《《時(shí)域有限差分法》PPT課件.ppt》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《《時(shí)域有限差分法》PPT課件.ppt（21頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、時(shí)域有限差分法,第1講 一維標(biāo)量波動(dòng)方程,引言（1）,1966年,K.S. Yee（美籍香港人）首先提出了Finite-Difference Time-Domain Method,并用于柱形金屬柱電磁散射分析。由于當(dāng)時(shí)計(jì)算機(jī)技術(shù)還比較落后，這一方法并未引起重視。 1972年,A.Taflovey應(yīng)用FDTD研究了UHF和微波對(duì)人類眼睛的穿透，以了解“微波白內(nèi)障”的成因。Taflove成功地應(yīng)用和發(fā)展了Yee的FDTD算法。 80年代后期，隨著高速大容量計(jì)算機(jī)的普及，F(xiàn)DTD法得到了迅速發(fā)展。如今已應(yīng)用于涉及波動(dòng)現(xiàn)象的任何領(lǐng)域。至今，F(xiàn)DTD法的研究與應(yīng)用仍方興未艾。,引言（2）,本課程采用研討

2、班形式。教師講授FDTD的基本知識(shí)，學(xué)生針對(duì)某一方向進(jìn)行較深入的研究。 本講我們考慮描述波動(dòng)現(xiàn)象的最基本偏微分方程：一維標(biāo)量波動(dòng)方程的數(shù)值FDTD解，為以后二維、三維Maxwell方程的FDTD分析奠定基礎(chǔ) 課程內(nèi)容取自下列的參考書(shū)和近年來(lái)相關(guān)的一些文獻(xiàn) 1A.Taflove,Computational Electrodynamics The Finite-Difference Time-Domain Method, Artech Hourse，1995. 2高本慶，時(shí)域有限差分法，國(guó)防工業(yè)出版社，1995. 3葛德彪，閆玉波，電磁場(chǎng)時(shí)域有限差分法，西電出版社，2002,1.1 差分近似（1）

3、,一維標(biāo)量波動(dòng)方程 （1-1） 上式的解為 （1-2） 采用Taylor 展開(kāi) （1-3）,1.1 差分近似（2）,于是，有 (1-4） 同理，有 (1-5） 上式稱為二階偏導(dǎo)數(shù)的二階中心差分格式。 將它們代入(1-1)，得 （1-6） 忽略高次項(xiàng)，便可得到求解的差分迭代公式。,1.1 差分近似（3）,1.1 差分近似（4）,應(yīng)當(dāng)注意，在一般情況下(1-6)對(duì)時(shí)間或空間具有二階精度。但對(duì) 于 的特殊情況，根據(jù)解(1-2)，可以證明 于是 所以，（1-6

4、）中的兩個(gè)剩余項(xiàng)抵消，得到了精確的數(shù)值差分公式 （1-7） 正因?yàn)橛羞@樣的奇妙特性， 為“魔時(shí)間步”(Magic time step).,1.2 數(shù)值色散關(guān)系(1),色散關(guān)系定義為行波的波長(zhǎng)隨頻率的變化關(guān)系。為方便起見(jiàn)，色散關(guān)系也常表示為行波的波數(shù)關(guān)于角頻率的變化關(guān)系。 考慮(1.1)的正弦行波解 代入(1-1)得 即 (1-8) 上式便是一維標(biāo)量波動(dòng)方程的色散關(guān)系。 由上式得相速度 （1-9） 可見(jiàn)，相速與頻率無(wú)關(guān)，稱為非色散。非色散意味著對(duì)于具有任意調(diào)制的包絡(luò)或脈沖形狀的波傳播任意距離后波形保持不變。進(jìn)一步

5、由(1-8)可以得到群速關(guān)系 (1-10) 這種情況下，群速也是與頻率無(wú)關(guān)。,1.2 數(shù)值色散關(guān)系(2),上述過(guò)程也可用于一維標(biāo)量波動(dòng)方程差分近似的數(shù)值色散分析。 設(shè)在離散空間點(diǎn) ,離散行波解為 ， 式中， 為存在于有限差分網(wǎng)格中的數(shù)值正弦波的波數(shù)。一般情況下，不同于連續(xù)物理波的波數(shù)。正是這種不同導(dǎo)致了數(shù)值相速和群速偏離了精確解。進(jìn)而導(dǎo)致了數(shù)值色散誤差。 將上式代入差分方程(1-6),得 (1-11) 重新組合并應(yīng)用 Euler恒等式，最后得到數(shù)值色散關(guān)系為 (1-12),1.3 數(shù)值相速（1）,類似于(1-9)，定義數(shù)值相速為 由（1-12）

6、可得 （1-13） 可見(jiàn)數(shù)值相速與頻率有關(guān)。因此，由FDTD得到的數(shù)值波是色散的。 取 則數(shù)值相速為 。相對(duì)誤差為 -1.27%。如果物理波傳播了 距離(100空間格)時(shí)，數(shù)值模擬波只傳播了98.73空間格，相位誤差為45.720。 取 則 。這時(shí)數(shù)值相速的相對(duì) 誤差為0.31，減少了4倍。同樣，當(dāng)物理波傳播了同樣的 時(shí)(200空間格)，數(shù)值模擬傳播了199.378格，相位誤差為11.1960，也減少了4倍。誤差減少了4倍反映了差分算法是二階精度的。,1.3 數(shù)值相速（2）,情況1：非常細(xì)網(wǎng)格 根據(jù) ，數(shù)值色散關(guān)系(1-12)變?yōu)?即， ，最后

7、得 ，于是有 。 所以，在非常細(xì)的網(wǎng)格條件下，差分解逼近精確解。 情況2： 魔時(shí)間步 (1-12)變?yōu)? ,即 。 所以， 。可見(jiàn)，魔時(shí)間步下差分解與精確解相同。,1.4 數(shù)值群速,定義數(shù)值相速為 （1-14） 情況1 非常細(xì)網(wǎng)格 利用正弦函數(shù)的一階Taylor展開(kāi)，可得 （1-15） 所以，群速與相速一樣，在細(xì)網(wǎng)格條件下趨近精確解。這證明了 當(dāng)空間步長(zhǎng)和時(shí)間步長(zhǎng)趨于零時(shí)，數(shù)值解變得精確。 情況2 魔時(shí)間步 將魔時(shí)間步條件和波數(shù)代入(1-14)，得 （1-16） 再次驗(yàn)證了魔時(shí)間步下數(shù)值解等于精確解

8、。,1.5 數(shù)值穩(wěn)定性（1）,FDTD計(jì)算中每一步都是有誤差的，隨著時(shí)間步進(jìn)，誤差會(huì)不斷積累。如果誤差的積累不會(huì)造成總誤差的增加，就成FDTD法是穩(wěn)定的，否則成為不穩(wěn)定的。數(shù)值不穩(wěn)定性會(huì)造成計(jì)算結(jié)果隨時(shí)間步進(jìn)無(wú)限增加。 FDTD法是有條件穩(wěn)定的，即：時(shí)間步必須必須小于一定值以避免數(shù)值不穩(wěn)定性。 本節(jié)的數(shù)值穩(wěn)定性分析方法是建立在Courant等人幾十年前提出的經(jīng)典方法基礎(chǔ)上。這種方法首先把有限差分算法分解為相互分離的時(shí)間和空間本征值問(wèn)題。,1.5 數(shù)值穩(wěn)定性（1）,時(shí)間本征值問(wèn)題 (1-17) 差分近似，得 (1-18) 定義不變?cè)鲩L(zhǎng)因子 (1-19),1.5

9、 數(shù)值穩(wěn)定性（2）,將(1-19)代入(1-18)，有 ，于是 算法穩(wěn)定性要求 。如果 ，則總有 ，于是 ，滿足穩(wěn)定性 要求。這樣可得 （1-20） 這就是穩(wěn)定的數(shù)值差分解所要求的時(shí)間本征值譜。,1.5 數(shù)值穩(wěn)定性（3）,空間本征值問(wèn)題 (1-21) 代入中心差分公式，得 (1-22) 令 ，Eular公式可得 因?yàn)? ，所以 (1-23) 上式給出了差分網(wǎng)格中任意空間Fourier模的本征值譜。,1.5 數(shù)值穩(wěn)定性（4）,穩(wěn)定性 為了保證任何空間模式的數(shù)值穩(wěn)定性，(1-23)給出的空間模式的本征

10、值范圍必須完全落在(1-20)所給出的時(shí)間本征值的穩(wěn)定范圍內(nèi)，于是 即 (1-24) 可見(jiàn)，時(shí)間步長(zhǎng) 必須是有界的。上式稱為Courant穩(wěn)定性條件。有趣的是其上界恰好是魔時(shí)間步。,1.6 激勵(lì)源的設(shè)置,在FDTD模擬電磁波傳播時(shí)需要設(shè)置初始條件和激勵(lì)源。最簡(jiǎn)單的源設(shè)置方法是“硬源”, 即在激勵(lì)源的位置令 u滿足ui=f(n), 常用的有 正弦函數(shù) ui=sin(nt+) 高斯函數(shù) ui=exp-(n-n0)2/T2 階躍函數(shù) ui= 0 nn2 “硬源”設(shè)置簡(jiǎn)單，但當(dāng)反射波回到“硬源”位置時(shí)，會(huì)引起寄生反射，所以，要在這之前“關(guān)”掉源

11、。 以后會(huì)有有關(guān)源設(shè)置的更詳細(xì)討論。,1.7 吸收邊界條件,由于計(jì)算機(jī)容量所限，計(jì)算域必須是有限的。對(duì)于理想電壁或磁壁的邊界條件的設(shè)置是直接的。但如果模擬的是“開(kāi)”問(wèn)題，就要設(shè)置截?cái)噙吔纭Ｔ诮財(cái)噙吔缟弦O(shè)置吸收邊界條件，使得電磁波可以被完全吸收，模擬波無(wú)反射的通過(guò)吸收邊界。 對(duì)于一維問(wèn)題，采用單向波方程 于是利用單向差分近似得到吸收邊界條件，詳細(xì)討論見(jiàn)后面章節(jié)。,結(jié) 論 1,本講介紹了一維標(biāo)量波動(dòng)方程的FDTD求解過(guò)程： 利用Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)方法獲取空間/時(shí)間導(dǎo)數(shù)的二階中心差分近似，從而得到具有二階精度的方程數(shù)值解的時(shí)間步進(jìn)迭代公式。 一般情況下，數(shù)值解引入了寄生的數(shù)值色散。當(dāng)空

12、間步長(zhǎng)和時(shí)間步長(zhǎng)非常小時(shí)，數(shù)值解逼近精確解。當(dāng)時(shí)間步長(zhǎng)滿足魔時(shí)間步條件時(shí)，數(shù)值解等于精確解。 空間步長(zhǎng)和時(shí)間步長(zhǎng)必須滿足Courant穩(wěn)定性條件才能保證數(shù)值解的穩(wěn)定性。,習(xí) 題 1,1.1 利用Taylor級(jí)數(shù)展開(kāi)方法分別推導(dǎo)一階導(dǎo)數(shù) 的二階和四階精度中心差分近似。 1.2 利用數(shù)值相速和群速公式分別畫(huà)出數(shù)值相速和群速在 ， ， 和 條件下關(guān)于網(wǎng)格空間分辨率 的曲線，并進(jìn)行相應(yīng)的討論。 1.3 編寫(xiě)本講介紹的一維標(biāo)量波動(dòng)方程FDTD求解程序。設(shè)在網(wǎng)格左邊界波源為下列脈沖函數(shù)： a. 高斯函數(shù) b. 矩形函數(shù) 在網(wǎng)格右邊界 。時(shí)間總步數(shù)為5000,空間總步為200。 在 ， 和 條件下每隔1000個(gè)時(shí)間步畫(huà)出每個(gè)傳播脈沖關(guān)于位置的分布曲線。,