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1、
2.3 勻變速直線運動的位移與時間的關(guān)系
[學習目標定位]
1.知道勻速直線運動的位移與v-t圖象中矩形面積的對應關(guān)系.知道勻變速直線運動的位移與v-t圖象中四邊形面積的對應關(guān)系.
2.理解位移公式的意義和導出過程.
3.能運用位移公式、勻變速直線運動的v-t圖象解決有關(guān)問題.
4.掌握勻速直線運動x-t圖象的特點,會用它解決簡單的問題.
【知識儲備】
一、勻速直線運動的位移
1.位移公式:x=vt.
2.由v-t圖象求位移:對于勻速直線運動,物體的位移在數(shù)值上等于v-t圖線與對應的時間軸所包圍的矩形的面積.
二、勻變速直線運動的位移
1.位移在v-t圖象中
2、的表示:做勻變速直線運動的物體的位移對應著v-t圖象中的圖線和t軸所包圍的面積.如圖1所示,在0~t時間內(nèi)的位移大小等于加陰影的梯形的面積.
圖1
2.位移與時間的關(guān)系:x=v0t+at2,若初速度v0=0,則x=at2.
【學習探究】
一、用v-t圖象求位移
[問題設(shè)計]
某物體以5 m/s的速度做勻速直線運動,求物體在8 s內(nèi)的位移.畫出物體運動的v-t圖象.物體的位移用v-t圖象能反映出來嗎?
答案 40 m.v-t圖象如圖所示.圖象中的面積(圖中陰影區(qū)域)表示物體的位移.
[要點提煉]
無論是勻速直線運動還是勻變速直線運動,物體在t時間內(nèi)的位移都可以
3、用v—t圖象與t軸所包圍的面積表示.
1.當“面積”在t軸上方時,位移取正值,這表示物體的位移與規(guī)定的正方向相同.
2.當“面積”在t軸下方時,位移取負值,這表示物體的位移與規(guī)定的正方向相反.
二、勻變速直線運動的位移公式
[問題設(shè)計]
一個物體做勻變速直線運動,其運動的v-t圖象如圖2所示.已知物體的初速度為v0,加速度為a,運動時間為t.
圖2
請根據(jù)v-t圖象和速度公式求出物體在t時間內(nèi)的位移(即推導位移與時間的關(guān)系式).
答案 v-t圖線下面梯形的面積表示位移
S=(+)·
把面積及各條線段換成所代表的物理量,上式變成
x=(v0+v)t
4、 ①
又因為v=v0+at ②
由①②式可得
x=v0t+at2
這就是勻變速直線運動的位移與時間的關(guān)系式.
[要點提煉]
勻變速直線運動的位移與時間的關(guān)系:x=v0t+at2.
1.兩種特殊形式
(1)當v0=0時,x=at2(物體由靜止開始的勻加速直線運動)
(2)當a=0時,x=v0t(物體做勻速直線運動)
2.公式的矢量性
公式中x、v0、a都是矢量,應用時必須選取統(tǒng)一的正方向.若選v0方向為正方向,則:
(1)物體加速,a取正值.
(2)物體減速,
5、a取負值.
(3)若位移為正值,位移的方向與正方向相同.
(4)若位移為負值,位移的方向與正方向相反.
三、用x-t圖象表示位移
[問題設(shè)計]
一列火車沿直線軌道運動,圖3描述了它關(guān)于出發(fā)點的位移隨時間變化的情況.通過分析回答以下問題:
圖3
(1)火車最遠距離出發(fā)點多少米?
(2)試分析火車各階段的運動狀態(tài).
答案 (1)90 m.
(2)火車在前2.5 min內(nèi)以0.6 m/s(v==0.6 m/s)的速度做勻速直線運動,在2.5 min到3 min火車停在距出發(fā)點90 m的位置.
[要點提煉]
1.由x-t圖象可以知道:
(1)物體在某一時刻所處的
6、位置.
(2)任何時間內(nèi)的位移(大小和方向),或發(fā)生一段位移所需要的時間.
(3)物體某一時刻的速度.
2.兩種常見運動的x-t圖象
(1)勻速直線運動的x-t圖象為傾斜直線,斜率大小是恒定的,表示速度不變.
(2)勻變速直線運動的x-t圖象為拋物線(或拋物線的一部分),斜率的大小是變化的,由斜率的變化情況可以得知速度的變化情況.
【典例解析】
一、x=v0t+at2的基本應用
例1 一物體做初速度為零的勻加速直線運動,加速度為a=2 m/s2,求:
(1)第5 s末物體的速度多大?
(2)前4 s的位移多大?
(3)第4 s內(nèi)的位移多大?
解析 (1)第5
7、 s末物體的速度由v=v0+at1
得v1=0+2×5 m/s=10 m/s
(2)前4 s的位移由x1=v0t+at2
得x1=0+×2×42 m=16 m
(3)物體第3 s末的速度v2=v0+at2=0+2×3 m/s=6 m/s
則第4 s內(nèi)的位移x2=v2t3+at=6×1 m+×2×12 m=7 m
答案 (1)10 m/s (2)16 m (3)7 m
二、利用v-t圖象求物體的位移
例2 圖4是直升機由地面起飛的速度圖象,試計算直升機能到達的最大高度及25 s時直升機所在的高度是多少?
圖4
解析 首先分析直升機的運動過程:0~5 s直
8、升機做勻加速運動;5 s~15 s直升機做勻速運動;15 s~20 s直升機做勻減速運動;20 s~25 s直升機做反向的勻加速運動.分析可知直升機所能到達的最大高度為題圖中t軸上方梯形的面積,即S1=600 m.25 s時直升機所在高度為S1與圖線CE和t軸所圍成的面積S△CED的差,即S2=S1-S△CED=(600-100) m=500 m.
答案 600 m 500 m
三、對x-t圖象的認識
例3 如圖5所示為在同一直線上運動的A、B兩質(zhì)點的x-t圖象,由圖可知( )
圖5
A.t=0時,A在B的前面
B.B在t2時刻追上A,并在此后運動到A的前面
9、
C.B開始運動的速度比A小,t2時刻后才大于A的速度
D.A運動的速度始終比B大
解析 t=0時,A在原點正方向x1位置處,B在原點處,A在B的前面,A對.t2時刻兩圖線相交,表示該時刻B追上A,并在此后運動到A的前面,B對.B開始運動的速度比A小,t1時刻后A靜止,B仍然運動,C、D錯.
答案 AB
四、剎車類問題
例4 一輛汽車正在平直的公路上以72 km/h的速度行駛,司機看見紅色信號燈便立即踩下制動器,此后,汽車開始做勻減速直線運動.設(shè)汽車減速過程的加速度大小為5 m/s2,求:
(1)開始制動后,前2 s內(nèi)汽車行駛的距離.
(2)開始制動后,前5 s內(nèi)
10、汽車行駛的距離.
解析 汽車的初速度v0=72 km/h=20 m/s,末速度v=0,加速度a=-5 m/s2;汽車運動的總時間t===4 s.
(1)因為t1=2 st,所以汽車5 s時早已停止運動
故x2=v0t+at2=(20×4-×5×42) m=40 m
(注意:也可以用逆向思維法,即對于末速度為零的勻減速直線運動,可把它看成逆向的初速度為零的勻加速直線運動.此題可以用如下解法:x2=at2=×5×42 m=40 m).
答案 (1)30 m
11、 (2)40 m
【課堂小結(jié)】
【自我檢測】
1.(位移與時間關(guān)系的應用)一物體由靜止開始做勻變速直線運動,在時間t內(nèi)通過的位移為x,則它從出發(fā)開始經(jīng)過的位移所用的時間為( )
A. B. C. D.t
答案 B
解析 由位移公式得x=at2,=at′2,所以=4,故t′=,B正確.
2.(由v-t圖象求位移)某物體運動的v-t圖象如圖6所示,根據(jù)圖象可知,該物體( )
圖6
A.在0到2 s末的時間內(nèi),加速度為1 m/s2
B.在0到5 s末的時間內(nèi),位移為10 m
C.第1 s末
12、與第3 s末的速度方向相同
D.第1 s內(nèi)與第5 s內(nèi)加速度方向相同
答案 AC
解析 在0到2 s末的時間內(nèi)物體做勻加速直線運動,加速度a== m/s2=1 m/s2,故A正確.0到5 s內(nèi)物體的位移等于梯形面積x=(×2×2+2×2+×1×2) m=7 m,故B錯誤.第1 s末圖象在時間軸上方,速度為正,第3 s末速度圖象也在時間軸上方,速度也為正,故方向相同,故C正確.第1 s內(nèi)圖線的斜率為正值,加速度沿正方向,而第5 s內(nèi)圖線的斜率為負值,加速度方向沿負方向,則第1 s內(nèi)與第5 s內(nèi)物體的加速度方向相反,故D錯誤.
3.(對x-t圖象的認識)甲、乙兩位同學在放學時,從學校所
13、在地騎自行車沿平直的公路回家,先到乙同學家,休息一會,甲同學繼續(xù)騎車前行,在70 min時到家,甲同學的x-t圖象如圖7所示,下列說法正確的是( )
圖7
A.在前20 min內(nèi)甲同學做勻加速運動
B.甲同學在乙同學家停留了30 min
C.甲、乙兩同學家相距3.6 km
D.甲從離開學校至到家的這段時間內(nèi),平均速度為2 m/s
答案 BCD
解析 前20 min,甲同學做勻速直線運動,A錯.20 min~50 min甲同學一直在乙同學家,B對.甲、乙兩同學家的距離為8.4 km-4.8 km=3.6 km,C對.甲同學從學校到家的位移x=8.4 km,所用時間t=
14、70 min=4 200 s,平均速度v== m/s=2 m/s,D對.
4.(剎車類問題)一滑塊在水平面上以10 m/s的初速度做勻減速直線運動,加速度大小為2 m/s2.求:
(1)滑塊3 s時的速度;
(2)滑塊10 s時的速度及位移.
答案 (1)4 m/s (2)0 25 m
解析 取初速度方向為正方向,則v0=10 m/s,
a=-2 m/s2
由t1=得滑塊停止所用時間t1= s=5 s
(1)由v=v0+at得滑塊經(jīng)3 s時的速度v1=10 m/s+(-2)×3 m/s=4 m/s
(2)因為滑塊5 s時已經(jīng)停止,所以10 s時滑塊的速度為0,10 s時的位移也就是5 s時的位移,由x= t得x=×5 m=25 m
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