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1、+第八章 單因素方差分析 第一節(jié) 方差分析的基本問題 一、方差分析要解決的問題 t檢驗(yàn)法適用于樣本平均數(shù)與總體平均數(shù)及兩樣本平均數(shù)間的差異顯著性檢驗(yàn)；而多個平均數(shù)間的差異顯著性檢驗(yàn)，必須用方差分析法。 1、檢驗(yàn)過程繁瑣 一試驗(yàn)包含5個處理，采用t檢驗(yàn)法要進(jìn)行次兩兩平均數(shù)的差異顯著性檢驗(yàn)；若有k個處理，則要作k(k-1)/2次類似的檢驗(yàn)。 表8-1：鹽處理對堿蓬整株鮮重的影響 株號 鹽處理濃度（mM NaCl） 0 100 200 300 400 1 4.51 7.98 8.56 8.37 6.98 2 5.06 7.65 8.64 7.

2、46 5.89 3 4.36 7.32 8.97 8.79 6.54 4 4.82 7.54 9.01 8.05 6.27 5 4.93 7.63 8.32 8.22 6.79 6 4.46 7.22 8.48 8.65 6.44 平均值 4.69 7.56 8.66 8.42 6.49 標(biāo)準(zhǔn)差 0.28 0.27 0.27 0.27 0.39 2、無統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差，誤差估計的精確性和檢驗(yàn)的靈敏性低 如表8-1，試驗(yàn)有5個處理，每個處理重復(fù)6次，共有30個觀測值。進(jìn)行t檢驗(yàn)時，每次只能利用兩個處理共12個觀測值估

3、計試驗(yàn)誤差，誤差自由度為2(6-1)=10；若利用整個試驗(yàn)的30個觀測值估計試驗(yàn)誤差，顯然估計的精確性高，且誤差自由度為5(6-1)=25?？梢娫谟胻檢法進(jìn)行檢驗(yàn)時，由于估計誤差的精確性低，誤差自由度小，使檢驗(yàn)的靈敏性降低，容易掩蓋差異的顯著性。 3、推斷的可靠性低，檢驗(yàn)的I型錯誤率大 用t檢驗(yàn)法進(jìn)行多個處理平均數(shù)間的差異顯著性檢驗(yàn)，由于沒有考慮相互比較的兩個平均數(shù)的秩次問題，因而會增大犯I型錯誤的概率，降低推斷的可靠性。假設(shè)每一對檢驗(yàn)接受零假設(shè)的概率都是1-α＝0.95，而且這些檢驗(yàn)都是相互獨(dú)立的，那么10對檢驗(yàn)都接受概率是(0.95)10＝0.60，犯錯誤的概率α?=1-0.60=0.

4、40犯I型錯誤的概率明顯增加。 由于上述原因，多個平均數(shù)的差異顯著性檢驗(yàn)不宜用t檢驗(yàn)，須采用方差分析法。 二、方差分析的幾個概念 方差分析(analysis of variance)是由英國統(tǒng)計學(xué)家R.A.Fisher于1923年提出的。 這種方法是將a個處理的觀測值作為一個整體看待，把觀測值總變異的平方和及自由度分解為相應(yīng)于不同變異來源的平方和及自由度，進(jìn)而獲得不同變異來源總體方差估計值；通過計算這些總體方差的估計值的適當(dāng)比值，就能檢驗(yàn)各樣本所屬總體平均數(shù)是否相等。 “方差分析法”是一種在若干能相互比較的資料組中，把產(chǎn)生變異的原因加以區(qū)分開來的方法與技術(shù)” ，方差分析實(shí)質(zhì)上是關(guān)于觀

5、測值變異原因的數(shù)量分析。要掌握方差分析的方法，必須先了解以下幾個基本概念。這幾個概念在科學(xué)研究中必須用到，非常重要。 1、試驗(yàn)指標(biāo)(experimental index) 為衡量試驗(yàn)結(jié)果的好壞或處理效應(yīng)的高低，在試驗(yàn)中具體測定的性狀或觀測的項(xiàng)目稱為試驗(yàn)指標(biāo)。由于試驗(yàn)?zāi)康牟煌?，選擇的試驗(yàn)指標(biāo)也不相同。 如研究鹽處理對玉米生長狀況的影響，常用的生長指標(biāo)是植株鮮重、株高等指標(biāo)；如發(fā)現(xiàn)鹽處理影響鮮重、株高等，還要分析為什么鹽處理抑制玉米生長？光合速率是否降低？光合速率為什么降低，是否與色素含量下降有關(guān)？鹽處理還會對玉米造成那些傷害？如是否影響膜透性？葉片中Na+含量是否升高，從而對葉片具有毒害等

6、。所以研究鹽處理對玉米生長的影響，不能只研究一個指標(biāo)，要研究鮮重、光合速率、色素含量、膜透性、Na+含量等多個指標(biāo)。 再如研究人體心臟功能常用血壓、心率、心電圖等指標(biāo)。 2、試驗(yàn)因素(experimental factor) 試驗(yàn)中所研究的影響試驗(yàn)指標(biāo)的因素叫試驗(yàn)因素。如研究鹽處理對堿蓬生長的影響，土壤中的鹽濃度就是一個因素，此外影響堿蓬生長的因素還有水分、溫度、光照等，均可作為試驗(yàn)因素。研究不同品系小麥的株高，品系也是一個影響株高的因素，如表8-2就是研究5個小麥品種株高的差異，因?yàn)樾←溨旮邔ζ洚a(chǎn)量影響很大。 當(dāng)試驗(yàn)中考察的因素只有一個時，稱為單因素試驗(yàn)； 若同時研究兩個或兩個以

7、上的因素對試驗(yàn)指標(biāo)的影響時，則稱為兩因素或多因素試驗(yàn)。 表8-2：5個小麥品系株高調(diào)查結(jié)果 株號 品 系 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 1 64.6 64.5 67.8 71.8 69.2 2 65.3 65.3 66.3 72.1 68.2 3 64.8 64.6 67.1 70.0 69.8 4 66.0 63.7 66.8 69.1 68.3 5 65.8 63.9 68.5 71.0 67.5 平均值 65.3 64.4 67.3 70.8 68.6 3、因素水平(level of factor)

8、 因素的具體表現(xiàn)或數(shù)量等級稱為因素水平，簡稱水平。如鹽處理濃度這一因素有0、100、200、300、400 mM NaCl等5個水平。小麥品系這一因素也有Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ等5個水平。 4、試驗(yàn)處理(treatment) 在實(shí)驗(yàn)對象上實(shí)施的事先設(shè)計好的具體項(xiàng)目叫試驗(yàn)處理，簡稱處理。進(jìn)行單因素試驗(yàn)時，試驗(yàn)因素的一個水平就是一個處理。如表8-1中鹽處理共有0、100、200、300、400 mM NaCl等5個處理。表8-2中也是5個處理。對于雙因素試驗(yàn)時，處理的個數(shù)等于兩個因素的水平個數(shù)的乘積。表8-3研究的是溫度和原料這兩個因素對酒精產(chǎn)量的影響，是雙因素試驗(yàn)，每個因素都又有3個水平，共有3

9、×3＝9個處理。 每一個處理可以看作一個總體，每個處理得到的一組數(shù)據(jù)可以看作是從這個處理總體中抽取的一個樣本的數(shù)據(jù)。 表8-3：不同原料和不同酒曲對發(fā)酵酒精產(chǎn)量（kg/100kg）的影響 酒曲種類 原料種類 玉米 高梁 水稻 A 41 43 43 45 47 49 50 45 43 45 43 40 B 31 33 35 34 43 38 35 36 35 38 37 34 C 36 32 33 28 28 32 34 34 30 33 26 29 5、試驗(yàn)單位(experimental unit)

10、 在試驗(yàn)中能接受不同試驗(yàn)處理的獨(dú)立的試驗(yàn)載體叫試驗(yàn)單位。如植物試驗(yàn)中的一株玉米、一株堿蓬；在畜禽、水產(chǎn)試驗(yàn)中， 一只家禽、一只小白鼠、一位病人，即一個動物、植物或人。有時也用一組實(shí)驗(yàn)材料作為一個實(shí)驗(yàn)單位，如研究肥料對產(chǎn)量的影響，每種肥料選5塊地，每塊地是一個試驗(yàn)單位。試驗(yàn)單位是獲得觀測數(shù)據(jù)的單位。 6、重復(fù)(repetition) 在試驗(yàn)中，將一個處理實(shí)施在兩個或兩個以上的試驗(yàn)單位上，稱為處理有重復(fù)；處理實(shí)施的試驗(yàn)單位數(shù)目稱為處理的重復(fù)數(shù)。 例如，用100 mMNaCl處理了6株堿蓬，那么這個處理有6個重復(fù)；用某種飼料喂4頭豬，就說這個處理(飼料)有4次重復(fù)。 但要注意，并非每一個

11、測量結(jié)果都是一個重復(fù)，重復(fù)數(shù)是實(shí)驗(yàn)單位數(shù)，是每一個試驗(yàn)對象從頭開始完整的做一遍得到的結(jié)果。如測定葉綠素含量，從一瓶葉綠素提取液中取出5小管提取液，分別測定葉綠素含量得到的5個觀測數(shù)不是5個重復(fù)，而是一個，因?yàn)閷?shí)驗(yàn)對象是一個?？茖W(xué)的方法是將5個實(shí)驗(yàn)對象（葉片）分別提取，分別測定，不能將5個實(shí)驗(yàn)對象的葉片混在一起提取。再如研究飼料的營養(yǎng)，將1頭豬稱重5次和5頭豬各稱重1次是完全不一樣的：1頭豬稱重5次得到的5個結(jié)果是1個重復(fù)，5頭豬各稱重1次，才是5個重復(fù)。 以重復(fù)測定代替重復(fù)實(shí)驗(yàn)會減小誤差均方，會使本來差異并不顯著的因素變得顯著，從而得出錯誤的結(jié)論。 以上幾個基本概念是科學(xué)實(shí)驗(yàn)中幾個最重要的

12、常識之一，希望初學(xué)者認(rèn)真體會。方差分析的原理看似復(fù)雜，其實(shí)很簡單。Excel給我們提供了“數(shù)據(jù)分析”函數(shù)，下面要講的所有運(yùn)算過程，用Excel函數(shù)都可以快速全自動的得出，我們只需要將我們的原始數(shù)據(jù)輸入Excel工作表就可以了。同樣，后面要講的相關(guān)和回歸分析也完全可以自動運(yùn)算。 三、方差分析的數(shù)學(xué)模型（以單因素試驗(yàn)為例） （一）單因素試驗(yàn)的數(shù)據(jù)描述 假設(shè)某單因素試驗(yàn)有a個處理，每個處理有n次重復(fù)，共有an個觀測值。其單因素方差分析試驗(yàn)數(shù)據(jù)的表示方法見表8-4： 表8-4：單因素試驗(yàn)的典型數(shù)據(jù)表 試驗(yàn)次數(shù)或重復(fù)數(shù) 實(shí)驗(yàn)處理數(shù) X1 X2 X3 …… Xi …… Xa

13、 1 x11 x21 x31 …… xi1 …… xa1 2 x12 x22 x32 …… xi2 …… xa2 3 x13 x23 x33 …… xi3 …… xa3 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? j x1j x2j x3j …… xij …… xaj ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? n x1n x2n

14、 x3n …… xin …… xan 總計 …… …… 平均值 …… …… 表中數(shù)據(jù)xij表示第i個處理的第j次觀測值，其中的幾個符號做如下說明： ，表示第i個處理所有數(shù)據(jù)的和； ；（i=1,2,…a；j＝1,2,…n），表示第i個處理所有數(shù)據(jù)的平均值。 ，表示所有處理中全部數(shù)據(jù)的總和； ，全部數(shù)據(jù)的總平均值； （二）觀測值的描述 對于上表中的每一個觀測值可用線性統(tǒng)計模型描述： 其中：xij是在第i水平（處理）下的第j次觀測值；μ為所有觀測值的總平均數(shù)；αi是第i水平的處理效應(yīng)，即因?yàn)榇颂幚矶鸬臄?shù)據(jù)的變異；ε

15、ij是隨機(jī)誤差，即隨機(jī)抽樣誤差。方差分析的目的就是要檢驗(yàn)處理效應(yīng)的大小或有無。 （三）因素處理效應(yīng)和實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ偷姆诸? 1、固定效應(yīng)模型 如果處理效應(yīng)是由固定因素所引起的效應(yīng)，就稱為固定效應(yīng)。固定因素是指因素的水平可以嚴(yán)格地人為控制，水平固定后，它的效應(yīng)值αi也是固定的；實(shí)驗(yàn)重復(fù)時可以得到相同的結(jié)果。 如表8-1的試驗(yàn)結(jié)果發(fā)現(xiàn)，鹽處理顯著促進(jìn)了堿蓬生長，最適鹽濃度為200 mM NaCl，別人重復(fù)這個試驗(yàn)也會得到同樣的結(jié)果。再如我們調(diào)查上海、北京、廣州、深圳四個城市市的居民收入，調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)，四個城市的居民收入顯著不同，上海>深圳>北京≈廣州，其他人調(diào)查也會得到同樣的結(jié)果。可嚴(yán)格人為控制的

16、因素如：幾種不同實(shí)驗(yàn)溫度、幾種不同的化學(xué)藥物濃度、幾個不同的小麥品種、幾個城市等都屬于固定因素。 處理固定因素所用的模型稱為固定效應(yīng)模型，簡稱為固定模型。固定模型的假設(shè)是關(guān)于xij的假設(shè)，固定模型的方差分析所得到的結(jié)論只適合于選定的那幾個水平，并不能將其結(jié)論推廣到其他未考慮的水平上。如表8-1的試驗(yàn)結(jié)論“鹽處理顯著促進(jìn)堿蓬的生長”只使用于0、100、200、300、400 mM NaCl這5個濃度，不能說“任何鹽濃度都可以促進(jìn)堿蓬生長”。研究北京、上海、廣州和深圳的居民收入，發(fā)現(xiàn)這四個城市的居民收入有差異，不能說“任意四個城市的居民收入都有差異”。 2、隨機(jī)效應(yīng)模型 如果處理效應(yīng)是由隨機(jī)

17、因素所引起的效應(yīng)，就稱為隨機(jī)效應(yīng)。若因素的a個水平是從該因素水平總體中隨機(jī)抽出的樣本，那么各個水平的處理效應(yīng)值αi不是固定的數(shù)值，不能嚴(yán)格的人為控制，實(shí)驗(yàn)重復(fù)時很難得到相同的結(jié)果，這種因素稱為隨機(jī)因素。處理隨機(jī)因素所用的模型稱為隨機(jī)效應(yīng)模型，簡稱為隨機(jī)模型。隨機(jī)效應(yīng)模型的方差分析所得到的結(jié)論可推廣到總體水平上，因?yàn)檫@類實(shí)驗(yàn)是通過樣本對所屬總體作出的推斷。 如探討不同窩的家兔出生重量是否存在差異，隨機(jī)選取了4窩家兔，每窩家兔中均隨機(jī)選了4只幼兔。窩別就是隨機(jī)因素，任何人都不能再得到完全相同的4窩家兔。調(diào)查結(jié)果見表8-5：這4窩幼兔中第I窩出生重最大，別人再隨機(jī)選擇4窩家兔，并不一定還是第I窩出

18、生重最大。表8-5的實(shí)驗(yàn)結(jié)論是：不同窩別的4窩家兔的體重差異顯著，別人調(diào)查任何4窩家兔也會得到同樣的結(jié)論。 表8-5：4窩家兔的出生重（g） 動物號 窩別 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ 1 34.7 33.2 27.1 32.9 2 33.3 26.0 23.3 31.4 3 26.2 28.6 27.8 25.7 4 31.6 32.3 26.7 28.0 平均值 31.450 30.025 26.225 29.500 再如調(diào)查山東女大學(xué)生身高，隨機(jī)調(diào)查了5所大學(xué)，每所大學(xué)隨機(jī)調(diào)查100名，發(fā)現(xiàn)山東各大學(xué)女生身高差異不顯著。其他人隨機(jī)調(diào)查山

19、東5所大學(xué)的女生身高，也會得出同樣的結(jié)論。 從隨機(jī)因素的a個水平的方差分析所得到的結(jié)論，可以推廣到這個因素的所有水平上。這里αi是一個隨機(jī)變量，所檢驗(yàn)的是關(guān)于αi的變異性假設(shè)。 有時隨機(jī)因素和固定因素很難區(qū)分，簡單的說固定因素可以嚴(yán)格的人為控制，固定因素的各水平固定以后，其效應(yīng)值也是固定的，如溫度、鹽濃度等，其結(jié)論只適合固定的這幾個水平。隨機(jī)因素的水平不能嚴(yán)格的人為控制，在各水平固定以后，其效應(yīng)值并不固定，其統(tǒng)計結(jié)論可推廣到總體水平上。 3、混合模型 在多因素試驗(yàn)中，若即包括固定因素，又包括隨機(jī)因素，那么該實(shí)驗(yàn)應(yīng)該用混合實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ瓦M(jìn)行統(tǒng)計分析。如研究生科院男生和女生學(xué)習(xí)成績的差異，男

20、女各選50名同學(xué)，隨機(jī)選擇了5門課程成績做比較。那么，課程是隨機(jī)選取的，屬于隨機(jī)因素；男生、女生是人為確定的，屬于固定因素。所以這個實(shí)驗(yàn)屬于混合模型。 由于固定模型、隨機(jī)模型和混合模型在設(shè)計思想上有明顯不同，因此在統(tǒng)計推斷的方法上也有明顯區(qū)別。另外，不同實(shí)驗(yàn)?zāi)Ｐ头治龅膫?cè)重點(diǎn)也不完全相同，固定效應(yīng)模型側(cè)重于處理效應(yīng)的估計和檢驗(yàn)；隨機(jī)模型側(cè)重于效應(yīng)方差（αi的變異性）的估計和檢驗(yàn)。但對于單因素方差來說，固定模型和隨機(jī)模型的統(tǒng)計方法完全相同，只是統(tǒng)計推斷的假設(shè)和推論不同。 四、方差分析的原理 在一個多處理實(shí)驗(yàn)中，得到的一系列觀察值數(shù)據(jù)變異的原因是多方面的。數(shù)據(jù)的變異可能是處理不同造成的，稱為系

21、統(tǒng)誤差或處理效應(yīng)；也可能是隨機(jī)因素造成的，既抽樣的隨機(jī)性造成的，稱為隨機(jī)誤差或試驗(yàn)誤差。方差分析的基本思想就是將測量數(shù)據(jù)的總變異分解為處理效應(yīng)和試驗(yàn)誤差。 （一）兩類誤差 1、隨機(jī)誤差 在因素的同一水平(同一個總體)下，樣本的各觀察值之間的差異，稱為隨機(jī)誤差。比如，同一鹽濃度下的不同堿蓬植株鮮重的差異就是受隨機(jī)因素的影響，或者說是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的。 2、系統(tǒng)誤差 在因素的不同水平(不同總體)下，各觀察值之間的存在差異。比如，不同鹽濃度處理的堿蓬的植株鮮重不同，這種差異可能是由于抽樣的隨機(jī)性所造成的，也可能是由于鹽處理所造成的，鹽處理效應(yīng)所造成的誤差是由系統(tǒng)因素造成的，稱為系統(tǒng)

22、誤差。 （二）兩類方差 1、處理內(nèi)方差 處理內(nèi)方差指因素的同一水平(同一個總體)下，樣本數(shù)據(jù)的方差。處理內(nèi)方差只包含隨機(jī)誤差。 2、處理間方差 處理間方差指因素的不同水平(不同總體)下，各樣本之間的方差。處理間方差既包括隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差。 （三）方差的比較 如果不同鹽濃度對植株鮮重沒有影響，那么在處理間方差中只包含有隨機(jī)誤差，而沒有系統(tǒng)誤差。這時，處理間方差與處理內(nèi)方差就應(yīng)該很接近，兩種方差的比值就會接近1。 如果不同的水平對結(jié)果有影響，在處理間方差中除了包含隨機(jī)誤差外，還會包含有系統(tǒng)誤差，這時處理間方差就會大于處理內(nèi)方差，處理間方差與處理內(nèi)方差的比值就會大于1。 當(dāng)這個比

23、值大到某種程度時，就可以說不同水平之間存在著顯著差異。 m1=m2 =m2 =m4 f(X) X 圖8-1：方差分析原假設(shè)圖示 （四）方差分析的假設(shè)（以固定效應(yīng)模型為例） 1、原假設(shè) H0：μ1=μ2=μ3=……=μi或者α1=α2=……=αi=0 接受H0表示每個樣本都來自均值為μ，方差為σ2的同一正態(tài)總體，各水平間不存在處理效應(yīng)，每個觀測值都是由總平均數(shù)加上隨機(jī)誤差造成的。 例如研究平均每日食物中肉類比重（0、50、100、250、500克/天）與人的智商的關(guān)系？發(fā)現(xiàn)吃肉多少對智商影響不大。如圖8-1表示，4個總體差異不顯著。 2、備擇假設(shè) HA：mi (i=1，

24、2，3，4)不全相等或者αi至少有一個不等于0。 如果備擇假設(shè)成立，表示各水平間有系統(tǒng)誤差，四個樣本分別來自均值不同的正態(tài)總體。如圖8-2所示，4個總體差異顯著。 例如調(diào)查上海、北京、廣州、深圳四個城市市的居民收入，調(diào)查結(jié)果發(fā)現(xiàn)，四個城市的居民收入顯著不同。如圖8-2表示，4個總體差異顯著。 μ11μ21μ31μ4 f(X) X 圖8-2：方差分析備擇假設(shè)圖示 方差分析比較的是兩類誤差（隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差），以檢驗(yàn)均值是否相等。比較的基礎(chǔ)是方差比，即各部分的誤差占總誤差的比例。如果系統(tǒng)誤差（處理效應(yīng)）顯著地不等于隨機(jī)誤差，則幾個總體（處理）均值就是不相等的；反之，均值就是相等

25、的。方差分析的顯著性檢驗(yàn)是F檢驗(yàn)。 五、方差分析的檢驗(yàn)程序（以單因素試驗(yàn)為例） （一）假設(shè) H0：μ1=μ2=μ3=……=μi或者α1=α2=……=αi=0 HA：mi (i=1，2，3，4)不全相等或者αi至少有一個不等于0。 （二）確定顯著性水平α （三）計算統(tǒng)計量 方差是離差平方和除以n-1，即S2=，方差分析就是要把一個試驗(yàn)的總變異依據(jù)變異來源分解為處理間變異和處理內(nèi)變異。 分解的方法是通過將總均方的分子──稱為總離均差平方和，簡稱為總平方和（SST），分解成處理間平方（SSA）和與處理內(nèi)平方和（SSe）兩部分；將總均方的分母──稱為總自由度（dft），剖分成處理間自由

26、度（dfA）與處理內(nèi)自由度（dfe）兩部分。 1、平方和的計算和分解——三種平方和的簡便計算公式 總平方和，SST＝SSA+SSe 處理間平方和 處理內(nèi)平方和 這里C稱為矯正項(xiàng)， 2、總自由度的計算和分解 總自由度記為dfT＝an-1。 處理間自由度記為dfA＝a-1。 處理內(nèi)自由度記為dfe=an-a。 dfT＝dfA+dfe 3、方差（均方）的計算 各部分平方和除以各自的自由度便得到總均方、處理間均方和處理內(nèi)均方，分別記為MST（或）、MSA（或）和MSe（或）。MSA也稱為處理均方，MSe也稱為誤差均方。 總均方： 處理間均方： 處理內(nèi)均方： 4、顯著性檢

27、驗(yàn)——F檢驗(yàn) 檢驗(yàn)統(tǒng)計量，F(xiàn)值具dfA、dfe自由度。 用F分布的上尾檢驗(yàn)，拒絕域?yàn)镕>Fα。 方差分析的方法結(jié)合例子很容易理解，本節(jié)先對方差分析的程序進(jìn)行簡單介紹。方差分析在科研和社會生活中非常重要。 第二節(jié) 固定模型的方差分析 一、固定模型的方差分析程序 （一）提出固定效應(yīng)模型的假設(shè) 在固定模型中，αi是處理平均數(shù)與總平均數(shù)的離差，是個常量，因而：。 原假設(shè)H0：μ1=μ2=μ3=……=μi；或者α1=α2=……=αi=0 備擇假設(shè)HA：μi至少有一個不相等；或至少有一個αi不等于0 （二）平方和與自由度的分解 第一章就介紹過標(biāo)準(zhǔn)差或方差是數(shù)據(jù)變異程度的度量

28、，這里詳細(xì)介紹方差的分解方法，這也是本章的核心內(nèi)容。 方差：離差平方和除以n-1，S2= 在方差分析中是用樣本方差也稱均方（mean squares）來度量資料的變異程度。全部觀測值的總變異可以用總均方來度量。 將總變異分解為處理間變異和處理內(nèi)變異，就是要將總均方分解為處理間均方和處理內(nèi)均方。 分解方法是通過將總均方的分子──稱為總離均差平方和，簡稱為總平方和，分解成處理間平方和與處理內(nèi)平方和兩部分；將總均方的分母──稱為總自由度，分解成處理間自由度與處理內(nèi)自由度兩部分。 1、總平方和的分解 全部觀測值xij與總平均數(shù)的離均差平方和，稱為總平方和，它反映的是全部觀測值的離散或變異

29、狀況，記為SST。 其計算公式為： 可以將總平方和SST做如下分解： 對于每個固定的，, 所以： 上式中右邊第一項(xiàng)為各處理平均數(shù)與總平均數(shù)的離均差平方和與重復(fù)數(shù)n的乘積，反映了重復(fù)n次的處理間變異，稱為處理間平方和或處理平方和，記為SSA。 上式中右邊第二項(xiàng)為各處理內(nèi)離均差平方和之和，反映了各處理內(nèi)的變異即隨機(jī)誤差的大小，稱為處理內(nèi)平方和或誤差平方和，記為SSe。 于是有：SST＝SSA+SSe 三種平方和的簡便計算公式如下： 總平方和；處理間平方和；處理內(nèi)平方和 這里C稱為矯正項(xiàng)，，簡便公式的證明略！ 在方差分析中，為了簡化計算，同樣可以使用編碼法，即將全

30、部數(shù)據(jù)均減去同一個數(shù)。所得的平方和不變。以表8-2試驗(yàn)結(jié)果為例計算三種平方和，表8-2中的數(shù)據(jù)都減去65得到下表。 表8-6：5個小麥品系株高調(diào)查結(jié)果方差分析表（編碼后） 株號 品 系 總和 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 1 -0.4 -0.5 2.8 6.8 4.2 —— —— —— —— —— 2 0.3 0.3 1.3 7.1 3.2 3 -0.2 -0.4 2.1 5.0 4.8 4 1.0 -1.3 1.8 4.1 3.3 5 0.8 -1.1 3.5 6.0 2.5 1.5 -3.0 11

31、.5 29.0 18.0 57 2.25 9 132.25 841.0 324.0 1308.5 1.93 3.4 29.43 174.46 68.06 277.28 先求校正項(xiàng)C，=129.96 =277.28-129.96=147.32 =147.32-131.74=15.58 2、總自由度的剖分 在計算總平方和時，資料中的各個觀測值要受這一條件的約束，故總自由度等于資料中觀測值的總個數(shù)減1，即an-1?？傋杂啥扔洖閐fT，即dfT＝an-1。 因素共有a個水平，所以處理間自由度為處理數(shù)減1，處理間自由度記為dfA，即dfA＝a-1。

32、 在計算處理內(nèi)平方和時，因?yàn)槊總€處理均有n-1自由度，共有a個處理，所以處理內(nèi)自由度為資料中觀測值的總個數(shù)減a，處理內(nèi)自由度記為dfe，即dfe=an-a＝a(n-1)。 因?yàn)椋篴n-1＝an-a+a-1＝a(n-1)+(a-1) 所以：dfT＝dfA+dfe 表8-2數(shù)據(jù)的dfA＝5-1=4；dfe= 5(5-1)=20 3、各個均方的計算 各部分平方和除以各自的自由度便得到總均方、處理間均方和處理內(nèi)均方，分別記為MST（或）、MSA（或）和MSe（或）。MSA也稱為處理均方，MSe也稱為誤差均方。 總均方：；處理間均方：；處理內(nèi)均方： 表8-2數(shù)據(jù)的三個均方分別為： ；；

33、 （三）檢驗(yàn)統(tǒng)計量 ，具dfA、dfe自由度。 當(dāng)FFα?xí)r，認(rèn)為MSA顯著高于MSe，產(chǎn)生的誤差主要是由系統(tǒng)誤差造成的，拒絕零假設(shè)，處理平均數(shù)之間差異顯著。 表8-2的檢驗(yàn)統(tǒng)計量： （四）拒絕域 用F分布的上尾檢驗(yàn)，拒絕域?yàn)镕>Fα，如圖8-3所示。 F4,20,0.05=2.87；F4,20,0.01=4.43； F=42.23>F0.01，落在拒絕域內(nèi) 不能拒絕H0 如果均值相等 拒絕H0 α 圖8-3：方差分析的F值拒絕域 （五）結(jié)論：

34、這5個品種小麥的株高至少有兩種間差異極顯著。 注意：方差分析結(jié)論是至少有兩個處理不同，各處理兩兩之間是否有差異還要用第四節(jié)的內(nèi)容分析。 例8-1：比較5個小麥品系株高差異（表8-2），方差分析過程簡要整理如下 解：（1）原假設(shè)H0：μ1=μ2=μ3=……=μi；備擇假設(shè)HA：μi至少有一個不相等； （2）方差分析 將表8-2中的數(shù)據(jù)編碼，都減去65得到表8-6。 計算、、、、、 先求校正項(xiàng)C，=129.96 =277.28-129.96=147.32， =147.32-131.74=15.58 dfA＝a-1=5-1=4；dfe= a(n-1)=5(5-1)=20 所

35、以，； （3）檢驗(yàn)統(tǒng)計量： （4）拒絕域：拒絕域?yàn)镕>Fα，F(xiàn)4,20,0.05=2.87；F4,20,0.01=4.43；F=42.23>F0.01，落在拒絕域內(nèi)。 （5）結(jié)論：這5個品種小麥的株高差異極顯著。 二、期望均方與檢驗(yàn)統(tǒng)計量F 方差分析的一個基本條件是要求各處理觀測值總體的方差相等，即，（i=1,2,…,a）表示第i個處理觀測值總體的方差。如果所分析的資料滿足這個方差同質(zhì)性的要求，那么各處理的樣本方差都是σ2的無偏估計量。是由試驗(yàn)資料中第i個處理的n個觀測值算得到的方差。 顯然，各的合并方差（以各處理內(nèi)的自由度n-1為權(quán)的加權(quán)平均數(shù)）也是σ2的無偏估計量，且估計的精確

36、度更高。很容易推證處理內(nèi)均方MSe就是各的合并。 其中SSi、dfi（i=1，2，…，a）分別表示由試驗(yàn)資料中第i個處理的n個觀測值算得的平方和與自由度。這就是說，處理內(nèi)均方MSe是誤差方差σ2的無偏估計量。 試驗(yàn)中各處理所屬總體的本質(zhì)差異體現(xiàn)在處理效應(yīng)的差異上。我們把稱為效應(yīng)方差，它也反映了各處理觀測值總體平均數(shù)的變異程度，記為。 因?yàn)楦魑粗?，所以無法求得的確切值，只能通過試驗(yàn)結(jié)果中各處理均數(shù)的差異去估計。然而，并非的無偏估計量。這是因?yàn)樘幚碛^測值的平均數(shù)間的差異實(shí)際上包含了兩方面的內(nèi)容：一是各處理本質(zhì)上的差異即間的差異，二是抽樣誤差。統(tǒng)計學(xué)證明是的無偏估計量。因而，我們前面所計算

37、的處理間均方MSA實(shí)際上是的無偏估計量。 所以，固定模型中σ2為MSe的數(shù)學(xué)期望，是MSA的數(shù)學(xué)期望。只有當(dāng)處理效應(yīng)的方差=0，亦即各處理觀測值總體平均數(shù)μi（i=1，2，…，a）相等時，處理間均方MSA與處理內(nèi)均方MSe一樣，也是誤差方差σ2的估計值。因此比較MSA和MSe就可以反映出αi的大小。方差分析就是通過MSA與MSe的比值來推斷是否為零，亦即μi是否相等的。 可以證明：E(MSe)=， E(MSA)=E()= 在固定模型中，αi是個常量，，因此＝0。所以，E(MSA)= 令：，E(MSA)=，E(MSe)= 檢驗(yàn)統(tǒng)計量： 當(dāng)F

38、生的變異是由隨機(jī)誤差造成的，等于0，接受零假設(shè)；就可以認(rèn)為各αi與0相差不大，或者說各處理平均數(shù)μi間差異不大。反之，μi間差異是顯著的。因此用F分布的上尾檢驗(yàn)。 三、不等重復(fù)時平方和和均方的計算 前面所講的例子都是不同處理的重復(fù)數(shù)相同的。若不同處理的觀測數(shù)不同，以上方差分析方法仍然可用，只是在計算平方和時，計算公式稍做改動，自由度稍有變化。 設(shè)第i次處理做了ni次觀測，總的觀測數(shù)不再是an，而是個。 計算SST和SSA的公式變?yōu)椋海? 自由度的變化：dfA＝a-1（不變）；dfe＝N-a 例8-2：用方差分析的方法比較4種病人的血糖含量是否有顯著差異，實(shí)驗(yàn)結(jié)果見表8-7。

39、 表8-7：4種病人的血清中脫水葡萄糖醇含量調(diào)查表（μmol/L） 病人編號 病人類型 正常人 糖尿病患者 腎衰患者 肝病患者 1 82.31 30.82 49.41 90.89 2 54.67 56.83 32.96 71.16 3 68.80 32.01 42.83 82.99 4 80.57 47.85 57.32 5 77.66 84.47 方差分析方法參照例1進(jìn)行整理，本節(jié)略！ 第三節(jié) 隨機(jī)效應(yīng)模型 一、觀測值的描述 在單因素試驗(yàn)中，若用于試驗(yàn)的a個水平是從該因素的水平總體中隨機(jī)選出的，那么這一因素稱為隨機(jī)

40、因素。其方差分析是通過隨機(jī)選取的a個水平對該因素的水平總體做推斷。單因素隨機(jī)效應(yīng)模型中的每一個觀測值的描述與固定模型相同。 。 其中：xij是在第i水平（處理）下的第j次觀測值；μ為所有觀測值的總平均數(shù)；αi是第i水平的處理效應(yīng)；εij是隨機(jī)誤差。其中αi和εij都是隨機(jī)變量，且二者相互獨(dú)立。 如果αi的方差為，觀測值的總變異為var(xij)，那么var()＝+。 因?yàn)棣羒是獨(dú)立的隨機(jī)變量，所以固定效應(yīng)模型中的零假設(shè)H0：α1=α2=……=αi=0在隨機(jī)效應(yīng)模型中就不再適用。 隨機(jī)模型的零假設(shè)為：H0：；備擇假設(shè)HA：。 二、隨機(jī)模型的方差分析程序 若參加實(shí)驗(yàn)的a個水平是從該因

41、素的水平總體中隨機(jī)選出的，那么這一因素稱為隨機(jī)因素，如動物的窩別。其方差分析是通過隨機(jī)選取的a個水平對該因素的水平總體做推斷。所要檢驗(yàn)的是αi的變異性。所以，隨機(jī)效應(yīng)模型方差分析的檢驗(yàn)假設(shè)與固定效應(yīng)模型不同。 隨機(jī)效應(yīng)得零假設(shè)H0：=0；備擇假設(shè)HA：>0。 接受零假設(shè)表示處理之間無差異，接受備擇假設(shè)表示處理之間有顯著差異。 隨機(jī)效應(yīng)模型的方差分析檢驗(yàn)程序與固定效應(yīng)模型的程序完全相同。只是假設(shè)和檢驗(yàn)所得的結(jié)論不同。以表8-5中的數(shù)據(jù)來介紹一下隨機(jī)效應(yīng)模型的方差分析方法。 例8-3：調(diào)查不同窩別家兔出生重量差異，數(shù)據(jù)見表8-5。 解：（1）假設(shè)：零假設(shè)H0：=0；備擇假設(shè)HA：

42、>0 （2）將數(shù)據(jù)進(jìn)行編碼（每一個數(shù)據(jù)都減去30），列成表8-8，并計算三個均方。 先求校正項(xiàng)C，=7.84 =185.36-7.84=177.52 SSe=SST-SSA=177.52-58.575=118.945 dfA＝a-1＝4-1＝3；dfe＝a(n-1)＝4×3＝12 所以：； ，F(xiàn)0.05,3,12=3.490，F(xiàn)

43、-4.0 -6.7 1.4 3 -3.8 -1.4 -2.2 -4.3 4 1.6 2.3 -3.3 -2.0 5.8 0.1 -15.1 -2.0 -11.2 33.64 0.01 228.01 4.00 265.66 49.98 33.49 69.03 32.86 185.36 三、期望均方與檢驗(yàn)統(tǒng)計量F 隨機(jī)模型中的總平方和與自由度的分解方法與固定效應(yīng)相同：SST＝SSA+SSe；dfT＝dfA+dfe 可以證明：E(MSe)=，E(MSA)=E()= 因?yàn)椤?，令，所以E(MSA)=。 固定模型中：E(MSA)

44、=，，＝0； 檢驗(yàn)統(tǒng)計量： 當(dāng)F

45、的相互比較稱為多重比較(multiple comparisons)。 多重比較的方法甚多，常用的有最小顯著差數(shù)法(LSD法)和最小顯著極差法(LSR法)。 一、最小顯著差數(shù)法(LSD法，least significant difference) 最小顯著差數(shù)法(LSD法)是統(tǒng)計學(xué)家Fisher提出的，是最早用于檢驗(yàn)多個平均數(shù)兩兩間差異顯著性的方法，其實(shí)質(zhì)是兩個平均數(shù)的t檢驗(yàn)。 （一）LSD法的基本原理 此法的基本作法是：在F檢驗(yàn)顯著的前提下，先計算出顯著水平為α的最小顯著差數(shù)LSDα，然后將任意兩個處理平均數(shù)的差數(shù)的絕對值與其比較。 若＞LSDα?xí)r，則與在α水平上差異顯著；反之，

46、則在α水平上差異不顯著。 （二）最小顯著差數(shù)LSDα的計算 1、先計算平均數(shù)差異標(biāo)準(zhǔn)誤 （1）當(dāng)各處理重復(fù)數(shù)n1＝n2＝…＝n時， 式中：MSe為F檢驗(yàn)中的誤差均方；n各處理的重復(fù)數(shù)。 （2）當(dāng)各處理的重復(fù)次數(shù)不同時，需先計算各ni的平均數(shù)n0： n0＝，a為處理數(shù)。 此時，平均數(shù)差異標(biāo)準(zhǔn)誤： 2、LSDα的計算： 式中：為在F檢驗(yàn)中誤差自由度下，顯著水平為α的臨界t值。從t分布表中查出和，代入得：； 將任意兩個處理平均數(shù)的差數(shù)的絕對值與LSD0.05和LSD0.01比較： 小于LSD0.05者，兩個處理平均數(shù)差異不顯著，在差數(shù)的右上方標(biāo)記“ns”，或者不標(biāo)記符號； 介

47、于LSD0.05和LSD0.01之間者，兩個處理平均數(shù)差異顯著，在差數(shù)的右上方標(biāo)記“*”； 大于LSD0.01者，兩個處理平均數(shù)差異極顯著，在差數(shù)的右上方標(biāo)記“**”。 （三）LSD法進(jìn)行多重比較的檢驗(yàn)程序 例8-4：仍以表8-2中的數(shù)據(jù)為例，比較5個小麥品系株高的差異顯著性。方差分析結(jié)論是不同品種小麥的株高差異極顯著（見例8-1），檢驗(yàn)品種間的兩兩差異。 表8-2：5個小麥品系株高調(diào)查結(jié)果 株號 品 系 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 1 64.6 64.5 67.8 71.8 69.2 2 65.3 65.3 66.3 72.1 68.2

48、 3 64.8 64.6 67.1 70.0 69.8 4 66.0 63.7 66.8 69.1 68.3 5 65.8 63.9 68.5 71.0 67.5 平均值 65.3 64.4 67.3 70.8 68.6 解：（1）列出方差分析表，進(jìn)行F檢驗(yàn)。 檢驗(yàn)方法見第二節(jié)例8-1，檢驗(yàn)結(jié)論差異顯著。 （2）列出平均數(shù)的多重比較表，表中各處理按其平均數(shù)從大到小的順序自上而下、自右而左排列；求兩兩之差的絕對值。 表8-9：5個小麥品系株高調(diào)查結(jié)果多重比較表（LSD法） 處理 平均數(shù) Ⅱ＝64.4 Ⅰ＝65.3 Ⅲ＝67.3

49、Ⅴ＝68.6 Ⅳ 70.8 6.4** 5.5** 3.5** 2.2** Ⅴ 68.6 4.2** 3.3** 1.3* Ⅲ 67.3 2.9** 2.0** Ⅰ 65.3 0.9ns Ⅱ 64.4 （3）計算最小顯著差數(shù)LSD0.05和LSD0.01；例8-1中已知MSe＝0.78，dfe＝20，n＝5。 所以： （4）將平均數(shù)多重比較表中兩兩平均數(shù)的差數(shù)與LSD0.05和LSD0.01比較，作出統(tǒng)計推斷，并做出標(biāo)記符號。差異顯著的差數(shù)右上方標(biāo)記“*”； 差異極顯著的差數(shù)右上方標(biāo)記“**”。 LSD

50、法計算簡便，也容易比較，但也有難以克服的缺點(diǎn)，如前所述，這種比較方法會加大犯I型錯誤的概率。 （四）關(guān)于LSD 法的應(yīng)用有以下幾點(diǎn)說明 1、LSD法實(shí)質(zhì)上就是成組數(shù)據(jù)t檢驗(yàn)。 （1）成組數(shù)據(jù)t檢驗(yàn)的回顧 檢驗(yàn)統(tǒng)計量為： 我們把，表示抽樣誤差。 公式的簡化形式為：，這里加上絕對值，用上側(cè)檢驗(yàn)。 當(dāng)n1=n2=n時 ，上式可以進(jìn)一步簡化為： 當(dāng)t>t0.05時，差異顯著；當(dāng)t>t0.01時，差異極顯著。 即當(dāng)差異顯著時：>tα 此時： （2）LSD法與t檢驗(yàn)的區(qū)別 LSD法將t檢驗(yàn)中由所求得t值的絕對值與臨界tα值的比較，轉(zhuǎn)化為將各對平均數(shù)差值的絕對值與最小顯著差數(shù)的比較

51、而作出統(tǒng)計推斷的。 LSD法是利用F檢驗(yàn)中的誤差自由度dfe查臨界tα值，利用誤差均方MSe來計算均數(shù)差異標(biāo)準(zhǔn)誤。 因而LSD法又不同于每次利用兩組數(shù)據(jù)進(jìn)行多個平均數(shù)兩兩比較的檢驗(yàn)法。它解決了本章開頭指出的檢驗(yàn)法檢驗(yàn)過程繁瑣，無統(tǒng)一的試驗(yàn)誤差且估計誤差的精確性和檢驗(yàn)的靈敏性低這兩個問題。但LSD法并未解決t檢驗(yàn)推斷的可靠性降低、犯I型錯誤的概率大的問題。 2、LSD法的適用范圍 有人提出，LSD法適用于各處理組與對照組比較，而處理組間不進(jìn)行比較的比較形式。 也有人指出其最適宜的比較形式是：在進(jìn)行試驗(yàn)設(shè)計時就確定各處理只是固定的兩兩相比，每個處理平均數(shù)在比較中只比較一次。例如，在一個試

52、驗(yàn)中共有4個處理，設(shè)計時已確定只是處理1與處理2、處理3與處理4（或1與3、2與4；或1與4、2與3）比較，而其它的處理間不進(jìn)行比較。因?yàn)檫@種比較形式實(shí)際上不涉及多個均數(shù)的極差問題，所以不會增大犯I型錯誤的概率。 綜上所述，對于多個處理平均數(shù)所有可能的兩兩比較，LSD法的優(yōu)點(diǎn)在于方法比較簡便，克服一般檢驗(yàn)法所具有的某些缺點(diǎn)，但是由于沒有考慮相互比較的處理平均數(shù)依數(shù)值大小排列上的秩次。秩次越大，實(shí)驗(yàn)誤差越大；秩次相同，才可采取相同的標(biāo)準(zhǔn)。故LSD法仍有推斷可靠性低、犯I型錯誤概率增大的問題。為克服此弊病，統(tǒng)計學(xué)家提出了其他方法。 二、最小顯著極差法(LSR法，Least significan

53、t ranges) （一）最小顯著極差法LSR法的基本原理 第一章中講過：范圍（range，R）也叫極差，R＝最大值－最小值。LSR法的特點(diǎn)是把平均數(shù)的差數(shù)看成是平均數(shù)的極差，根據(jù)極差范圍內(nèi)所包含的處理數(shù)（稱為秩次距，用k表示）k的不同而采用不同的檢驗(yàn)尺度，以克服LSD法的不足。這些在顯著水平α上依秩次距k的不同而采用的不同的檢驗(yàn)尺度叫做最小顯著極差（LSR）。 例如有5個要相互比較，先將5個依其數(shù)值大小順次排列（如表8-9），兩極端平均數(shù)的差數(shù)(極差)的顯著性，由其差數(shù)是否大于秩次距k=5時的最小顯著極差決定（>為顯著，<為不顯著）；而后是秩次距k=4的平均數(shù)的極差的顯著性，則由極差是

54、否大于k=4時的最小顯著極差決定；直到任何兩個相鄰平均數(shù)的差數(shù)的顯著性由這些差數(shù)是否大于秩次距k=2時的最小顯著極差決定為止。因此，有k個平均數(shù)相互比較，就有k-1種秩次距(k，k-1，k-2，…，2)，因而需求得k-1個最小顯著極差(LSRα，k)，分別作為判斷具有相應(yīng)秩次距的平均數(shù)的極差是否顯著的標(biāo)準(zhǔn)。 因?yàn)長SR法是一種極差檢驗(yàn)法，所以當(dāng)一個平均數(shù)大集合的極差不顯著時，其中所包含的各個較小集合極差也應(yīng)一概作不顯著處理。 LSR法克服了LSD法的不足，但檢驗(yàn)的工作量有所增加。常用的LSR法有q檢驗(yàn)法和新復(fù)極差法兩種。1973年，統(tǒng)計學(xué)家Carmer和Swanson證明：在檢驗(yàn)各平均數(shù)對

55、子之間的真正差異時，新復(fù)極差法優(yōu)于q檢驗(yàn)法。 這里我們只介紹新復(fù)極差法，此法是由鄧肯(Duncan)于1955年提出，故又稱“Duncan檢驗(yàn)”或“鄧肯氏檢驗(yàn)”。還稱SSR法(shortest significant ranges) （二）Duncan檢驗(yàn)的程序 1、將需要比較的a個平均數(shù)按照大小順序依次排列好，并將每一對平均數(shù)之間的差列成表格。 這與LSD法一樣，表格見表8-9，這里不再列出。 2、計算最小顯著極差LSR Duncan檢驗(yàn)與LSD法主要區(qū)別是：Duncan檢驗(yàn)中不同平均數(shù)的差有不同的最小顯著極差LSR。而LSD法，不同平均數(shù)的差都用同一個最小顯著差數(shù)LSDα檢驗(yàn)。

56、 其中稱為標(biāo)準(zhǔn)誤，表示抽樣誤差；可以從附表14查出。 （1）當(dāng)各處理重復(fù)數(shù)n1＝n2＝…＝n時， 式中：MSe為F檢驗(yàn)中的誤差均方；n各處理的重復(fù)數(shù)。 （2）當(dāng)各處理的重復(fù)數(shù)不同時，需先計算各ni的平均數(shù)n0，n0的計算于LSD法中相同。 此時，標(biāo)準(zhǔn)誤 當(dāng)顯著水平α=0.05和0.01時，從附表14（r值表也稱SSR值表）中根據(jù)自由度dfe及秩次距k查出和，代入下式得： ； 仍以例8-1的數(shù)據(jù)為例，各處理平均數(shù)多重比較表與LSD法相同，見表8-11。 表中極差0.9、2.0、1.3、2.2的秩次距為2；極差2.9、3.3、3.5的秩次距為3；極差4.2、5.5的秩次距為4

57、。極差6.4的秩次距為5。 例8-1中已知MSe＝0.78，故標(biāo)準(zhǔn)誤為： 根據(jù)dfe=20，k=2，3，4，5由附表14查出α=0.05、0.01水平下臨界r值，乘以標(biāo)準(zhǔn)表8-9：5個小麥品系株高調(diào)查結(jié)果多重比較表（LSD法） 處理 平均數(shù) Ⅱ＝64.4 Ⅰ＝65.3 Ⅲ＝67.3 Ⅴ＝68.6 Ⅳ 70.8 6.4** 5.5** 3.5** 2.2** Ⅴ 68.6 4.2** 3.3** 1.3* Ⅲ 67.3 2.9** 2.0** Ⅰ 65.3 0.9ns Ⅱ 64.4 誤，求得各最小顯

58、著極差LSR，所得結(jié)果列于下表。 表8-10：平均數(shù)秩次距和平均數(shù)差值表 dfe 秩次距k r0.05 r0.01 LSR0.05 LSR0.01 20 2 2.95 4.02 1.165 1.588 3 3.10 4.22 1.225 1.667 4 3.18 4.33 1.256 1.710 5 3.25 4.40 1.284 1.738 3、將平均數(shù)多重比較表中的各極差與相應(yīng)的最小顯著極差LSR0.05,k，LSR0.01,k比較，作出統(tǒng)計推斷。 先從左到右比較第一行，6.4是70.8與64.4的差，秩次距k為5，與LSR0

59、.05, 5＝1.165和LSR0.01, 5＝1.588比較。6.4>1.588，兩平均數(shù)之間差異極顯著，標(biāo)記上“**”； 小于LSR0.05者，兩個處理平均數(shù)差異不顯著，在差數(shù)的右上方標(biāo)記“ns”，或者不標(biāo)記符號； 介于LSR0.05和LSD0.01之間者，兩個處理平均數(shù)差異顯著，在差數(shù)的右上方標(biāo)記“*”； 大于LSR0.01者，兩個處理平均數(shù)差異極顯著，在差數(shù)的右上方標(biāo)記“**”。 比較結(jié)果見表8-11 表8-11：5個小麥品系株高平均數(shù)多重比較結(jié)果（LSR法） 處理 平均數(shù) Ⅱ＝64.4 Ⅰ＝65.3 Ⅲ＝67.3 Ⅴ＝68.6 Ⅳ 70.8 6.4**

60、5.5** 3.5** 2.2** Ⅴ 68.6 4.2** 3.3** 1.3* Ⅲ 67.3 2.9** 2.0** Ⅰ 65.3 0.9ns Ⅱ 64.4 例8-4中的最小顯著差數(shù)LSD0.05=0.964，LSD0.01=1.412，由表8-10可以看出，最小顯著極差法比最小差數(shù)法精確。 三、q檢驗(yàn)法(q test) 在對多組平均數(shù)的逐對差異檢驗(yàn)方法中，Newman-Keul提出的q檢驗(yàn)法(或稱N-K法)，也較為常用，檢驗(yàn)效果與最小顯著極差法很類似。 此法是以統(tǒng)計量q的概率分布為基礎(chǔ)的。q值由下式求得：

61、， 式中，LSR為最小顯著極差，為標(biāo)準(zhǔn)誤。q值的分布依賴于誤差自由度dfe及秩次距k。 利用q檢驗(yàn)法進(jìn)行多重比較時，為了比較的簡便起見，不是將由算出的q值與臨界q值比較，而是將極差（R）與LSR比較： q檢驗(yàn)法與Duncan法的檢驗(yàn)步驟完全相同，唯一不同的是計算最小顯著極差時需查q值表（附表15）而不是查SSR表。 當(dāng)顯著水平α=0.05和0.01時，從q值表中根據(jù)自由度dfe及秩次距k查出和，代入上式得：， 四、多重比較結(jié)果的表示法 各平均數(shù)經(jīng)多重比較后，應(yīng)以簡明的形式將結(jié)果表示出來，常用的表示方法有以下兩種。 1、三角形法 本節(jié)表8-9和表8-11就是三角形法，它是將各處理

62、的平均數(shù)差按三角形列于表中，并將平均數(shù)的差數(shù)與LSD0.05和LSD0.01比較： 小于LSD0.05者，兩個處理平均數(shù)差異不顯著，在差數(shù)的右上方標(biāo)記“ns”，或者不標(biāo)記符號； 介于LSD0.05和LSD0.01之間者，兩個處理平均數(shù)差異顯著，在差數(shù)的右上方標(biāo)記“*”； 大于LSD0.01者，兩個處理平均數(shù)差異極顯著，在差數(shù)的右上方標(biāo)記“**”。 此法是將多重比較結(jié)果直接標(biāo)記在平均數(shù)多重比較表上。此法的優(yōu)點(diǎn)是簡便直觀，缺點(diǎn)是占的篇幅較大。 2、標(biāo)記字母法 此法是先將各處理平均數(shù)由大到小自上而下排列；然后在最大平均數(shù)上標(biāo)記字母a，并將該平均數(shù)與以下各平均數(shù)依次相比，凡差異不顯著標(biāo)記同

63、一字母a，直到某一個與其差異顯著的平均數(shù)標(biāo)記字母b；再以標(biāo)有字母b的平均數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)，與下面各未標(biāo)記字母的平均數(shù)相比，凡差異不顯著者，一律都加標(biāo)b，直至某一個與其差異顯著的平均數(shù)標(biāo)記c；如此重復(fù)下去，直至最小一個平均數(shù)被標(biāo)記、比較完畢為止。這樣，各平均數(shù)間凡有一個相同字母的即為差異不顯著，凡無相同字母的即為差異顯著。 用小寫拉丁字母表示顯著水平α=0.05，用大寫拉丁字母表示顯著水平α=0.01。 在利用字母標(biāo)記法表示多重比較結(jié)果時，常在三角形法的基礎(chǔ)上進(jìn)行。此法的優(yōu)點(diǎn)是占篇幅小，在科技文獻(xiàn)中常見，統(tǒng)計結(jié)果可以用下表表示。 株號 品 系 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 平均值 65

64、.3D 64.4D 67.3c 70.8a 68.6B 第五節(jié) 方差分析的基本條件 一、方差分析的基本條件 1、被檢驗(yàn)每個總體都應(yīng)服從正態(tài)分布，也稱為分布的正態(tài)性。 2、被檢驗(yàn)的各個總體的方差必須具有齊性，即方差的同質(zhì)性。 3、觀察值是獨(dú)立的，每個處理效應(yīng)與誤差效應(yīng)是可加的，即效應(yīng)的可加性，。只有效應(yīng)是可加的，觀測值的總變異才能分解為處理效應(yīng)和實(shí)驗(yàn)誤差。 在上述條件中，正態(tài)總體是最常見的，最普遍的；效應(yīng)的可加性也是比較容易滿足的，二者對分析結(jié)果影響也都小于方差的齊性。雖然樣本含量相等時可以降低不齊性的影響，但在做方差分析之前應(yīng)首先要做多個方差的齊性檢驗(yàn)，尤其是在各

65、個樣本含量不等時。 二、多個方差的齊性檢驗(yàn) 上述三個基本條件中，方差是否具齊性對統(tǒng)計分析結(jié)果影響最大。因此，做方差分析前，首先要做多個方差的齊性檢驗(yàn)。多個方差的齊性檢驗(yàn)方法最廣泛使用的是Bartlett檢驗(yàn)（Bartlett test）。 （一）假設(shè) 1、原假設(shè) 2、備擇假設(shè)HA：至少有兩個不相等。 （二）檢驗(yàn)統(tǒng)計量 當(dāng)處理重復(fù)數(shù)ni≥3時，檢驗(yàn)統(tǒng)計量K2的抽樣分布近似具有a-1自由度的χ2分布。 檢驗(yàn)統(tǒng)計量K2的計算公式為： 其中： （i＝1，2，???，a）是第i個總體的樣本方差。當(dāng)樣本方差變異很大時，q值也很大，當(dāng)相等時，q值等于零。 所以Bartlett檢

66、驗(yàn)的拒絕域?yàn)椋? 例8-5：仍然以表8-2的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)5種小麥株高方差的齊性。 表8-12：5個小麥品系株高方差齊性檢驗(yàn) 株號 品 系 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ 1 64.6 64.5 67.8 71.8 69.2 2 65.3 65.3 66.3 72.1 68.2 3 64.8 64.6 67.1 70.0 69.8 4 66.0 63.7 66.8 69.1 68.3 5 65.8 63.9 68.5 71.0 67.5 平均值 65.3 64.4 67.3 70.8 68.6 方差 0.370 0.400 0.745 1.565 0.815 解：（1）計算每個處理的方差 ，df=5-1=4 ，，接受H0，方差具齊性。 （三）當(dāng)各處理樣本含量相同時，K2計算可簡化為： 經(jīng)Bartlett檢驗(yàn)發(fā)現(xiàn)各個處理之間的方差不具齊性時需經(jīng)適當(dāng)變換，使之滿足方差齊性這一條件，然后再做方差分析。變換方法將在下一章中介紹。