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第六章 反比例函數(shù) 測試卷 一、選擇題 1．下列式子中表示y是x的反比例函數(shù)的是（　　） A．y=2x﹣3 B．xy=5 C．y= D．y=x 2．已知點（2，﹣6）在函數(shù)y=kx的圖象上，則y=的圖象位于（　?。? A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第一、三象限 3．函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（　?。? A．x≠3 B．x≠﹣3 C．x＞3 D．x＞﹣3 4．如圖，直線y=2x與雙曲線y=的圖象的一個交點坐標為（2，4），則它們的另一個交點坐標是（　?。? A．（﹣2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（﹣4，﹣2） D．（2，﹣4） 5．已知k＞0，則函數(shù)y=kx，y=﹣的圖象大致是（　?。? A． B． C． D． 6．已知某村今年的荔枝總產(chǎn)量是p噸（p是常數(shù)），設(shè)該村荔枝的人均產(chǎn)量為y（噸），人口總數(shù)為x（人），則y與x之間的函數(shù)圖象是（　?。? A． B． C． D． 7．若反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點（﹣1，2），則這個函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點（　?。? A．（﹣2，﹣1） B．（﹣，2） C．（2，﹣1） D．（，2） 8．在反比例函數(shù)y=（k＜0）的圖象上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＞x2＞0，則y1﹣y2的值為（　　） A．正數(shù) B．負數(shù) C．非正數(shù) D．非負數(shù) 9．如圖：A，B是函數(shù)y=的圖象上關(guān)于原點O點對稱的任意兩點，AC垂直于x軸于點C，BD垂直于y軸于點D，設(shè)四邊形ADBC的面積為S，則（　?。? A．S=2 B．2＜S＜4 C．S=4 D．S＞4 10．若m＜0，則下列函數(shù)①y=（x＞0），②y=﹣mx+1，③y=mx，y的值隨x的值的增大而增大的函數(shù)有（　?。? A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 二、填空題 11．對于函數(shù)y=，當x=時，y=　 ?。? 12．若函數(shù)y=（m﹣1）是反比例函數(shù)，則m的值等于　 　． 13．反比例函數(shù)y=，當x＞0時，y的值隨x的值的增大而減小，則m的取值范圍是　 　． 14．若反比例函數(shù)y=的圖象在一、三象限，則一次函數(shù)y=kx﹣k的圖象不過第 　 　象限． 15．已知點P在反比例函數(shù)y=的圖象上，且點P的縱坐標是3，則P點關(guān)于x軸的對稱點是　 ?。? 三、解答題： 16．請你舉出一個生活中能用反比例函數(shù)關(guān)系描述的實例，寫出其函數(shù)表達式，并畫出函數(shù)圖象． 舉例： 函數(shù)表達式： 17．已知如圖，反比例函數(shù)y=﹣的圖象上有一點A（﹣2，■），它的縱坐標被墨水污染了，根據(jù)題意，解答下列問題． （1）求出點A的坐標； （2）過A作AB垂直于x軸，垂足為B，求△AOB的面積． 18．已知函數(shù)y=和y=kx+1（k≠0）． （1）若這兩個函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（1，a），求a和k的值； （2）當k取何值時，這兩個函數(shù)的圖象總有公共點． 19．如圖，一次函數(shù)y=k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A（1，4），B（3，m）兩點， （1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式； （2）求△AOB的面積． 20．如圖，直線y=kx+2與x軸、y軸分別交于點A、B，點C（1，a）是直線與雙曲線y=的一個交點，過點C作CD⊥y軸，垂足為D，且△BCD的面積為1． （1）求雙曲線的解析式； （2）若在y軸上有一點E，使得以E、A、B為頂點的三角形與△BCD相似，求點E的坐標． 答案解析 一、選擇題： 1．下列式子中表示y是x的反比例函數(shù)的是（　?。? A．y=2x﹣3 B．xy=5 C．y= D．y=x 【考點】反比例函數(shù)． 【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義對各選項進行逐一分析即可． 【解答】解：A、y=2x﹣3是一次函數(shù)，故本選項錯誤； B、xy=5是反比例函數(shù)，故本選項正確； C、y=不是函數(shù)，故本選項錯誤； D、y=x是正比例函數(shù)，故本選項錯誤． 故選B． 【點評】本題考查的是反比例函數(shù)的定義，熟知形如y=（k為常數(shù)，k≠0）的函數(shù)稱為反比例函數(shù)是解答此題的關(guān)鍵． 　 2．已知點（2，﹣6）在函數(shù)y=kx的圖象上，則y=的圖象位于（　?。? A．第一、二象限 B．第二、三象限 C．第二、四象限 D．第一、三象限 【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】首先將已知點代入正比例函數(shù)的解析式求得k值，然后判斷﹣k的符號，從而根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)確定其圖象經(jīng)過的象限． 【解答】解：∵點（2，﹣6）在函數(shù)y=kx的圖象上， ∴2k=﹣6， 解得：k=﹣3， ∴﹣k=3＞0， ∴y=的圖象位于一三象限， 故選D． 【點評】本題考查了反比例函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠利用待定系數(shù)法確定正比例函數(shù)的解析式，難度不大． 　 3．函數(shù)中，自變量x的取值范圍是（　?。? A．x≠3 B．x≠﹣3 C．x＞3 D．x＞﹣3 【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)分式有意義的條件，列不等式求解． 【解答】解：根據(jù)分式有意義的條件，得x﹣3≠0， 解得x≠3， 故選A． 【點評】本題考查了函數(shù)自變量的取值范圍．涉及的知識點為：分式有意義，分母不為0． 　 4．如圖，直線y=2x與雙曲線y=的圖象的一個交點坐標為（2，4），則它們的另一個交點坐標是（　?。? A．（﹣2，﹣4） B．（﹣2，4） C．（﹣4，﹣2） D．（2，﹣4） 【考點】反比例函數(shù)圖象的特點． 【專題】計算題；壓軸題． 【分析】反比例函數(shù)的圖象是中心對稱圖形，則與經(jīng)過原點的直線的兩個交點一定關(guān)于原點對稱． 【解答】解：由于反比例函數(shù)是中心對稱圖形，所以正比例函數(shù)y=2x與反比例函數(shù)y=的兩交點A、B關(guān)于原點對稱．又因為點（2，4）關(guān)于原點對稱點的坐標為（﹣2，﹣4）． 故選A． 【點評】本題考查反比例函數(shù)圖象的中心對稱性，即兩點關(guān)于原點對稱． 　 5．已知k＞0，則函數(shù)y=kx，y=﹣的圖象大致是（　?。? A． B． C． D． 【考點】反比例函數(shù)圖象的特點． 【分析】根據(jù)反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合比例系數(shù)的符號確定圖象即可． 【解答】解：當k＞0時，﹣k＜0， 故函數(shù)y=kx的圖象位于一三象限，y=﹣的圖象位于二、四象限， 故選C． 【點評】本題主要考查了反比例函數(shù)和正比例函數(shù)的交點問題，在解題時要注意圖象在那個象限內(nèi)，是解題的關(guān)鍵． 　 6．已知某村今年的荔枝總產(chǎn)量是p噸（p是常數(shù)），設(shè)該村荔枝的人均產(chǎn)量為y（噸），人口總數(shù)為x（人），則y與x之間的函數(shù)圖象是（　　） A． B． C． D． 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用． 【專題】應用題；壓軸題． 【分析】根據(jù)題意有：xy=p；故y與x之間的函數(shù)圖象為反比例函數(shù)，且根據(jù)x y實際意義x、y應＞0，其圖象在第一象限；故可以判斷． 【解答】解：∵xy=p（p是常數(shù)） ∴y=（x＞0，y＞0） 故選：D． 【點評】現(xiàn)實生活中存在大量成反比例函數(shù)的兩個變量，解答該類問題的關(guān)鍵是確定兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系，然后利用實際意義確定其所在的象限． 　 7．若反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點（﹣1，2），則這個函數(shù)的圖象一定經(jīng)過點（　?。? A．（﹣2，﹣1） B．（﹣，2） C．（2，﹣1） D．（，2） 【考點】反比例函數(shù)圖象的特點． 【分析】將（﹣1，2）代入y=即可求出k的值，再根據(jù)k=xy解答即可． 【解答】解：∵反比例函數(shù)y=的圖象經(jīng)過點（﹣1，2）， ∴k=﹣1×2=﹣2，只需把所給點的橫縱坐標相乘，結(jié)果是﹣2的，就在此函數(shù)圖象上； 四個選項中只有C：2×（﹣1）=﹣2符合． 故選C． 【點評】本題考查了反比例函數(shù)圖象上點的坐標特征，只要點在函數(shù)的圖象上，則一定滿足函數(shù)的解析式．反之，只要滿足函數(shù)解析式就一定在函數(shù)的圖象上． 　 8．在反比例函數(shù)y=（k＜0）的圖象上有兩點A（x1，y1），B（x2，y2），且x1＞x2＞0，則y1﹣y2的值為（　　） A．正數(shù) B．負數(shù) C．非正數(shù) D．非負數(shù) 【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】先根據(jù)k＜0、x1＞x2＞0判斷出反比例函數(shù)所在的象限，再根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)判斷出y1、y2的大小． 【解答】解：因為k＜0． 所以圖象分別位于第二、四象限， 又因為在每個象限內(nèi)y隨x的增大而增大，x1＞x2＞0， 故y1＞y2， 所以y1﹣y2的值為正數(shù)． 故選A． 【點評】本題考查了由反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)判斷函數(shù)圖象上點的坐標特征，同學們應重點掌握． 　 9．如圖：A，B是函數(shù)y=的圖象上關(guān)于原點O點對稱的任意兩點，AC垂直于x軸于點C，BD垂直于y軸于點D，設(shè)四邊形ADBC的面積為S，則（　　） A．S=2 B．2＜S＜4 C．S=4 D．S＞4 【考點】反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義． 【分析】根據(jù)過雙曲線上任意一點與原點所連的線段、坐標軸、向坐標軸作垂線所圍成的直角三角形面積S=|k|可知，S△AOC=S△BOD=|k|，再根據(jù)反比例函數(shù)的對稱性可知，O為DC中點，則S△AOD=S△AOC=|k|，S△BOC=S△BOD=|k|，進而求出四邊形ADBC的面積． 【解答】解：∵A，B是函數(shù)y=的圖象上關(guān)于原點O對稱的任意兩點，且AC垂直于x軸于點C，BD垂直于y軸于點D， ∴S△AOC=S△BOD=×2=1， 假設(shè)A點坐標為（x，y），則B點坐標為（﹣x，﹣y）， 則OC=OD=x， ∴S△AOD=S△AOC=1，S△BOC=S△BOD=1， ∴四邊形ADBC面積=S△AOD+S△AOC+S△BOC+S△BOD=4． 故選C． 【點評】本題考查反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義，過雙曲線上的任意一點分別向兩條坐標軸作垂線，與坐標軸圍成的矩形面積就等于|k|．本知識點是中考的重要考點，同學們應高度關(guān)注． 　 10．若m＜0，則下列函數(shù)①y=（x＞0），②y=﹣mx+1，③y=mx，y的值隨x的值的增大而增大的函數(shù)有（　　） A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)一次函數(shù)和反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，將m的取值范圍代入函數(shù)關(guān)系式，由函數(shù)系數(shù)判斷出增減性． 【解答】解：①當m＜0時，反比例函數(shù)y=（x＞0）的圖象在第四象限內(nèi)y隨x的增大而增大，故正確； ②當m＜0時，﹣m＞0，則一次函數(shù)y=﹣mx+1的圖象是y隨x的增大而增大，故正確； ③當當m＜0時，正比例函數(shù)y=mx的圖象是y隨x的增大而減小，故錯誤； 綜上所述，正確的結(jié)論有2個． 故選：C． 【點評】本題考查了一次函數(shù)、正比例函數(shù)以及反比例函數(shù)圖象的性質(zhì)．解題時，需要掌握函數(shù)解析式中系數(shù)與圖象增堿性的關(guān)系． 　 二、填空題 11．對于函數(shù)y=，當x=時，y=　8?。? 【考點】反比例函數(shù)． 【分析】直接把x=代入函數(shù)y=求出y的值即可． 【解答】解：當x=時，y==8． 故答案為：8． 【點評】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵． 　 12．若函數(shù)y=（m﹣1）是反比例函數(shù)，則m的值等于　﹣1?。? 【考點】反比例函數(shù)． 【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的定義先求出m的值，再根據(jù)系數(shù)不為0進行取舍． 【解答】解：∵y=（m﹣1）是反比例函數(shù)， ∴m2﹣2=﹣1，m﹣1≠0， ∴m=﹣1． 故答案為﹣1． 【點評】本題考查了反比例函數(shù)的定義，重點是將一般式（k≠0）轉(zhuǎn)化為y=kx﹣1（k≠0）的形式． 　 13．反比例函數(shù)y=，當x＞0時，y的值隨x的值的增大而減小，則m的取值范圍是　m＞﹣1?。? 【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)列出關(guān)于k的不等式，求出k的取值范圍即可． 【解答】解：∵反比例函數(shù)y=，當x＞0時，y的值隨x的值的增大而減小， ∴m+1＞0， 解得m＞﹣1． 故答案為：m＞﹣1． 【點評】本題考查的是反比例函數(shù)的性質(zhì)，即反比例函數(shù)y=（k≠0）中，當k＞0時，y隨x的增大而減?。? 　 14．若反比例函數(shù)y=的圖象在一、三象限，則一次函數(shù)y=kx﹣k的圖象不過第　二　象限． 【考點】反比例函數(shù)的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】由題可知k＞0，則﹣k＜0，所以一次函數(shù)y=kx﹣k的圖象不過第二象限． 【解答】解：∵反比例函數(shù)y=的圖象在一、三象限， ∴k＞0． ∴﹣k＜0． ∴一次函數(shù)y=kx﹣k的圖象不過第二象限． 【點評】對于反比例函數(shù)（k≠0），（1）k＞0，反比例函數(shù)在一、三象限；（2）k＜0，反比例函數(shù)在第二、四象限內(nèi)． 　 15．已知點P在反比例函數(shù)y=的圖象上，且點P的縱坐標是3，則P點關(guān)于x軸的對稱點是?。?，﹣3）?。? 【考點】反比例函數(shù)圖象的特點． 【分析】先求出P點坐標，再根據(jù)關(guān)于x軸對稱的點的坐標特點即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵點P在反比例函數(shù)y=的圖象上，且點P的縱坐標是3， ∴P（2，3）， ∴P點關(guān)于x軸的對稱點是（2，﹣3）． 故答案為：（2，﹣3）． 【點評】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵． 　 三、解答題： 16．請你舉出一個生活中能用反比例函數(shù)關(guān)系描述的實例，寫出其函數(shù)表達式，并畫出函數(shù)圖象． 舉例： 函數(shù)表達式： 【考點】反比例函數(shù)在實際問題中的應用． 【專題】開放型． 【分析】只要是生活中符合反比例函數(shù)關(guān)系的實例均可．本題是開放性習題，可以先列出一個反比例函數(shù)，再賦予它實際意義． 【解答】解：舉例：要編織一塊面積為2米2的矩形地毯，地毯的長x（米）與寬y（米）之間的函數(shù)關(guān)系式為y=（x＞0）． 評分說明：①舉出例子（4分），寫出關(guān)系式得（2分），作出圖形得（2分）． x … 1 2 … y … 4 2 1 … ②作圖如不符合自變量的取值范圍得（1分）． 【點評】主要考查了反比例函數(shù)的應用．要充分理解反比例函數(shù)的意義，知道生活中一些常用的公式，如電流，壓強，速度等，知道它們與各個量之間的關(guān)系． 　 17．已知如圖，反比例函數(shù)y=﹣的圖象上有一點A（﹣2，■），它的縱坐標被墨水污染了，根據(jù)題意，解答下列問題． （1）求出點A的坐標； （2）過A作AB垂直于x軸，垂足為B，求△AOB的面積． 【考點】；反比例函數(shù)系數(shù)k的幾何意義． 【分析】（1）把x=﹣2代入反比例函數(shù)y=﹣，求出y的值即可； （2）根據(jù)A點坐標，利用三角形的面積公式即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）∵當x=﹣2時，y=﹣=3， ∴A（﹣2，3）； （2）∵A（﹣2，3）， ∴S△AOB=OB?AB=×2×3=3． 【點評】本題考查的是反比例函數(shù)圖象上點的坐標特點，熟知反比例函數(shù)圖象上各點的坐標一定適合此函數(shù)的解析式是解答此題的關(guān)鍵． 　 18．已知函數(shù)y=和y=kx+1（k≠0）． （1）若這兩個函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（1，a），求a和k的值； （2）當k取何值時，這兩個函數(shù)的圖象總有公共點． 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用． 【專題】計算題． 【分析】（1）因為這兩個函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（1，a），所以x=1，y=a是方程組的解，代入可得a和k的值； （2）要使這兩個函數(shù)的圖象總有公共點，須方程組有解，即有解，根據(jù)判別式△即可求出K的取值范圍． 【解答】解：（1）∵兩函數(shù)的圖象都經(jīng)過點（1，a）， ∴． ∴． （2）將y=代入y=kx+1，消去y．得kx2+x﹣2=0． ∵k≠O， ∴要使得兩函數(shù)的圖象總有公共點，只要△≥0即可． ∴△=b2﹣4ac=1+8k≥0， 解得k≥﹣； ∴k≥﹣且k≠0． 【點評】此題難度中等，考查了反比例函數(shù)、一次函數(shù)圖象性質(zhì)及一元二次方程判別式，綜合性較強，同學們應熟練掌握． 　 19．如圖，一次函數(shù)y=k1x+b的圖象與反比例函數(shù)y=的圖象交于A（1，4），B（3，m）兩點， （1）求一次函數(shù)和反比例函數(shù)的表達式； （2）求△AOB的面積． 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用． 【專題】計算題． 【分析】（1）先把A點坐標代入y=中計算出k2=4，從而得到反比例函數(shù)為y=，再利用反比例函數(shù)解析式確定B（3，），然后利用待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式； （2）設(shè)直線y=﹣x+與x軸交于點C，如圖，先確定C點坐標，然后根據(jù)三角形面積公式，利用S△AOB=S△ACO﹣S△BOC進行計算即可． 【解答】解：（1）∵點A（1，4）在y=的圖象上， ∴k2=1×4=4， ∴反比例函數(shù)為y=， 又∵B（3，m）在y=的圖象上， ∴3m=4，解得m=， ∴B（3，）， ∵A（1，4）和B（3，）都在直線y=k1x+b上， ∴，解得， ∴一次函數(shù)解析式為y=﹣x+； （2）設(shè)直線y=﹣x+與x軸交于點C，如圖， 當y=0時，﹣x+=0，解得x=4，則C（4，0）， ∴S△AOB=S△ACO﹣S△BOC =×4×4﹣×4× =． 【點評】本題考查了反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點問題：求反比例函數(shù)與一次函數(shù)的交點坐標，把兩個函數(shù)關(guān)系式聯(lián)立成方程組求解，若方程組有解則兩者有交點，方程組無解，則兩者無交點．也考查了三角形面積公式和待定系數(shù)法求函數(shù)解析式． 　 20．如圖，直線y=kx+2與x軸、y軸分別交于點A、B，點C（1，a）是直線與雙曲線y=的一個交點，過點C作CD⊥y軸，垂足為D，且△BCD的面積為1． （1）求雙曲線的解析式； （2）若在y軸上有一點E，使得以E、A、B為頂點的三角形與△BCD相似，求點E的坐標． 【考點】反比例函數(shù)與一次函數(shù)的綜合應用． 【專題】綜合題． 【分析】（1）直線y=kx+2與y軸交于B點，則OB=2；由C（1，a）及△BCD的面積為1可得BD=2，所以a=4，即C（1，4），分別代入兩個函數(shù)關(guān)系式中求解析式； （2）根據(jù)△BAE∽△BCD、△BEA∽△BCD兩種情形求解． 【解答】解：（1）∵CD=1，△BCD的面積為1， ∴BD=2 ∵直線y=kx+2與x軸、y軸分別交于點A、B， ∴當x=0時，y=2， ∴點B坐標為（0，2）． ∴點D坐標為（O，4）， ∴a=4． ∴C（1，4） ∴所求的雙曲線解析式為y=． （2）因為直線y=kx+2過C點， 所以有4=k+2，k=2， 直線解析式為y=2x+2． ∴點A坐標為（﹣1，0），B（0，2）， ∴AB=，BC=， 當△BAE∽△BCD時，此時點E與點O重合，點E坐標為（O，0）； 當△BEA∽△BCD時，， ∴， ∴BE=， ∴OE=， 此時點E坐標為（0，﹣）． 綜上：當E為（0.0）或（0．﹣）時△EAB與△BCD相似． 【點評】本題考查了反比例函數(shù)的綜合應用，關(guān)鍵是求交點C的坐標以及相似形中的分類討論思想，搞清楚對應關(guān)系．