《2011年高考數(shù)學 考點42曲線與方程、圓錐曲線的綜合應用》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2011年高考數(shù)學 考點42曲線與方程、圓錐曲線的綜合應用（14頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、考點42 曲線與方程、圓錐曲線的綜合應用 一、選擇題 1.（2011·山東高考理科·Ｔ8）已知雙曲線（a>0,b>0）的兩條漸近線均和圓C：x2+y2-6x+5=0相切，且雙曲線的右焦點為圓C的圓心，則該雙曲線的方程為 （A） （B） （C） （D） 【思路點撥】先求出圓C的圓心坐標（3,0），半徑r=2，再求出漸近線方程，由圓心到漸近線的距離等于半徑即可得到a,b的關系，再由雙曲線的右焦點為圓C的圓心知c=2，即可求出結果. 【精講精析】選A.雙曲線的漸近線方程為bx+ay=0和bx-ay=0，圓心為（3,0），半徑r=2.由圓心到直線的距離為所以4a2=5b2又因為

2、雙曲線的右焦點為圓C的圓心，所以c=3，即9=a2+b2 所以，a2=5，b2=4. 2．（2011·福建卷理科·Ｔ7）設圓錐曲線的兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2，若曲線上存在點P滿足=4:3:2，則曲線的離心率等于( ) （A） （B）或2 （C）2 （D） 【思路點撥】根據(jù)=4:3:2，設出，然后按曲線為橢圓或者雙曲線，在中分別利用定義求離心率. 【精講精析】 選A. =4:3:2， 其中，.若圓錐曲線為橢圓，則，，若圓錐曲線為雙曲線，則 3. （2011·福建卷文科·Ｔ11）設圓錐曲線的兩個焦點分別為F1， F2

3、，若曲線上存在點P滿足：：= 4:3:2，則曲線的離心率等于（ ） （A） （B） （C） （D） 【思路點撥】根據(jù)=4:3:2，設出，然后按曲線為橢圓或者雙曲線，在中分別利用定義求離心率. 【精講精析】選A. =4:3:2， 其中，.若圓錐曲線為橢圓，則，，若圓錐曲線為雙曲線，則 二、填空題 4.（2011·山東高考文科·Ｔ15）已知雙曲線和橢圓有相同的焦點，且雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍，則雙曲線的方程為 . 【思路點撥】先求橢圓

4、焦點，即雙曲線的焦點，再由雙曲線的離心率是橢圓離心率的兩倍求出b，然后寫出雙曲線的方程. 【精講精析】由題意知雙曲線的焦點為（-，0）、（，0），即c=，又因為雙曲線的離心率為，所以a=2,故b2=3，所以雙曲線的方程為 5.（2011·北京高考理科·T14）曲線C是平面內與兩個定點和的距離的積等于常數(shù)的點的軌跡.給出下列三個結論： ①曲線C過坐標原點； ②曲線C關于坐標原點對稱； ③若點P在曲線C上，則的面積不大于. 其中所有正確的結論的序號是 . 【思路點撥】寫出曲線C的方程，再逐個驗證三個結論. 【精講精析】②③.設P(x,y)為曲線C上任意一點，則

5、由得， C:把（0，0）代入方程可得，與矛盾，故①不正確； 當M(x,y)在曲線C上時，點M關于原點的對稱點，也滿足方程，故曲線C關于原點對稱，故②正確；，故③正確. 6．（2011·安徽高考理科·Ｔ21）若，點A的坐標為（1,1），點B在拋物線上運動，點Q滿足，經(jīng)過點Q與x軸垂直的直線交拋物線于點M，點P滿足,求點P的軌跡方程. 【思路點撥】設出Ｐ點坐標，通過Ｑ，Ｂ等中間量建立方程，消去中間量，的點Ｐ的軌跡方程． 【精講精析】解：由知Q,M,P三點在同一條垂直于x軸的直線上，故可設P(x,y),Q(x,),M(x,x),則即

6、 ① 再設由，即解得 ② 將①式代入②式，消去，得 ③ 又點B在拋物線上，所以，再將③式代入，得 因為，兩邊同時除以得 故所求點P的軌跡方程為. 7. （2011·新課標全國高考理科·Ｔ20）在平面直角坐標系xOy中，已知點A(0,-1)，B點在直線y = -3上，M點滿足， ，M點的軌跡為曲線C. （Ⅰ）求C的方程； （Ⅱ）P為C上的動點，l為C在P點處得切線，求O點到l距離的最小值. 【思路點撥】第（1）問，求

7、點的軌跡，可設點坐標為，然后利用條件得到點B的坐標，最后將條件轉化為坐標關系，得到滿足的關系式，化簡整理即得的方程； 第（2）問，設出點的坐標，利用導數(shù)求出切線的斜率，表示出的方程，再利用點到直線的距離公式求得點到距離的函數(shù)，然后利用函數(shù)的知識求出最值即可. 【精講精析】(Ⅰ)設M(x,y),由已知得B(x,-3),A(0,-1). 所以=（-x,-1-y）, =(0,-3-y), =(x,-2). 再由題意可知（+）??=0, 即（-x,-4-2y）??(x,-2)=0. 所以曲線C的方程式為y=x-2. (Ⅱ)設P(x,y)為曲線C：y=x -2上一點，因為y=x,所以的斜率為

8、x 因此直線的方程為，即. 則O點到的距離.又，所以 當=0時取等號，所以O點到距離的最小值為2. 8.（2011·山東高考理科·Ｔ22）（本小題滿分14分） 已知直線l與橢圓C: 交于P（x1,y1），Q(x2,y2)兩不同點，且△OPQ的面積,其中O為坐標原點. （Ⅰ）證明x12+x22和y12+y22均為定值 （Ⅱ）設線段PQ的中點為M，求的最大值； （Ⅲ）橢圓C上是否存在點D,E,G，使得若存在，判斷△DEG的形狀；若不存在，請說明理由. 【思路點撥】本題重點考察學生的計算能力，相比較去年的圓錐曲線題目，今年的題目難度要大一些，是一道較好的選拔優(yōu)秀學生的題目.

9、（1）分斜率存在和不存在兩種情況討論.（2）利用第一問的結論，再應用基本不等式容易得出結論.（3）利用反證法，假設存在這樣的點，經(jīng)推理得出矛盾，從而證明原結論成立. 【精講精析】（Ⅰ）當直線的斜率不存在時，兩點關于軸對稱，則，由在橢圓上，則，而，則.于是，.當直線的斜率存在，設直線為，代入可得，即，由得，，化簡得 ， 則，滿足 ， ， 綜上可知，. （Ⅱ）當直線的斜率不存在時，由（Ⅰ）知 當直線的斜率存在時，由（Ⅰ）知， ， ，當且僅當，即時等號成立，綜上可知的最大值為. （Ⅲ）假設橢圓上存在三點，使得， 由（Ⅰ）知， . 解得,， 因此只能從中選

10、取，只能從中選取， 因此只能從中選取三個不同點，而這三點的兩兩連線必有一個過原點，這與相矛盾， 故橢圓上不存在三點，使得. 9.（2011·山東高考文科·Ｔ22）（本小題滿分14分） 在平面直角坐標系中，已知橢圓.如圖所示，斜率為且不過原點的直線交橢圓于，兩點，線段的中點為，射線交橢圓于點，交直線于點. （Ⅰ）求的最小值； （Ⅱ）若?，（i）求證：直線過定點； （ii）試問點，能否關于軸對稱？若能，求出此時的外接圓方程；若不能，請說明理由. 【思路點撥】本題重點考察學生的計算能力，相比較去年的圓錐曲線題目，今年的題目難度要大一些，是一道較好的選拔優(yōu)秀學生的題目.（I）設直線

11、，聯(lián)立方程，在由韋達定理得出中點E的坐標，由3點共線，可知解得，由基本不等式得出最小值.（II）（i）注意先求出k和n的關系，再由交點直線系方程得出l過定點. （ii）可先假設對稱，然后通過運算驗證這樣的圓是否存在. 【精講精析】（Ⅰ）由題意:設直線, 由消y得:, 設A、B,AB的中點E,則由韋達定理得: =,即,, 所以中點E的坐標為, 因為O、E、D三點在同一直線上， 所以，即， 解得， 所以=,當且僅當時取等號, 即的最小值為2. （Ⅱ）（i）證明:由題意知:n>0,因為直線OD的方程為, 所以由得交點G的縱坐標為, 又因為,,且?，所以, 又由（Ⅰ）

12、知: ,所以解得,所以直線的方程為, 即有, 令得,y=0,與實數(shù)k無關, 所以直線過定點(-1,0). （ii）假設點，關于軸對稱,則有的外接圓的圓心在x軸上, 又在線段AB的中垂線上, 由（i）知點G,所以點B, 又因為直線過定點(-1,0),所以直線的斜率為， 又因為，所以解得或， 又因為,所以舍去,即， 此時k=1，m=1，E（），. AB的中垂線為2x+2y+1=0， 圓心坐標為，圓半徑為，圓的方程為. 綜上所述, 點，關于軸對稱,此時的外接圓的方程為: . 10.（2011·遼寧高考理科·Ｔ20）（本小題滿分12分）如圖，已知橢圓C1的中心在原點O，長軸

13、左、右端點M，N在x軸上，橢圓C2的短軸為MN，且C1，C2的離心率都為e，直線⊥MN，l與C1交于兩點，與C2交于兩點，這四點按縱坐標從大到小依次為A，B，C，D． （I）設，求與的比值； （II）當e變化時，是否存在直線l，使得BO∥AN，并說明理由 【思路點撥】（I）先利用離心率相同設出的方程和直線的方程，再求出的坐標，然后計算與的長度就可求出比值；（II）先考慮直線過原點的情況，再考慮直線不過原點的情況，此時利用斜率相等（即＝）建立等式關系，再考慮的因素，可得到關于的不等式，求解說明即可． 【精講精析】(Ⅰ)因為的離心率相同，故依題意可設 ：，：，（， 設直線：

14、，分別與，的方程聯(lián)立，求得 ……4分 當時，，分別用表示A，B的縱坐標，可知 :=. ……6分 （Ⅱ）時的不符合題意．時，∥當且僅當?shù)男甭? 與的斜率相等，即， 解得 ， 因為，又，所以，解得， 所以當時，不存在直線，使得∥；當時，存在直線， 使得∥. ……12分 11．（2011·湖南高考理科·T21）（13分） 如圖7，橢圓x軸被曲線：-b截得的線段長等于的長半軸長. （Ⅰ）求的方程； （Ⅱ）設與y軸的交點為M，過坐標原點O

15、的直線l與相交于點A，B，直線MA，MB分別與相交于點D，E. （i）證明：MD； （ii）記的面積分別為.問：是否存在直線l，使得 ？請說明理由. 【思路點撥】本題以橢圓和拋物線為載體，考查兩曲線的基本知識.題中通過求曲線的方程考查兩曲線的基本知識點的關系.第二問通過證明的考查考查邏輯思維能力和探索參數(shù)的存在考查方程.解決本題需要較強的綜合運用知識的能力.考查了數(shù)形結合思想、等價轉化思想和方程思想. 【精講精析】（I）由題意知，從而，又，解得。 故，的方程分別為。 （II）（i）由題意知，直線的斜率存在，設為，則直線的方程為. 由得， 設，則是上述方程的兩個實根，于是。

16、 又點的坐標為，所以 故，即。 （ii）設直線的斜率為，則直線的方程為，由解得或，則點的坐標為 又直線的斜率為 ，同理可得點B的坐標為. 于是 由得， 解得或，則點的坐標為； 又直線的斜率為，同理可得點的坐標 于是 因此 由題意知，解得 或。 又由點的坐標可知，，所以 故滿足條件的直線存在，且有兩條，其方程分別為和。 12．（2011·湖南高考文科T21）（本小題滿分13分）已知平面內一動點P到點F(1,0)的距離與點P到y(tǒng)軸的距離的差等于1. （Ⅰ）求動點P的軌跡C的方程； （Ⅱ）過點F作兩條斜率存在且互相垂直的直線，設與軌跡C相交于點A，B，與軌跡C相交

17、于點D，E，求的最小值. 【思路點撥】本題考查求曲線的方程，考查利用代數(shù)方法研究幾何問題的基本方法，考查數(shù)形結合思想.考查運算能力，考查分析問題、解決問題的能力. 【精講精析】 （I）設動點的坐標為，由題意為 化簡得 當、 所以動點P的軌跡C的方程為 （II）由題意知，直線的斜率存在且不為0，設為，則的方程為． 由，得 設則是上述方程的兩個實根，于是 ． 因為，所以的斜率為． 設則同理可得 故 當且僅當即時，取最小值16． 13．（2011·陜西高考理科·T17）（本小題滿分12分） 如圖，設P是圓上的動點，點D是P在軸上投影， M為PD上一點，且．

18、 （Ⅰ）當P在圓上運動時，求點M的軌跡C的方程； （Ⅱ）求過點（3，0）且斜率為的直線被C所截線段的長度． 【思路點撥】（1）動點M通過點P與已知圓相聯(lián)系，所以把點P的坐標用點M的坐標表示，然后代入已知圓的方程即可；（2）直線方程和橢圓方程組成方程組，可以求解，也可以利用根與系數(shù)關系；結合兩點的距離公式計算． 【精講精析】（Ⅰ）設點M的坐標是，P的坐標是， 因為點D是P在軸上投影， M為PD上一點，且，所以，且， ∵P在圓上，∴，整理得， 即C的方程是． （Ⅱ）過點（3，0）且斜率為的直線方程是， 設此直線與C的交點為，， 將直線方程代入C的方程得： ，化簡得，∴，， 所以線段AB的長度是 ，即所截線段的長度是．