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第四章 圖形的相似 測試卷 一．選擇題 1．若a：b=2：3，則下列各式中正確的式子是（　?。? A．2a=3b B．3a=2b C． D． 2．若x：y=1：3，2y=3z，則的值是（　?。? A．﹣5 B．﹣ C． D．5 3．如圖，在△ABC中，DE∥BC，若=，則=（　　） A． B． C． D． 4．如圖，直線l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三個頂點A，B，C分別在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于點D，已知l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，則的值為（　?。? A． B． C． D． 5．若兩個相似多邊形的面積之比為1：4，則它們的周長之比為（　　） A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1 6．）已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點E，沿AE將△ABE向上折疊，使B點落在AD上的F點，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=（　?。? A． B． C． D．2 7．如圖，點F在平行四邊形ABCD的邊AB上，射線CF交DA的延長線于點E，在不添加輔助線的情況下，與△AEF相似的三角形有（　　） A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 8．如圖，點P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個條件，不正確的是（　?。? A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．= D．= 9．如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于點F，D為AB的中點，連接DF延長交AC于點E．若AB=10，BC=16，則線段EF的長為（　?。? A．2 B．3 C．4 D．5 10．△ABC與△DEF的相似比為1：4，則△ABC與△DEF的周長比為（　?。? A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16 11．如圖是由邊長相同的小正方形組成的網格，A，B，P，Q四點均在正方形網格的格點上，線段AB，PQ相交于點M，則圖中∠QMB的正切值是（　?。? A． B．1 C． D．2 12．如圖，在直角坐標系中，有兩點A（6，3），B（6，0），以原點O位似中心，相似比為，在第一象限內把線段AB縮小后得到線段CD，則點C的坐標為（　　） A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1） 二．填空題 13．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=　 ?。? 14．如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于 ． 15．如圖，在△ABC中，D是AB邊上的一點，連接CD，請?zhí)砑右粋€適當的條件　 　，使△ABC∽△ACD．（只填一個即可） 16．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點E，將△ABE沿AE向上折疊，使B點落在AD上的F點．若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD= ． 三．解答題 17．如圖，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC邊上截取AD=BC，連接BD． （1）通過計算，判斷AD2與AC?CD的大小關系； （2）求∠ABD的度數． 18．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD為角平分線，DE⊥AB，垂足為E． （1）寫出圖中一對全等三角形和一對相似比不為1的相似三角形； （2）選擇（1）中一對加以證明． 19．如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=﹣x+3與x軸交于點C，與直線AD交于點A（，），點D的坐標為（0，1） （1）求直線AD的解析式； （2）直線AD與x軸交于點B，若點E是直線AD上一動點（不與點B重合），當△BOD與△BCE相似時，求點E的坐標． 20．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D．點E、F分別在邊AB、AC上，且BE=AF，FG∥AB交線段AD于點G，連接BG、EF． （1）求證：四邊形BGFE是平行四邊形； （2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求線段BE的長． 21．如圖，某校數學興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來測量操場旗桿AB的高度，他們通過調整測量位置，使斜邊DF與地面保持平行，并使邊DE與旗桿頂點A在同一直線上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目測點D到地面的距離DG=1.5米，到旗桿的水平距離DC=20米，求旗桿的高度． 22．如圖，是一個照相機成像的示意圖． （1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍攝的景物高度AB是4.9m，拍攝點離景物有多遠？ （2）如果要完整的拍攝高度是2m的景物，拍攝點離景物有4m，像高不變，則相機的焦距應調整為多少？  答案解析 一．選擇題 1．若a：b=2：3，則下列各式中正確的式子是（　?。? A．2a=3b B．3a=2b C． D． 【考點】比例的性質． 【分析】根據比例的性質，對選項一一分析，選擇正確答案． 【解答】解：A、2a=3b?a：b=3：2，故選項錯誤； B、3a=2b?a：b=2：3，故選項正確； C、=?b：a=2：3，故選項錯誤； D、=?a：b=4：3，故選項錯誤． 故選B． 【點評】考查了比例的性質．在比例里，兩個外項的乘積等于兩個內項的乘積． 　 2．若x：y=1：3，2y=3z，則的值是（　?。? A．﹣5 B．﹣ C． D．5 【考點】比例的性質． 【專題】計算題． 【分析】根據比例設x=k，y=3k，再用k表示出z，然后代入比例式進行計算即可得解． 【解答】解：∵x：y=1：3， ∴設x=k，y=3k， ∵2y=3z， ∴z=2k， ∴==﹣5． 故選：A． 【點評】本題考查了比例的性質，利用“設k法”分別表示出x、y、z可以使計算更加簡便． 　 3．如圖，在△ABC中，DE∥BC，若=，則=（　?。? A． B． C． D． 【考點】平行線分線段成比例． 【分析】直接利用平行線分線段成比例定理寫出答案即可． 【解答】解：∵DE∥BC， ∴==， 故選C． 【點評】本題考查了平行線分線段成比例定理，了解定理的內容是解答本題的關鍵，屬于基礎定義或定理，難度不大． 　 4．（2016?淄博）如圖，直線l1∥l2∥l3，一等腰直角三角形ABC的三個頂點A，B，C分別在l1，l2，l3上，∠ACB=90°，AC交l2于點D，已知l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3，則的值為（　?。? A． B． C． D． 【考點】平行線分線段成比例． 【專題】線段、角、相交線與平行線． 【分析】先作出作BF⊥l3，AE⊥l3，再判斷△ACE≌△CBF，求出CE=BF=3，CF=AE=4，然后由l2∥l3，求出DG，即可． 【解答】解：如圖，作BF⊥l3，AE⊥l3， ∵∠ACB=90°， ∴∠BCF+∠ACE=90°， ∵∠BCF+∠CFB=90°， ∴∠ACE=∠CBF， 在△ACE和△CBF中， ， ∴△ACE≌△CBF， ∴CE=BF=3，CF=AE=4， ∵l1與l2的距離為1，l2與l3的距離為3， ∴AG=1，BG=EF=CF+CE=7 ∴AB==5， ∵l2∥l3， ∴= ∴DG=CE=， ∴BD=BG﹣DG=7﹣=， ∴=． 故選A． 【點評】此題是平行線分線段成比例試題，主要考查了全等三角形的性質和判定，平行線分線段成比例定理，勾股定理，解本題的關鍵是構造全等三角形． 　 5．若兩個相似多邊形的面積之比為1：4，則它們的周長之比為（　?。? A．1：4 B．1：2 C．2：1 D．4：1 【考點】相似多邊形的性質． 【分析】根據相似多邊形的面積之比等于相似比的平方，周長之比等于相似比，就可求解． 【解答】解：∵兩個相似多邊形面積比為1：4， ∴周長之比為=1：2． 故選：B． 【點評】本題考查相似多邊形的性質．相似多邊形對應邊之比、周長之比等于相似比，而面積之比等于相似比的平方． 　 6．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點E，沿AE將△ABE向上折疊，使B點落在AD上的F點，若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=（　　） A． B． C． D．2 【考點】相似多邊形的性質． 【分析】可設AD=x，根據四邊形EFDC與矩形ABCD相似，可得比例式，求解即可． 【解答】解：∵沿AE將△ABE向上折疊，使B點落在AD上的F點， ∴四邊形ABEF是正方形， ∵AB=1， 設AD=x，則FD=x﹣1，FE=1， ∵四邊形EFDC與矩形ABCD相似， ∴=， =， 解得x1=，x2=（負值舍去）， 經檢驗x1=是原方程的解． 故選B． 【點評】考查了翻折變換（折疊問題），相似多邊形的性質，本題的關鍵是根據四邊形EFDC與矩形ABCD相似得到比例式． 　 7．如圖，點F在平行四邊形ABCD的邊AB上，射線CF交DA的延長線于點E，在不添加輔助線的情況下，與△AEF相似的三角形有（　?。? A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 【考點】相似三角形的判定． 【分析】直接利用平行四邊形的性質得出AD∥BC，AB∥DC，再結合相似三角形的判定方法得出答案． 【解答】解：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD∥BC，AB∥DC， ∴△AEF∽△CBF，△AEF∽△DEC， ∴與△AEF相似的三角形有2個． 故選：C． 【點評】此題主要考查了相似三角形的判定以及平行四邊形的性質，正確掌握相似三角形的判定方法是解題關鍵． 　 8．如圖，點P在△ABC的邊AC上，要判斷△ABP∽△ACB，添加一個條件，不正確的是（　?。? A．∠ABP=∠C B．∠APB=∠ABC C．= D．= 【考點】相似三角形的判定． 【分析】分別利用相似三角形的判定方法判斷得出即可． 【解答】解：A、當∠ABP=∠C時，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項錯誤； B、當∠APB=∠ABC時，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項錯誤； C、當=時，又∵∠A=∠A，∴△ABP∽△ACB，故此選項錯誤； D、無法得到△ABP∽△ACB，故此選項正確． 故選：D． 【點評】此題主要考查了相似三角形的判定，正確把握判定方法是解題關鍵． 　 9．如圖，在△ABC中，BF平分∠ABC，AF⊥BF于點F，D為AB的中點，連接DF延長交AC于點E．若AB=10，BC=16，則線段EF的長為（　?。? A．2 B．3 C．4 D．5 【考點】相似三角形的判定與性質． 【分析】根據直角三角形斜邊上中線是斜邊的一半可得DF=AB=AD=BD=5且∠ABF=∠BFD，結合角平分線可得∠CBF=∠DFB，即DE∥BC，進而可得DE=8，由EF=DE﹣DF可得答案． 【解答】解：∵AF⊥BF， ∴∠AFB=90°， ∵AB=10，D為AB中點， ∴DF=AB=AD=BD=5， ∴∠ABF=∠BFD， 又∵BF平分∠ABC， ∴∠ABF=∠CBF， ∴∠CBF=∠DFB， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC， ∴=，即， 解得：DE=8， ∴EF=DE﹣DF=3， 故選：B． 【點評】本題主要考查直角三角形的性質和相似三角形的判定與性質，熟練運用其判定與性質是解題的關鍵． 　 10．△ABC與△DEF的相似比為1：4，則△ABC與△DEF的周長比為（　?。? A．1：2 B．1：3 C．1：4 D．1：16 【考點】相似三角形的性質． 【分析】由相似三角形周長的比等于相似比即可得出結果． 【解答】解：∵△ABC與△DEF的相似比為1：4， ∴△ABC與△DEF的周長比為1：4； 故選：C． 【點評】本題考查了相似三角形的性質；熟記相似三角形周長的比等于相似比是解決問題的關鍵． 　 11．如圖是由邊長相同的小正方形組成的網格，A，B，P，Q四點均在正方形網格的格點上，線段AB，PQ相交于點M，則圖中∠QMB的正切值是（　?。? A． B．1 C． D．2 【考點】相似三角形的性質． 【專題】網格型． 【分析】根據題意平移AB使A點與P點重合，進而得出，△QPB′是直角三角形，再利用tan∠QMB=tan∠P=，進而求出答案． 【解答】解：如圖所示：平移AB使A點與P點重合，連接B′Q， 可得∠QMB=∠P， ∵PB′=2，PQ=2，B′Q=4， ∴PB′2+PB′2=B′Q2， ∴△QPB′是直角三角形， ∴tan∠QMB=tan∠P===2． 故選：D． 【點評】此題主要考查了勾股定理以及銳角三角函數關系，正確得出△QPB′是直角三角形是解題關鍵． 　 12．如圖，在直角坐標系中，有兩點A（6，3），B（6，0），以原點O位似中心，相似比為，在第一象限內把線段AB縮小后得到線段CD，則點C的坐標為（　?。? A．（2，1） B．（2，0） C．（3，3） D．（3，1） 【考點】平面直角坐標系中的位似變換． 【分析】根據位似變換的性質可知，△ODC∽△OBA，相似比是，根據已知數據可以求出點C的坐標． 【解答】解：由題意得，△ODC∽△OBA，相似比是， ∴=，又OB=6，AB=3， ∴OD=2，CD=1， ∴點C的坐標為：（2，1）， 故選：A． 【點評】本題考查的是位似變換，掌握位似變換與相似的關系是解題的關鍵，注意位似比與相似比的關系的應用． 　 二．填空題 13．如果===k（b+d+f≠0），且a+c+e=3（b+d+f），那么k=　3?。? 【考點】比例的性質． 【分析】根據等比性質，可得答案． 【解答】解：由等比性質，得k===3， 故答案為：3． 【點評】本題考查了比例的性質，利用了等比性質：===k?k==． 　 14．（2016?濟寧）如圖，AB∥CD∥EF，AF與BE相交于點G，且AG=2，GD=1，DF=5，那么的值等于　?。? 【考點】平行線分線段成比例． 【分析】首先求出AD的長度，然后根據平行線分線段成比例定理，列出比例式即可得到結論． 【解答】解：∵AG=2，GD=1， ∴AD=3， ∵AB∥CD∥EF， ∴=， 故答案為：． 【點評】該題主要考查了平行線分線段成比例定理及其應用問題；解題的關鍵是準確找出圖形中的對應線段，正確列出比例式求解、計算． 　 15．如圖，在△ABC中，D是AB邊上的一點，連接CD，請?zhí)砑右粋€適當的條件　∠ACD=∠ABC（答案不唯一）　，使△ABC∽△ACD．（只填一個即可） 【考點】相似三角形的判定． 【專題】開放型． 【分析】相似三角形的判定有三種方法： ①三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似； ②兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似； ③兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似． 由此可得出可添加的條件． 【解答】解：由題意得，∠A=∠A（公共角）， 則可添加：∠ACD=∠ABC，利用兩角法可判定△ABC∽△ACD． 故答案可為：∠ACD=∠ABC． 【點評】本題考查了相似三角形的判定，解答本題的關鍵是熟練掌握三角形相似的三種判定方法，本題答案不唯一． 　 16．已知矩形ABCD中，AB=1，在BC上取一點E，將△ABE沿AE向上折疊，使B點落在AD上的F點．若四邊形EFDC與矩形ABCD相似，則AD=　　． 【考點】相似多邊形的性質． 【專題】壓軸題． 【分析】可設AD=x，由四邊形EFDC與矩形ABCD相似，根據相似多邊形對應邊的比相等列出比例式，求解即可． 【解答】解：∵AB=1， 設AD=x，則FD=x﹣1，FE=1， ∵四邊形EFDC與矩形ABCD相似， ∴=，=， 解得x1=，x2=（不合題意舍去）， 經檢驗x1=是原方程的解． 故答案為． 【點評】本題考查了翻折變換（折疊問題），相似多邊形的性質，本題的關鍵是根據四邊形EFDC與矩形ABCD相似得到比例式． 　 三．解答題（共52分） 17．（2016?福州）如圖，在△ABC中，AB=AC=1，BC=，在AC邊上截取AD=BC，連接BD． （1）通過計算，判斷AD2與AC?CD的大小關系； （2）求∠ABD的度數． 【考點】相似三角形的判定． 【分析】（1）先求得AD、CD的長，然后再計算出AD2與AC?CD的值，從而可得到AD2與AC?CD的關系； （2）由（1）可得到BD2=AC?CD，然后依據對應邊成比例且夾角相等的兩三角形相似證明△BCD∽△ABC，依據相似三角形的性質可知∠DBC=∠A，DB=CB，然后結合等腰三角形的性質和三角形的內角和定理可求得∠ABD的度數． 【解答】解：（1）∵AD=BC，BC=， ∴AD=，DC=1﹣=． ∴AD2==，AC?CD=1×=． ∴AD2=AC?CD． （2）∵AD=BC，AD2=AC?CD， ∴BC2=AC?CD，即． 又∵∠C=∠C， ∴△BCD∽△ACB． ∴，∠DBC=∠A． ∴DB=CB=AD． ∴∠A=∠ABD，∠C=∠BDC． 設∠A=x，則∠ABD=x，∠DBC=x，∠C=2x． ∵∠A+∠ABC+∠C=180°， ∴x+2x+2x=180°． 解得：x=36°． ∴∠ABD=36°． 【點評】本題主要考查的是相似三角形的性質和判定、等腰三角形的性質、三角形內角和定理的應用，證得△BCD∽△ABC是解題的關鍵． 　 18．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD為角平分線，DE⊥AB，垂足為E． （1）寫出圖中一對全等三角形和一對相似比不為1的相似三角形； （2）選擇（1）中一對加以證明． 【考點】相似三角形的判定． 【分析】（1）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法得出符合題意的答案； （2）利用相似三角形的判定以及全等三角形的判定方法分別得出即可． 【解答】解：（1）△ADE≌△BDE，△ABC∽△BCD； （2）證明：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD為角平分線， ∴∠ABD=∠ABC=36°=∠A， 在△ADE和△BDE中 ∵， ∴△ADE≌△BDE（AAS）； 證明：∵AB=AC，∠A=36°， ∴∠ABC=∠C=72°， ∵BD為角平分線， ∴∠DBC=∠ABC=36°=∠A， ∵∠C=∠C， ∴△ABC∽△BCD． 【點評】此題主要考查了相似三角形以及全等三角形的判定，正確把握判定方法是解題關鍵． 　 19．（2016?廣州）如圖，在平面直角坐標系xOy中，直線y=﹣x+3與x軸交于點C，與直線AD交于點A（，），點D的坐標為（0，1） （1）求直線AD的解析式； （2）直線AD與x軸交于點B，若點E是直線AD上一動點（不與點B重合），當△BOD與△BCE相似時，求點E的坐標． 【考點】相似三角形的性質． 【分析】（1）設直線AD的解析式為y=kx+b，用待定系數法將A（，），D（0，1）的坐標代入即可； （2）由直線AD與x軸的交點為（﹣2，0），得到OB=2，由點D的坐標為（0，1），得到OD=1，求得BC=5，根據相似三角形的性質得到或，代入數據即可得到結論． 【解答】解：（1）設直線AD的解析式為y=kx+b， 將A（，），D（0，1）代入得：， 解得：． 故直線AD的解析式為：y=x+1； （2）∵直線AD與x軸的交點為（﹣2，0）， ∴OB=2， ∵點D的坐標為（0，1）， ∴OD=1， ∵y=﹣x+3與x軸交于點C（3，0）， ∴OC=3， ∴BC=5 ∵△BOD與△BEC相似， ∴或， ∴==或， ∴BE=2，CE=，或CE=， ∵BC?EF=BE?CE， ∴EF=2，CF==1， ∴E（2，2），或（3，）． 【點評】本題考查了相似三角形的性質，待定系數法求函數的解析式，正確的作出圖形是解題的關鍵． 　 20．如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC交BC于點D．點E、F分別在邊AB、AC上，且BE=AF，FG∥AB交線段AD于點G，連接BG、EF． （1）求證：四邊形BGFE是平行四邊形； （2）若△ABG∽△AGF，AB=10，AG=6，求線段BE的長． 【考點】相似三角形的性質． 【專題】綜合題． 【分析】（1）根據FG∥AB，又AD平分∠BAC，可證得，∠AGF=∠GAF，從而得：AF=FG=BE，又因為FG∥AB，所以可知四邊形BGFE是平行四邊形； （2）根據△ABG∽△AGF，可得，求出AF的長，再由（1）的結論：AF=FG=BE，即可得BE的長． 【解答】（1）證明：∵FG∥AB， ∴∠BAD=∠AGF． ∵∠BAD=∠GAF， ∴∠AGF=∠GAF，AF=GF． ∵BE=AF，∴FG=BE， 又∵FG∥BE， ∴四邊形BGFE為平行四邊形．（4分） （2）解：△ABG∽△AGF， ∴， 即， ∴AF=3.6， ∵BE=AF， ∴BE=3.6． 【點評】解決此類題目，要掌握平行四邊形的判定及相似三角形的性質． 　 21．如圖，某校數學興趣小組利用自制的直角三角形硬紙板DEF來測量操場旗桿AB的高度，他們通過調整測量位置，使斜邊DF與地面保持平行，并使邊DE與旗桿頂點A在同一直線上，已知DE=0.5米，EF=0.25米，目測點D到地面的距離DG=1.5米，到旗桿的水平距離DC=20米，求旗桿的高度． 【考點】利用標桿測量物體的高度． 【分析】根據題意可得：△DEF∽△DCA，進而利用相似三角形的性質得出AC的長，即可得出答案． 【解答】解：由題意可得：△DEF∽△DCA， 則=， ∵DE=0.5米，EF=0.25米，DG=1.5m，DC=20m， ∴=， 解得：AC=10， 故AB=AC+BC=10+1.5=11.5（m）， 答：旗桿的高度為11.5m． 【點評】此題主要考查了相似三角形的應用，得出△DEF∽△DCA是解題關鍵． 　 22．如圖，是一個照相機成像的示意圖． （1）如果像高MN是35mm，焦距是50mm，拍攝的景物高度AB是4.9m，拍攝點離景物有多遠？ （2）如果要完整的拍攝高度是2m的景物，拍攝點離景物有4m，像高不變，則相機的焦距應調整為多少？ 【考點】利用鏡子測量物體的高度． 【分析】（1）利用相似三角形對應邊上的高等于相似比即可列出比例式求解； （2）和上題一樣，利用物體的高和拍攝點距離物體的距離及像高表示求相機的焦距即可． 【解答】解：根據物體成像原理知：△LMN∽△LBA， ∴． （1）∵像高MN是35mm，焦距是50mm，拍攝的景物高度AB是4.9m， ∴， 解得：LD=7， ∴拍攝點距離景物7米； （2）拍攝高度是2m的景物，拍攝點離景物有4m，像高不變， ∴， 解得：LC=70， ∴相機的焦距應調整為70mm． 【點評】本題考查了相似三角形的應用，解題的關鍵是根據題意得到相似三角形，并熟知相似三角形對應邊上的高的比等于相似比．