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1、要點梳理 1.導數的概念 設函數y=f(x)在區(qū)間(a,b)上有定義,x0(a,b),若 x無限趨近于0時,比值 = 無限趨近于一個常數A,則稱f(x)在x=x0處可導，并 稱該常數A為函數f(x)在x=x0處的導數,記作______.,2.9 導數的概念及運算,基礎知識 自主學習,,f(x0),2.導函數 如果函數y=f(x)在開區(qū)間(a,b)內每一點都可導,就 說f(x)在開區(qū)間(a,b)內可導，其導數也是開區(qū)間 (a,b)內的函數，又稱作f(x)的導函數,記作______ 或____. 3.函數f(x)在x0處的導數 函數f(x)的導函數f(x)在x=x0處的函數值_______ 即

2、為函數f(x)在x0處的導數. 4.導數的幾何意義 (1)設函數f(x)在x0處可導,則它在該點的導數等于 函數所表示的曲線在相應點M(x0，y0)處的______ _____.,f(x),y,f(x0),切線的,斜率,(2)設s=s(t)是位移函數，則s(t0)表示物體在t=t0 時刻的________. (3)設v=v(t)是速度函數，則v(t0)表示物體在t=t0 時刻的__________. 5.常用的導數公式 C= __(C為常數); (xm)= _____(mQ); (sin x)=______; (cos x)=_______; (ex)=___; (ax)=_______(

3、a0且a1); (ln x)= ; (logax)= = (a0且a1).,0,mxm-1,-sin x,cos x,ex,axln a,,,瞬時速度,瞬時加速度,6.導數的運算法則 f(x)g(x)=f(x)g(x), Cf(x)=Cf(x)(C為常數), f(x)g(x)=f(x)g(x)+f(x)g(x), 7.復合函數求導的運算法則 一般地,設函數 在點x處有導數 函數y=f(u)在u處有導數 =f(u),則復合函數 在點x處也有導數,且 =_________= __________.,基礎自測 1.函數y=xcos x-sin x的導數為________. 解析 y

4、=(xcos x)-(sin x) =xcos x+x(cos x)-cos x =cos x-xsin x-cos x=-xsin x. 2.若f(x0)=2,則當k0時, =____. 解析,-xsin x,-1,3.若函數y=f(x)在R上可導且滿足不等式x f(x) -f(x)恒成立,且常數a,b滿足ab，則下列不等式不 一定成立的是_______(填序號). af(b)bf(a) af(a)bf(b) af(a)0. g(x)在R上為增函數, g(a)g(b),即af(a)bf(b).,,4.(2009遼寧)曲線 在點(1,-1)處的切線方 程為________. 解析

5、 所以切線方程為y+1=-2(x-1),即y=-2x+1.,y=-2x+1,【例1】利用導數的定義求函數 的導數. 先求y,再求 最后求 解,典型例題 深度剖析,分析,跟蹤練習1 利用導數的定義,求出函數 的導 數,并據此求函數在x=1處的導數. 解,【例2】(2010蘇州月考)求下列各函數的導數 (1) (2)y=(x+1)(x+2)(x+3); (3) (4) 利用常見函數的導數及求導法則. 解,分析,(2)方法一 y=(x2+3x+2)(x+3) =x3+6x2+11x+6, y=3x2+12x+11. 方法二 y=(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2)(x

6、+3) =(x+1)(x+2)+(x+1)(x+2)(x+3)+(x+1)(x+2) =(x+2+x+1)(x+3)+(x+1)(x+2) =(2x+3)(x+3)+(x+1)(x+2) =3x2+12x+11.,,跟蹤練習2 求下列函數的導數 (1)y=x2sin x; (2)y=3xex-2x+e; (3) (4)y=sin32x. 直接利用導數公式和導數運算法則求導. 解 (1)y=(x2)sin x+x2(sin x) =2xsin x+x2cos x;,分析,(2)y=(3xex)-(2x)+(e) =(3x)ex+3x(ex)-(2x) =3xln 3ex+3xex-2xln

7、2 =(ln 3+1)(3e)x-2xln 2. (4)y=3(sin 2x)2(sin 2x)=6sin22xcos 2x.,【例3】(2009江蘇)在平面直角坐標系xOy中,點P 在曲線C:y=x3-10 x+3上,且在第二象限內,已知曲線 C在點P處的切線斜率為2,則點P的坐標為_______. 解析 設P(x0,y0)(x0<0),由題意知 x0=-2,y0=15.P點的坐標為(-2,15).,(-2,15),跟蹤練習3 (2008江蘇,8)直線 是曲線y= ln x(x0)的一條切線,則實數b=_______. 解析 (ln x)= 得x=2,故切點坐標為(2,ln 2

8、), 將其代入直線方程,得 所以b=ln 2-1.,ln 2-1,【例4】(14分)已知曲線 (1)求曲線在x=2處的切線方程; (2)求曲線過點(2,4)的切線方程. (1)由題意知切點為(2,4),則在(2,4)處的切 線可求. (2)過點(2,4)的切線中,(2,4)可能為切點,也可能 為另外一條切線與曲線的交點. 解題示范 解 (1)y=x2, 在點P(2,4)處的切線的斜率k=y|x=2=4. 曲線在點P(2,4)處的切線方程為y-4=4(x-2), 即4x-y-4=0. 4分,分析,(2)設曲線 與過點P(2,4)的切線相切于點 則切線的斜率 切線方程為

9、 8分 點P(2,4)在切線上, (x0+1)(x0-2)2=0,解得x0=-1或x0=2, 10分 故所求的切線方程為4x-y-4=0或x-y+2=0. 14分,跟蹤練習4 若直線y=kx與曲線y=x3-3x2+2x相切，則 k=___________. 解析 y=x3-3x2+2x, y=3x2-6x+2. 直線和曲線均過原點, 當原點是切點時,切線斜率k=y|x=0=2, 當原點不是切點時,設切點為P(x0,y0),其中x00, 則切線的斜率,又切點P(x0,y0)在曲線上,,高考中主要以填空題的形式考查求導數的基本公式 和法則,以及導數的幾何意義;有時也以解答題的

10、形式 出現,即以導數的幾何意義為背景設置成導數與解析 幾何的綜合題. 1.結合實際背景理解變化率、導數的概念,導數的實 質是函數平均變化率的極限,即瞬時變化率.,思想方法 感悟提高,高考動態(tài)展望,方法規(guī)律總結,2.要深刻理解導數的定義,會用定義解題. 3.在導數與切線斜率的對應關系中體會數形結合的思 想方法. 4.熟記幾個常用函數的求導公式,提高運算速度和準 確率. 5.熟練積商的求導法則,不可混淆. 6.函數解析式較復雜的,可以化簡的要先化簡再求導. 7.復合函數求導,必須搞清復合層次,不能有漏掉的環(huán) 節(jié)，要適當選取中間量，弄清每一步對哪個變量求 導,用什么公式求導.,一、填空題 1.(

11、2009廣東東莞模擬)曲線y=x3-1在x=1處的切線 方程為_________. 解析 y=f(x)=3x2, f(1)=3,切點為(1,0), 切線方程為y=3(x-1),即3x-y-3=0.,3x-y-3=0,定時檢測,2.(2010徐州模擬)已知f(x)=x2+2xf(1),則f(0) =_____. 解析 f(x)=2x+2f(1), f(1)=2+2f(1),即f(1)=-2, f(x)=2x-4,f(0)=-4. 3.(2009江蘇姜堰中學、如皋中學、淮陰中學、前 黃中學四校聯(lián)考)已知函數f(x)=xex,則f(0)= ____. 解析 f(x)=(xex)=ex+xex,f(0

12、)=1.,-4,1,4.(2010江蘇常熟檢測)設P為曲線C：y=x2+2x+3上 的點,且曲線C在點P處切線傾斜角的取值范圍為 則點P橫坐標的取值范圍為_______. 解析 切線的斜率k=tan tan 0,tan =0,1. 設切點為P(x0,y0),于是 x0,5.(2009山東濟寧第一次月考)曲線y= 在點(4, e2)處的切線與坐標軸所圍三角形的面積為____. 解析 曲線在(4,e2)點處的切線方程為 切線與坐標軸交點分別是(0,-e2),(2,0), 則切線與坐標軸圍成的三角形面積,6.（2010廣東四校聯(lián)考）設f0(x)=sin x，f1(x)= f0(x),f2

13、(x)=f1(x),,fn+1(x)= ,nN,則 f2 010(x)=________. 解析 f1(x)=(sin x)=cos x, f2(x)=(cos x)=-sin x, f3(x)=(-sin x)=-cos x, f4(x)=(-cos x)=sin x, f5(x)=(sin x)=f1(x),f6(x)=f2(x),. fn+4(x)=fn(x),即周期T為4. f2010(x)=f2(x)=-sin x.,-sin x,7.（2009安徽改編）已知函數f(x)在R上滿足f(x)= 2f(2-x)-x2+8x-8,則曲線y=f(x)在點(1,f(1))處的切 線方程是

14、_______. 解析 f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8, f(2-x)=2f(x)-(2-x)2+8(2-x)-8. f(2-x)=2f(x)-x2+4x-4+16-8x-8. 將f(2-x)代入f(x)=2f(2-x)-x2+8x-8 得f(x)=4f(x)-2x2-8x+8-x2+8x-8.f(x)=x2. y=f(x)在(1,f(1))處的切線斜率為y|x=1=2. 函數y=f(x)在(1,f(1))處的切線方程為 y-1=2(x-1),即y=2x-1.,y=2x-1,8.（2010無錫模擬)已知二次函數f(x)=ax2+bx+c 的導數為f(x),f(0)0,對于任意實數x

15、,有f(x) 0,則 的最小值為___. 解析 f(x)=2ax+b,f(0)=b0,2,9.(2009江西改編)若存在過點(1,0)的直線與曲線 y=x3和y=ax2+ x-9都相切,則a等于_________. 解析 設曲線y=x3上切點為 公切線的斜率為k= 或k=0, 切線方程為y= (x-1)或y=0. 當直線方程為y=0時,求得a= 當直線方程為y= (x-1)時,求得a=-1.,二、解答題 10.(2010麗水模擬)已知曲線S:y=3x-x3及點P(2,2). (1)求過點P的切線方程; (2)求證:與曲線S切于點(x0,y0)(x00)的切線與S 至少有兩個交點. (1

16、)解 設切點為(x0,y0),則 又f(x)=3-3x2, 切線斜率 (x0-1)(x0-1)2-3=0,解得x0=1或 相應的斜率k=0或 切線方程為y=2或,(2)證明 與曲線S切于點(x0,y0)的切線方程可設為 與曲線S的方程聯(lián)立,消去y, 即(x-x0)2(x+2x0)=0, 則x=x0或x=-2x0, 因此,與曲線S切于點(x0,y0)(x00)的切線,與S至少 有兩個交點.,11.(2008海南、寧夏,21,(1)(3)問)設函數f(x)= ax+ (a,bZ),曲線y=f(x)在點(2,f(2))處的切 線方程為y=3. (1)求f(x)的解析式; (2)證明：曲線y=f(

17、x)上任一點的切線與直線x=1和 直線y=x所圍三角形的面積為定值,并求出此定值. (1)解,(2)證明 在曲線上任取一點 由f(x0)= 知,過此點的切線方程為 切線與直線x=1的交點為 令y=x,得y=2x0-1, 切線與直線y=x的交點為(2x0-1,2x0-1); 直線x=1與直線y=x的交點為(1,1), 從而所圍三角形的面積為 所以,所圍三角形的面積為定值2.,12.(2009江蘇淮陰二模)設曲線C:y=-ln x (0