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1、第4章 向量空間與線性變換,第4章 向量空間與線性變換,Rn的基與向量關(guān)于基的坐標 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,Rn的基與向量關(guān)于基的坐標 我們知道 1) Rn中的n個單位向量i=(0,,0,1,0,,0)(i=1, , n)是線性無關(guān)的； 2) 一個n 階實矩陣A=(aij)nn，如果|A|0，則A的n個行向量和n個列向量也都是線性無關(guān)的； 3)Rn中任何n+1個向量都是線性相關(guān)的，且Rn中任一向量都可用Rn中n個線性無關(guān)的向量來表示，且表示法唯一。 Rn中向量之間的這種關(guān)系就是本節(jié)將要討論的“基”與“坐標”的概念。,4.1 Rn的基與向量關(guān)于

2、基的坐標,Rn的基與向量關(guān)于基的坐標 定義：設(shè)有序向量組B1, 2, , n屬于Rn， 如果B線性無關(guān)，且Rn中任一向量均可由B線性表示，即 a11a22+ann 就稱B是Rn的一組基（或基底），有序數(shù)組(a1, a2,,an)是向量關(guān)于基B（或說在基B下）的坐標， 記作： B (a1, a2, , an ) 或B (a1, a2, , an ) T 并稱之為的坐標向量。,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,Rn的基與向量關(guān)于基的坐標 顯然Rn的基不是唯一的，而關(guān)于給定的基的坐標是唯一確定的。以后，我們把n個單位向量組成的基稱為自然基或標準基。 在三維幾何向量空間R3中，i, j, k是一組標

3、準基，R3中任一個向量可以唯一地表示為： a1i +a2j +a3k 有序數(shù)組(a1, a2, a3 )稱為在基i, j, k下的坐標。如果的起點在原點，(a1, a2, a3 )就是的終點P的直角坐標（以后我們常利用R3中向量與空間點 P 的一一對應(yīng)關(guān)系，對Rn中的一些問題及其結(jié)論在R3中作幾何解釋）。,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,Rn的基與向量關(guān)于基的坐標 為了討論問題方便，我們對于向量及其坐標常采用列向量的形式(a1, a2, , an) T表示，=a11+a22++ann可表示為：,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,求向量關(guān)于基的坐標舉例 例1：設(shè)Rn的兩組基為自然基B1和B

4、2=1, 2,,n, 其中： 求向量=(a1, a2 , , an )T分別在兩組基下的坐標。,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,求向量關(guān)于基的坐標舉例 解：關(guān)于自然基B1=1, 2, ,n顯然有 = a11+a22+ +ann， 所以： 設(shè)關(guān)于B2有：,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,求向量關(guān)于基的坐標舉例 將以列向量形式表示的,1,2,,n代入上式，得：,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,求向量關(guān)于基的坐標舉例 解上式非齊次線性方程組，即得：,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,基之間的變換 由例1可見，Rn中同一個向量關(guān)于不同基的坐標一般是不同的。因此需要一般地討論基變換與坐標

5、變換的問題。 為了得到Rn中同一向量關(guān)于兩組基所對應(yīng)的坐標之間的關(guān)系，先證明下面的定理。,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,基之間的變換 定理：設(shè)B=1,2, ,n是Rn的一組基，且： 則1,2,,n線性無關(guān)的充要條件是：,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,基之間的變換 證：由定理中方程式得： 1,2,,n線性無關(guān)的充要條件是方程： 只有零解xj0 (j=1, 2, , n) 。,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,基之間的變換 由于1, 2, , n線性無關(guān)，由上式得： 因此，前方程只有零解（即上面齊次線性方程組只有零解）的充要條件是上面齊次線性方程組的系數(shù)行列不等于零，即定理中條件式

6、成立。,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,基之間的變換 設(shè)B11,2, ,n, 和B2=1,2, ,n是Rn的兩組基（分別稱為舊基和新基），它們的關(guān)系如下所示： 將其表示成矩陣形式,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,基之間的變換 記上式右面的矩陣為A（注意：A是1,2,,n的系數(shù)矩陣的轉(zhuǎn)置），為敘述簡便，上式可寫作： (1,2, ,n)=(1,2, ,n) A,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,基之間的變換 定義：設(shè)Rn的兩組基B1=1,2, ,n和B2=1,2, ,n滿足下式式的關(guān)系， 則矩陣A稱為舊基B1到新基B2的過渡矩陣（或稱A是基B1變?yōu)榛鵅2的變換矩陣）。,4.1 Rn的基

7、與向量關(guān)于基的坐標,基之間的變換 根據(jù)前面定理，過渡矩陣A是可逆的，A中第j列是新基的基向量j在舊基1,2, ,n下的坐標。,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,基之間的變換 定理 ：設(shè)向量在兩組基B1=1,2, ,n和B2=1,2,,n下的坐標向量分別為： 基B1到基B2的過渡矩陣為A，則 Ay=x 或 y=A-1x,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,基之間的變換 證：由已知條件，可得： (1,2, ,n)=(1,2,,n) A 故： 由于在基1,2,,n下的坐標是唯一的，所以： Ay=x 或 y=A-1x,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,基之間的變換舉例 例2：已知R3的一組基B2

8、1,2,3為1=(1, 2, 1)T，2=(1, -1, 0)T，3=(1, 0, -1)T，求自然基B1=1, 2,3到基B2的過渡矩陣A。,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,基之間的變換舉例 解：由 即 得,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,基之間的變換舉例 由例2可見，在Rn中由自然基B1=1,2,,n到基B2=1,2,,n 的過渡矩陣A，就是將1,2,,n按列排成的矩陣。,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,基之間的變換舉例 例3：已知R3的兩組基為B1=1,2,3 及B2=1,2,3，其中 ： 1）求基B1到基B2的過渡矩陣A； 2）已知在基B1下的坐標為(1, -2, -1)T

9、，求在基B2下的坐標。,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,基之間的變換舉例 解： 1）設(shè)： 將以列向量形式表示的兩組基向量代入上式，得：,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,基之間的變換舉例 故過渡矩陣,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,基之間的變換舉例 2）根據(jù)前面的定理得在基B2下的坐標 另一解法：先求出，即： 然后按=y11+y22+y33，解出坐標(y1, y2 , y3)T。,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,基之間的變換舉例 利用前面定理中關(guān)于不同基下坐標的關(guān)系的結(jié)論，容易得到平面直角坐標系中坐標軸旋轉(zhuǎn)的坐標變換公式。 設(shè)平面直角坐標系逆時針旋轉(zhuǎn)角（見課本165頁圖4.1）

10、，在Oxy坐標系中，取基1=i, 2 =j；在Oxy坐標系中取基1=i, 2 =j，則：,4.1 Rn的基與向量關(guān)于基的坐標,基之間的變換舉例 即： 于是向量在基1, 2和1, 2下的坐標(x1, y1)和(x1, y1)滿足關(guān)系式,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,n維實向量的內(nèi)積，歐式空間 在前面討論的n維實向量空間中，我們只定義了向量的線性運算，它不能描述向量的度量性質(zhì)，如長度、夾角等。在三維幾何空間中，向量的內(nèi)積（即點積或數(shù)量積）描述了內(nèi)積與向量的長度及夾角的關(guān)系。 由內(nèi)積定義： ab=||a|| ||b|| cos 可以得到：,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準

11、正交基和正交矩陣,n維實向量的內(nèi)積，歐式空間 若a=a1i+a2j+a3k，簡記為a=(a1, a2, a3)；b=b1i+b2j+b3k，簡記為b= (b1, b2, b3)。由內(nèi)積的運算性質(zhì)和內(nèi)積的定義，可得： a b= a1b1+ a2b2+ a3b3 現(xiàn)在我們把三維幾何向量的內(nèi)積推廣到n維實向量，在n維實向量空間中定義內(nèi)積運算，進而定義向量的長度和夾角，使n維實向量具有度量性。,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,n維實向量的內(nèi)積，歐式空間 定義：設(shè)=(a1, a2, , an)T 和=(b1, b2, , bn)T Rn，規(guī)定與的內(nèi)積為： (,)= a1 b1

12、+ a2 b2 + +an bn 當(dāng),為列向量時， (,)=T=T,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,n維實向量的內(nèi)積，歐式空間 根據(jù)定義，容易證明內(nèi)積具有以下的運算性質(zhì)： 1) (,)=(,) 2) (+,)=(,)+(,) 3) (k,)=k(,) 4) (,)0，等號成立當(dāng)且僅當(dāng)=0 其中,,Rn, kR。 由于向量與自身的內(nèi)積是非負數(shù)，于是我們?nèi)缛S幾何空間中那樣，用內(nèi)積定義n維向量的長度。,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,n維實向量的內(nèi)積，歐式空間 定義：向量的長度：,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,n維實向量的內(nèi)積，歐式空間 定理：向量

13、的內(nèi)積滿足： |(,)||||| |||| 此式稱為柯西施瓦茨（Cauchy-Schwarz）不等式。,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,n維實向量的內(nèi)積，歐式空間 證： 1）當(dāng)=0時，(,)=0 ，||||=0，|(,)||||| ||||顯然成立。 2）當(dāng)0時，作向量+t(tR) ，由性質(zhì)4)得： (+t, +t) 0 再由性質(zhì)1), 2), 3)展開上式左端得：,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,n維實向量的內(nèi)積，歐式空間 (,)+2 (,)t +(,) t2 0 其左端是t的二次三項式，且t2系數(shù)(,) 0，因此判別式： 4 (,) 24 (,)

14、 (,)0 即： (,) 2 (,) (,)= ||||2 |||| 2 故： |(,)||||| ||||,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,n維實向量的內(nèi)積，歐式空間 讀者不難證明，前面定理中|(,)||||| ||||等號成立的充分必要條件為與線性相關(guān)。 當(dāng)=(a1, a2, , an)T, =(b1, b2, , bn)T 時，利用前面定理可得： 由于內(nèi)積滿足柯西施瓦茨不等式，于是我們可以利用內(nèi)積定義向量之間的夾角。,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,n維實向量的內(nèi)積，歐式空間 定義：向量,之間的夾角定義為： 由前面的定義立即可得：,4.2 Rn中向量的內(nèi)積

15、、標準正交基和正交矩陣,n維實向量的內(nèi)積，歐式空間 定理：非零向量,正交（或垂直）的充分必要條件是(,)=0。 由于零向量與任何向量的內(nèi)積為零，因此，我們也說零向量與任何向量正交。,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,n維實向量的內(nèi)積，歐式空間 在三維幾何空間中，向量,,+構(gòu)成三角形，三個向量的長度滿足三角形不等式： ||+|| ||||+|||| 當(dāng)時，三個向量的長度滿足勾股定理： ||+||2=||||2+||||2,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,n維實向量的內(nèi)積，歐式空間 在定義了內(nèi)積運算的n維向量空間中，三角形不等式和勾股定理仍

16、然成立，下面給出它們的證明。 ||+||2= (+, +)= (,)+2 (,)+ (,) ||||2 +2 |||| ||||+||||2 =(||||+||||)2 故： ||+|| ||||+|||| 當(dāng)時，(,)=0，于是就有： ||+||2= ||||2+||||2,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,n維實向量的內(nèi)積，歐式空間 定義：定義了內(nèi)積運算的n維實向量空間稱為n維歐幾里得空間（簡稱歐式空間），仍記作Rn。,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,標準正交基 在n維歐式空間Rn中，長度為1的單位向量組： 1=(1,

17、0, 0, , 0)T 2=(0, 1, 0, , 0) T n=(0, 0, 0, , 1) T 顯然是兩兩正交的線性無關(guān)的向量組，我們稱它為Rn的一組標準正交基。然而，n維歐式空間的標準正交基不是唯一的，為了說清楚這個問題，我們先證明下面的定理，給出標準正交基的一般定義，然后介紹由Rn中n個線性無關(guān)的向量構(gòu)造一組標準正交基的施密特正交化方法。,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,標準正交基 定理： Rn中兩兩正交且不含零向量的向量組（稱為非零正交向量組）1, 2, ,s是線性無關(guān)的。,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,標準正交基 證：設(shè) k11+k22++kss

18、=0 則： 由于(i, i) 0，故ki=0, i=1, 2, , s 因此，1 , 2 , , s線性無關(guān)。,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,標準正交基 定義：設(shè)1, 2, , nRn，若： 則稱1 , 2 , , n是Rn的一組標準正交基。,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,標準正交基 例1：設(shè)B=1, 2 , , n是Rn的一組標準正交基，求Rn中向量在基B下的坐標。 解：設(shè)=x11+x22++ xnn，將此式兩邊對i (j=1, 2, , n)分別求內(nèi)積，得：,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,標準正交基 故在標準正交基1, 2, , n下

19、的坐標向量的第j個分量為： xj=(,j), j=1, 2, , n 在R3中取i, j, k為標準正交基，例1中的x1, x2, x3就是在i, j, k上的投影。,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,施密特(Schmidt)正交化方法 施密特正交化方法是將Rn中一組線性無關(guān)的向量1, 2, , n做一種特定的線性運算，構(gòu)造出一組標準正交向量組的方法。 我們先從R3的一組基1, 2, 3構(gòu)造出一組標準正交基，以揭示施密特正交化方法的思路和過程。,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,施密特(Schmidt)正交化方法 令1=1，將2在1上的投影向量（見課本170頁圖4

20、.2）,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,施密特(Schmidt)正交化方法 則：2 1（如課本圖4.2所示）。由于3與1, 2不共面，所以3也與1 , 2不共面。如果記3在1, 2平面上的投影向量為3，即： 3 =(3)1+(3)2 =13+23=k131+k232 則：31且32（如課本圖4.3所示）。,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,施密特(Schmidt)正交化方法 如此求得的1,2, 3是兩兩正交的非零向量組。再將1,2, 3單位化，即?。?則1,2,3就是R3的一組標準正交基。,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,施密特(Schmidt)

21、正交化方法 從上述正交化過程所獲得的啟示，由Rn中線性無關(guān)的向量組1, 2 , , n也可類似地構(gòu)造出一組標準正交的向量組1 ,2 , ,n ，其步驟如下： 取 1=1 2=2+k121 由于1,2線性無關(guān)，所以20，為使1,2正交，即： (2,1)=(2+k121,1)= (2 ,1)+k12(1,1)=0,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,施密特(Schmidt)正交化方法 便得 再取 3=3+k232+k131 使(3,1)= (3,2)=0，又得,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,施密特(Schmidt)正交

22、化方法 繼續(xù)上述步驟，假定已求出兩兩正交的非零向量1 , 2 , , j-1 ，再取 j=j +kj-1,j j-1++k2j 2+ k1j 1 為使j與i (i=1, 2, , j-1)正交，即 (j,i)=(j ,i )+ kij (i ,i )=0 即得,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,施密特(Schmidt)正交化方法 故 因此，令1=1， 并在上式中取j=2, 3, , m，就得到兩兩正交的非零向量組1 , 2 , , m（它們都是非零向量的證明留給讀者去完成）。 再將它們單位化為：1,2,,m,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,施密特(Schmidt)

23、正交化方法 這就由線性無關(guān)的1, 2, ,m構(gòu)造出了標準正交向量組1,2,,m。這個正交化過程稱為施密特正交化方法。,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,施密特(Schmidt)正交化方法 如果1,2,,n是Rn的一組基，按施密特正交化方法，必可構(gòu)造出Rn的一組標準正交基1,2,,n。由此可見， Rn的標準正交基不唯一。在R3中，任何單位長度的兩兩正交的三個向量都是它的標準正交基。,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,施密特(Schmidt)正交化方法 例2 已知B=1,2 ,3是R3的一組基，其中 1=(1,-1,0) 2=(1,0,1) 3=(1,-1,1) 試用

24、施密特正交化方法，由B構(gòu)造R3的一組標準正交基。,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,施密特(Schmidt)正交化方法 解 取,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,施密特(Schmidt)正交化方法 再將1, 2, 3單位化，得R3的標準正交基為：,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,正交矩陣及其性質(zhì) 正交矩陣是一種重要的實方陣，它的行、列向量組皆是標準正交向量組。下面先給出正交矩陣的定義，然后討論它的性質(zhì)。,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,正交矩陣及其性質(zhì) 定義：設(shè)ARnn，如果ATAI，就稱A為正交矩陣。,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標

25、準正交基和正交矩陣,正交矩陣及其性質(zhì) 定理：A為n階正交矩陣的充分必要條件是A的列向量組為Rn的一組標準正交基。,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,正交矩陣及其性質(zhì) 證： 設(shè) 按列分塊為(1,2,,n)，于是,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,正交矩陣及其性質(zhì) 因此，ATA=I的充分必要條件是： 且 即A的列向量組1,2, ,n為Rn的一組標準正交基。,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,正交矩陣及其性質(zhì) 定理：設(shè)A, B皆是n階正交矩陣，則： 1) detA=1或=-1 2) A-1=AT 3) AT(即A-1)也是正交矩陣 4) AB也是正交矩陣

26、,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,正交矩陣及其性質(zhì) 證： 1)，2)的證明略去。 3) 由于(AT)TAT=AAT=AA-1=I，所以AT(即A-1)也是正交矩陣，從而A的行向量組也是Rn的一組標準正交基。 4) 由(AB)T(AB)=BT (ATA) B=BTB=I，即得AB也是正交矩陣。,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,正交矩陣及其性質(zhì) 定理：若列向量x, yRn在n階正交矩陣A作用下變換為Ax, AyRn，則向量的內(nèi)積、長度及向量間的夾角都保持不變，即： (Ax, Ay)=(x, y) ||Ax|| = ||x|| ||Ay|| = ||y|| =,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,正交矩陣及其性質(zhì) 證： (Ax, Ay)=(Ax)T(Ay)=x (ATA) y=xTy=(x, y) 當(dāng)y=x時，有(Ax, Ax)=(x, x)，即||Ax||=||x||。同理||Ay||=||y||。因此： 所以向量Ax與Ay的夾角等于x與y的夾角。,4.2 Rn中向量的內(nèi)積、標準正交基和正交矩陣,正交矩陣及其性質(zhì) 歐式空間中向量x在正交矩陣作用下變換為Ax，通常稱之為歐式空間的正交變換。它在第6章中研究二次型的標準形時起著重要作用。,