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(福建專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第7課時 空間向量及其運算課時闖關(guān)(含解析)

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1、 (福建專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第7課時 空間向量及其運算課時闖關(guān)(含解析) 一、選擇題 1.若向量a=(1,λ,2),b=(-2,1,1),a,b夾角的余弦值為,則λ等于(  ) A.1           B.-1 C.±1 D.2 解析:選A.cos〈a,b〉===, 解得λ=1. 2.(2012·三明調(diào)研)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E為上底面A1C1的中心,若=+x+y,則x,y的值分別為(  ) A.x=1,y=1 B.x=1,y= C.x=,y= D.x=,y=1 解析:選C.如圖,=+=+=+(+).

2、3.設(shè)點C(2a+1,a+1,2)在點P(2,0,0)、A(1,-3,2)、B(8,-1,4)確定的平面上,則a等于(  ) A.16 B.4 C.2 D.8 解析:選A.=(-1,-3,2),=(6,-1,4). 根據(jù)共面向量定理,設(shè)=x+y(x、y∈R), 則(2a-1,a+1,2)=x(-1,-3,2)+y(6,-1,4) =(-x+6y,-3x-y,2x+4y), ∴解得x=-7,y=4,a=16. 4.平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,=x+2y+3z,則x+y+z等于(  ) A. B.1 C. D. 解析:∵=++, 又,,不共面,∴

3、x=1,2y=1,3z=-1. ∴x=1,y=,z=-.∴x+y+z=1+-=. 答案: 5.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a,點E、F分別是BC、AD的中點,則·的值為(  ) A.a(chǎn)2 B.a2 C.a2 D.a2 解析:選C.如圖所示,設(shè)=a,=b,=c,則|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量兩兩夾角為60°. =(a+b),=c, ∴·=(a+b)·c =(a·c+b·c)=(a2cos60°+a2cos60°)=a2. 二、填空題 6.(2010·高考廣東卷)若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1)

4、,滿足條件(c-a)·(2b)=-2,則x=________. 解析:∵a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1), ∴c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2). ∴(c-a)·(2b)=2(1-x)=-2,∴x=2. 答案:2 7.已知G是△ABC的重心,O是平面ABC外的一點,若λ=++,則λ=________. 解析:如圖,正方體中, ++==3,∴λ=3. 答案:3 8.(原創(chuàng)題)如圖,已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,BC=3,M為AC1與CA1的交點,則M點的坐標(biāo)為__________. 解析:由長方體的幾何性

5、質(zhì)得, M為AC1的中點, 在所給的坐標(biāo)系中, A(0,0,0),C1(2,3,2), ∴中點M 的坐標(biāo)為(1,,1). 答案:(1,,1) 三、解答題 9.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,O為AC的中點. (1)化簡:--; (2)設(shè)E是棱DD1上的點,且=,若=x+y+z,試求x、y、z的值. 解:(1)∵+=, ∴--=-(+) =-=-=. (2)∵=+=+ =+(+) =++ =--, ∴x=,y=-,z=-. 10.如圖所示,平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,以頂點A為端點的三條棱長都為1,且兩兩夾角為60°. (1)求AC1

6、的長; (2)求BD1與AC夾角的余弦值. 解:記=a,=b,=c, 則|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°, ∴a·b=b·c=c·a=. (1)||2=(a+b+c)2 =a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a) =1+1+1+2×(++)=6, ∴||=,即AC1的長為. (2)=b+c-a,=a+b, ∴|1|=,||=,·=(b+c-a)·(a+b) =b2-a2+a·c+b·c=1. ∴cos〈,〉==. ∴AC與BD1夾角的余弦值為. 一、選擇題 1.(2012·寧德調(diào)研)已知點A(-3,-1,-4)關(guān)于原

7、點的對稱點為A1,點A在xOz平面上的射影為A2,則在y軸正方向上的投影為(  ) A.2 B.-1 C.1 D.-2 解析:選B.A1的坐標(biāo)為(3,1,4),A2的坐標(biāo)為(-3,0,-4). =(-6,-1,-8),y軸正方向上的單位向量e=(0,1,0),∴投影為·e=-1. 2.(2012·寧德調(diào)研)O、A、B、C為空間四個點,又、、為空間的一個基底,則(  ) A.O、A、B、C四點不共線 B.O、A、B、C四點共面,但不共線 C.O、A、B、C四點中任意三點不共線 D.O、A、B、C四點不共面 解析:選D.由基底意義,、、三個向量不共面,但A、B、C三種情

8、形都有可能使、、共面.只有D才能使這三個向量不共面,故應(yīng)選D. 二、填空題 3.(2011·高考大綱全國卷)已知點E、F分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于__________. 解析:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系. 設(shè)面ABC的法向量為n1=(0,0,1),面AEF的法向量為n2=(x,y,z). 設(shè)正方體的棱長為1, ∵A(1,0,0),E,F(xiàn), ∴=,=, 則取x=1,則y=-1,z=3, 故n2=(1,-1,3), ∴cos〈n1,n2〉==, ∴面AEF與面ABC所

9、成的二面角的平面角α滿足cos α=,sin α=,∴tan α=. 答案: 4.(2012·南平質(zhì)檢)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,O是A1C1的中點,則點O到平面ABC1D1的距離為________. 解析:建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系. 可得C1(0,1,1),O(,,1),D(0,0,0),A1(1,0,1), =(,-,0). 平面ABC1D1的法向量=(1,0,1),點O到平面ABC1D1的距離 d===. 答案: 三、解答題 5.如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°. (1)求證:BD⊥

10、平面PAC; (2)若PA=AB,求PB與AC所成角的余弦值; (3)當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時,求PA的長. 解:(1)證明:因為四邊形ABCD是菱形,所以AC⊥BD. 又因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.所以BD⊥平面PAC. (2)設(shè)AC∩BD=O,因為∠BAD=60°,PA=AB=2, 所以BO=1,AO=CO=. 如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則P(0,-,2),A(0,-,0),B(1,0,0),C(0,,0). 所以P=(1,,-2),A=(0,2,0). 設(shè)PB與AC所成角為θ,則 cos θ===. (3)由(2)知B=(

11、-1,,0). 設(shè)P(0,-,t)(t>0),則B=(-1,-,t). 設(shè)平面PBC的法向量m=(x,y,z), 則B·m=0,B·m=0. 所以 令y=,則x=3,z=.所以m=. 同理,平面PDC的法向量n=. 因為平面PBC⊥平面PDC,所以m·n=0,即-6+=0, 解得t=.所以PA=. 6.如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=90°,3AD=DC=3,AB=2,E是DC上的點,且滿足DE=1,連結(jié)AE,將△DAE沿AE折起到△D1AE的位置,使得∠D1AB=60°,設(shè)AC與BE的交點為O. (1)試用基向量,,表示向量; (2)求異面直線OD1與AE

12、所成角的余弦值; (3)判斷平面D1AE與平面ABCE是否垂直?并說明理由. 解:(1)∵AB∥CE,AB=CE=2, ∴四邊形ABCE是平行四邊形, ∴O為BE的中點. ∴=-=-(+) =--. (2)設(shè)異面直線OD1與AE所成的角為θ, 則cosθ=|cos〈,〉| =||, ∵·=(--)· =·-·-||2 =1××cos45°-×2××cos45°-×()2 =-1, ||= =, ∴cosθ=||==. 故異面直線OD1與AE所成角的余弦值為. (3)平面D1AE⊥平面ABCE.證明如下: 取AE的中點M,連結(jié)D1M,則=-=-, ∴·=(-)·=||2-· =×()2-1××cos45°=0. ∴⊥.∴D1M⊥AE. ∵·=(-)· =·-· =××2×cos45°-1×2×cos60°=0, ∴⊥,∴D1M⊥AB. 又AE∩AB=A,AE、AB?平面ABCE, ∴D1M⊥平面ABCE. ∵D1M?平面D1AE, ∴平面D1AE⊥平面ABCE.

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