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第二章 一元二次方程測試卷（2） 一．選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分．每小題給出4個選項，其中只有一個是正確的） 1．（3分）把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，則a、b、c的值分別是（　?。? A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，2 2．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可變形為（　?。? A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4 3．（3分）如果關于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是（　?。? A．k＞ B．k＞且k≠0 C．k＜ D．k≥且k≠0 4．（3分）用換元法解方程﹣=3時，設=y，則原方程可化為（　?。? A．y﹣﹣3=0 B．y﹣﹣3=0 C．y﹣+3=0 D．y﹣+3=0 5．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12=0的兩個根，則這個三角形的周長是（　?。? A．11 B．10 C．11或10 D．不能確定 6．（3分）若分式的值為零，則x的值為（　?。? A．3 B．3或﹣3 C．0 D．﹣3 7．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情況為（　?。? A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根 8．（3分）在某次聚會上，每兩人都握了一次手，所有人共握手10次，設有x人參加這次聚會，則列出方程正確的是（　?。? A．x（x﹣1）=10 B．=10 C．x（x+1）=10 D．=10 9．（3分）某農(nóng)機廠四月份生產(chǎn)零件50萬個，第二季度共生產(chǎn)零件182萬個．設該廠五、六月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是（　?。? A．50（1+x）2=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=182 C．50（1+2x）=182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）2=182 10．（3分）已知x1，x2是關于x的方程x2+ax﹣2b=0的兩實數(shù)根，且x1+x2=﹣2，x1?x2=1，則ba的值是（　?。? A． B．﹣ C．4 D．﹣1 11．（3分）定義運算：a?b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的兩根，則b?b﹣a?a的值為（　?。? A．0 B．1 C．2 D．與m有關 12．（3分）使用墻的一邊，再用13m的鐵絲網(wǎng)圍成三邊，圍成一個面積為20m2的長方形，求這個長方形的兩邊長．設墻的對邊長為xm，可得方程（　?。? A．x（13﹣x）=20 B．x?=20 C．x（13﹣x）=20 D．x?=20 　 二．填空題（每小題3分，共12分） 13．（3分）方程x2﹣3=0的根是　?。? 14．（3分）當k=　　時，方程x2+（k+1）x+k=0有一根是0． 15．（3分）設m，n分別為一元二次方程x2+2x﹣2018=0的兩個實數(shù)根，則m2+3m+n=　?。? 16．（3分）寫出以4，﹣5為根且二次項的系數(shù)為1的一元二次方程是　?。? 　 三．解答題（本題有7小題，共52分） 17．（10分）解方程 （1）x2﹣4x﹣5=0 （2）3x（x﹣1）=2﹣2x． 18．（5分）試證明關于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0無論a取何值，該方程都是一元二次方程． 19．（6分）某村計劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為2：1．在溫室內，沿前側內墻保留3m寬的空地，其它三側內墻各保留1m寬的通道．當矩形溫室的長與寬各為多少時，蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2？ 20．（8分）某種商品的標價為400元/件，經(jīng)過兩次降價后的價格為324元/件，并且兩次降價的百分率相同． （1）求該種商品每次降價的百分率； （2）若該種商品進價為300元/件，兩次降價共售出此種商品100件，為使兩次降價銷售的總利潤不少于3210元．問第一次降價后至少要售出該種商品多少件？ 21．（6分）閱讀下面的例題， 范例：解方程x2﹣|x|﹣2=0， 解：（1）當x≥0時，原方程化為x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合題意，舍去）． （2）當x＜0時，原方程化為x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合題意，舍去）． ∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2 請參照例題解方程x2﹣|x﹣1|﹣1=0． 22．（8分）龍華天虹商場以120元/件的價格購進一批上衣，以200元/件的價格出售，每周可售出100件．為了促銷，該商場決定降價銷售，盡快減少庫存．經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，這種上衣每降價5元/件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．該商場要想每周盈利8000元，應將每件上衣的售價降低多少元？ 23．（9分）如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．點P從A點開始沿A邊向點B以1厘米/秒的速度移動（到達點B即停止運動），點Q從C點開始沿CB邊向點B以2厘米/秒的速度移動（到達點C即停止運動）． （1）如果P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，△PBQ的面積等于是△ABC的三分之一？ （2）如果P、Q兩點分別從A、C兩點同時出發(fā)，而且動點P從A點出發(fā)，沿AB移動（到達點B即停止運動），動點Q從C出發(fā)，沿CB移動（到達點C即停止運動），幾秒鐘后，P、Q相距6厘米？ （3）如果P、Q兩點分別從A、C兩點同時出發(fā)，而且動點P從A點出發(fā)，沿AB移動（到達點B即停止運動），動點Q從C出發(fā)，沿CB移動（到達點B即停止運動），是否存在一個時刻，PQ同時平分△ABC的周長與面積？若存在求出這個時刻的t 值，若不存在說明理由． 　  參考答案與試題解析 一．選擇題（本題共12小題，每小題3分，共36分．每小題給出4個選項，其中只有一個是正確的） 1．（3分）把方程x（x+2）=5（x﹣2）化成一般式，則a、b、c的值分別是（　?。? A．1，﹣3，10 B．1，7，﹣10 C．1，﹣5，12 D．1，3，2 【考點】一元二次方程的一般形式． 【專題】壓軸題；推理填空題． 【分析】a、b、c分別指的是一元二次方程的一般式中的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項． 【解答】解：由方程x（x+2）=5（x﹣2），得 x2﹣3x+10=0， ∴a、b、c的值分別是1、﹣3、10； 故選A． 【點評】本題考查了一元二次方程的一般形式．一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0），在一般形式中ax2叫二次項，bx叫一次項，c是常數(shù)項．其中a，b，c分別叫二次項系數(shù)，一次項系數(shù)，常數(shù)項． 　 2．（3分）一元二次方程x2﹣6x﹣5=0配方可變形為（　?。? A．（x﹣3）2=14 B．（x﹣3）2=4 C．（x+3）2=14 D．（x+3）2=4 【考點】解一元二次方程-配方法． 【分析】先把方程的常數(shù)項移到右邊，然后方程兩邊都加上32，這樣方程左邊就為完全平方式． 【解答】解：x2﹣6x﹣5=0， x2﹣6x=5， x2﹣6x+9=5+9， （x﹣3）2=14， 故選：A． 【點評】本題考查了利用配方法解一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）：先把二次系數(shù)變?yōu)?，即方程兩邊除以a，然后把常數(shù)項移到方程右邊，再把方程兩邊加上一次項系數(shù)的一半． 　 3．（3分）如果關于x的一元二次方程k2x2﹣（2k+1）x+1=0有兩個不相等的實數(shù)根，那么k的取值范圍是（　?。? A．k＞ B．k＞且k≠0 C．k＜ D．k≥且k≠0 【考點】根的判別式． 【專題】壓軸題． 【分析】若一元二次方程有兩不等根，則根的判別式△=b2﹣4ac＞0，建立關于k的不等式，求出k的取值范圍． 【解答】解：由題意知，k≠0，方程有兩個不相等的實數(shù)根， 所以△＞0，△=b2﹣4ac=（2k+1）2﹣4k2=4k+1＞0． 又∵方程是一元二次方程，∴k≠0， ∴k＞且k≠0． 故選B． 【點評】總結：一元二次方程根的情況與判別式△的關系： （1）△＞0?方程有兩個不相等的實數(shù)根； （2）△=0?方程有兩個相等的實數(shù)根； （3）△＜0?方程沒有實數(shù)根． 注意方程若為一元二次方程，則k≠0． 　 4．（3分）用換元法解方程﹣=3時，設=y，則原方程可化為（　?。? A．y﹣﹣3=0 B．y﹣﹣3=0 C．y﹣+3=0 D．y﹣+3=0 【考點】換元法解分式方程． 【分析】把y=代入原方程，移項即可得到答案． 【解答】解：設=y， 則原方程可化為：y﹣=3，即y﹣﹣3=0， 故選：A． 【點評】本題主要考查換元法解分式方程，用換元法解一些復雜的分式方程是比較簡單的一種方法，根據(jù)方程特點設出相應未知數(shù)，解方程能夠使問題簡單化． 　 5．（3分）等腰三角形的底和腰是方程x2﹣7x+12=0的兩個根，則這個三角形的周長是（　?。? A．11 B．10 C．11或10 D．不能確定 【考點】解一元二次方程-因式分解法；三角形三邊關系；等腰三角形的性質． 【專題】計算題；一次方程（組）及應用． 【分析】利用因式分解法求出方程的解得到x的值，確定出底與腰，即可求出周長． 【解答】解：方程分解得：（x﹣3）（x﹣4）=0， 解得：x1=3，x2=4， 若3為底，4為腰，三角形三邊為3，4，4，周長為3+4+4=11； 若3為腰，4為底，三角形三邊為3，3，4，周長為3+3+4=10． 故選C． 【點評】此題考查了解一元二次方程﹣因式分解法，熟練掌握因式分解法是解本題的關鍵． 　 6．（3分）若分式的值為零，則x的值為（　?。? A．3 B．3或﹣3 C．0 D．﹣3 【考點】分式的值為零的條件；解一元二次方程-直接開平方法；解一元一次不等式． 【專題】計算題． 【分析】分式的值為0的條件是：（1）分子為0；（2）分母不為0．兩個條件需同時具備，缺一不可．據(jù)此可以解答本題． 【解答】解：由題意，可得x2﹣9=0且2x﹣6≠0， 解得x=﹣3． 故選D． 【點評】本題主要考查分式的值為0的條件．由于該類型的題易忽略分母不為0這個條件，所以常以這個知識點來命題． 　 7．（3分）一元二次方程x2﹣x﹣1=0的根的情況為（　?。? A．有兩個不相等的實數(shù)根 B．有兩個相等的實數(shù)根 C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根 【考點】根的判別式． 【分析】先求出△的值，再判斷出其符號即可． 【解答】解：∵a=1，b=﹣1，c=﹣1， ∴△=b2﹣4ac=（﹣1）2﹣4×1×（﹣1）=5＞0， ∴方程有兩個不相等的實數(shù)根， 故選：A． 【點評】本題考查的是根的判別式，熟知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與△的關系是解答此題的關鍵． 　 8．（3分）在某次聚會上，每兩人都握了一次手，所有人共握手10次，設有x人參加這次聚會，則列出方程正確的是（　?。? A．x（x﹣1）=10 B．=10 C．x（x+1）=10 D．=10 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【專題】其他問題；壓軸題． 【分析】如果有x人參加了聚會，則每個人需要握手（x﹣1）次，x人共需握手x（x﹣1）次；而每兩個人都握了一次手，因此要將重復計算的部分除去，即一共握手：次；已知“所有人共握手10次”，據(jù)此可列出關于x的方程． 【解答】解：設x人參加這次聚會，則每個人需握手：x﹣1（次）； 依題意，可列方程為：=10； 故選B． 【點評】理清題意，找對等量關系是解答此類題目的關鍵；需注意的是本題中“每兩人都握了一次手”的條件，類似于球類比賽的單循環(huán)賽制． 　 9．（3分）某農(nóng)機廠四月份生產(chǎn)零件50萬個，第二季度共生產(chǎn)零件182萬個．設該廠五、六月份平均每月的增長率為x，那么x滿足的方程是（　?。? A．50（1+x）2=182 B．50+50（1+x）+50（1+x）2=182 C．50（1+2x）=182 D．50+50（1+x）+50（1+2x）2=182 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【專題】增長率問題；壓軸題． 【分析】主要考查增長率問題，一般增長后的量=增長前的量×（1+增長率），如果該廠五、六月份平均每月的增長率為x，那么可以用x分別表示五、六月份的產(chǎn)量，然后根據(jù)題意可得出方程． 【解答】解：依題意得五、六月份的產(chǎn)量為50（1+x）、50（1+x）2， ∴50+50（1+x）+50（1+x）2=182． 故選B． 【點評】增長率問題，一般形式為a（1+x）2=b，a為起始時間的有關數(shù)量，b為終止時間的有關數(shù)量． 　 10．（3分）已知x1，x2是關于x的方程x2+ax﹣2b=0的兩實數(shù)根，且x1+x2=﹣2，x1?x2=1，則ba的值是（　?。? A． B．﹣ C．4 D．﹣1 【考點】根與系數(shù)的關系． 【分析】根據(jù)根與系數(shù)的關系和已知x1+x2和x1?x2的值，可求a、b的值，再代入求值即可． 【解答】解：∵x1，x2是關于x的方程x2+ax﹣2b=0的兩實數(shù)根， ∴x1+x2=﹣a=﹣2，x1?x2=﹣2b=1， 解得a=2，b=﹣， ∴ba=（﹣）2=． 故選：A． 【點評】此題主要考查了根與系數(shù)的關系，將根與系數(shù)的關系與代數(shù)式變形相結合解題是一種經(jīng)常使用的解題方法． 　 11．（3分）定義運算：a?b=a（1﹣b）．若a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的兩根，則b?b﹣a?a的值為（　?。? A．0 B．1 C．2 D．與m有關 【考點】根與系數(shù)的關系． 【專題】新定義． 【分析】（方法一）由根與系數(shù)的關系可找出a+b=1，根據(jù)新運算找出b?b﹣a?a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a），將其中的1替換成a+b，即可得出結論． （方法二）由根與系數(shù)的關系可找出a+b=1，根據(jù)新運算找出b?b﹣a?a=（a﹣b）（a+b﹣1），代入a+b=1即可得出結論． 【解答】解：（方法一）∵a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的兩根， ∴a+b=1， ∴b?b﹣a?a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b（a+b﹣b）﹣a（a+b﹣a）=ab﹣ab=0． （方法二）∵a，b是方程x2﹣x+m=0（m＜0）的兩根， ∴a+b=1． ∵b?b﹣a?a=b（1﹣b）﹣a（1﹣a）=b﹣b2﹣a+a2=（a2﹣b2）+（b﹣a）=（a+b）（a﹣b）﹣（a﹣b）=（a﹣b）（a+b﹣1），a+b=1， ∴b?b﹣a?a=（a﹣b）（a+b﹣1）=0． 故選A． 【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系，解題的關鍵是找出a+b=1．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)根與系數(shù)的關系得出兩根之積與兩根之和是關鍵． 　 12．（3分）使用墻的一邊，再用13m的鐵絲網(wǎng)圍成三邊，圍成一個面積為20m2的長方形，求這個長方形的兩邊長．設墻的對邊長為xm，可得方程（　?。? A．x（13﹣x）=20 B．x?=20 C．x（13﹣x）=20 D．x?=20 【考點】由實際問題抽象出一元二次方程． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】根據(jù)鐵絲網(wǎng)的總長度為13m，長方形的面積為20m2，來列出關于x的方程，由題意可知，墻的對邊為xm，則長方形的另一對邊為m，則可利用面積公式求出即可． 【解答】解：設墻的對邊長為x m，可得方程：x×=20． 故選：B． 【點評】本題主要考查長方形的周長和長方形的面積公式，得出矩形兩邊長是解題關鍵． 　 二．填空題（每小題3分，共12分） 13．（3分）方程x2﹣3=0的根是　x=±?。? 【考點】解一元二次方程-直接開平方法． 【專題】計算題；一次方程（組）及應用． 【分析】方程變形后，利用平方根定義開方即可求出x的值． 【解答】解：方程整理得：x2=3， 開方得：x=±， 故答案為：x=± 【點評】此題考查了解一元二次方程﹣直接開平方法，熟練掌握平方根定義是解本題的關鍵． 　 14．（3分）當k=　0　時，方程x2+（k+1）x+k=0有一根是0． 【考點】一元二次方程的解． 【專題】計算題． 【分析】將x=0代入已知的方程中，得到關于k的方程，求出方程的解即可得到滿足題意k的值． 【解答】解：將x=0代入方程x2+（k+1）x+k=0得：k=0， 則k=0時，方程x2+（k+1）x+k=0有一根是0． 故答案為：0 【點評】此題考查了一元二次方程的解，方程的解即為能使方程左右兩邊相等的未知數(shù)的值． 　 15．（3分）設m，n分別為一元二次方程x2+2x﹣2018=0的兩個實數(shù)根，則m2+3m+n=　2016?。? 【考點】根與系數(shù)的關系． 【專題】計算題． 【分析】先利用一元二次方程根的定義得到m2=﹣2m+2018，則m2+3m+n可化簡為2018+m+n，再根據(jù)根與系數(shù)的關系得到m+n=﹣2，然后利用整體代入的方法計算． 【解答】解：∵m為一元二次方程x2+2x﹣2018=0的實數(shù)根， ∴m2+2m﹣2018=0，即m2=﹣2m+2018， ∴m2+3m+n=﹣2m+2018+3m+n=2018+m+n， ∵m，n分別為一元二次方程x2+2x﹣2018=0的兩個實數(shù)根， ∴m+n=﹣2， ∴m2+3m+n=2018﹣2=2016． 【點評】本題考查了根與系數(shù)的關系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根時，x1+x2=﹣，x1x2=．也考查了一元二次方程根的定義． 　 16．（3分）寫出以4，﹣5為根且二次項的系數(shù)為1的一元二次方程是　x2+x﹣20=0?。? 【考點】根與系數(shù)的關系． 【專題】計算題． 【分析】先簡單4與﹣5的和與積，然后根據(jù)根與系數(shù)的關系寫出滿足條件的方程． 【解答】解：∵4+（﹣5）=﹣1，4×（﹣5）=﹣20， ∴以4，﹣5為根且二次項的系數(shù)為1的一元二次方程為x2+x﹣20=0． 故答案為x2+x﹣20=0． 【點評】本題考查了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根與系數(shù)的關系：若方程兩個為x1，x2，則x1+x2=﹣，x1?x2=． 　 三．解答題（本題有7小題，共52分） 17．（10分）解方程 （1）x2﹣4x﹣5=0 （2）3x（x﹣1）=2﹣2x． 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【分析】（1）根據(jù)因式分解法可以解答本題； （2）先移項，然后提公因式可以解答此方程． 【解答】解：（1）x2﹣4x﹣5=0 （x﹣5）（x+1）=0 ∴x﹣5=0或x+1=0， 解得，x1=5，x2=﹣1； （2）3x（x﹣1）=2﹣2x 3x（x﹣1）+2（x﹣1）=0 （3x+2）（x﹣1）=0 ∴3x+2=0或x﹣1=0， 解得，． 【點評】本題考查解一元二次方程﹣因式分解法，解題的關鍵是根據(jù)方程的特點，選取合適的因式分解法解答方程． 　 18．（5分）試證明關于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0無論a取何值，該方程都是一元二次方程． 【考點】一元二次方程的定義． 【專題】證明題． 【分析】根據(jù)一元二次方程的定義，只需證明此方程的二次項系數(shù)a2﹣8a+20不等于0即可． 【解答】證明：∵a2﹣8a+20=（a﹣4）2+4≥4， ∴無論a取何值，a2﹣8a+20≥4，即無論a取何值，原方程的二次項系數(shù)都不會等于0， ∴關于x的方程（a2﹣8a+20）x2+2ax+1=0，無論a取何值，該方程都是一元二次方程． 【點評】一元二次方程有四個特點：（1）只含有一個未知數(shù)；（2）含未知數(shù)的項的最高次數(shù)是2；（3）是整式方程；（4）將方程化為一般形式ax2+bx+c=0時，應滿足a≠0．要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理．如果能整理為ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，則這個方程就為一元二次方程． 　 19．（6分）某村計劃建造如圖所示的矩形蔬菜溫室，要求長與寬的比為2：1．在溫室內，沿前側內墻保留3m寬的空地，其它三側內墻各保留1m寬的通道．當矩形溫室的長與寬各為多少時，蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2？ 【考點】一元二次方程的應用． 【專題】幾何圖形問題． 【分析】本題有多種解法．設的對象不同則列的一元二次方程不同．設矩形溫室的寬為xm，則長為2xm，根據(jù)矩形的面積計算公式即可列出方程求解． 【解答】解：解法一：設矩形溫室的寬為xm，則長為2xm， 根據(jù)題意，得（x﹣2）?（2x﹣4）=288， ∴2（x﹣2）2=288， ∴（x﹣2）2=144， ∴x﹣2=±12， 解得：x1=﹣10（不合題意，舍去），x2=14， 所以x=14，2x=2×14=28． 答：當矩形溫室的長為28m，寬為14m時，蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2． 解法二：設矩形溫室的長為xm，則寬為xm．根據(jù)題意，得（x﹣2）?（x﹣4）=288． 解這個方程，得x1=﹣20（不合題意，舍去），x2=28． 所以x=28，x=×28=14． 答：當矩形溫室的長為28m，寬為14m時，蔬菜種植區(qū)域的面積是288m2． 【點評】解答此題，要運用含x的代數(shù)式表示蔬菜種植矩形長與寬，再由面積關系列方程． 　 20．（8分）某種商品的標價為400元/件，經(jīng)過兩次降價后的價格為324元/件，并且兩次降價的百分率相同． （1）求該種商品每次降價的百分率； （2）若該種商品進價為300元/件，兩次降價共售出此種商品100件，為使兩次降價銷售的總利潤不少于3210元．問第一次降價后至少要售出該種商品多少件？ 【考點】一元二次方程的應用；一元一次不等式的應用． 【分析】（1）設該種商品每次降價的百分率為x%，根據(jù)“兩次降價后的售價=原價×（1﹣降價百分比）的平方”，即可得出關于x的一元二次方程，解方程即可得出結論； （2）設第一次降價后售出該種商品m件，則第二次降價后售出該種商品（100﹣m）件，根據(jù)“總利潤=第一次降價后的單件利潤×銷售數(shù)量+第二次降價后的單件利潤×銷售數(shù)量”，即可得出關于m的一元一次不等式，解不等式即可得出結論． 【解答】解：（1）設該種商品每次降價的百分率為x%， 依題意得：400×（1﹣x%）2=324， 解得：x=10，或x=190（舍去）． 答：該種商品每次降價的百分率為10%． （2）設第一次降價后售出該種商品m件，則第二次降價后售出該種商品（100﹣m）件， 第一次降價后的單件利潤為：400×（1﹣10%）﹣300=60（元/件）； 第二次降價后的單件利潤為：324﹣300=24（元/件）． 依題意得：60m+24×（100﹣m）=36m+2400≥3210， 解得：m≥22.5． ∴m≥23． 答：為使兩次降價銷售的總利潤不少于3210元．第一次降價后至少要售出該種商品23件． 【點評】本題考查了一元二次方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）根據(jù)數(shù)量關系得出關于x的一元二次方程；（2）根據(jù)數(shù)量關系得出關于m的一元一次不等式．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)數(shù)量關系列出不等式（方程或方程組）是關鍵． 　 21．（6分）閱讀下面的例題， 范例：解方程x2﹣|x|﹣2=0， 解：（1）當x≥0時，原方程化為x2﹣x﹣2=0，解得：x1=2，x2=﹣1（不合題意，舍去）． （2）當x＜0時，原方程化為x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合題意，舍去）． ∴原方程的根是x1=2，x2=﹣2 請參照例題解方程x2﹣|x﹣1|﹣1=0． 【考點】解一元二次方程-因式分解法． 【專題】閱讀型． 【分析】分為兩種情況：（1）當x≥1時，原方程化為x2﹣x=0，（2）當x＜1時，原方程化為x2+x﹣2=0，求出方程的解即可． 【解答】解：x2﹣|x﹣1|﹣1=0， （1）當x≥1時，原方程化為x2﹣x=0，解得：x1=1，x2=0（不合題意，舍去）． （2）當x＜1時，原方程化為x2+x﹣2=0，解得：x1=﹣2，x2=1（不合題意，舍去）． 故原方程的根是x1=1，x2=﹣2． 【點評】本題考查了解一元二次方程的應用，解此題的關鍵是能正確去掉絕對值符號． 　 22．（8分）龍華天虹商場以120元/件的價格購進一批上衣，以200元/件的價格出售，每周可售出100件．為了促銷，該商場決定降價銷售，盡快減少庫存．經(jīng)調查發(fā)現(xiàn)，這種上衣每降價5元/件，每周可多售出20件．另外，每周的房租等固定成本共3000元．該商場要想每周盈利8000元，應將每件上衣的售價降低多少元？ 【考點】一元二次方程的應用． 【分析】設每件上衣應降價x元，則每件利潤為（80﹣x）元，本題的等量關系為：每件上衣的利潤×每天售出數(shù)量﹣固定成本=8000． 【解答】解：設每件上衣應降價x元，則每件利潤為（80﹣x）元， 列方程得：（80﹣x）（100+x）﹣3000=8000， 解得：x1=30，x2=25 因為為了促銷，該商場決定降價銷售，盡快減少庫存， 所以x=30． 答：應將每件上衣的售價降低30元． 【點評】本題考查了一元二次方程的應用，解題關鍵是要讀懂題目的意思，根據(jù)題目給出的條件，找出合適的等量關系，列出方程，再求解． 　 23．（9分）如圖，在△ABC中，∠B=90°，AB=6厘米，BC=8厘米．點P從A點開始沿A邊向點B以1厘米/秒的速度移動（到達點B即停止運動），點Q從C點開始沿CB邊向點B以2厘米/秒的速度移動（到達點C即停止運動）． （1）如果P、Q分別從A、C兩點同時出發(fā)，經(jīng)過幾秒鐘，△PBQ的面積等于是△ABC的三分之一？ （2）如果P、Q兩點分別從A、C兩點同時出發(fā)，而且動點P從A點出發(fā)，沿AB移動（到達點B即停止運動），動點Q從C出發(fā)，沿CB移動（到達點C即停止運動），幾秒鐘后，P、Q相距6厘米？ （3）如果P、Q兩點分別從A、C兩點同時出發(fā)，而且動點P從A點出發(fā)，沿AB移動（到達點B即停止運動），動點Q從C出發(fā)，沿CB移動（到達點B即停止運動），是否存在一個時刻，PQ同時平分△ABC的周長與面積？若存在求出這個時刻的t 值，若不存在說明理由． 【考點】三角形綜合題． 【分析】（1）設經(jīng)過t秒鐘，△PBQ的面積等于是△ABC的三分之一，根據(jù)題意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t，由，△PBQ的面積等于是△ABC的三分之一列式可得求出t的值； （2）在Rt△PQB中，根據(jù)勾股定理列方程即可； （3）分兩種情況：①當PQ平分△ABC面積時，計算出這時的t=5﹣，同時計算這時PQ所截△ABC的周長是否平分；②當PQ平分△ABC周長時，計算出這時的t=，此時△PBQ的面積是否為，計算即可． 【解答】解：（1）設經(jīng)過t秒鐘，△PBQ的面積等于是△ABC的三分之一， 由題意得：AP=t，BP=6﹣t，BQ=2t， ×2t×（6﹣t）=××6×8， 解得：t=2或4， ∵0≤t≤4， ∴t=2或4符合題意， 答：經(jīng)過2或4秒鐘，△PBQ的面積等于是△ABC的三分之一； （2）在Rt△PQB中，PQ2=BQ2+PB2， ∴62=（2t）2+（6﹣t）2， 解得：t1=0（舍），t2=， 答：秒鐘后，P、Q相距6厘米； （3）由題意得：PB=6﹣t，BQ=8﹣2t， 分兩種情況： ①當PQ平分△ABC面積時， S△PBQ=S△ABC， （6﹣t）（8﹣2t）=××8×6， 解得：t1=5+，t2=5﹣， ∵Q從C到B，一共需要8÷2=4秒，5+＞4， ∴t1=5+不符合題意，舍去， 當t2=5﹣時，AP=5﹣，BP=6﹣（5﹣）=1+，BQ=8﹣2（5﹣）=2﹣2，CQ=2（5﹣）=10﹣2， PQ將△ABC的周長分為兩部分： 一部分為：AC+AP+CQ=10+5﹣+10﹣2=25﹣3， 另一部分：PB+BQ=1++2﹣2=3﹣1， 25﹣3≠3﹣1， ②當PQ平分△ABC周長時， AP+AC+CQ=PB+BQ， 10+2t+t=6﹣t+8﹣2t， t=， 當t=時，PB=6﹣=， BQ=8﹣2×=， ∴S△PBQ=××=≠12， 綜上所述，不存在這樣一個時刻，PQ同時平分△ABC的周長與面積． 【點評】本題是動點運動問題，在三角形中的動點問題，首先要確定兩個動點的：路線、路程、速度、時間，表示出時間為t時的路程是哪一條線段的長，根據(jù)已知條件列等式或方程，解出即可．