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1、考點14 三角函數的圖象與性質 一、選擇題 1.（2012·天津高考文科·Ｔ7）將函數的圖象向右平移個單位長度，所得圖象經過點，則的最小值是 （ ） （A）　　　(B)1 （C） 　 (D)2 【解題指南】依據三角函數的圖象和性質驗證得出. 【解析】選D.函數的圖象向右平移個單位長度得到函數，將代入得故得的最小值是2. 2.（2012·山東高考文科·Ｔ5）設命題p：函數的最小正周期為；命題q：函數的圖象關于直線對稱.則下列判斷正確的是（ ） (A)p為真　　　(B)為假　　　　(C)為假　　　(D)為真 【解題指南】本題考查簡單邏輯聯(lián)結詞及正余弦函數的簡

2、單性質. 【解析】選C.函數的最小正周期為，所以命題p假，函數的圖象關于直線對稱，所以命題q假，為真，為假. 3.（2012·安徽高考文科·Ｔ7）要得到函數的圖象，只要將函數的圖象（ ） （A） 向左平移1個單位 （B） 向右平移1個單位 （C） 向左平移 個單位 （D） 向右平移個單位 【解題指南】先將函數中的的系數化為，再確定平移的方向和大小. 【解析】選. ，所以左平移. 4.（2012·浙江高考文科·Ｔ6）與（2012·浙江高考理科·Ｔ4）相同 把函數y=cos2x+1的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），然后向左平移1個單位長度

3、，再向下平移 1個單位長度，得到的圖象是（ ） 【解題指南】考查三角函數的圖象變換中的平移與伸縮變換。 【解析】選A.把函數y=cos2x+1的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），可得，再向左平移1個單位長度，再向下平移 1個單位長度，得到的函數解析式是，此函數圖象是A． 5.（2012·福建高考文科·Ｔ8）函數的圖象的一條對稱軸是（ ） A． B． C． D． 【解題指南】高中學習過的函數都有這樣的共性，即在對稱軸上會取得最值．因此把選項代入，哪個能確實最值即是. 【解析】選C.三角函數會在對稱軸處取得最值，當代入得，取得函數的最小值，因此，

4、直線是對稱軸． 二、解答題 6.（2012·北京高考理科·Ｔ15）已知函數. （1） 求f（x）的定義域及最小正周期； （2） 求f（x）的單調遞增區(qū)間. 【解題指南】求定義域時考慮分母不為零，然后對降冪化一化成正弦型函數的形式，再求周期。求單調遞減區(qū)間時利用整體代換，把當作一個整體放入正弦的增區(qū)間內解出x即為增區(qū)間，不要忽略定義域。 【解析】（1）由得，，所以定義域為。 所以最小正周期. （2）令，得且， 所以單調遞增區(qū)間為，. 7.（2012·福建高考文科·Ｔ22）(本小題滿分14分) 已知函數，且在上的最大值為， （Ⅰ）求函數的解析式； （Ⅱ）判

5、斷函數在內的零點個數，并加以證明． 【解題指南】本題主要考查函數的最值、單調性、零點等基礎知識點，考查推理論證能力、運算求解能力，考查函數與方程思想、數形結合思想、化歸與轉化思想、分類與整合思想． 【解析】（Ⅰ）由已知得， 對于任意，有． 當時，，不合題意； 當，時，，從而在內單調遞減， 又在上的圖象是連續(xù)不斷的。故在上的最大值為， 不合題意； 當，時，，從而在內單調遞減， 又在上的圖象是連續(xù)不斷的。故在上的最大值為， 即， 解得 綜上所述，得． （Ⅱ）在內有且只有兩個零點． 證明如下： 由（Ⅰ）知，從而有，， 又在上的圖象是連續(xù)不斷的， 所以在內至少存在一個

6、零點． 又由（Ⅰ）知在上單調遞增，故在內有且僅有一個零點． 當時，令， 由，，且在上的圖象是連續(xù)不斷的， 故存在，使得． 由，知時，有， 從而在內單調遞減． 當時，，即，從而在內單調遞增， 故當時，，故在上無零點， 當時，有，即，從而在內單調遞減， 又，，且在上的圖象是連續(xù)不斷的，從而在內有且僅有一個零點。 綜上所述，在內有且只有兩個零點． 8. （2012·湖北高考文科·Ｔ18）設函數f(x)=sin2ωx+2sinωx·cosωx-cos2ωx+λ(x∈R)的圖象關于直線x=π對稱，其中為常數，且 （1） 求函數f（x）的最小正周期； （2） 若y=f（x）的圖

7、象經過點，求函數f（x）的值域. 【解題指南】本題考查三角函數的圖象與性質，解答本題的關鍵是把函數f（x）化為的形式，再利用它的圖象與性質解答. 【解析】(1). 且直線是f（x）的圖象的一條對稱軸， ，即又， 所以f（x）的最小正周期為. (2).由y=f（x）的圖象過點（，0）， ，即 ，則. 所以函數f（x）的值域為. 9.（2012·北京高考文科·Ｔ15）已知函數. （1）求f（x）的定義域及最小正周期； （2）求f（x）的單調遞減區(qū)間. 【解題指南】求定義域時考慮分母不為零，然后對降冪化一化成正弦型函數的形式，再求周期.求單調遞減區(qū)間時利用整體代換，把當作一個整體放入正弦的減區(qū)間內解出x即為減區(qū)間. 【解析】（1）由得，，所以定義域為. 所以最小正周期. （2）令，得， 所以單調遞減區(qū)間為. 10.（2012·安徽高考理科·Ｔ16）(本小題滿分12分) 設函數 （I）求函數的最小正周期； （II）設函數對任意，有，且當時，，求函數在區(qū)間上的解析式. 【解題指南】（1）將化簡為函數的形式，再求最小正周期；（2）根據，對分段解：，，：當時， . 【解析】 （I）函數的最小正周期. （2）當時， 當時， 當時， 得：函數在上的解析式為.