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第12章 全等三角形 測試卷（2） 一、選擇題 1．如圖，G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC的點(diǎn)，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，現(xiàn)有如下結(jié)論： ①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH 其中，正確的結(jié)論有（　?。? A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 2．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊中點(diǎn)，BD、CE交于點(diǎn)H，BE、AH交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論： ①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD． 其中正確的個(gè)數(shù)是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 3．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，還需要添加的一個(gè)條件是（　?。? A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE 　 二、填空題 4．如圖，AC是矩形ABCD的對(duì)角線，AB=2，BC=2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AB，AD上的點(diǎn)，連接CE，CF．當(dāng)∠BCE=∠ACF，且CE=CF時(shí)，AE+AF=　?。? 5．如圖，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度數(shù)是　　． 6．如圖，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，點(diǎn)M在線段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足為G，MG與BC相交于點(diǎn)H．若MH=8cm，則BG=　　cm． 7．如圖，以△ABC的三邊為邊分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF，則下列結(jié)論：①△EBF≌△DFC；②四邊形AEFD為平行四邊形；③當(dāng)AB=AC，∠BAC=120°時(shí)，四邊形AEFD是正方形．其中正確的結(jié)論是　?。ㄕ?qǐng)寫出正確結(jié)論的序號(hào)）． 　 三、解答題 8．如圖，點(diǎn)C，E，F(xiàn)，B在同一直線上，點(diǎn)A，D在BC異側(cè)，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D． （1）求證：AB=CD． （2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度數(shù)． 9．如圖，CD是△ABC的中線，點(diǎn)E是AF的中點(diǎn)，CF∥AB． （1）求證：CF=AD； （2）若∠ACB=90°，試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由． 10．如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB=AC，AD=AE．求證：BE=CD． 11．如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作AB的平行線交BF的延長線于點(diǎn)E，連接AE． （1）求證：EC=DA； （2）若AC⊥CB，試判斷四邊形AECD的形狀，并證明你的結(jié)論． 12．【問題探究】 （1）如圖1，銳角△ABC中分別以AB、AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說明理由． 【深入探究】 （2）如圖2，四邊形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的長． （3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)△ACD在線段AC的左側(cè)時(shí)，求BD的長． 13．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B不重合），矩形PECF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AC上． （1）探究DE與DF的關(guān)系，并給出證明； （2）當(dāng)點(diǎn)P滿足什么條件時(shí)，線段EF的長最短？（直接給出結(jié)論，不必說明理由） 14．如圖，△ABC和△EFD分別在線段AE的兩側(cè)，點(diǎn)C，D在線段AE上，AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求證：BC=FD． 15．如圖，已知∠ABC=90°，D是直線AB上的點(diǎn)，AD=BC． （1）如圖1，過點(diǎn)A作AF⊥AB，并截取AF=BD，連接DC、DF、CF，判斷△CDF的形狀并證明； （2）如圖2，E是直線BC上一點(diǎn)，且CE=BD，直線AE、CD相交于點(diǎn)P，∠APD的度數(shù)是一個(gè)固定的值嗎？若是，請(qǐng)求出它的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由． 16．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且AE=DF，連接BE，AF．求證：BE=AF． 17．如圖，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，點(diǎn)M，N分別在AB，AC邊上，AM=2MB，AN=2NC．求證：DM=DN． 18．在平行四邊形ABCD中，將△BCD沿BD翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE和AD相交于點(diǎn)O，求證：OA=OE． 19．如圖，在△ABD和△FEC中，點(diǎn)B，C，D，E在同一直線上，且AB=FE，BC=DE，∠B=∠E．求證：∠ADB=∠FCE． 20．如圖，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求證：AB=DE． 21．已知△ABC，AB=AC，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF． （1）如圖1，連接BD，AF，則BD　　AF（填“＞”、“＜”或“=”）； （2）如圖2，M為AB邊上一點(diǎn)，過M作BC的平行線MN分別交邊AC，DE，DF于點(diǎn)G，H，N，連接BH，GF，求證：BH=GF． 22．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分別以AB，AC為直角邊向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G為BD的中點(diǎn)，連接CG，BE，CD，BE與CD交于點(diǎn)F． （1）判斷四邊形ACGD的形狀，并說明理由． （2）求證：BE=CD，BE⊥CD． 23．如圖，在正方形ABCD中，G是BC上任意一點(diǎn)，連接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究線段AF、BF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 24．已知：如圖，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位線，連接EF、AD，其交點(diǎn)為O．求證： （1）△CDE≌△DBF；（2）OA=OD． 25．我們把兩組鄰邊相等的四邊形叫做“箏形”．如圖，四邊形ABCD是一個(gè)箏形，其中AB=CB，AD=CD．對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分別是E，F(xiàn)．求證OE=OF． 26．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)F在邊BC上，且AF=AD，過點(diǎn)D作DE⊥AF，垂足為點(diǎn)E． （1）求證：DE=AB． （2）以D為圓心，DE為半徑作圓弧交AD于點(diǎn)G．若BF=FC=1，試求的長． 27．如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，求證：AC=AD． 28．如圖，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求證：∠A=∠D． 29．如圖，已知D在△ABC的BC邊上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． （1）求證：AE=DF； （2）若AD平分∠BAC，試判斷四邊形AEDF的形狀，并說明理由． 30．如圖，過∠AOB平分線上一點(diǎn)C作CD∥OB交OA于點(diǎn)D，E是線段OC的中點(diǎn)，請(qǐng)過點(diǎn)E畫直線分別交射線CD、OB于點(diǎn)M、N，探究線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 　  參考答案與試題解析 一、選擇題 1．如圖，G，E分別是正方形ABCD的邊AB，BC的點(diǎn)，且AG=CE，AE⊥EF，AE=EF，現(xiàn)有如下結(jié)論： ①BE=GE；②△AGE≌△ECF；③∠FCD=45°；④△GBE∽△ECH 其中，正確的結(jié)論有（　?。? A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè) 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)；相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)得出∠B=∠DCB=90°，AB=BC，求出BG=BE，根據(jù)勾股定理得出BE=GE，即可判斷①；求出∠GAE+∠AEG=45°，推出∠GAE=∠FEC，根據(jù)SAS推出△GAE≌△CEF，即可判斷②；求出∠AGE=∠ECF=135°，即可判斷③；求出∠FEC＜45°，根據(jù)相似三角形的判定得出△GBE和△ECH不相似，即可判斷④． 【解答】解：∵四邊形ABCD是正方形， ∴∠B=∠DCB=90°，AB=BC， ∵AG=CE， ∴BG=BE， 由勾股定理得：BE=GE，∴①錯(cuò)誤； ∵BG=BE，∠B=90°， ∴∠BGE=∠BEG=45°， ∴∠AGE=135°， ∴∠GAE+∠AEG=45°， ∵AE⊥EF， ∴∠AEF=90°， ∵∠BEG=45°， ∴∠AEG+∠FEC=45°， ∴∠GAE=∠FEC， 在△GAE和△CEF中 ∴△GAE≌△CEF，∴②正確； ∴∠AGE=∠ECF=135°， ∴∠FCD=135°﹣90°=45°，∴③正確； ∵∠BGE=∠BEG=45°，∠AEG+∠FEC=45°， ∴∠FEC＜45°， ∴△GBE和△ECH不相似，∴④錯(cuò)誤； 即正確的有2個(gè)． 故選B． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)和判定，相似三角形的判定，勾股定理等知識(shí)點(diǎn)的綜合運(yùn)用，綜合比較強(qiáng)，難度較大． 　 2．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E是AD邊中點(diǎn)，BD、CE交于點(diǎn)H，BE、AH交于點(diǎn)G，則下列結(jié)論： ①AG⊥BE；②BG=4GE；③S△BHE=S△CHD；④∠AHB=∠EHD． 其中正確的個(gè)數(shù)是（　?。? A．1 B．2 C．3 D．4 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】首先根據(jù)正方形的性質(zhì)證得△BAE≌△CDE，推出∠ABE=∠DCE，再證△ADH≌△CDH，求得∠HAD=∠HCD，推出∠ABE=∠HAD；求出∠ABE+∠BAG=90°；最后在△AGE中根據(jù)三角形的內(nèi)角和是180°求得∠AGE=90°即可得到①正確．根據(jù)tan∠ABE=tan∠EAG=，得到AG=BG，GE=AG，于是得到BG=4EG，故②正確；根據(jù)AD∥BC，求出S△BDE=S△CDE，推出S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH，即；S△BHE=S△CHD，故③正確；由∠AHD=∠CHD，得到鄰補(bǔ)角和對(duì)頂角相等得到∠AHB=∠EHD，故④正確； 【解答】證明：∵四邊形ABCD是正方形，E是AD邊上的中點(diǎn)， ∴AE=DE，AB=CD，∠BAD=∠CDA=90°， 在△BAE和△CDE中 ∵， ∴△BAE≌△CDE（SAS）， ∴∠ABE=∠DCE， ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°， ∵在△ADH和△CDH中， ， ∴△ADH≌△CDH（SAS）， ∴∠HAD=∠HCD， ∵∠ABE=∠DCE ∴∠ABE=∠HAD， ∵∠BAD=∠BAH+∠DAH=90°， ∴∠ABE+∠BAH=90°， ∴∠AGB=180°﹣90°=90°， ∴AG⊥BE，故①正確； ∵tan∠ABE=tan∠EAG=， ∴AG=BG，GE=AG， ∴BG=4EG，故②正確； ∵AD∥BC， ∴S△BDE=S△CDE， ∴S△BDE﹣S△DEH=S△CDE﹣S△DEH， 即；S△BHE=S△CHD，故③正確； ∵△ADH≌△CDH， ∴∠AHD=∠CHD， ∴∠AHB=∠CHB， ∵∠BHC=∠DHE， ∴∠AHB=∠EHD，故④正確； 故選：D． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了正方形的性質(zhì)及全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的面積公式，解答本題要充分利用正方形的特殊性質(zhì)：①四邊相等，兩兩垂直； ②四個(gè)內(nèi)角相等，都是90度； ③對(duì)角線相等，相互垂直，且平分一組對(duì)角． 　 3．如圖，點(diǎn)E，F(xiàn)在AC上，AD=BC，DF=BE，要使△ADF≌△CBE，還需要添加的一個(gè)條件是（　?。? A．∠A=∠C B．∠D=∠B C．AD∥BC D．DF∥BE 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】利用全等三角形的判定與性質(zhì)進(jìn)而得出當(dāng)∠D=∠B時(shí)，△ADF≌△CBE． 【解答】解：當(dāng)∠D=∠B時(shí)， 在△ADF和△CBE中 ∵， ∴△ADF≌△CBE（SAS）， 故選：B． 【點(diǎn)評(píng)】此題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確掌握全等三角形的判定方法是解題關(guān)鍵． 　 二、填空題 4．如圖，AC是矩形ABCD的對(duì)角線，AB=2，BC=2，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段AB，AD上的點(diǎn)，連接CE，CF．當(dāng)∠BCE=∠ACF，且CE=CF時(shí)，AE+AF=　　． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；矩形的性質(zhì)；解直角三角形． 【專題】壓軸題． 【分析】過點(diǎn)F作FG⊥AC于點(diǎn)G，證明△BCE≌△GCF，得到CG=CB=2，根據(jù)勾股定理得AC=4，所以AG=4﹣2，易證△AGF∽△CBA，求出AF、FG，再求出AE，得出AE+AF的值． 【解答】解：過點(diǎn)F作FG⊥AC于點(diǎn)G，如圖所示， 在△BCE和△GCF中， ， ∴△BCE≌△GCF（AAS）， ∴CG=BC=2， ∵AC==4， ∴AG=4﹣2， ∵△AGF∽△CBA ∴， ∴AF==， FG==， ∴AE=2﹣=， ∴AE+AF=+=． 故答案為：． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角形全等的判定和性質(zhì)以及三角形相似的判定與性質(zhì)，有一定的綜合性，難易適中． 　 5．如圖，在正方形ABCD中，如果AF=BE，那么∠AOD的度數(shù)是　90°?。? 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得∠ODA與∠BAE的關(guān)系，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠ODA與∠OAD的關(guān)系，根據(jù)直角三角形的判定，可得答案． 【解答】解：由ABCD是正方形，得 AD=AB，∠DAB=∠B=90°． 在△ABE和△DAF中， ∴△ABE≌△DAF， ∴∠BAE=∠ADF． ∵∠BAE+∠EAD=90°， ∴∠OAD+∠ADO=90°， ∴∠AOD=90°， 故答案為：90°． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，余角的性質(zhì)，直角三角形的判定． 　 6．如圖，△ABC中，∠C=90°，CA=CB，點(diǎn)M在線段AB上，∠GMB=∠A，BG⊥MG，垂足為G，MG與BC相交于點(diǎn)H．若MH=8cm，則BG=　4　cm． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形． 【分析】如圖，作MD⊥BC于D，延長DE交BG的延長線于E，構(gòu)建等腰△BDM、全等三角形△BED和△MHD，利用等腰三角形的性質(zhì)和全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得到：BE=MH，所以BG=MH=4． 【解答】解：如圖，作MD⊥BC于D，延長MD交BG的延長線于E， ∵△ABC中，∠C=90°，CA=CB， ∴∠ABC=∠A=45°， ∵∠GMB=∠A， ∴∠GMB=∠A=22.5°， ∵BG⊥MG， ∴∠BGM=90°， ∴∠GBM=90°﹣22.5°=67.5°， ∴∠GBH=∠EBM﹣∠ABC=22.5°． ∵M(jìn)D∥AC， ∴∠BMD=∠A=45°， ∴△BDM為等腰直角三角形 ∴BD=DM， 而∠GBH=22.5°， ∴GM平分∠BMD， 而BG⊥MG， ∴BG=EG，即BG=BE， ∵∠MHD+∠HMD=∠E+∠HMD=90°， ∴∠MHD=∠E， ∵∠GBD=90°﹣∠E，∠HMD=90°﹣∠E， ∴∠GBD=∠HMD， ∴在△BED和△MHD中， ， ∴△BED≌△MHD（AAS）， ∴BE=MH， ∴BG=MH=4． 故答案是：4． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等．也考查了等腰直角三角形的性質(zhì)． 　 7．如圖，以△ABC的三邊為邊分別作等邊△ACD、△ABE、△BCF，則下列結(jié)論：①△EBF≌△DFC；②四邊形AEFD為平行四邊形；③當(dāng)AB=AC，∠BAC=120°時(shí)，四邊形AEFD是正方形．其中正確的結(jié)論是?、佗凇。ㄕ?qǐng)寫出正確結(jié)論的序號(hào)）． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；平行四邊形的判定；正方形的判定． 【專題】壓軸題． 【分析】由三角形ABE與三角形BCF都為等邊三角形，利用等邊三角形的性質(zhì)得到兩對(duì)邊相等，∠ABE=∠CBF=60°，利用等式的性質(zhì)得到夾角相等，利用SAS得到三角形EBF與三角形DFC全等，利用全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等得到EF=AC，再由三角形ADC為等邊三角形得到三邊相等，等量代換得到EF=AD，AE=DF，利用對(duì)邊相等的四邊形為平行四邊形得到AEFD為平行四邊形，若AB=AC，∠BAC=120°，只能得到AEFD為菱形，不能為正方形，即可得到正確的選項(xiàng)． 【解答】解：∵△ABE、△BCF為等邊三角形， ∴AB=BE=AE，BC=CF=FB，∠ABE=∠CBF=60°， ∴∠ABE﹣∠ABF=∠FBC﹣∠ABF，即∠CBA=∠FBE， 在△ABC和△EBF中， ， ∴△ABC≌△EBF（SAS）， ∴EF=AC， 又∵△ADC為等邊三角形， ∴CD=AD=AC， ∴EF=AD=DC， 同理可得△ABC≌△DFC， ∴DF=AB=AE=DF， ∴四邊形AEFD是平行四邊形，選項(xiàng)②正確； ∴∠FEA=∠ADF， ∴∠FEA+∠AEB=∠ADF+∠ADC，即∠FEB=∠CDF， 在△FEB和△CDF中， ． ∴△FEB≌△CDF（SAS），選項(xiàng)①正確； 若AB=AC，∠BAC=120°，則有AE=AD，∠EAD=120°，此時(shí)AEFD為菱形，選項(xiàng)③錯(cuò)誤， 故答案為：①②． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，以及正方形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 　 三、解答題 8．如圖，點(diǎn)C，E，F(xiàn)，B在同一直線上，點(diǎn)A，D在BC異側(cè)，AB∥CD，AE=DF，∠A=∠D． （1）求證：AB=CD． （2）若AB=CF，∠B=30°，求∠D的度數(shù)． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）易證得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD； （2）易證得△ABE≌△CDF，即可得AB=CD，又由AB=CF，∠B=30°，即可證得△ABE是等腰三角形，解答即可． 【解答】證明：（1）∵AB∥CD， ∴∠B=∠C， 在△ABE和△CDF中， ， ∴△ABE≌△CDF（AAS）， ∴AB=CD； （2）∵△ABE≌△CDF， ∴AB=CD，BE=CF， ∵AB=CF，∠B=30°， ∴AB=BE， ∴△ABE是等腰三角形， ∴∠D=． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形問題，關(guān)鍵是根據(jù)AAS證明三角形全等，再利用全等三角形的性質(zhì)解答． 　 9．如圖，CD是△ABC的中線，點(diǎn)E是AF的中點(diǎn)，CF∥AB． （1）求證：CF=AD； （2）若∠ACB=90°，試判斷四邊形BFCD的形狀，并說明理由． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；直角三角形斜邊上的中線；菱形的判定． 【分析】（1）根據(jù)中點(diǎn)的性質(zhì)，可得AE與EF的關(guān)系，根據(jù)平行的性質(zhì)，可得內(nèi)錯(cuò)角相等，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得CF與DA的關(guān)系，根據(jù)等量代換，可得答案； （2）根據(jù)一組對(duì)邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，可得四邊形BFCD的形狀，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)，可得BD=CD，根據(jù)菱形的判定，可得答案； 【解答】（1）證明∵AE是DC邊上的中線， ∴AE=FE， ∵CF∥AB， ∴∠ADE=∠CFE，∠DAE=∠CFE． 在△ADE和△FCE中， ， ∴△ADE≌△FCE（AAS）， ∴CF=DA． （2）∵CD是△ABC的中線， ∴D是AB的中點(diǎn)， ∴AD=BD， ∵△ADE≌△FCE， ∴AD=CF， ∴BD=CF， ∵AB∥CF， ∴BD∥CF， ∴四邊形BFCD是平行四邊形， ∵∠ACB=90°， ∴△ACB是直角三角形， ∴CD=AB， ∵BD=AB， ∴BD=CD， ∴四邊形BFCD是菱形． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了四邊形綜合題，（1）利用了全等三角形的判定與性質(zhì)，（2）利用了直角三角形的性質(zhì)，菱形的判定分析． 　 10．如圖，點(diǎn)D在AB上，點(diǎn)E在AC上，AB=AC，AD=AE．求證：BE=CD． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】利用SAS證得△ADC≌△AEB后即可證得結(jié)論． 【解答】解：在△ADC和△AEB中， ∵， ∴△ADC≌△AEB， ∴BE=CD． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握全等三角形的判定的方法，難度不大． 　 11．如圖，在△ABC中，CD是AB邊上的中線，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，過點(diǎn)C作AB的平行線交BF的延長線于點(diǎn)E，連接AE． （1）求證：EC=DA； （2）若AC⊥CB，試判斷四邊形AECD的形狀，并證明你的結(jié)論． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定． 【專題】證明題． 【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠FEC=∠DBF，∠ECF=∠BDF，F(xiàn)是CD的中點(diǎn)，得出FD=CF，再利用AAS證明△FEC與△DBF全等，進(jìn)一步證明即可； （2）利用直角三角形的性質(zhì)：斜邊上的中線等于斜邊的，得出CD=DA，進(jìn)一步得出結(jié)論即可． 【解答】（1）證明：∵EC∥AB， ∴∠FEC=∠DBF，∠ECF=∠BDF， ∵F是CD的中點(diǎn)， ∴FD=CF， 在△FEC與△DBF中， ∴△FEC≌△DBF， ∴EC=BD， 又∵CD是AB邊上的中線， ∴BD=AD， ∴EC=AD． （2）四邊形AECD是菱形． 證明：∵EC=AD，EC∥AD， ∴四邊形AECD是平行四邊形， ∵AC⊥CB，CD是AB邊上的中線， ∴CD=AD=BD， ∴四邊形AECD是菱形． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查三角形全等的判定與性質(zhì)，平行四邊形的判定以及菱形的判定，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵． 　 12．【問題探究】 （1）如圖1，銳角△ABC中分別以AB、AC為邊向外作等腰△ABE和等腰△ACD，使AE=AB，AD=AC，∠BAE=∠CAD，連接BD，CE，試猜想BD與CE的大小關(guān)系，并說明理由． 【深入探究】 （2）如圖2，四邊形ABCD中，AB=7cm，BC=3cm，∠ABC=∠ACD=∠ADC=45°，求BD的長． （3）如圖3，在（2）的條件下，當(dāng)△ACD在線段AC的左側(cè)時(shí)，求BD的長． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）首先根據(jù)等式的性質(zhì)證明∠EAC=∠BAD，則根據(jù)SAS即可證明△EAC≌△BAD，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)即可證明； （2）在△ABC的外部，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，連接EA、EB、EC，證明△EAC≌△BAD，證明BD=CE，然后在直角三角形BCE中利用勾股定理即可求解； （3）在線段AC的右側(cè)過點(diǎn)A作AE⊥AB于點(diǎn)A，交BC的延長線于點(diǎn)E，證明△EAC≌△BAD，證明BD=CE，即可求解． 【解答】解：（1）BD=CE． 理由是：∵∠BAE=∠CAD， ∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD， 在△EAC和△BAD中， ， ∴△EAC≌△BAD， ∴BD=CE； （2）如圖2，在△ABC的外部，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角△BAE，使∠BAE=90°，AE=AB，連接EA、EB、EC． ∵∠ACD=∠ADC=45°， ∴AC=AD，∠CAD=90°， ∴∠BAE+∠BAC=∠CAD+∠BAC，即∠EAC=∠BAD， 在△EAC和△BAD中， ， ∴△EAC≌△BAD， ∴BD=CE． ∵AE=AB=7， ∴BE==7，∠ABE=∠AEB=45°， 又∵∠ABC=45°， ∴∠ABC+∠ABE=45°+45°=90°， ∴EC===， ∴BD=CE=． （3）如圖3，在線段AC的右側(cè)過點(diǎn)A作AE⊥AB于點(diǎn)A，交BC的延長線于點(diǎn)E，連接BE． ∵AE⊥AB， ∴∠BAE=90°， 又∵∠ABC=45°， ∴∠E=∠ABC=45°， ∴AE=AB=7，BE==7， 又∵∠ACD=∠ADC=45°， ∴∠BAE=∠DAC=90°， ∴∠BAE﹣∠BAC=∠DAC﹣∠BAC，即∠EAC=∠BAD， 在△EAC和△BAD中， ， ∴△EAC≌△BAD， ∴BD=CE， ∵BC=3， ∴BD=CE=（7﹣3）cm． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，正確理解三個(gè)題目之間的聯(lián)系，構(gòu)造（1）中的全等三角形是解決本題的關(guān)鍵． 　 13．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)P與點(diǎn)A、B不重合），矩形PECF的頂點(diǎn)E，F(xiàn)分別在BC，AC上． （1）探究DE與DF的關(guān)系，并給出證明； （2）當(dāng)點(diǎn)P滿足什么條件時(shí)，線段EF的長最短？（直接給出結(jié)論，不必說明理由） 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；矩形的性質(zhì)． 【分析】（1）連接CD，首先根據(jù)△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)得到CD=AD，CD⊥AD，然后根據(jù)四邊形PECF是矩形得到△APE是等腰直角三角形，從而得到△DCE≌△DAF，證得DE=DF，DE⊥DF； （2）根據(jù)DE=DF，DE⊥DF，得到EF=DE=DF，從而得到當(dāng)DE和DF同時(shí)最短時(shí)，EF最短得到此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合線段EF最短． 【解答】解：（1）DE=DF，DE⊥DF， 證明：連接CD， ∵△ABC是等腰直角三角形，∠C=90°，點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)， ∴CD=AD，CD⊥AD， ∵四邊形PECF是矩形， ∴CE=FP，F(xiàn)P∥CB， ∴△APF是等腰直角三角形， ∴AF=PF=EC， ∴∠DCE=∠A=45°， ∴△DCE≌△DAF， ∴DE=DF，∠ADF=∠CDE， ∵∠CDA=90°， ∴∠EDF=90°， ∴DE=DF，DE⊥DF； （2）∵DE=DF，DE⊥DF， ∴EF=DE=DF， ∴當(dāng)DE和DF同時(shí)最短時(shí)，EF最短， ∴當(dāng)DF⊥AC，DE⊥AB時(shí)，二者最短， ∴此時(shí)點(diǎn)P與點(diǎn)D重合， ∴點(diǎn)P與點(diǎn)D重合時(shí)，線段EF最短． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形及矩形的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是能夠證得兩個(gè)三角形全等，難度不大． 　 14．如圖，△ABC和△EFD分別在線段AE的兩側(cè)，點(diǎn)C，D在線段AE上，AC=DE，AB∥EF，AB=EF．求證：BC=FD． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)已知條件得出△ACB≌△DEF，即可得出BC=DF． 【解答】證明：∵AB∥EF， ∴∠A=∠E， 在△ABC和△EFD中 ∴△ABC≌△EFD（SAS） ∴BC=FD． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了平行線的性質(zhì)和三角形全等的判定方法，難度適中． 　 15．如圖，已知∠ABC=90°，D是直線AB上的點(diǎn)，AD=BC． （1）如圖1，過點(diǎn)A作AF⊥AB，并截取AF=BD，連接DC、DF、CF，判斷△CDF的形狀并證明； （2）如圖2，E是直線BC上一點(diǎn)，且CE=BD，直線AE、CD相交于點(diǎn)P，∠APD的度數(shù)是一個(gè)固定的值嗎？若是，請(qǐng)求出它的度數(shù)；若不是，請(qǐng)說明理由． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】壓軸題． 【分析】（1）利用SAS證明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC，即可判斷三角形的形狀； （2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，連結(jié)DF，CF，利用SAS證明△AFD和△BDC全等，再利用全等三角形的性質(zhì)得出FD=DC，∠FDC=90°，即可得出∠FCD=∠APD=45°． 【解答】解：（1）△CDF是等腰直角三角形，理由如下： ∵AF⊥AD，∠ABC=90°， ∴∠FAD=∠DBC， 在△FAD與△DBC中， ， ∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD=DC， ∴△CDF是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， ∴∠FDA=∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB=90°， ∴∠BDC+∠FDA=90°， ∴△CDF是等腰直角三角形； （2）作AF⊥AB于A，使AF=BD，連結(jié)DF，CF，如圖， ∵AF⊥AD，∠ABC=90°， ∴∠FAD=∠DBC， 在△FAD與△DBC中， ， ∴△FAD≌△DBC（SAS）， ∴FD=DC， ∴△CDF是等腰三角形， ∵△FAD≌△DBC， ∴∠FDA=∠DCB， ∵∠BDC+∠DCB=90°， ∴∠BDC+∠FDA=90°， ∴△CDF是等腰直角三角形， ∴∠FCD=45°， ∵AF∥CE，且AF=CE， ∴四邊形AFCE是平行四邊形， ∴AE∥CF， ∴∠APD=∠FCD=45°． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)的運(yùn)用，平行四邊形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用，等腰直角三角形的判定及性質(zhì)的運(yùn)用．解答時(shí)證明三角形全等是關(guān)鍵． 　 16．如圖，正方形ABCD中，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在AD，CD上，且AE=DF，連接BE，AF．求證：BE=AF． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)正方形的四條邊都相等可得AB=AD，每一個(gè)角都是直角可得∠BAE=∠D=90°，然后利用“邊角邊”證明△ABE和△ADF全等，根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等證明即可． 【解答】證明：在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAE=∠D=90°， 在△ABE和△ADF中， ， ∴△ABE≌△ADF（SAS）， ∴BE=AF． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及垂直的定義，求出兩三角形全等，從而得到BE=AF是解題的關(guān)鍵． 　 17．如圖，在△ABC中，已知AB=AC，AD平分∠BAC，點(diǎn)M，N分別在AB，AC邊上，AM=2MB，AN=2NC．求證：DM=DN． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】首先根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)得到AD是頂角的平分線，再利用全等三角形進(jìn)行證明即可． 【解答】證明：∵AM=2MB，AN=2NC，AB=AC， ∴AM=AN， ∵AB=AC，AD平分∠BAC， ∴∠MAD=∠NAD， 在△AMD與△AND中， ， ∴△AMD≌△AND（SAS）， ∴DM=DN． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)進(jìn)行證明． 　 18．在平行四邊形ABCD中，將△BCD沿BD翻折，使點(diǎn)C落在點(diǎn)E處，BE和AD相交于點(diǎn)O，求證：OA=OE． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行四邊形的性質(zhì)；翻折變換（折疊問題）． 【專題】證明題． 【分析】由在平行四邊形ABCD中，將△BCD沿BD對(duì)折，使點(diǎn)C落在E處，即可求得∠DBE=∠ADB，得出OB=OD，再由∠A=∠C，證明三角形全等，利用全等三角形的性質(zhì)證明即可． 【解答】證明：平行四邊形ABCD中，將△BCD沿BD對(duì)折，使點(diǎn)C落在E處， 可得∠DBE=∠ADB，∠A=∠C， ∴OB=OD， 在△AOB和△EOD中， ， ∴△AOB≌△EOD（AAS）， ∴OA=OE． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查了平行四邊形的性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)以及折疊的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握折疊前后圖形的對(duì)應(yīng)關(guān)系，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用． 　 19．如圖，在△ABD和△FEC中，點(diǎn)B，C，D，E在同一直線上，且AB=FE，BC=DE，∠B=∠E．求證：∠ADB=∠FCE． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)等式的性質(zhì)得出BD=CE，再利用SAS得出：△ABD與△FEC全等，進(jìn)而得出∠ADB=∠FCE． 【解答】證明：∵BC=DE， ∴BC+CD=DE+CD， 即BD=CE， 在△ABD與△FEC中， ， ∴△ABD≌△FEC（SAS）， ∴∠ADB=∠FCE． 【點(diǎn)評(píng)】此題考查全等三角形的判定和性質(zhì)，關(guān)鍵是根據(jù)等式的性質(zhì)得出BD=CE，再利用全等三角形的判定和性質(zhì)解答． 　 20．如圖，CA=CD，∠B=∠E，∠BCE=∠ACD．求證：AB=DE． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】如圖，首先證明∠ACB=∠DCE，這是解決問題的關(guān)鍵性結(jié)論；然后運(yùn)用AAS公理證明△ABC≌△DEC，即可解決問題． 【解答】解：如圖，∵∠BCE=∠ACD， ∴∠ACB=∠DCE；在△ABC與△DEC中， ， ∴△ABC≌△DEC（AAS）， ∴AB=DE． 【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是牢固掌握全等三角形的判定方法，這是靈活運(yùn)用、解題的基礎(chǔ)和關(guān)鍵． 　 21．已知△ABC，AB=AC，將△ABC沿BC方向平移得到△DEF． （1）如圖1，連接BD，AF，則BD　=　AF（填“＞”、“＜”或“=”）； （2）如圖2，M為AB邊上一點(diǎn)，過M作BC的平行線MN分別交邊AC，DE，DF于點(diǎn)G，H，N，連接BH，GF，求證：BH=GF． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；平移的性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得∠ABC與∠ACB的關(guān)系，根據(jù)平移的性質(zhì)，可得AC與DF的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案； （2）根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)，可得GM與HN的關(guān)系，BM與FN的關(guān)系，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得答案． 【解答】（1）解：由AB=AC， 得∠ABC=ACB． 由△ABC沿BC方向平移得到△DEF， 得DF=AC，∠DFE=∠ACB． 在△ABF和△DFB中， ， △ABF≌△DFB（SAS）， BD=AF， 故答案為：BD=AF； （2）證明：如圖： ， MN∥BF， △AMG∽△ABC，△DHN∽△DEF， =，=， ∴MG=HN，MB=NF． 在△BMH和△FNG中， ， △BMH≌△FNG（SAS）， ∴BH=FG． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了平移的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)． 　 22．如圖，△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，分別以AB，AC為直角邊向外作等腰直角△ABD和等腰直角△ACE，G為BD的中點(diǎn)，連接CG，BE，CD，BE與CD交于點(diǎn)F． （1）判斷四邊形ACGD的形狀，并說明理由． （2）求證：BE=CD，BE⊥CD． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；等腰直角三角形；平行四邊形的判定． 【專題】證明題． 【分析】（1）利用等腰直角三角形的性質(zhì)易得BD=2BC，因?yàn)镚為BD的中點(diǎn)，可得BG=BC，由∠CGB=45°，∠ADB=45得AD∥CG，由∠CBD+∠ACB=180°，得AC∥BD，得出四邊形ACGD為平行四邊形； （2）利用全等三角形的判定證得△DAC≌△BAE，由全等三角形的性質(zhì)得BE=CD；首先證得四邊形ABCE為平行四邊形，再利用全等三角形的判定定理得△BCE≌△CAD，易得∠CBE=∠ACD，由∠ACB=90°，易得∠CFB=90°，得出結(jié)論． 【解答】（1）解：∵△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°， ∴AB=BC， ∵△ABD和△ACE均為等腰直角三角形， ∴BD==BC=2BC， ∵G為BD的中點(diǎn)， ∴BG=BD=BC， ∴△CBG為等腰直角三角形， ∴∠CGB=45°， ∵∠ADB=45°， AD∥CG， ∵∠ABD=45°，∠ABC=45° ∴∠CBD=90°， ∵∠ACB=90°， ∴∠CBD+∠ACB=180°， ∴AC∥BD， ∴四邊形ACGD為平行四邊形； （2）證明：∵∠EAB=∠EAC+∠CAB=90°+45°=135°， ∠CAD=∠DAB+∠BAC=90°+45°=135°， ∴∠EAB=∠CAD， 在△DAC與△BAE中， ， ∴△DAC≌△BAE， ∴BE=CD； ∵∠EAC=∠BCA=90°，EA=AC=BC， ∴四邊形ABCE為平行四邊形， ∴CE=AB=AD， 在△BCE與△CAD中， ， ∴△BCE≌△CAD， ∴∠CBE=∠ACD， ∵∠ACD+∠BCD=90°， ∴∠CBE+∠BCD=90°， ∴∠CFB=90°， 即BE⊥CD． 【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，平行四邊形和全等三角形的判定及性質(zhì)定理，綜合運(yùn)用各種定理是解答此題的關(guān)鍵． 　 23．如圖，在正方形ABCD中，G是BC上任意一點(diǎn)，連接AG，DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F，探究線段AF、BF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；正方形的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)正方形的性質(zhì)，可得AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°，根據(jù)余角的性質(zhì)，可得∠ADE=∠BAF，根據(jù)全等三角形的判定與性質(zhì)，可得BF與AE的關(guān)系，再根據(jù)等量代換，可得答案． 【解答】解：線段AF、BF、EF三者之間的數(shù)量關(guān)系A(chǔ)F=BF+EF，理由如下： ∵四邊形ABCD是正方形， ∴AB=AD，∠DAB=∠ABC=90°． ∵DE⊥AG于E，BF∥DE交AG于F， ∴∠AED=∠DEF=∠AFB=90°， ∴∠ADE+∠DAE=90°，∠DAE+∠BAF=90°， ∴∠ADE=∠BAF． 在△ABF和△DAE中， ∴△ABF≌△DAE （AAS）， ∴BF=AE． ∵AF=AE+EF， AF=BF+EF． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，利用了正方形的性質(zhì)，余角的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，等量代換． 　 24．已知：如圖，在△ABC中，DE、DF是△ABC的中位線，連接EF、AD，其交點(diǎn)為O．求證： （1）△CDE≌△DBF； （2）OA=OD． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；三角形中位線定理． 【專題】證明題． 【分析】（1）根據(jù)三角形中位線，可得DF與CE的關(guān)系，DB與DC的關(guān)系，根據(jù)SAS，可得答案； （2）根據(jù)三角形的中位線，可得DF與AE的關(guān)系，根據(jù)平行四邊形的判定與性質(zhì)，可得答案． 【解答】證明：（1）∵DE、DF是△ABC的中位線， ∴DF=CE，DF∥CE，DB=DC． ∵DF∥CE， ∴∠C=∠BDF． 在△CDE和△DBF中， ∴△CDE≌△DBF （SAS）； （2）∵DE、DF是△ABC的中位線， ∴DF=AE，DF∥AE， ∴四邊形DEAF是平行四邊形， ∵EF與AD交于O點(diǎn)， ∴AO=OD 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，（1）利用了三角形中位線的性質(zhì)，全等三角形的判定；（2）利用了三角形中位線的性質(zhì)，平行四邊的性的判定與性質(zhì)． 　 25．我們把兩組鄰邊相等的四邊形叫做“箏形”．如圖，四邊形ABCD是一個(gè)箏形，其中AB=CB，AD=CD．對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，OE⊥AB，OF⊥CB，垂足分別是E，F(xiàn)．求證OE=OF． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題；新定義． 【分析】欲證明OE=OF，只需推知BD平分∠ABC，所以通過全等三角形△ABD≌△CBD（SSS）的對(duì)應(yīng)角相等得到∠ABD=∠CBD，問題就迎刃而解了． 【解答】證明：∵在△ABD和△CBD中，， ∴△ABD≌△CBD（SSS）， ∴∠ABD=∠CBD， ∴BD平分∠ABC． 又∵OE⊥AB，OF⊥CB， ∴OE=OF． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)．在應(yīng)用全等三角形的判定時(shí)，要注意三角形間的公共邊和公共角，必要時(shí)添加適當(dāng)輔助線構(gòu)造三角形． 　 26．如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)F在邊BC上，且AF=AD，過點(diǎn)D作DE⊥AF，垂足為點(diǎn)E． （1）求證：DE=AB． （2）以D為圓心，DE為半徑作圓弧交AD于點(diǎn)G．若BF=FC=1，試求的長． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；含30度角的直角三角形；矩形的性質(zhì)；弧長的計(jì)算． 【分析】（1）由矩形的性質(zhì)得出∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC，得出∠EAD=∠AFB，由AAS證明△ADE≌△FAB，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可； （2）連接DF，先證明△DCF≌△ABF，得出DF=AF，再證明△ADF是等邊三角形，得出∠DAE=60°，∠ADE=30°，由AE=BF=1，根據(jù)三角函數(shù)得出DE，由弧長公式即可求出的長． 【解答】（1）證明：∵四邊形ABCD是矩形， ∴∠B=∠C=90°，AB=BC=AD=DC，AD∥BC， ∴∠EAD=∠AFB， ∵DE⊥AF， ∴∠AED=90°， 在△ADE和△FAB中，， ∴△ADE≌△FAB（AAS）， ∴DE=AB； （2）解：連接DF，如圖所示： 在△DCF和△ABF中，， ∴△DCF≌△ABF（SAS）， ∴DF=AF， ∵AF=AD， ∴DF=AF=AD， ∴△ADF是等邊三角形， ∴∠DAE=60°， ∵DE⊥AF， ∴∠AED=90°， ∴∠ADE=30°， ∵△ADE≌△FAB， ∴AE=BF=1， ∴DE=AE=， ∴的長==． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了矩形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、三角函數(shù)以及弧長公式；熟練掌握矩形的性質(zhì)，并能進(jìn)行推理論證與計(jì)算是解決問題的關(guān)鍵． 　 27．如圖，∠1=∠2，∠3=∠4，求證：AC=AD． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】先證出∠ABC=∠ABD，再由ASA證明△ABC≌△ABD，得出對(duì)應(yīng)邊相等即可． 【解答】證明：∵∠3=∠4， ∴∠ABC=∠ABD， 在△ABC和△ABD中，， ∴△ABC≌△ABD（ASA）， ∴AC=AD． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵． 　 28．如圖，AC=DC，BC=EC，∠ACD=∠BCE．求證：∠A=∠D． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】證明題． 【分析】先證出∠ACB=∠DCE，再由SAS證明△ABC≌△DEC，得出對(duì)應(yīng)角相等即可． 【解答】證明：∵∠ACD=∠BCE， ∴∠ACB=∠DCE， 在△ABC和△DEC中，， ∴△ABC≌△DEC（SAS）， ∴∠A=∠D． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握全等三角形的判定方法，證明三角形全等是解決問題的關(guān)鍵． 　 29．如圖，已知點(diǎn)D在△ABC的BC邊上，DE∥AC交AB于E，DF∥AB交AC于F． （1）求證：AE=DF； （2）若AD平分∠BAC，試判斷四邊形AEDF的形狀，并說明理由． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定． 【專題】證明題． 【分析】（1）利用AAS推出△ADE≌△DAF，再根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出AE=DF； （2）先根據(jù)已知中的兩組平行線，可證四邊形DEFA是?，再利用AD是角平分線，結(jié)合AE∥DF，易證∠DAF=∠FDA，利用等角對(duì)等邊，可得AE=DF，從而可證?AEDF實(shí)菱形． 【解答】證明：（1）∵DE∥AC，∠ADE=∠DAF， 同理∠DAE=∠FDA， ∵AD=DA， ∴△ADE≌△DAF， ∴AE=DF； （2）若AD平分∠BAC，四邊形AEDF是菱形， ∵DE∥AC，DF∥AB， ∴四邊形AEDF是平行四邊形， ∴∠DAF=∠FDA． ∴AF=DF． ∴平行四邊形AEDF為菱形． 【點(diǎn)評(píng)】考查了全等三角形的判定方法及菱形的判定的掌握情況． 　 30．如圖，過∠AOB平分線上一點(diǎn)C作CD∥OB交OA于點(diǎn)D，E是線段OC的中點(diǎn)，請(qǐng)過點(diǎn)E畫直線分別交射線CD、OB于點(diǎn)M、N，探究線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】（1）當(dāng)點(diǎn)M在線段CD上時(shí)，線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關(guān)系是：OD=DM+ON．首先根據(jù)OC是∠AOB的平分線，CD∥OB，判斷出∠DOC=∠DC0，所以O(shè)D=CD=DM+CM；然后根據(jù)E是線段OC的中點(diǎn)，CD∥OB，推得CM=ON，即可判斷出OD=DM+ON，據(jù)此解答即可． （2）當(dāng)點(diǎn)M在線段CD延長線上時(shí)，線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關(guān)系是：OD=ON﹣DM．由（1），可得OD=DC=CM﹣DM，再根據(jù)CM=ON，推得OD=ON﹣DM即可． 【解答】解：（1）當(dāng)點(diǎn)M在線段CD上時(shí)，線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關(guān)系是：OD=DM+ON． 證明：如圖1，， ∵OC是∠AOB的平分線， ∴∠DOC=∠C0B， 又∵CD∥OB， ∴∠DCO=∠C0B， ∴∠DOC=∠DC0， ∴OD=CD=DM+CM， ∵E是線段OC的中點(diǎn)， ∴CE=OE， ∵CD∥OB， ∴， ∴CM=ON， 又∵OD=DM+CM， ∴OD=DM+ON． （2）當(dāng)點(diǎn)M在線段CD延長線上時(shí)，線段OD、ON、DM之間的數(shù)量關(guān)系是：OD=ON﹣DM． 證明：如圖2，， 由（1），可得 OD=DC=CM﹣DM， 又∵CM=ON， ∴OD=DC=CM﹣DM=ON﹣DM， 即OD=ON﹣DM． 【點(diǎn)評(píng)】（1）此題主要考查了平行線的性質(zhì)和應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①定理1：兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等．簡單說成：兩直線平行，同位角相等．②定理2：兩條平行線被地三條直線所截，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．簡單說成：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)．③定理3：兩條平行線被第三條直線所截，內(nèi)錯(cuò)角相等．簡單說成：兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等． （2）此題還考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確：①等腰三角形的兩腰相等．②等腰三角形的兩個(gè)底角相等．③等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合． 第50頁（共50頁）