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1、 宜昌市第一中學(xué)2017年春季學(xué)期高二年級(jí)期末考試 文科數(shù)學(xué)試題 全卷滿分150分 考試用時(shí)120分鐘 命題人：鐘衛(wèi)華 審題人： 肖華 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1．已知集合，則 （ ） A． B． C． D． 2．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)（ ） A． B． C． D． 3．函數(shù)定義在上.則“曲線過原點(diǎn)”是“為奇函數(shù)”的（ ）條件. A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要

2、 D． 既不充分又不必要 4．命題的否定是（ ） A． B． C． D． 5．函數(shù)，在定義域內(nèi)任取一點(diǎn)，使的概率是（　?。? A． B． C． D． 6．宜昌一中為了研究學(xué)生的性別和對(duì)待某一活動(dòng)的態(tài)度（支持與不支持）的關(guān)系，運(yùn)用列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算，則有多大的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動(dòng)”有關(guān)系（ ） A．0.1% B．1% C．99% D．99.9% 附： 0．100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10

3、.828 7．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ） A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．函數(shù)在上單調(diào)遞減 C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．函數(shù)在上單調(diào)遞減 8．已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（ ） A． B． C． 3 D． 9．執(zhí)行如圖所示的程序，若輸出的S=，則輸入的正整數(shù)n=（ ） A．2 018 B．2 017 C．2 016 D． 2 015 10．已知拋物線，過點(diǎn)作拋物線的兩條 切線，為切點(diǎn)，若直線經(jīng)過拋物線的焦 點(diǎn)，的面積為，則以直線為準(zhǔn)線

4、的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ） A． B． C． D． 11．在2016宜昌馬拉松10公里健康跑比賽中，張老師用手表記錄了各公里的完成時(shí)間、平均心率及步數(shù)： 在這10公里的比賽過程，請(qǐng)依據(jù)上述數(shù)據(jù)，判斷正確的一組序號(hào)是（ ） （1）由每公里的平均心率得知張老師最高心率為188；（2）張老師此次路跑，每步距離的平均小于1米；（3）每公里完成時(shí)間和每公里平均心率的相關(guān)系數(shù)為正；（4）每公里步數(shù)和每公里平均心率的相關(guān)系數(shù)為正；（5）每公里完成時(shí)間和每公里步數(shù)的相關(guān)系數(shù)為負(fù)． A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4

5、） C．（1）（2）（5） D． （2）（4）（5） 12． 若函數(shù)在單調(diào)遞增,則的取值范圍是（ ） A． B． C． D． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分。 13．已知、取值如下表: 0 1 4 5 6 8 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3 從所得的散點(diǎn)圖分析可知:與線性相關(guān),且,則 ． 14．從圓外一點(diǎn)向這個(gè)圓作切線，切點(diǎn)為，則切線段 ． 15．已知若，則 ． 16．已知函數(shù)，對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為______

6、_______． 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17．（本小題滿分10分） 在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為(，為參數(shù))，曲線的極坐標(biāo)方程為. (Ⅰ)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程； (Ⅱ)設(shè)為曲線上一點(diǎn)，為曲線上一點(diǎn)，求的最小值. 18．（本小題滿分12分）已知函數(shù). （Ⅰ）求不等式的解集； （Ⅱ）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 19.（本小題滿分12分） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知以為圓心的圓及其上一點(diǎn). （1）設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程； （2）

7、設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程； 20.（本小題滿分12分）在測(cè)試中，客觀題難度的計(jì)算公式為，其中為第題的難度，為答對(duì)該題的人數(shù)，為參加測(cè)試的總?cè)藬?shù)．現(xiàn)對(duì)某校高三年級(jí)120名學(xué)生進(jìn)行一次測(cè)試，共5道客觀題．測(cè)試前根據(jù)對(duì)學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度，如下表所示： 題號(hào) 1 2 3 4 5 考前預(yù)估難度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 測(cè)試后，從中隨機(jī)抽取了10名學(xué)生，將他們編號(hào)后統(tǒng)計(jì)各題的作答情況，如下表所示（“√”表示答對(duì)，“×”表示答錯(cuò)）： 學(xué)生編號(hào) 題號(hào) 1 2 3

8、4 5 1 × √ √ √ √ 2 √ √ √ √ × 3 √ √ √ √ × 4 √ √ √ × × 5 √ √ √ √ √ 6 √ × × √ × 7 × √ √ √ × 8 √ × × × × 9 √ √ × × × 10 √ √ √ √ × （1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，將抽樣的10名學(xué)生每道題實(shí)測(cè)的答對(duì)人數(shù)及相應(yīng)的實(shí)測(cè)難度填入下表，并估計(jì)這120名學(xué)生中第5題的實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù)； 題號(hào) 1 2 3 4 5 實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù) 實(shí)測(cè)難度

9、 （2）從編號(hào)為1到5的5人中隨機(jī)抽取2人，求恰好有1人答對(duì)第5題的概率； （3）定義統(tǒng)計(jì)量，其中為第題的實(shí)測(cè)難度，為第題的預(yù)估難度．規(guī)定：若，則稱該次測(cè)試的難度預(yù)估合理，否則為不合理．判斷本次測(cè)試的難度預(yù)估是否合理. 21. (本小題滿分12分) 已知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是P，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓經(jīng)過點(diǎn)P，且離心率為． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓短軸上有兩點(diǎn)M，N滿足，直線PM、PN分別交橢圓于A，B．探求直線AB是否過定點(diǎn)，如果經(jīng)過請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由． 22.（本小題滿分12分） 已知函數(shù) （1）求在點(diǎn)處的切線方程；

10、 （2）證明； （3）若方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，求證：. 宜昌市第一中學(xué)2017年春季高二年級(jí)期末考試 數(shù)學(xué)(文科)試題 命題人：鐘衛(wèi)華 審題人： 肖華 試卷滿分： 150分 考試用時(shí)： 120分鐘 一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。 1．已知集合，則 （ ） B A． B． C． D． 2．已知是虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)滿足，則的共軛復(fù)數(shù)（ ） C A． B． C． D． 3．函數(shù)定義在

11、上.則“曲線過原點(diǎn)”是“為奇函數(shù)”的（ ）條件.B A．充分而不必要 B．必要而不充分 C．充要 D． 既不充分又不必要 4．命題的否定是（ ）D A． B． C． D． 5．函數(shù)，在定義域內(nèi)任取一點(diǎn)，使的概率是（　　）.A A． B． C． D． 6．宜昌一中為了研究學(xué)生的性別和對(duì)待某一活動(dòng)的態(tài)度（支持與不支持）的關(guān)系，運(yùn)用列聯(lián)表進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，經(jīng)計(jì)算，則有多大的把握認(rèn)為“學(xué)生性別與支持該活動(dòng)”有關(guān)系（ ）C A．0.1% B．1% C．99% D．99.9% 附：

12、 0．100 0.050 0.025 0.010 0.001 2.706 3.841 5.024 6.635 10.828 7．設(shè)函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（ ）D A．函數(shù)在上單調(diào)遞增 B．函數(shù)在上單調(diào)遞減 C．函數(shù)在上單調(diào)遞增 D．函數(shù)在上單調(diào)遞減 8．已知雙曲線的漸近線方程為，則該雙曲線的離心率為（ ）C A． B． C． 3 D． 9．執(zhí)行如圖所示的程序，若輸出的S=， 則輸入的正整數(shù)n=（ ）B A．2 018 B．2 017 C．2

13、 016 D． 2 015 10．已知拋物線，過點(diǎn)作拋物線的兩條 切線，為切點(diǎn)，若直線經(jīng)過拋物線的焦 點(diǎn)，的面積為，則以直線為準(zhǔn)線的拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程是（ ）D A． B． C． D． 11．在2016宜昌馬拉松10公里健康跑比賽中，張老師用手表記錄了各公里的完成時(shí)間、平均心率及步數(shù)： 在這10公里的比賽過程，請(qǐng)依據(jù)上述數(shù)據(jù)，判斷正確的一組序號(hào)是（ ）D （1）由每公里的平均心率得知張老師最高心率為188；（2）張老師此次路跑，每步距離的平均小于1米；（3）每公里完成時(shí)間和每公里平均心率的相關(guān)系數(shù)為正；（4）每公里步數(shù)和每公里平均心率

14、的相關(guān)系數(shù)為正；（5）每公里完成時(shí)間和每公里步數(shù)的相關(guān)系數(shù)為負(fù)． A．（1）（2）（4） B．（2）（3）（4） C．（1）（2）（5） D． （2）（4）（5） 12． 若函數(shù)在單調(diào)遞增,則的取值范圍是（ ）A A． B． C． D． 二、填空題：本題共4小題，每小題5分。 13．已知、取值如下表: 0 1 4 5 6 8 1.3 1.8 5.6 6.1 7.4 9.3 從所得的散點(diǎn)圖分析可知:與線性相關(guān),且,則 ．1.45 14．從圓外一點(diǎn)向這個(gè)圓作切線，切點(diǎn)為，則切線段

15、 ．2 15．已知若，則 ． 16．已知函數(shù)，對(duì)任意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_____________． 三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟 17．（本小題滿分10分） 在平面直角坐標(biāo)系中，以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系，曲線的參數(shù)方程為(，為參數(shù))，曲線的極坐標(biāo)方程為. (Ⅰ)求曲線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程； (Ⅱ)設(shè)為曲線上一點(diǎn)，為曲線上一點(diǎn)，求的最小值. 【解析】(1)由消去參數(shù)，得曲線的普通方程為 由得，曲線的直角坐標(biāo)方程為 ………4分 (2)設(shè)，則點(diǎn)到曲線的距離為 當(dāng)時(shí)，有最

16、小值，所以的最小值為.…………………10分 18．（本小題滿分12分） 已知函數(shù). （Ⅰ）求不等式的解集； （Ⅱ）若關(guān)于的不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 【解析】（Ⅰ）不等式，即，可化為 ①或②或③ 解①得，解②得，解③得， 綜合得，即原不等式的解集為． ………………………6分 （Ⅱ）因?yàn)椋? 當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立，即， 又關(guān)于的不等式恒成立，則， 解得，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.…………………12分 19.（本小題滿分12分） 在平面直角坐標(biāo)系中，已知以為圓心的圓:及其上一點(diǎn). （1）設(shè)圓與軸相切，與圓外切，且圓心在直線上，求圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程； （

17、2）設(shè)平行于的直線與圓相交于兩點(diǎn)，且，求直線的方程； 【解析】圓M的標(biāo)準(zhǔn)方程為，所以圓心M(6，7)，半徑為5， （1）由圓心N在直線x=6上，可設(shè).因?yàn)镹與x軸相切，與圓M外切， 所以，于是圓N的半徑為，從而，解得. 因此，圓N的標(biāo)準(zhǔn)方程為. ………………………6分 (2)因?yàn)橹本€l∥OA，所以直線l的斜率為. 設(shè)直線l的方程為y=2x+m，即2x-y+m=0， 則圓心M到直線l的距離 因?yàn)? 而 所以，解得m=5或m=-15. 故直線l的方程為2x-y+5=0或2x-y-15=0. ……………………………

18、……12分 20.（本小題滿分12分） 在測(cè)試中，客觀題難度的計(jì)算公式為，其中為第題的難度，為答對(duì)該題的人數(shù)，為參加測(cè)試的總?cè)藬?shù)．現(xiàn)對(duì)某校高三年級(jí)120名學(xué)生進(jìn)行一次測(cè)試，共5道客觀題．測(cè)試前根據(jù)對(duì)學(xué)生的了解，預(yù)估了每道題的難度，如下表所示： 題號(hào) 1 2 3 4 5 考前預(yù)估難度 0.9 0.8 0.7 0.6 0.4 測(cè)試后，從中隨機(jī)抽取了10名學(xué)生，將他們編號(hào)后統(tǒng)計(jì)各題的作答情況，如下表所示（“√”表示答對(duì)，“×”表示答錯(cuò)）： 學(xué)生編號(hào) 題號(hào) 1 2 3 4 5 1 × √ √ √

19、 √ 2 √ √ √ √ × 3 √ √ √ √ × 4 √ √ √ × × 5 √ √ √ √ √ 6 √ × × √ × 7 × √ √ √ × 8 √ × × × × 9 √ √ × × × 10 √ √ √ √ × （1）根據(jù)題中數(shù)據(jù)，將抽樣的10名學(xué)生每道題實(shí)測(cè)的答對(duì)人數(shù)及相應(yīng)的實(shí)測(cè)難度填入下表，并估計(jì)這120名學(xué)生中第5題的實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù)； 題號(hào) 1 2 3 4 5 實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù) 實(shí)測(cè)難度 （2）從編號(hào)為1到5的5人

20、中隨機(jī)抽取2人，求恰好有1人答對(duì)第5題的概率； （3）定義統(tǒng)計(jì)量，其中為第題的實(shí)測(cè)難度，為第題的預(yù)估難度．規(guī)定：若，則稱該次測(cè)試的難度預(yù)估合理，否則為不合理．判斷本次測(cè)試的難度預(yù)估是否合理. 【解析】（1）每道題實(shí)測(cè)的答對(duì)人數(shù)及相應(yīng)的實(shí)測(cè)難度如下表： 題號(hào) 1 2 3 4 5 實(shí)測(cè)答對(duì)人數(shù) 8 8 7 7 2 實(shí)測(cè)難度 0.8 0.8 0.7 0.7 0.2 所以，估計(jì)120人中有人答對(duì)第5題． …………………4分 （2）記編號(hào)為的學(xué)生為， 從這5人中隨機(jī)抽取2人，不同的抽取方法有10種． 其中恰好有1人答對(duì)

21、第5題的抽取方法為，，，， ，，共6種． 所以，從抽樣的10名學(xué)生中隨機(jī)抽取2名答對(duì)至少4道題的學(xué)生，恰好有1人答對(duì)第5題的概率為． …………………8分 （3）為抽樣的10名學(xué)生中第題的實(shí)測(cè)難度，用作為這120名學(xué)生第題的實(shí)測(cè)難度． ． 因?yàn)?， 所以，該次測(cè)試的難度預(yù)估是合理的． …………………12分 21. (本小題滿分12分)

22、 已知點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是P，焦點(diǎn)在x軸上的橢圓經(jīng)過點(diǎn)P，且離心率為． （Ⅰ）求橢圓的方程； （Ⅱ）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，在橢圓短軸上有兩點(diǎn)M，N滿足，直線PM、PN分別交橢圓于A，B．探求直線AB是否過定點(diǎn)，如果經(jīng)過請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，如果不經(jīng)過定點(diǎn)，請(qǐng)說明理由． 【解析】（Ⅰ）易求得P（2，1），由橢圓的離心率e===，則a2=4b2， 將P（2，1）代入橢圓，則，解得：b2=2，則a2=8， ∴橢圓的方程為：； ………………………6分 （Ⅱ）當(dāng)M，N分別是短軸的端點(diǎn)時(shí)，顯然直線AB為y軸，所以若直線過定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)一點(diǎn)在y軸上， 當(dāng)M，N不是短軸的端

23、點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線AB的方程為y=kx+t，設(shè)A（x1，y1）、B（x2，y2）， 由，（1+4k2）x2+8ktx+4t2﹣8=0，· 則△=16（8k2﹣t2+2）＞0， x1+x2=﹣，x1x2=， 又直線PA的方程為y﹣1=（x﹣2），即y﹣1=（x﹣2）， 因此M點(diǎn)坐標(biāo)為（0，），同理可知：N（0，）， 由=，則+=0， 化簡整理得：（2﹣4k）x1x2﹣（2﹣4k+2t）（x1+x2）+8t=0， 則（2﹣4k）×﹣（2﹣4k+2t）（﹣）+8t=0， 化簡整理得：（2t+4）k+（t2+t﹣2）=0，· 當(dāng)且僅當(dāng)t=﹣2時(shí)，對(duì)任意

24、的k都成立，直線AB過定點(diǎn)Q（0，﹣2）…………12分 22.（本小題滿分12分） 已知函數(shù) （1）求在點(diǎn)處的切線方程； （2）證明； （3）若方程有兩個(gè)正實(shí)數(shù)根，求證：. 【解析】（1），， 所以在點(diǎn)處的切線方程為： ……………………3分 （2）設(shè)，則 再令 ，令得或 故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減. 而 所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增. 所以，故總成立， 所以成立. …………………………8分 （3）因?yàn)榍€在處的切點(diǎn)方程為， 容易證明，當(dāng)時(shí)， 由第（1）問知， 設(shè)分別與和的兩個(gè)交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為 則， 所以 …………12分