查了翻折變換的性質(zhì)，折疊問題其實(shí)質(zhì)是軸對稱，對應(yīng)線段相等，對應(yīng)角相等，通常用勾股定理解決折疊問題． 　 22．（8分）如圖，A、B兩個小集鎮(zhèn)在河流CD的同側(cè)，分別到河的距離為AC=10千米，BD=30千米，且CD=30千米，現(xiàn)在要在河邊建一自來水廠，向A、B兩鎮(zhèn)供水，鋪設(shè)水管的費(fèi)用為每千米3萬，請你在河流CD上選擇水廠的位置M，使鋪設(shè)水管的費(fèi)用最節(jié)省，并求出總費(fèi)用是多少？ 【考點(diǎn)】軸對稱-最短路線問題． 【專題】計(jì)算題；作圖題． 【分析】此題的關(guān)鍵是確定點(diǎn)M的位置，需要首先作點(diǎn)A的對稱點(diǎn)A′，連接點(diǎn)B和點(diǎn)A′，交l于點(diǎn)M，M即所求作的點(diǎn)．根據(jù)軸對稱的性質(zhì)，知：MA+MB=A′B．根據(jù)勾股定理即可求解． 【解答】解：作A關(guān)于CD的對稱點(diǎn)A′，連接A′B與CD，交點(diǎn)CD于M，點(diǎn)M即為所求作的點(diǎn)， 則可得：DK=A′C=AC=10千米， ∴BK=BD+DK=40千米， ∴AM+BM=A′B==50千米， 總費(fèi)用為50×3=150萬元． 【點(diǎn)評】此類題的重點(diǎn)在于能夠確定點(diǎn)M的位置，再運(yùn)用勾股定理即可求解． 　  第20頁（共20頁）