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7.5三角形內(nèi)角和定理 第1課時(shí) 三角形內(nèi)角和定理 教學(xué)目標(biāo) 【知識與技能】 掌握“三角形內(nèi)角和定理”的證明及簡單的應(yīng)用. 【過程與方法】 通過一題多變,建立思考情境,形成獨(dú)立思考、合作交流的學(xué)習(xí)模式,培養(yǎng)理性說理能力. 【情感態(tài)度價(jià)值觀】 培養(yǎng)學(xué)生創(chuàng)造性,弘揚(yáng)個(gè)性發(fā)展,體驗(yàn)解決問題的成就感,使學(xué)生感悟邏輯推理的數(shù)學(xué)價(jià)值. 教學(xué)重難點(diǎn) 【教學(xué)重點(diǎn)】 理解三角形內(nèi)角和定理及其簡單的應(yīng)用. 【教學(xué)難點(diǎn)】 三角形內(nèi)角和定理的證明方法. 課前準(zhǔn)備 【教師準(zhǔn)備】教學(xué)導(dǎo)入圖片和例題圖片. 【學(xué)生準(zhǔn)備】量角器、三角板等作圖工具. 教學(xué)過程 一、導(dǎo)入新課 導(dǎo)入一: 師:我們知道,三角形內(nèi)角和等于多少度? 生:(齊聲)三角形的內(nèi)角和是180°. 師:你們還記得這個(gè)結(jié)論的探索過程嗎? 請看試驗(yàn):將三角形紙片的三個(gè)角剪下,隨意將它們拼湊在一起. 生:由試驗(yàn)可知三角形的內(nèi)角和正好為一個(gè)平角. 師:但觀察與試驗(yàn)得到的結(jié)論,并不一定正確、可靠,這樣就需要通過數(shù)學(xué)證明.那么怎樣證明呢?這節(jié)課我們一起探究一下三角形內(nèi)角和定理的證明.(教師板書課題) [設(shè)計(jì)意圖]　對比過去撕紙等探索過程,體會思維試驗(yàn)和符號化的理性作用.將自己的操作轉(zhuǎn)化為符號語言對于學(xué)生來說還存在一定困難,因此需要一個(gè)臺階,使學(xué)生逐步過渡到嚴(yán)格的證明. 導(dǎo)入二: 課件出示《三角形家族的“官司”風(fēng)波》. 故事導(dǎo)入:很久很久以前的一天,數(shù)學(xué)國際法庭來了三位告狀者,它們是銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形.“它們干什么來了?”“是來打官司的.”這不它們在法庭外剛一見面又爭吵起來: 銳角三角形說:“我們銳角三角形的內(nèi)角和度數(shù)最大!” 直角三角形說:“不對!是我們直角三角形的內(nèi)角和最大!” 鈍角三角形說:“你們別吵了!還是我們鈍角三角形的內(nèi)角和最大!” 問題1 【課件1】　如果你是法庭庭長,你認(rèn)為該怎樣對它們宣判?為什么? 問題2 【課件2】　你們還記得小學(xué)是怎樣探索三角形內(nèi)角和的嗎?誰能給大家說一說或者展示一下嗎? 問題3 【課件3】　小學(xué)的證明方法固然好,但是這些方法可靠嗎?現(xiàn)在有更加科學(xué)嚴(yán)密、更有說服力的證明方法嗎? [處理方式]　學(xué)生觀察并讀出對話及問題.問題1學(xué)生能夠順利解決;問題2學(xué)生一次回答出全部答案會有困難,根據(jù)學(xué)生已有的知識經(jīng)驗(yàn),學(xué)生間互相補(bǔ)充能夠解決,學(xué)生邊說邊在講臺上演示測量法、折拼法、剪拼法(撕拼法).學(xué)生回答時(shí)語言可能不準(zhǔn)確,教師及時(shí)引導(dǎo)糾正.教師根據(jù)學(xué)生回答利用課件展示三種方法.對于問題3,學(xué)生通過思考、聯(lián)想前面所學(xué),應(yīng)該能夠解決.學(xué)生只要能夠回答出用推理的方法證明三角形內(nèi)角和即可,不要求作出具體回答. 1.測量法. 2.折拼法: 3.剪拼法(撕拼法): [設(shè)計(jì)意圖]　通過學(xué)生動(dòng)手測量、折紙與剪紙等操作讓學(xué)生獲得直接經(jīng)驗(yàn),為下面探究推理證明提供直接經(jīng)驗(yàn). 導(dǎo)入三: 出示下面的投影片 工人師傅將凹型零件(圖(1))加工成斜面EC與槽底CD成55°角的燕尾槽(圖(2))的程序是:將垂直的銑刀傾斜偏轉(zhuǎn)35°角(圖(3)),就能得到55°的燕尾槽底角.為什么銑刀偏轉(zhuǎn)35°角就能得到55°的燕尾槽底角呢? [設(shè)計(jì)意圖]　通過問題的解答,再現(xiàn)所學(xué)知識,為新知識的接納做心理和知識上的準(zhǔn)備,引出新課內(nèi)容. 2、 新知構(gòu)建 (1).探索三角形內(nèi)角和定理 [過渡語]　我們已經(jīng)知道三角形內(nèi)角和等于180°,這個(gè)定理是怎樣證明的呢? 思路一 [活動(dòng)內(nèi)容1]　證明思路的探索分析. (多媒體出示)剪拼法圖示(動(dòng)態(tài)): 問題1 【課件1】　如圖所示,當(dāng)∠A移到∠1的位置時(shí),殘邊CD和邊AB有何位置關(guān)系?為什么? 問題2 【課件2】　在剪拼法中,通過移動(dòng)角拼成了一個(gè)平角;如果不實(shí)際移動(dòng)角,那么你還有其他方法可以達(dá)到同樣的效果嗎? [處理方式]　教師先出示圖,學(xué)生讀題回答.對于問題1可讓學(xué)生到黑板前指圖回答,注意語言表達(dá)及學(xué)生指圖的準(zhǔn)確性,發(fā)現(xiàn)不當(dāng)處,及時(shí)強(qiáng)調(diào).問題2可以讓學(xué)生合作完成.如果有困惑,教師可作引導(dǎo).利用課件圖形,結(jié)合問題1引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行逆向思考:“如果先移動(dòng)角,那么可以得到平行線;反過來,如果我們先畫出平行線,會得到什么呢?”此時(shí)教師在空白ΔABC上規(guī)范作出射線CD,使CD∥AB,學(xué)生自然推出∠1=∠A.教師追問:“你還可以得到哪些角相等?說說理由.”學(xué)生得出∠2=∠B后,一個(gè)平角自然就擺放在學(xué)生眼前了,達(dá)到了移角的效果.此時(shí)教師順勢引出輔助線:為了證明的需要,在原來的圖形上添作的線叫做輔助線.(教師板書:輔助線)在平面幾何里,輔助線通常畫成虛線. [設(shè)計(jì)意圖]　利用剪撕紙得來的直接經(jīng)驗(yàn)和逆向思維的方式,引導(dǎo)學(xué)生初步感悟輔助線的來源和作用,提高學(xué)生分析問題的能力. [活動(dòng)內(nèi)容2]　說一說,寫一寫. 問題1 【課件1】　你能用簡潔的語言完整地說一說分析思路嗎? 問題2 【課件2】　你能用數(shù)學(xué)推理的方法證明它嗎? 問題3 【課件3】　證明的關(guān)鍵是什么?說說你的想法. [處理方式]　問題1小組交流后學(xué)生代表發(fā)言,展示交流成果.學(xué)生發(fā)言時(shí),教師注意提示學(xué)生文字命題的證明步驟以及數(shù)學(xué)語言表達(dá)的規(guī)范性.對于問題2,教師引導(dǎo)學(xué)生再次明確輔助線的作法及其相關(guān)要求:(1)這里的CD稱為輔助線;(2)輔助線通常畫成虛線.師生合作,教師規(guī)范完成輔助線的添加后,余下的證明過程由一名學(xué)生在黑板上獨(dú)立完成,其余學(xué)生在練習(xí)本上寫出完整的證明過程.教師巡視,幫助、鼓勵(lì)困難學(xué)生解決問題.學(xué)生板演完成后師生共同評價(jià),評價(jià)時(shí)重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)輔助線的作法及證明過程的規(guī)范性.對于問題3,學(xué)生回答時(shí),可能語言不準(zhǔn)確,教師及時(shí)引導(dǎo),讓學(xué)生自主感悟體會到證明的關(guān)鍵是添加輔助線,把三角形內(nèi)角和轉(zhuǎn)化成一個(gè)平角. 【多媒體展示】　已知:如圖所示,ΔABC. 求證:∠A+∠B+∠ACB=180°. 證明:如圖所示,延長BC至D,過點(diǎn)C作射線CE∥AB,則∠1=∠A(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等), ∠2=∠B(兩直線平行,同位角相等). ∵∠1+∠2+∠ACB=180°(平角的定義), ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換). 師:命題“三角形的內(nèi)角和等于180°”經(jīng)過了我們嚴(yán)密地推理證明,它是真命題.此時(shí)我們可以理直氣壯地稱之為三角形內(nèi)角和定理. 【課件展示】　三角形內(nèi)角和定理:三角形的內(nèi)角和等于180°. [設(shè)計(jì)意圖]　用平行線的性質(zhì)定理來推導(dǎo)出三角形內(nèi)角和定理,讓學(xué)生再次體會推理證明的嚴(yán)密性和數(shù)學(xué)的嚴(yán)謹(jǐn).同時(shí)讓學(xué)生初步理解添加輔助線的原因及添加輔助線的注意事項(xiàng),培養(yǎng)學(xué)生的分析能力和邏輯推理能力. 思路二 [過渡語]　根據(jù)上面給出的基本事實(shí)和三角形內(nèi)角和定理,你能用自己的語言說一說這一結(jié)論的證明思路嗎?你能用較為簡潔的語言寫出這一證明過程嗎?與同伴交流. 接下來同學(xué)們來證明:三角形的內(nèi)角和等于180°這個(gè)真命題.這是一個(gè)文字命題,證明時(shí)需要先干什么呢? 生:需要先畫出圖形,根據(jù)命題的條件和結(jié)論,結(jié)合圖形寫出已知、求證. 師:對,下面大家來證明,哪位同學(xué)上黑板給大家板演呢? 生1:已知:如圖所示,ΔABC. 求證:∠A+∠B+∠ACB=180°. 證明:作BC的延長線CD,過點(diǎn)C作射線CE∥AB, 則∠ACE=∠A(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),∠ECD=∠B(兩直線平行,同位角相等). ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(平角的定義), ∴∠A+∠B+∠ACB=180°(等量代換). 生2:老師,我的證明過程是這樣的: 證明:作BC的延長線CD,作∠ECD=∠B,則EC∥AB(同位角相等,兩直線平行), ∴∠A=∠ACE(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等). ∵∠ACB+∠ACE+∠ECD=180°(1平角=180°), ∴∠ACB+∠A+∠B=180°(等量代換). 師:同學(xué)們寫的證明過程都很好,在證明過程中,我們僅僅添畫了一條射線CE,使處于原三角形中不同位置的三個(gè)角,巧妙地拼“湊”到了一起.為了證明的需要,在原來的圖形上添畫的線叫做輔助線.在平面幾何里,輔助線通常畫成虛線. 我們通過推理的過程,得證了命題:三角形的內(nèi)角和等于180°是真命題,這時(shí)稱它為定理,即三角形內(nèi)角和定理. (2)、想一想,做一做 【問題】你還能用其他方法證明三角形內(nèi)角和定理嗎? [處理方式]　學(xué)生先嘗試獨(dú)立完成,教師巡視引導(dǎo).絕大多數(shù)學(xué)生會想到圖形(1)的方法.對于圖形(2),可能只有少數(shù)學(xué)生想到或者全體學(xué)生都想不到.當(dāng)只有少數(shù)學(xué)生想到時(shí),教師指名學(xué)生說說方法和理由.如果全體學(xué)生都想不到,教師可以追問:“我們移動(dòng)其中一塊,能否得到平行線呢?”并引導(dǎo)學(xué)生擺出圖形(2).結(jié)合圖形(2),學(xué)生會恍然大悟:應(yīng)該如何添加輔助線,進(jìn)而解決圖形(2)的證明過程.教師巡視時(shí),有意識尋找證明過程正確規(guī)范的作業(yè),全班展示、評價(jià). 【參考答案】　 證法1:過點(diǎn)A作DE∥BC. ∵DE∥BC, ∴∠1=∠B,∠2=∠C(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等). ∵∠1+∠2+∠3=180°(平角的定義), ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代換). 證法2:過點(diǎn)A作AD∥BC. ∵AD∥BC, ∴∠1=∠B(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等),∠DAC+∠C=180°(兩直線平行,同旁內(nèi)角互補(bǔ)). 又∵∠DAC=∠1+∠2, ∴∠1+∠2+∠C=180°(等量代換), ∴∠BAC+∠B+∠C=180°(等量代換). [設(shè)計(jì)意圖]　通過學(xué)生獨(dú)立運(yùn)用較簡單的方法證明三角形內(nèi)角和定理,感受體會“輔助線”的作法和作用,提高一題多解的能力,體會思維的多樣性和基本的轉(zhuǎn)化思想. (3)、議一議 【問題】綜上所述,添加輔助線的目的是什么?你是怎樣理解輔助線的? [處理方式]教師先快速地展示三種輔助線的添加圖形,學(xué)生結(jié)合圖片先在小組內(nèi)討論交流,形成小組成果,然后全班交流、隨時(shí)互評.學(xué)生討論時(shí),教師參與其中,傾聽學(xué)生的討論,引導(dǎo)學(xué)生從輔助線的作用、作法、要求去交流.學(xué)生通過觀察圖形得出:添加輔助線的目的是構(gòu)造180°的平角或同旁內(nèi)角. 【課件展示】　添加輔助線的目的: 三角形內(nèi)角和平角、同旁內(nèi)角 【教師總結(jié)】(1)輔助線通常畫成虛線;(2)輔助線要正確、規(guī)范地寫出作法,并標(biāo)明字母,便于書寫證明過程;(3)輔助線能把題目中可利用的隱藏條件顯露出來,化難為易. 為便于學(xué)生掌握,總結(jié)四句話:小小輔助線,作時(shí)畫虛線,寫清其來源,隱藏條件見. [設(shè)計(jì)意圖]添加輔助線是教學(xué)中的一個(gè)難點(diǎn),學(xué)生通過思考、討論、交流對輔助線的認(rèn)識,展示思維過程,然后在老師的引導(dǎo)下達(dá)成共識,進(jìn)一步加深了對輔助線的理解,易于突破教學(xué)難點(diǎn),提高學(xué)生解決問題的能力. (4)、探究活動(dòng) 剛才同學(xué)們對輔助線掌握得很好.接下來,我將平角或同旁內(nèi)角的位置移動(dòng)或者改造一下,使它再有一些難度,看誰還能攻克它? [處理方式]　教師先出示圖(1),思考:怎樣添加輔助線?學(xué)生思考討論,由于圖形較直觀,學(xué)生能夠解決輔助線的添加問題;學(xué)生完成后教師出示圖(2);為便于學(xué)生敘述證明過程,教師再出示圖(3).學(xué)生根據(jù)圖(3)口述證明過程.學(xué)生在口述證明過程時(shí),教師注意數(shù)學(xué)語言表達(dá)的規(guī)范性和推理證明的邏輯性. (1) (2) [設(shè)計(jì)意圖]　用多種方法證明三角形內(nèi)角和定理,培養(yǎng)一題多解的能力,同時(shí)提高學(xué)生添加輔助線的技能、技巧,提高解決問題的能力. (5)、典例解析,應(yīng)用新知 [活動(dòng)內(nèi)容1]　通過剛才的學(xué)習(xí),同學(xué)們不僅知道了輔助線,而且利用它用多種方法證明了三角形內(nèi)角和定理,你們覺得學(xué)了這些知識,能解決哪些問題呢? 【課件展示】　 如圖所示,在ΔABC中,∠B=38°,∠C=62°,AD是ΔABC的角平分線,求∠ADB的度數(shù). [處理方式]　學(xué)生先結(jié)合圖形讀題,指圖說出已知條件和要解決的問題,然后說說分析思路及求解過程,最后學(xué)生板演,師生共同評價(jià).如果學(xué)生有困難,可以先在小組內(nèi)討論交流. 在學(xué)生板演時(shí),教師巡視指導(dǎo),幫助、鼓勵(lì)學(xué)困生完成任務(wù).集體評價(jià)時(shí),教師強(qiáng)調(diào)證明過程的規(guī)范性和嚴(yán)謹(jǐn)性. 解:在ΔABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°(三角形內(nèi)角和定理). ∵∠B=38°,∠C=62°(已知), ∴∠BAC=180°-38°-62°=80°(等式的性質(zhì)). ∵AD平分∠BAC(已知), ∴∠BAD=∠CAD=12∠BAC=12×80°=40°(角平分線的定義). 在ΔADB中,∠B+∠BAD+∠ADB=180°(三角形內(nèi)角和定理). ∵∠B=38°(已知),∠BAD=40°(已證), ∴∠ADB=180°-38°-40°=102°(等式的性質(zhì)). [設(shè)計(jì)意圖]　學(xué)生通過三角形內(nèi)角和定理的簡單應(yīng)用,及時(shí)加深了對所學(xué)知識的理解,規(guī)范學(xué)生的證明過程,培養(yǎng)了學(xué)生良好的學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的習(xí)慣. 三、課堂總結(jié) 四、課堂練習(xí) 1.三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于　　　　.? 答案:180° 2.如下圖所示的是三角形內(nèi)角和定理的幾種證明方法,可分別記作　　　　法,　　　　法,　　　　法.? 答案:拼湊　作平行線　折疊 3. 如圖所示,AD是∠BAC的平分線,若∠ADC=110°,且∠DAC=∠C,求ΔABC的三個(gè)內(nèi)角的度數(shù). 解:∵∠ADC=110°,∠DAC=∠C,∴∠C=180°-110°2=35°,∴∠BAC=2∠DAC=2∠C=70°,∴∠B=180°-70°-35°=75°. 4.在ΔABC中,∠A∶∠B∶∠C=1∶3∶5,求∠A,∠B,∠C的度數(shù). 解:設(shè)∠A,∠B,∠C的度數(shù)分別為x,3x,5x, 則x+3x+5x=180°, 解得x=20°, ∴∠A=20°,∠B=60°,∠C=100°. 五、板書設(shè)計(jì) 第1課時(shí) 1.探索三角形內(nèi)角和定理 2.想一想,做一做 3.議一議 4.探索活動(dòng) 5.典例解析,應(yīng)用新知 六、布置作業(yè) 【必做題】教材隨堂練習(xí)第2,3題. 【選做題】教材習(xí)題7.6第5題. - 9 -