《江蘇省13市2015年中考數(shù)學試題分類解析匯編 專題11 四邊形問題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《江蘇省13市2015年中考數(shù)學試題分類解析匯編 專題11 四邊形問題（21頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題11：四邊形問題 1. （2015年江蘇連云港3分）已知四邊形ABCD，下列說法正確的是【 】 A. 當AD=BC，AB∥DC時，四邊形ABCD是平行四邊形 B. 當AD=BC，AB=DC時，四邊形ABCD是平行四邊形 C. 當AC=BD，AC平分BD時，四邊形ABCD是矩形 D. 當AC=BD，AC⊥BD時，四邊形ABCD是正方形 【答案】B． 【考點】平行四邊形的判定；矩形的判定；正方形的判定． 【分析】∵一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形，∴A不正確； ∵兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形，∴B正確； ∵對

2、角線互相平分且相等的四邊形是矩形，∴C不正確； ∵對角線互相垂直平分且相等的四邊形是正方形，∴D不正確. 故選B． 2. （2015年江蘇連云港3分）如圖，O是坐標原點，菱形OABC的頂點A的坐標為，頂點C在x軸的負半軸上，函數(shù)的圖象經過頂點B，則k的值為【 】 A. B. C. D. 【答案】 C． 【考點】菱形的性質；勾股定理；曲線上點的坐標與方程的關系. 【分析】根據(jù)點A的坐標以及勾股定理、菱形的性質求出點B的坐標，然后利用待定系數(shù)法求出k的值： 如答圖，過點作于點， ∵A的坐標為，∴. ∴在中，根據(jù)勾股定理，得.

3、 ∵菱形OABC的頂點A的坐標為，頂點C在x軸的負半軸上， ∴點B的坐標為. ∵函數(shù)的圖象經過頂點B，∴. 故選C． 3. （2015年江蘇南京2分）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=5，AD、AB、BC分別與⊙O相切于E、F、G三點，過點D作⊙O的切線交BC于點M，則DM的長為【 】 A. B. C. D. 【答案】A. 【考點】矩形的性質；切線的性質；正方形的判定和性質；切線長定理；勾股定理；方程思想的應用. 【分析】如答圖，連接， 則根據(jù)矩形和切線的性質知，四邊形都是正方形. ∵AB=4，∴. ∵AD=5

4、，∴. 設GM=NM=x，則. 在中，由勾股定理得：，即，解得，. ∴． 故選A. 4. （2015年江蘇徐州3分）如圖，菱形中，對角線AC、BD交于點O，E為AD邊中點，菱形ABCD的周長為28，則OE的長等于【 】 A. B. C. D. 【答案】A. 【考點】菱形的性質；直角三角形斜邊上中線的性質. 【分析】∵四邊形ABCD是菱形，且周長為28，∴. ∵E為AD邊中點，∴根據(jù)直角三角形斜邊上中線等于斜邊 一半的性質，得. 故選A. 5. （2015年江蘇常州2分）如圖，的對角線AC、BD相交于點O，則下列說法

5、一定正確的是【 】 A. B. C. D. 【答案】C． 【考點】平行四邊形的性質． 【分析】根據(jù)平行四邊形的性質進行判斷： 平行四邊形的對角線不一定相等，A錯誤； 平行四邊形的對角線不一定互相垂直，B錯誤； 平行四邊形的對角線互相平分，C正確； 平行四邊形的對角線與邊不一定垂直，D錯誤． 故選C． 1. （2015年江蘇蘇州3分）如圖，四邊形ABCD為矩形，過點D作對角線BD的垂線，交BC的延長線于點E，取BE的中點F，連接DF，DF=4．設AB=x，AD=y，則的值為 ▲ ． 【答案】16. 【考

6、點】代數(shù)式的幾何意義；矩形的性質；直角三角形斜邊上中線的性質；勾股定理. 【分析】∵四邊形ABCD為矩形，AB=x，AD=y，∴DC=x，BC=y. ∵在中，點F是斜邊BE的中點，DF=4，∴BF= DF=4. ∴在中，，即. ∴. 2. （2015年江蘇泰州3分）如圖， 矩形中，AB=8，BC=6，P為AD上一點，將△ABP 沿BP翻折至△EBP， PE與CD相交于點O，且OE=OD，則AP的長為 ▲ ．2-1-07 【答案】. 【考點】翻折變換（折疊問題）；矩形的性質；折疊對稱的性質；勾股定理，全等三角形的判定和性質；方程思想的應用. 【分析】如答圖，∵

7、四邊形是矩形， ∴. 根據(jù)折疊對稱的性質，得， ∴. 在和中，∵， ∴≌.∴. ∴. 設，則，∴. 在中，根據(jù)勾股定理，得，即.解得. ∴AP的長為. 3. （2015年江蘇無錫2分）如圖，已知矩形ABCD的對角線長為8cm，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點，則四邊形EFGH的周長等于 ▲ cm． 【答案】16． 【考點】矩形的性質；菱形的判定和性質；三角形中位線定理. 【分析】如答圖，連接， ∵四邊形ABCD是矩形，∴AC=BD=8cm， ∵E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA的中點， ∴. ∴四邊形EFGH的周長等于

8、. 4. （2015年江蘇徐州3分）如圖，正方形ABCD的邊長為1，以對角線AC為邊作第二個正方形，再以對角線AE為邊作第三個正方形AEGH，如此下去，第n個正方形的邊長為 ▲ ． 【答案】. 【考點】探索規(guī)律題（圖形的變化類）；正方形的性質. 【分析】根據(jù)正方形的性質，知： 第一個正方形ABCD的邊長為， 第二個正方形ACEF的邊長為， 第三個正方形AEGH的邊長為， 第四個正方形的邊長為， …… ∴第個正方形的邊長為. 5. （2015年江蘇鹽城3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=3，以頂點D為圓心作半徑為r的圓，若要求另外三個頂點A、B、

9、C中至少有一個點在圓內，且至少有一個點在圓外，則r的取值范圍是 ▲ ． 【答案】. 【考點】矩形的性質；勾股定理；點與圓的位置關系；分類思想的應用. 【分析】如答圖，連接， ∵AB=4，AD=3，∴根據(jù)勾股定理，得BD=5. ∵， ∴當時，點A、B、C中至少有一個點在圓內，且至少有一個點在圓外. ∴r的取值范圍是. 6. （2015年江蘇鹽城3分）如圖，在矩形ABCD中，AB=4，AD=2，以點A為圓心，AB長為半徑畫圓弧交邊DC于點E，則弧BE的長度為 ▲ ． 【答案】. 【考點】矩形的性質；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值；弧長

10、的計算. 【分析】如答圖，連接， 根據(jù)題意，知AE= AB=4， 在中，∵AE=4，AD=2，∴. ∴.∴.∴. 7. （2015年江蘇南通3分）如圖，矩形ABCD中，F(xiàn)是DC上一點，BF⊥AC，垂足為E，，△CEF的面積為S1，△AEB的面積為S2，則的值等于 ▲ ． 【答案】. 【考點】矩形的性質；勾股定理；相似三角形的判定和性質． 【分析】∵，∴設AD=BC=a，則AB=CD=2a. ∴. ∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC. ∴. ∴.∴.∴. ∵△CEF∽△AEB，∴. 8. （2015年江蘇鎮(zhèn)江2分）如圖，中，E為AD的中

11、點，BE，CD的延長線相交于點F，若△DEF的面積為1，則的面積等于 ▲ ． 【答案】4． 【考點】平行四邊形的性質；全等、相似三角形的判定和性質． 【分析】∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC，AB∥CD，AD=BC. ∵AB∥CD，∴∠A=∠EDF. 又∵AE=DE，∠AEB=∠DEF，∴△ABE≌△DFE（SAS）. ∴FD=AB=DC，. ∵AD∥BC，∴△FBC∽△FED. ∴. ∵， ∴. 9. （2015年江蘇鎮(zhèn)江2分）如圖，△ABC和△DBC是兩個具有公共邊的全等三角形，AB=AC=3cm，BC=2cm，將△DBC沿射線BC平移一定的距離

12、得到△D1B1C1，連接AC1，BD1．如果四邊形ABD1C1是矩形，那么平移的距離為 ▲ cm． 【答案】7． 【考點】面動平移問題；相似三角形的判定和性質；等腰三角形的性質；矩形的性質；平移的性質． 【分析】如答圖，過點A作AE⊥BC于點E， ∵∠AEB=∠AEC1=90°，∴∠BAE+∠ABC=90°. ∵AB=AC，BC=2，∴BE=CE=BC=1， ∵四邊形ABD1C1是矩形，∴∠BAC1=90°. ∴∠ABC+∠AC1B=90°. ∴∠BAE=∠AC1B. ∴△ABE∽△C1BA. ∴. ∵AB=3，BE=1，∴.∴BC1=9. ∴CC1=BC1

13、﹣BC=9﹣2=7，即平移的距離為7． 1. （2015年江蘇連云港10分）如圖，將平行四邊形ABCD沿對角線BD進行折疊，折疊后點C落在點F處，DF交AB于點E． (1）求證；∠EDB=∠EBD； (2）判斷AF與DB是否平行，并說明理由． 【答案】解：（1）證明：由折疊可知：∠CDB=∠EDB， ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC∥AB. ∴∠CDB=∠EBD. ∴∠EDB=∠EBD. （2）AF∥DB. 理由如下： ∵∠EDB=∠EBD，∴DE=BE. 由折疊可知：DC=DF， ∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴DC=AB. ∴DF=AB. ∴AE=EF.

14、 ∴∠EAF=∠EFA. 在△BED中，∠EDB+∠EBD+∠DEB=180°，∴2∠EDB+∠DEB=180°. 同理，在△AEF中，2∠EFA+∠AEF=180°. ∵∠DEB=∠AEF，∴∠EDB=∠EFA. ∴AF∥DB． 【考點】翻折變換（折疊問題）；平行四邊形的性質；平行的判定和性質；三角形內角和定理；等腰三角形的判定和性質． 【分析】（1）一言面，由折疊可得∠CDB=∠EDB，另一方面，由四邊形ABCD是平行四邊形可得DC∥AB，從而得到∠CDB=∠EBD，進而得出結論. （2）可判定AF∥DB，首先證明AE=EF，得出∠AFE=∠EAF，然后根據(jù)三角形內角和定理與等

15、式性質可證明∠BDE=∠AFE，從而得出AF∥BD的結論. 2. （2015年江蘇連云港12分）在數(shù)學興趣小組活動中，小明進行數(shù)學探究活動，將邊長為2的正方形ABCD與邊長為的正方形AEFG按圖1位置放置，AD與AE在同一直線上，AB與AG在同一直線上． （1）小明發(fā)現(xiàn)DG⊥BE，請你幫他說明理由． （2）如圖2，小明將正方形ABCD繞點A逆時針旋轉，當點B恰好落在線段DG上時，請你幫他求出此時BE的長． （3）如圖3，小明將正方形ABCD繞點A繼續(xù)逆時針旋轉，將線段DG與線段BE相交，交點為H，寫出△GHE與△BHD面積之和的最大值，并簡要說明理由． 【答案】解：（1）∵四邊形

16、ABCD和四邊形AEFG都為正方形，∴AD=AB，∠DAG=∠BAE=90°，AG=AE， ∴△ADG≌△ABE（SAS）.∴∠AGD=∠AEB. 如答圖1，延長EB交DG于點H， 在△ADG中，∵∠AGD+∠ADG=90°， ∴∠AEB+∠ADG=90°. 在△EDH中，∵∠AEB+∠ADG+∠DHE=180°， ∴∠DHE=90°. ∴DG⊥BE. （2）∵四邊形ABCD和四邊形AEFG都為正方形，∴AD=AB，∠DAB=∠GAE=90°，AG=AE， ∴∠DAB+∠BAG=∠GAE+∠BAG，即∠DAG=∠BAE， ∴△ADG≌△ABE（SAS）.∴DG=BE. 如答

17、圖2，過點A作AM⊥DG交DG于點M，則∠AMD=∠AMG=90°， ∵BD為正方形ABCD的對角線，∴∠MDA=45°. 在Rt△AMD中，∵∠MDA=45°，AD=2， ∴. 在Rt△AMG中，根據(jù)勾股定理得：， ∵，∴. （3）△GHE和△BHD面積之和的最大值為6，理由如下： ∵對于△EGH，點H在以EG為直徑的圓上，∴當點H與點A重合時，△EGH的高最大； ∵對于△BDH，點H在以BD為直徑的圓上，∴當點H與點A重合時，△BDH的高最大. ∴△GHE和△BHD面積之和的最大值為2+4=6． 【考點】面動旋轉問題；正方形的性質；全等三角形的判定和性質；三角形內角和定

18、理；等腰直角三角形的性質，勾股定理；數(shù)形結合思想的應用． 【分析】（1）由四邊形ABCD與四邊形AEFG為正方形，利用正方形的性質得到兩對邊相等，且夾角相等，利用SAS得到△ADG≌△ABE，利用全等三角形對應角相等得∠AGD=∠AEB，作輔助線“延長EB交DG于點H”，利用等角的余角相等得到∠DHE=90°，從而利用垂直的定義即可得DG⊥BE. （2）由四邊形ABCD與四邊形AEFG為正方形，利用正方形的性質得到兩對邊相等，且夾角相等，利用SAS得到△ADG≌△ABE，利用全等三角形對應邊相等得到DG=BE，作輔助線“過點A作AM⊥DG交DG于點M”，則∠AMD=∠AMG=90°，在Rt

19、△AMD中，根據(jù)等腰直角三角形的性質求出AM的長，即為DM的長，根據(jù)勾股定理求出GM的長，進而確定出DG的長，即為BE的長. （3）△GHE和△BHD面積之和的最大值為6，理由為：對兩個三角形，點H分別在以EG為直徑的圓上和以BD為直徑的圓上，當點H與點A重合時，兩個三角形的高最大，即可確定出面積的最大值． 3. （2015年江蘇南京8分）如圖，點E、F分別在AB、CD上，連接EF，∠AFE、∠CFE的平分線交于點G，∠BEF、∠DFE的平分線交于點H． （1）求證：四邊形EGFH是矩形． （2）小明在完成（1）的證明后繼續(xù)進行了探索，過G作MN∥EF，分別交AB、CD于點M、N，過H

20、作PQ∥EF，分別交AB、CD交于點P、Q，得到四邊形MNQP．此時，他猜想四邊形MNQP是菱形，請在下列圖中補全他的證明思路． 【答案】解：（1）證明：∵EH平分∠BEF，∴． ∵FH平分∠DFE，∴． ∵AB∥CD，∴ ． ∴． 又∵， ∴． 同理可證，． ∵EG平分∠AEF，∴． ∵EH平分∠BEF，∴． ∵點A、E、B在同一條直線上，∴∠AEB=180°，即∠AEF+∠BEF=180°． ∴，即 ∠GEH=90°． ∴四邊形EGFH是矩形． （2）FG平分∠CFE；GE=FH；∠GME=∠HQH；∠GEF=∠EFH． 【考點】閱讀理解型問題；角平分線的定

21、義；平行線的性質；矩形的判定；全等三角形的判定和性質；菱形的判定． 【分析】（1）利用角平分線的定義和平行線的性質，證明，和∠GEH=90°即可證明結論． （2）結合全等三角形的判定和性質，根據(jù)菱形的判定找出相應的思路． 4. （2015年江蘇泰州12分）如圖，正方形ABCD的邊長為8cm，E、F、G、H分別是AB、BC、CD、DA 上的動點，且AE=BF=CG=DH. （1）求證：四邊形EFGH是正方形； （2）判斷直線EG是否經過一個定點，并說明理由； （3）求四邊形EFGH面積的最小值. 【答案】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是正方形，∴. ∵，∴. ∴.∴.

22、 ∴四邊形EFGH是菱形. ∵，∴.∴. ∴四邊形EFGH是正方形. （2）直線EG經過定點-----正方形ABCD的中心. 理由如下： 如答圖，連接，、相交于點， ∵四邊形ABCD是正方形，∴AB∥DC. ∵，∴四邊形BGDE是平行四邊形. ∴，即點是正方形ABCD的中心. ∴直線EG經過定點----正方形ABCD的中心. （3）設，則， ∵， ∴當時，四邊形EFGH面積的最小值為32. 【考點】單動點和定值問題；正方形的判定和性質；全等三角形的判定和性質；平行四邊形的判定和性質；勾股定理；二次函數(shù)的應用（實際問題）. 【分析】（1）由證明，即可證明四邊形EFGH是

23、一個角是直角的菱形----正方形. （2）作輔助線“連接，、相交于點”構成平行四邊形BGDE，根據(jù)平行四邊形對角線互分的性質即可證明直線EG經過定點-----正方形ABCD的中心. （3）設，根據(jù)正方形的性質和勾股定理得到關于的二次函數(shù)，應用二次函數(shù)最值原理求解即可. 5. （2015年江蘇徐州8分）如圖，點A，B，C，D在同一條直線上，點E，F(xiàn)分別在直線AD的兩側，且AE=DF，∠A=∠D，AB=DC． （1）求證：四邊形DFCE是平行四邊形； （2）若AD=10，EC=3，∠EBD=60°，則AB= ▲ 時，四邊形BFCE是菱形． 【答案】解：（1）∵AE=D

24、F，∠A=∠D，AB=DC，∴. ∴. ∴.∴. ∴四邊形DFCE是平行四邊形. （2）3.5. 【考點】全等三角形的判定和性質；平行的判定；平行四邊形的判定；菱形的性質；等邊三角形的判定和性質. 【分析】（1）由已知，根據(jù)證明，從而得到，根據(jù)等角的補角相等得到，根據(jù)內錯角相等兩直線平行的判定得到，進而根據(jù)一組對邊平行且相等垢四邊形是平行四邊形的判定而得證. （2）若四邊形BFCE是菱形，則， ∵∠EBD=60°，∴是等邊三角形. ∵EC=3，∴. ∵AD=10，AB=DC，∴. 6. （2015年江蘇鹽城10分）如圖，把△EFP按圖所示的方式放置在菱形ABCD中，使得

25、頂點E、F、P分別在線段AB、AD、AC上.已知EP=FP=4，EF=，∠BAD=60°，且AB. （1）求∠EPF的大?。? （2）若AP=6，求AE+AF的值； （3）若△EFP的三個頂點E、F、P分別在線段AB、AD、AC上運動，請直接寫出AP長的最大值和最小值. 【答案】解：（1）如答圖1，過點作于點， ∵EP=FP=4，，EF=， ∴. 在中，. ∵.∴. （2）如答圖2，過點作于點，過點作于點， 在菱形ABCD中，∵， ∴.∴. ∴根據(jù)角平分線上的點到角的兩邊距離相等的性質，得. 在和中，∵， ∴≌.∴. ∵在菱形ABCD中，∠BAD=60°，∴.

26、 在中，∵，∴. 同理，. ∴. （3）AP長的最大值是8，最小值是4. 【考點】多動點問題；菱形的性質；全等三角形的判定和性質；銳角三角函數(shù)定義；特殊角的三角函數(shù)值；數(shù)形結合思想的應用. 【分析】（1）作輔助線“過點作于點”，根據(jù)等腰三角形三線合一的性質，得到， ，在中，根據(jù)正弦函數(shù)定義和60°的三角函數(shù)值求得，進而求得. （2）作輔助線“過點作于點，過點作于點”，構成一對全等三角形≌，得到，在和中，分別求得，從而根據(jù)求解即可. （3）如答圖3，當，點P在的右側時，有最大值，當，點P在的左側時，有最小值. 設與相交于點， ∵EP=FP，∴. ∵，∴. ∵，∴. ∴.

27、 同理，. ∴AP長的最大值是8，最小值是4. 7. （2015年江蘇揚州10分）如圖，將沿過點A的直線折疊，使點D落到AB邊上的點處，折痕交CD邊于點E，連接BE. （1）求證：四邊形是平行四邊形； （2）若BE平分∠ABC，求證：. 【答案】證明：（1）如答圖， ∵將沿過點A的直線折疊， ∴. ∵四邊形是平行四邊形， ∴∥. ∴. ∴. ∴.∴. ∵，∴.∴. ∴. ∴四邊形是平行四邊形. （2）如答圖， ∵BE平分∠ABC，∴. ∵四邊形是平行四邊形，∴∥. ∴.∴. 由（1），∴，即. ∴在中，由勾股定理，得. 【考點】折疊問題；折疊對稱的性質

28、；平行四邊形的判定和性質；平行的性質；等腰三角形的判定；三角形內角和定理；勾股定理. 【分析】（1）要證四邊形是平行四邊形，根據(jù)一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形的判定，一方面，由四邊形是平行四邊形可有∥；另一方面，由折疊對稱的性質、平行的內錯角相等性質、等腰三角形的等角對等邊的性質可得，從而得證. （2）要證，根據(jù)勾股定理，只要的即可，而要證，一方面，由BE平分∠ABC可得（如答圖，下同）；另一方面，由∥可得，從而得到，結合（1）即可根據(jù)三角形內角和定理得到，進而得證. 8. （2015年江蘇常州8分）如圖，在中，∠BCD=120°，分別延長DC、BC到點E，F(xiàn)，使得△BCE和△C

29、DF都是正三角形． （1）求證：AE=AF； （2）求∠EAF的度數(shù)． 【答案】解：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD. ∵△BCE和△CDF都是正三角形，∴BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°. ∴∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD. 在△ABE和△FDA中，∵，∴△ABE≌△FDA（SAS）. ∴AE=AF. （2）∵△ABE≌△FDA，∴∠AEB=∠FAD. ∵∠ABE=60°+60°=120°，∴∠AEB+∠BAE=60°. ∴∠FAD+∠BAE=60°，

30、∴∠EAF=120°﹣60°=60°． 【考點】全等三角形的判定和性質；等邊三角形的性質；平行四邊形的性質． 【分析】（1）由平行四邊形的性質得出∠BAD=∠BCD=120°，∠ABC=∠ADC，AB=CD，BC=AD，由等邊三角形的性質得出BE=BC，DF=CD，∠EBC=∠CDF=60°，從而證出∠ABE=∠FDA，AB=DF，BE=AD，根據(jù)SAS證明△ABE≌△FDA，得出對應邊相等即可. （2）由全等三角形的性質得出∠AEB=∠FAD，求出∠AEB+∠BAE=60°，得出∠FAD+∠BAE=60°，即可得出∠EAF的度數(shù)． 9. （2015年江蘇淮安8分）已知：如圖，在矩形A

31、BCD中，點E、F在邊AD上，且AE＝DF，求證：BF＝CE. 【答案】證明：∵四邊形ABCD是矩形，∴. 又∵AE＝DF，∴AF＝DE. ∴. ∴BF＝CE. 【考點】矩形的性質；全等三角形的判定和性質. 【分析】要證BF＝CE，只要證它們是全等三角形的對應邊即可. 考察和，一方面，由矩形的性質可得；另一方面，由已知AE＝DF，根據(jù)等量加等量和相等得 AF＝DE，從而應用即可證明. 10. （2015年江蘇南通8分）如圖，在中，點E，F(xiàn)分別在AB，DC上，且ED⊥DB，F(xiàn)B⊥BD． （1）求證：△AED≌△CFB； （2）若∠A=30°，∠DEB=45°，求證：DA=

32、DF． 【答案】證明：（1）∵四邊形ABCD是平行四邊形， ∴AD=CB，∠A=∠C，AD∥CB. ∴∠ADB=∠CBD. ∵ED⊥DB，F(xiàn)B⊥BD，∴∠EDB=∠FBD=90°. ∴∠ADE=∠CBF. 在△AED和△CFB中，，∴△AED≌△CFB（ASA）. （2）如答圖，過點D作DH⊥AB，垂足為H， 在Rt△ADH中，∠A=30°，∴DA=2DH. 在Rt△DEB中，∠DEB=45°，∴EB=2DH. ∴DA= EB. ∵△AED≌△CFB，∴AE=CF. ∵AB=DC，∴EB=DF. ∴DA=DF． 【考點】平行四邊形的判定和性質；全等三角形的判定和性

33、質；含30度角的直角三角形的性質；等腰直角三角形的性質． 【分析】（1）由四邊形ABCD為平行四邊形，利用平行四邊形的性質得到對邊平行且相等，對角相等，再由垂直的定義得到一對直角相等，利用等式的性質得到一對角相等，利用ASA即可得證. （2）作輔助線“過點D作DH⊥AB，垂足為H”，一方面，在Rt△ADH中，利用30度所對的直角邊等于斜邊的一半得到AD=2DH，在Rt△DEB中，利用等腰直角三角形的性質得到EB=2DH，從而得到DA= EB；另一方面，由△AED≌△CFB得到AE=CF，由四邊形ABCD是平行四邊形得到AB=DC，從而證得EB=DF，進而等量代換即可得證． 11. （20

34、15年江蘇宿遷8分）如圖，四邊形ABCD中，∠A=∠ABC=90°，AD=1，BC=3，E是邊CD的中點，連接BE并延長與AD的延長線相交于點F． （1）求證：四邊形BDFC是平行四邊形； （2）若△BCD是等腰三角形，求四邊形BDFC的面積． 【答案】解：（1）證明：∵∠A=∠ABC=90°，∴BC∥AD. ∴∠CBE=∠DFE. 在△BEC與△FED中，∵，∴△BEC≌△FED（AAS）.∴BE=FE. 又∵E是邊CD的中點，∴CE=DE. ∴四邊形BDFC是平行四邊形. （2）分三種情況討論： ①BC=BD=3時，由勾股定理得，， ∴. ②BC=CD=3時，如答圖

35、，過點C作CG⊥AF于G，則四邊形AGCB是矩形， ∴AG=BC=3，∴DG=AG﹣AD=3﹣1=2. 由勾股定理得，， ∴. ③BD=CD時，BC邊上的中線應該與BC垂直，從而得到BC=2AD=2，矛盾，此時不成立即. 綜上所述，若△BCD是等腰三角形，四邊形BDFC的面積是或． 【考點】平行四邊形的判定和性質；全等三角形的判定和性質；等腰三角形的性質；勾股定理；分類思想的應用． 【分析】（1）應用“角角邊”證明△BEC和△FCD全等，根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BE=EF，然后利用對角線互相平分的四邊形是平行四邊形證明即可. （2）分BC=BD，BC=CD，BD=CD三種情

36、況討論即可. 12. （2015年江蘇鎮(zhèn)江6分）如圖，菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O，分別延長OA，OC到點E，F(xiàn)，使AE=CF，依次連接B，F(xiàn)，D，E各點． （1）求證：△BAE≌△BCF； （2）若∠ABC=50°，則當∠EBA= ▲ °時，四邊形BFDE是正方形． 【答案】解：（1）證明：∵菱形ABCD的對角線AC，BD相交于點O， ∴AB=BC，∠BAC=∠BCA.∴∠BAE=∠BCF， 在△BAE與△BCF中，∵， ∴△BAE≌△BCF（SAS）. （2）20． 【考點】菱形的性質；全等三角形的判定和性質；正方形的判定． 【分析】（1）由題意易證∠BAE=∠BCF，又因為BA=BC，AE=CF，于是由SAS可證△BAE≌△BCF. （2）∵四邊形BFDE對角線互相垂直平分，∴只要∠EBF=90°即得四邊形BFDE是正方形. ∵△BAE≌△BCF，∴∠EBA=∠FBC. 又∵∠ABC=50°，∴∠EBA+∠FBC=40°. ∴∠EBA=×40°=20°．