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2.3 等差數(shù)列的前n項和 第1課時 等差數(shù)列的前n項和,1,高斯 (1777—1855） 德國著名數(shù)學家,1+2+3+…+98+99+100=？ 高斯10歲時曾很快算出這一結果，如何算的呢？,我們先看下面的問題.,2,1+2+3+···+100=?,,帶著這個問題，我們進入本節(jié)課的學習！,3,1. 掌握等差數(shù)列前n項和公式及其獲取思路； (重點） 2. 會用等差數(shù)列的前n項和公式解決一些簡單的與前n項和有關的問題．（難點）,4,下面再來看1+2+3+…+98+99+100的高斯算法.,設S100=1 + 2 + 3 +…+98+99+100,反序S100=100+99+98+…+ 3+ 2 + 1,多少個101 ?,100個101,,探究點1 等差數(shù)列的前n項和公式,5,所以S100=,(1+100)×100,？,？,首項,尾項,？,總 和,？,項數(shù),,這就是等差數(shù)列前n項和的公式！,=5 050,6,?+?得： 2Sn=(a1+an)+(a2+an-1)+(a3+an-2)+…+(an+a1). ?,以下證明{an}是等差數(shù)列，Sn是其前n項和，則,證：Sn= a1+ a2 + a3 + … +an-2+an-1+an,,即Sn=,a1,,an,+ a2 +,+an-1+,a3,an-2,+…+,??,7,2Sn=(a1+an)+(a1+an)+ … +(a1+an),多少個(a1+an) ?,共有n個(a1+an),,由等差數(shù)列的性質：當m+n=p+q時，am+an=ap+aq 知：,a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…=an+a1，所以?式可化為：,= n(a1+an).,這種求和的方法叫倒序相加法！,因此，,8,【即時練習】,9,探究點2 等差數(shù)列的前n項和公式的其他形式,10,【即時練習】,11,例1(P43例1)2000年11月14日教育部下發(fā)了《關于在中小學實施 “校校通”工程的通知》.某市據(jù)此提出了實施“校校通”工程的總目標：從2001年起用10年的時間，在全市中小學建成不同標準的校園網.據(jù)測算，2001年該市用于“校校通”工程的經費為500萬元.為了保證工程的順利實施，計劃每年投入的資金都比上一年增加50萬元.那么從2001年起的未來10年內，該市在“校校通”工程中的總投入是多少？,12,【解析】根據(jù)題意，從2001～2010年，該市每年投入“校校通” 工程的經費都比上一年增加50萬元.所以，可以建立一個等差數(shù)列{an} ，表示從2001年起各年投入的資金，其中,13,【變式練習1】,C,14,例2(P44例2)已知一個等差數(shù)列 前10項的和是310，前20項的和是1220.由這些條件能確定這個等差數(shù)列的前n項和的公式嗎？,【解題關鍵】將已知條件代入等差數(shù)列前n項和的公式后，可得到兩個關于 與d的二元一次方程，由此可以求得 與d，從而得到所求前n項和的公式.,15,【規(guī)律總結】 此例題的目的是建立等差數(shù)列前n項和與方程組之間的聯(lián)系.已知幾個量，通過解方程組，得出其余的未知量.,讓我們歸納一下！,16,【變式練習2】,C,17,18,19,20,【變式練習3】,,21,22,,等差數(shù)列前n項和公式的性質,思考,如果{an}是等差數(shù)列，那么a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋… ＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差數(shù)列嗎？,,答案,(a11＋a12＋…＋a20)－(a1＋a2＋…＋a10) ＝(a11－a1)＋(a12－a2)＋…＋(a20－a10) ＝ ＝100d，類似可得 (a21＋a22＋…＋a30)－(a11＋a12＋…＋a20)＝100d. ∴a1＋a2＋…＋a10，a11＋a12＋…＋a20，a21＋a22＋…＋a30是等差數(shù)列．,梳理,(1)Sm，S2m，S3m分別為等差數(shù)列{an}的前m項，前2m項，前3m項的和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m也成等差數(shù)列，公差為m2d. (2)若等差數(shù)列的項數(shù)為2n(n∈N*)，則S2n＝ ，且S偶－S奇＝ ， (3)若等差數(shù)列的項數(shù)為2n－1(n∈N*)， 則S2n－1＝ ，且S奇－S偶＝an，S奇＝nan，S偶＝(n－1)·an，,n(an＋an＋1),nd,(2n－1)an,說明：兩個求和公式的使用——知三求一.,26,青年之文明，奮斗之文明也，與境遇奮斗，與時代奮斗，與經驗奮斗。故青年者，人生之王，人生之春，人生之華也。 ——李大釗,,27,B,28,29,2.(2015·全國卷Ⅱ)設Sn是等差數(shù)列{an}的前n項和,若a1+a3+a5=3,則S5= ( ) A.5 B.7 C.9 D.11,【解析】選A.a1+a3+a5=3a3=3?a3=1,S5= =5a3=5.,A,30,6,31,A,32,33,