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1、
(福建專用)2013年高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí) 第八章第7課時 空間向量及其運算課時闖關(guān)(含解析)
一、選擇題
1.若向量a=(1,λ,2),b=(-2,1,1),a,b夾角的余弦值為,則λ等于( )
A.1 B.-1
C.±1 D.2
解析:選A.cos〈a,b〉===,
解得λ=1.
2.(2012·三明調(diào)研)已知正方體ABCD-A1B1C1D1中,點E為上底面A1C1的中心,若=+x+y,則x,y的值分別為( )
A.x=1,y=1 B.x=1,y=
C.x=,y= D.x=,y=1
解析:選C.如圖,=+=+=+(+).
2、3.設(shè)點C(2a+1,a+1,2)在點P(2,0,0)、A(1,-3,2)、B(8,-1,4)確定的平面上,則a等于( )
A.16 B.4
C.2 D.8
解析:選A.=(-1,-3,2),=(6,-1,4).
根據(jù)共面向量定理,設(shè)=x+y(x、y∈R),
則(2a-1,a+1,2)=x(-1,-3,2)+y(6,-1,4)
=(-x+6y,-3x-y,2x+4y),
∴解得x=-7,y=4,a=16.
4.平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,=x+2y+3z,則x+y+z等于( )
A. B.1
C. D.
解析:∵=++,
又,,不共面,∴
3、x=1,2y=1,3z=-1.
∴x=1,y=,z=-.∴x+y+z=1+-=.
答案:
5.已知空間四邊形ABCD的每條邊和對角線的長都等于a,點E、F分別是BC、AD的中點,則·的值為( )
A.a(chǎn)2 B.a2
C.a2 D.a2
解析:選C.如圖所示,設(shè)=a,=b,=c,則|a|=|b|=|c|=a,且a,b,c三向量兩兩夾角為60°.
=(a+b),=c,
∴·=(a+b)·c
=(a·c+b·c)=(a2cos60°+a2cos60°)=a2.
二、填空題
6.(2010·高考廣東卷)若向量a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1)
4、,滿足條件(c-a)·(2b)=-2,則x=________.
解析:∵a=(1,1,x),b=(1,2,1),c=(1,1,1),
∴c-a=(0,0,1-x),2b=(2,4,2).
∴(c-a)·(2b)=2(1-x)=-2,∴x=2.
答案:2
7.已知G是△ABC的重心,O是平面ABC外的一點,若λ=++,則λ=________.
解析:如圖,正方體中,
++==3,∴λ=3.
答案:3
8.(原創(chuàng)題)如圖,已知長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=AA1=2,BC=3,M為AC1與CA1的交點,則M點的坐標(biāo)為__________.
解析:由長方體的幾何性
5、質(zhì)得,
M為AC1的中點,
在所給的坐標(biāo)系中,
A(0,0,0),C1(2,3,2),
∴中點M 的坐標(biāo)為(1,,1).
答案:(1,,1)
三、解答題
9.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,O為AC的中點.
(1)化簡:--;
(2)設(shè)E是棱DD1上的點,且=,若=x+y+z,試求x、y、z的值.
解:(1)∵+=,
∴--=-(+)
=-=-=.
(2)∵=+=+
=+(+)
=++
=--,
∴x=,y=-,z=-.
10.如圖所示,平行六面體ABCD-A1B1C1D1中,以頂點A為端點的三條棱長都為1,且兩兩夾角為60°.
(1)求AC1
6、的長;
(2)求BD1與AC夾角的余弦值.
解:記=a,=b,=c,
則|a|=|b|=|c|=1,〈a,b〉=〈b,c〉=〈c,a〉=60°,
∴a·b=b·c=c·a=.
(1)||2=(a+b+c)2
=a2+b2+c2+2(a·b+b·c+c·a)
=1+1+1+2×(++)=6,
∴||=,即AC1的長為.
(2)=b+c-a,=a+b,
∴|1|=,||=,·=(b+c-a)·(a+b)
=b2-a2+a·c+b·c=1.
∴cos〈,〉==.
∴AC與BD1夾角的余弦值為.
一、選擇題
1.(2012·寧德調(diào)研)已知點A(-3,-1,-4)關(guān)于原
7、點的對稱點為A1,點A在xOz平面上的射影為A2,則在y軸正方向上的投影為( )
A.2 B.-1
C.1 D.-2
解析:選B.A1的坐標(biāo)為(3,1,4),A2的坐標(biāo)為(-3,0,-4).
=(-6,-1,-8),y軸正方向上的單位向量e=(0,1,0),∴投影為·e=-1.
2.(2012·寧德調(diào)研)O、A、B、C為空間四個點,又、、為空間的一個基底,則( )
A.O、A、B、C四點不共線
B.O、A、B、C四點共面,但不共線
C.O、A、B、C四點中任意三點不共線
D.O、A、B、C四點不共面
解析:選D.由基底意義,、、三個向量不共面,但A、B、C三種情
8、形都有可能使、、共面.只有D才能使這三個向量不共面,故應(yīng)選D.
二、填空題
3.(2011·高考大綱全國卷)已知點E、F分別在正方體ABCD-A1B1C1D1的棱BB1、CC1上,且B1E=2EB,CF=2FC1,則面AEF與面ABC所成的二面角的正切值等于__________.
解析:如圖,建立空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)面ABC的法向量為n1=(0,0,1),面AEF的法向量為n2=(x,y,z).
設(shè)正方體的棱長為1,
∵A(1,0,0),E,F(xiàn),
∴=,=,
則取x=1,則y=-1,z=3,
故n2=(1,-1,3),
∴cos〈n1,n2〉==,
∴面AEF與面ABC所
9、成的二面角的平面角α滿足cos α=,sin α=,∴tan α=.
答案:
4.(2012·南平質(zhì)檢)正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為1,O是A1C1的中點,則點O到平面ABC1D1的距離為________.
解析:建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系.
可得C1(0,1,1),O(,,1),D(0,0,0),A1(1,0,1),
=(,-,0).
平面ABC1D1的法向量=(1,0,1),點O到平面ABC1D1的距離
d===.
答案:
三、解答題
5.如圖,在四棱錐PABCD中,PA⊥平面ABCD,底面ABCD是菱形,AB=2,∠BAD=60°.
(1)求證:BD⊥
10、平面PAC;
(2)若PA=AB,求PB與AC所成角的余弦值;
(3)當(dāng)平面PBC與平面PDC垂直時,求PA的長.
解:(1)證明:因為四邊形ABCD是菱形,所以AC⊥BD.
又因為PA⊥平面ABCD,所以PA⊥BD.所以BD⊥平面PAC.
(2)設(shè)AC∩BD=O,因為∠BAD=60°,PA=AB=2,
所以BO=1,AO=CO=.
如圖,以O(shè)為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz,則P(0,-,2),A(0,-,0),B(1,0,0),C(0,,0).
所以P=(1,,-2),A=(0,2,0).
設(shè)PB與AC所成角為θ,則
cos θ===.
(3)由(2)知B=(
11、-1,,0).
設(shè)P(0,-,t)(t>0),則B=(-1,-,t).
設(shè)平面PBC的法向量m=(x,y,z),
則B·m=0,B·m=0.
所以
令y=,則x=3,z=.所以m=.
同理,平面PDC的法向量n=.
因為平面PBC⊥平面PDC,所以m·n=0,即-6+=0,
解得t=.所以PA=.
6.如圖,在梯形ABCD中,AB∥CD,∠ADC=90°,3AD=DC=3,AB=2,E是DC上的點,且滿足DE=1,連結(jié)AE,將△DAE沿AE折起到△D1AE的位置,使得∠D1AB=60°,設(shè)AC與BE的交點為O.
(1)試用基向量,,表示向量;
(2)求異面直線OD1與AE
12、所成角的余弦值;
(3)判斷平面D1AE與平面ABCE是否垂直?并說明理由.
解:(1)∵AB∥CE,AB=CE=2,
∴四邊形ABCE是平行四邊形,
∴O為BE的中點.
∴=-=-(+)
=--.
(2)設(shè)異面直線OD1與AE所成的角為θ,
則cosθ=|cos〈,〉|
=||,
∵·=(--)·
=·-·-||2
=1××cos45°-×2××cos45°-×()2
=-1,
||= =,
∴cosθ=||==.
故異面直線OD1與AE所成角的余弦值為.
(3)平面D1AE⊥平面ABCE.證明如下:
取AE的中點M,連結(jié)D1M,則=-=-,
∴·=(-)·=||2-·
=×()2-1××cos45°=0.
∴⊥.∴D1M⊥AE.
∵·=(-)·
=·-·
=××2×cos45°-1×2×cos60°=0,
∴⊥,∴D1M⊥AB.
又AE∩AB=A,AE、AB?平面ABCE,
∴D1M⊥平面ABCE.
∵D1M?平面D1AE,
∴平面D1AE⊥平面ABCE.