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等差數(shù)列的性質(zhì),1,知識回顧,等差數(shù)列,②等差數(shù)列的通項公式是關(guān)于n的一次函數(shù)形式， 當d=0時，為常函數(shù)。,an=a1+(n-1)d,等差數(shù)列各項對應的點都在同一條直線上.,【說明】 AAA①公式中,2,一、判定題：下列數(shù)列是否是等差數(shù)列？,①. 9 ，7，5，3，……, -2n+11， ……； ②. -1，11，23，35，……,12n-13，……； ③. 1，2，1，2，………………； ④. 1，2，4，6，8，10， ……； ⑤. a, a, a, a, ……， a，…… ；,√,√,√,×,×,,復習鞏固：,3,,,(1)等差數(shù)列8，5，2，…，的第5項是 AA AAAAAAA (2)等差數(shù)列-5，-9，-13，…的第n項是A,-4,an = -5+(n-1).(-4),10,【說明】 在等差數(shù)列{an}的通項公式中 a1、d、an、n 任知 三 個， 可求出 另外一個,二、填空題：,簡言之————“知三求四” 這里包含函數(shù)思想和方程思想,(3)已知{an}為等差數(shù)列，a1=3，d= 2 ，an=21，則n =,4,性質(zhì)一、任意兩項的關(guān)系 在等差數(shù)列 中，有,5,性質(zhì)二、等差中項,觀察如下的兩個數(shù)之間，插入一個什么數(shù)后三個數(shù)就會成為一個等差數(shù)列：,（1）2 ， ， 4 （2）-1， ，5 （3）-12， ，0 （4）0， ，0,3,2,-6,0,如果在a與b中間插入一個數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項。,6,7,,思考：,8,數(shù)列{an}是等差數(shù)列，m、n、p、q∈N+，且m+n=p+q，則am+an=ap+aq。,性質(zhì)三、多項關(guān)系,推廣： 若m+n=2p，則am+an=2ap。,9,判斷對錯：,可推廣到三項，四項等 注意：等式兩邊作和的項數(shù)必須一樣多,10,1、已知：數(shù)列的通項公式為 an=6n-1 問這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？若是等差數(shù)列，其首項與公差分別是多少？,分析：由等差數(shù)列定義只需判斷an+1-an(n∈N+) 的結(jié)果是否為常數(shù)。,解：∵an+1-an=6（n+1）-1-（ 6n-1 ）=6(常數(shù)),∴{an}是等差數(shù)列，其首項為a1=6×1-1=5,公差為6.,例題分析,11,例2 .在等差數(shù)列{an}中 (1) 已知 a6+a9+a12+a15=20，求a1+a20,例題分析,(2）已知 a3+a11=10，求 a6+a7+a8,(3) 已知 a4+a5+a6+a7=56，a4a7=187，求a14及公差d.,解：由 a1+a20 = a6+ a15 = a9 +a12 及 a6+a9+a12+a15=20，可得a1+a20=10,解： a3+a11 =a6+a8 =2a7 ，又已知 a3+a11=10， ∴ a6+a7+a8= （a3+a11）=15,解： a4+a5+a6+a7=56 a4+a7=28 ① 又 a4a7=187 ② ， 解 ①、 ② 得,或,∴d= _2或2, 從而a14= _3或31,12,課堂練習,,1.等差數(shù)列{an}的前三項依次為 a-6，2a -5， -3a +2，則 a 等于（ ) A . -1 B . 1 C .-2 D. 2,B,2. 在數(shù)列{an}中a1=1，an= an+1+4，則a10=,2(2a-5 )=(-3a+2) +(a-6),提示1:,提示：,d=an+1—an= -4,-35,3. 在等差數(shù)列{an}中 (1) 若a59=70，a80=112，求a101； (2) 若ap= q，aq= p ( p≠q )，求ap+q,d=2,,a101=154,d= -1,,ap+q =0,13,研究性問題,2.已知{an}為等差數(shù)列，若a10= 20 ，d= -1 ，求a 3 ?,1. 若a12=23，a42=143， an=263，求n.,3. 三數(shù)成等差數(shù)列，它們的和為12，首尾二數(shù)的 積為12，求此三數(shù).,d= 4,n=72,a 3= a 10 +(3-10)d,a 3=27,設這三個數(shù)分別為a-d a，a+d，則3a=12，a2-d2=12,6，4，2或2，4，6,,14,,3.更一般的情形，an= ，d=,小結(jié)：,1. {an}為等差數(shù)列 ?,2. a、b、c成等差數(shù)列 ?,an+1- an=d,an+1=an+d,an= a1+(n-1) d,an= kn + b,（k、b為常數(shù)）,am+(n - m) d,b為a、c 的等差中項AA,2b= a+c,4.在等差數(shù)列{an}中，由 m+n=p+q,am+an=ap+aq,注意：上面的命題的逆命題 是不一定成立 的；,?,?,?,?,?,5. 在等差數(shù)列{an}中a1+an a2+ an-1 a3+ an-2 …,=,=,=,15,