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第一章 勾股定理 章末測試卷 一、選擇題（每題4分，共28分） 1．（2018?濱州）在直角三角形中，若勾為3，股為4，則弦為（　?。? A．5 B．6 C．7 D．8 2．（4分）（2017?興安盟）下列長度的三條線段能組成銳角三角形的是（　?。? A．6，8，14 B．6，8，12 C．6，8，10 D．6，8，8 3．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為1，則正方形ACEF的面積為（　　） A．2 B．3 C．4 D．5 4．（4分）如果梯子的底端離建筑物5米，13米長的梯子可以達到建筑物的高度是（　?。? A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 5．（4分）滿足下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（　　） A．a：b：c=3：4：5 B．∠A：∠B：∠C=1：2：3 C．a2：b2：c2=1：2：3 D．a2：b2：c2=3：4：5 6．（4分）若等腰三角形中相等的兩邊長為10cm，第三邊長為16cm，那么第三邊上的高為（　?。? A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm 7．（4分）如圖，正方形網格中的△ABC，若小方格邊長為1，則△ABC的形狀為（　　） A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．以上答案都不對 二、填空：（每空4分，共計28分） 8．（4分）已知一個Rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方為　?。? 9．（4分）求如圖中直角三角形中未知的長度：b=　　，c=　　． 10．（4分）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為　　cm2． 11．（4分）小明把一根70cm長的木棒放到一個長、寬、高分別為40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放進去嗎？答：　?。ㄌ睢澳堋薄⒒颉安荒堋保? 12．（4分）（2018?襄陽）已知CD是△ABC的邊AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，則BC的長為　?。? 13．（4分）（2018?福建）把兩個同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A，且另三個銳角頂點B，C，D在同一直線上．若AB＝，則CD＝　?。? 14．（4分）（2018?黃岡）如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長為32cm，在杯內壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內壁B處的最短距離為　　cm（杯壁厚度不計）． 三、解答題：（每題11分，共計44分） 15．（11分）一棵樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部12米處，求樹折斷之前的高度？（自己畫圖并解答） 16．（11分）小東與哥哥同時從家中出發(fā)，小東以6km/時的速度向正北方向的學校走去，哥哥則以8km/時的速度向正東方向走去，半小時后，小東距哥哥多遠？ 17．（11分）如圖所示，四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°； （1）求BD的長； （2）求四邊形ABCD的面積． 18．（11分）如圖，有一個直角三角形紙片，兩直角邊AB=6cm，BC=8cm，現將直角邊BC沿直線BD折疊，使點C落在點E處，求三角形BDF的面積是多少？ 四、附加題 19．如圖所示的一塊地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積． 20．如圖，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF． （1）如圖1，試說明BE2+CF2=EF2； （2）如圖2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面積． 參考答案 一、選擇題（每題4分，共28分） 1．（2018?濱州）在直角三角形中，若勾為3，股為4，則弦為（　　） A．5 B．6 C．7 D．8 【分析】直接根據勾股定理求解即可． 【解答】解：∵在直角三角形中，勾為3，股為4， ∴弦為＝5． 故選：A． 【點評】本題考查了勾股定理：在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方． 2．（4分）（2017?興安盟）下列長度的三條線段能組成銳角三角形的是（　　） A．6，8，14 B．6，8，12 C．6，8，10 D．6，8，8 【考點】KS：勾股定理的逆定理． 【專題】55：幾何圖形． 【分析】根據勾股定理求出以較短的兩條邊為直角邊的三角形的斜邊的長度，然后與較長的邊進行比較作出判斷即可． 【解答】解：A、∵6+8＝14，∴不能組成三角形； B、＝10＜12，6+8＞12，∴不能組成銳角三角形； C、∵＝10是直角三角形，∴不能組成銳角三角形； D、∵＝10＞8，6+8＞8，∴能組成銳角三角形． 故選：D． 【點評】本題考查了勾股定理的逆定理，利用勾股定理求出直角三角形的斜邊是解題的關鍵． 3．（4分）如圖，正方形ABCD的邊長為1，則正方形ACEF的面積為（　?。? A．2 B．3 C．4 D．5 【考點】算術平方根． 【分析】根據勾股定理，可得AC的長，再根據乘方運算，可得答案． 【解答】解：由勾股定理，得AC=， 乘方，得（）2=2， 故選：A． 【點評】本題考查了算術平方根，先求出AC的長，再求出正方形的面積． 　 4．（4分）如果梯子的底端離建筑物5米，13米長的梯子可以達到建筑物的高度是（　?。? A．12米 B．13米 C．14米 D．15米 【考點】勾股定理的應用． 【專題】應用題． 【分析】根據梯子、地面、墻正好構成直角三角形，再根據勾股定理解答即可． 【解答】解：如圖所示，AB=13米，BC=5米，根據勾股定理AC===12米． 故選A． 【點評】此題是勾股定理在實際生活中的運用，比較簡單． 　 5．（4分）滿足下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是（　?。? A．a：b：c=3：4：5 B．∠A：∠B：∠C=1：2：3 C．a2：b2：c2=1：2：3 D．a2：b2：c2=3：4：5 【考點】勾股定理的逆定理；三角形內角和定理． 【分析】由勾股定理的逆定理得出A、C是直角三角形，D不是直角三角形；由三角形內角和定理得出B是直角三角形；即可得出結果． 【解答】解：∵a：b：c=3：4：5，32+42=52， ∴這個三角形是直角三角形，A是直角三角形； ∵∠A：∠B：∠C=1：2：3， ∴∠C=90°，B是直角三角形； ∵a2：b2：c2=1：2：3， ∴a2+b2=c2， ∴三角形是直角三角形，C是直角三角形； ∵a2：b2：c2=3：4：5， ∴a2+b2≠c2， ∴三角形不是直角三角形； 故選：D 【點評】本題考查了勾股定理的逆定理、三角形內角和定理；熟練掌握勾股定理的逆定理和三角形內角和定理，通過計算得出結果是解決問題的關鍵． 　 6．（4分）若等腰三角形中相等的兩邊長為10cm，第三邊長為16cm，那么第三邊上的高為（　?。? A．12 cm B．10 cm C．8 cm D．6 cm 【考點】勾股定理；等腰三角形的性質． 【分析】根據等腰三角形的性質先求出BD，然后在RT△ABD中，可根據勾股定理進行求解． 【解答】解：如圖： 由題意得：AB=AC=10cm，BC=16cm， 作AD⊥BC于點D，則有DB=BC=8cm， 在Rt△ABD中，AD==6cm． 故選D． 【點評】本題考查了等腰三角形的性質及勾股定理的知識，關鍵是掌握等腰三角形底邊上的高平分底邊，及利用勾股定理直角三角形的邊長． 　 7．（4分）如圖，正方形網格中的△ABC，若小方格邊長為1，則△ABC的形狀為（　　） A．直角三角形 B．銳角三角形 C．鈍角三角形 D．以上答案都不對 【考點】勾股定理的逆定理；勾股定理． 【專題】網格型． 【分析】根據勾股定理求得△ABC各邊的長，再利用勾股定理的逆定理進行判定，從而不難得到其形狀． 【解答】解：∵正方形小方格邊長為1， ∴BC==2， AC==， AB==， 在△ABC中， ∵BC2+AC2=52+13=65，AB2=65， ∴BC2+AC2=AB2， ∴△ABC是直角三角形． 故選：A． 【點評】考查了勾股定理的逆定理，解答此題要用到勾股定理的逆定理：已知三角形ABC的三邊滿足a2+b2=c2，則三角形ABC是直角三角形． 　 二、填空：（每空4分，共計28分） 8．（4分）已知一個Rt△的兩邊長分別為3和4，則第三邊長的平方為　7或25?。? 【考點】勾股定理． 【分析】已知的這兩條邊可以為直角邊，也可以是一條直角邊一條斜邊，從而分兩種情況進行討論解答． 【解答】解：分兩種情況： 當3、4都為直角邊時，第三邊長的平方=32+42=25； 當3為直角邊，4為斜邊時，第三邊長的平方=42﹣32=7． 故答案為：7或25． 【點評】本題考查的是勾股定理，熟知在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方是解答此題的關鍵． 　 9．（4分）求如圖中直角三角形中未知的長度：b=　12　，c=　10?。? 【考點】勾股定理． 【分析】根據勾股定理進行計算即可． 【解答】解：b==12； c==10， 故答案為：12；10． 【點評】本題考查的是勾股定理的應用，在任何一個直角三角形中，兩條直角邊長的平方之和一定等于斜邊長的平方． 　 10．（4分）如圖，所有的四邊形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中最大的正方形的邊長為7cm，則正方形A，B，C，D的面積之和為　49　cm2． 【考點】勾股定理． 【分析】根據正方形的面積公式，連續(xù)運用勾股定理，發(fā)現：四個小正方形的面積和等于最大正方形的面積． 【解答】解：由圖形可知四個小正方形的面積和等于最大正方形的面積， 故正方形A，B，C，D的面積之和=49cm2． 故答案為：49cm2． 【點評】熟練運用勾股定理進行面積的轉換． 　 11．（4分）小明把一根70cm長的木棒放到一個長、寬、高分別為40cm、30cm、50cm的木箱中，他能放進去嗎？答：　能　（填“能”、或“不能”） 【考點】勾股定理的應用． 【分析】能，在長方體的盒子中，一角的頂點與斜對的不共面的頂點的距離最大，根據木箱的長，寬，高可求出最大距離，然后和木棒的長度進行比較即可． 【解答】解：能，理由如下： 可設放入長方體盒子中的最大長度是xcm， 根據題意，得x2=502+402+302=5000， 702=4900， 因為4900＜5000， 所以能放進去． 故答案為能． 【點評】本題考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是求出木箱內木棒的最大長度． 　 12．（4分）（2018?襄陽）已知CD是△ABC的邊AB上的高，若CD＝，AD＝1，AB＝2AC，則BC的長為　2或2?。? 【考點】KQ：勾股定理． 【專題】552：三角形． 【分析】分兩種情況： ①當△ABC是銳角三角形，如圖1， ②當△ABC是鈍角三角形，如圖2， 分別根據勾股定理計算AC和BC即可． 【解答】解：分兩種情況： ①當△ABC是銳角三角形，如圖1， ∵CD⊥AB， ∴∠CDA＝90°， ∵CD＝，AD＝1， ∴AC＝2， ∵AB＝2AC， ∴AB＝4， ∴BD＝4﹣1＝3， ∴BC＝＝＝2； ②當△ABC是鈍角三角形，如圖2， 同理得：AC＝2，AB＝4， ∴BC＝＝＝2； 綜上所述，BC的長為2或2． 故答案為：2或2． 【點評】本題考查了三角形的高、勾股定理的應用，在直角三角形中常利用勾股定理計算線段的長，要熟練掌握． 13．（4分）（2018?福建）把兩個同樣大小的含45°角的三角尺按如圖所示的方式放置，其中一個三角尺的銳角頂點與另一個的直角頂點重合于點A，且另三個銳角頂點B，C，D在同一直線上．若AB＝，則CD＝　﹣1　． 【考點】勾股定理． 【專題】11：計算題． 【分析】先利用等腰直角三角形的性質求出BC＝2，BF＝AF＝1，再利用勾股定理求出DF，即可得出結論． 【解答】解：如圖，過點A作AF⊥BC于F， 在Rt△ABC中，∠B＝45°， ∴BC＝AB＝2，BF＝AF＝AB＝1， ∵兩個同樣大小的含45°角的三角尺， ∴AD＝BC＝2， 在Rt△ADF中，根據勾股定理得，DF＝＝ ∴CD＝BF+DF﹣BC＝1+﹣2＝﹣1， 故答案為：﹣1． 【點評】此題主要考查了勾股定理，等腰直角三角形的性質，正確作出輔助線是解本題的關鍵． 14．（4分）（2018?黃岡）如圖，圓柱形玻璃杯高為14cm，底面周長為32cm，在杯內壁離杯底5cm的點B處有一滴蜂蜜，此時一只螞蟻正好在杯外壁，離杯上沿3cm與蜂蜜相對的點A處，則螞蟻從外壁A處到內壁B處的最短距離為　20　cm（杯壁厚度不計）． 【考點】KV：平面展開﹣最短路徑問題． 【專題】27：圖表型． 【分析】將杯子側面展開，建立A關于EF的對稱點A′，根據兩點之間線段最短可知A′B的長度即為所求． 【解答】解：如圖： 將杯子側面展開，作A關于EF的對稱點A′， 連接A′B，則A′B即為最短距離，A′B＝＝＝20（cm）． 故答案為20． 【點評】本題考查了平面展開﹣﹣﹣最短路徑問題，將圖形展開，利用軸對稱的性質和勾股定理進行計算是解題的關鍵．同時也考查了同學們的創(chuàng)造性思維能力． 三、解答題：（每題11分，共計44分） 15．（11分）一棵樹在離地面9米處斷裂，樹的頂部落在離樹根底部12米處，求樹折斷之前的高度？（自己畫圖并解答） 【考點】勾股定理的應用． 【分析】根據勾股定理，計算樹的折斷部分是15米，則折斷前樹的高度是15+9=24米． 【解答】解：如圖所示： 因為AB=9米，AC=12米， 根據勾股定理得BC==15米， 于是折斷前樹的高度是15+9=24米． 【點評】本題考查正確運用勾股定理．善于觀察題目的信息是解題以及學好數學的關鍵． 　 16．（11分）小東與哥哥同時從家中出發(fā)，小東以6km/時的速度向正北方向的學校走去，哥哥則以8km/時的速度向正東方向走去，半小時后，小東距哥哥多遠？ 【考點】勾股定理的應用． 【分析】根據題意求出小東與哥哥各自行走的距離，根據勾股定理計算即可． 【解答】解：由題意得，AC=6×=3km，BC=8×=4km， ∠ACB=90°， 則AB==5km． 【點評】本題考查的是勾股定理的應用，正確構造直角三角形、靈活運用勾股定理是解題的關鍵． 　 17．（11分）如圖所示，四邊形ABCD中，AB=3cm，AD=4cm，BC=13cm，CD=12cm，∠A=90°； （1）求BD的長； （2）求四邊形ABCD的面積． 【考點】勾股定理；勾股定理的逆定理． 【分析】（1）在Rt△ABD中，利用勾股定理可求出BD的長度； （2）利用勾股定理的逆定理判斷出△BDC為直角三角形，根據S四邊形ABCD=S△ABD+S△BDC，即可得出答案． 【解答】解：（1）∵∠A=90°， ∴△ABD為直角三角形， 則BD2=AB2+AD2=25， 解得：BD=5． （2）∵BC=13cm，CD=12cm，BD=5cm， ∴BD2+CD2=BC2， ∴BD⊥CD， 故S四邊形ABCD=S△ABD+S△BDC=AB×AD+BD×DC=6+30=36． 【點評】本題考查了勾股定理及勾股定理的逆定理，在求不規(guī)則圖形的面積時，我們可以利用分解法，將不規(guī)則圖形的面積轉化為幾個規(guī)則圖形的面積之和． 　 18．（11分）如圖，有一個直角三角形紙片，兩直角邊AB=6cm，BC=8cm，現將直角邊BC沿直線BD折疊，使點C落在點E處，求三角形BDF的面積是多少？ 【考點】翻折變換（折疊問題）． 【專題】應用題；操作型． 【分析】由折疊的性質得到三角形BDC與三角形BDE全等，進而得到對應邊相等，對應角相等，再由兩直線平行內錯角相等，等量代換及等角對等邊得到FD=FB，設FD=FB=xcm，則AF=（8﹣x）cm，在直角三角形AFB中，利用勾股定理列出關于x的方程，求出方程的解得到x的值，確定出FD的長，進而求出三角形BDF面積． 【解答】解：由折疊可得：△BDC≌△BDE， ∴∠CBD=∠EBD，BC=BE=8cm，ED=DC=AB=6cm， ∵AD∥BC， ∴∠ADB=∠DBC， ∴∠ADB=∠EBD， ∴FD=FB， 設FD=FB=xcm，則有AF=AD﹣FD=（8﹣x）cm， 在Rt△ABF中，根據勾股定理得：x2=（8﹣x）2+62， 解得：x=，即FD=cm， 則S△BDF=FD?AB=cm2． 【點評】此題考查了翻折變換（折疊問題），涉及的知識有：折疊的性質，全等三角形的性質，平行線的性質，等腰三角形的判定，以及勾股定理，熟練掌握性質及定理是解本題的關鍵． 　 四、附加題 19．如圖所示的一塊地，AD=12m，CD=9m，∠ADC=90°，AB=39m，BC=36m，求這塊地的面積． 【考點】勾股定理的應用；三角形的面積；勾股定理的逆定理． 【專題】應用題． 【分析】連接AC，運用勾股定理逆定理可證△ACD，△ABC為直角三角形，可求出兩直角三角形的面積，此塊地的面積為兩個直角三角形的面積差． 【解答】解：連接AC，則在Rt△ADC中， AC2=CD2+AD2=122+92=225， ∴AC=15，在△ABC中，AB2=1521， AC2+BC2=152+362=1521， ∴AB2=AC2+BC2， ∴∠ACB=90°， ∴S△ABC﹣S△ACD=AC?BC﹣AD?CD=×15×36﹣×12×9=270﹣54=216． 答：這塊地的面積是216平方米． 【點評】解答此題的關鍵是通過作輔助線使圖形轉化成特殊的三角形，可使復雜的求解過程變得簡單． 　 20．如圖，△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，D是斜邊BC的中點，E、F分別是AB、AC邊上的點，且DE⊥DF． （1）如圖1，試說明BE2+CF2=EF2； （2）如圖2，若AB=AC，BE=12，CF=5，求△DEF的面積． 【考點】全等三角形的判定與性質；勾股定理；等腰直角三角形． 【分析】（1）延長ED至點G，使得EG=DE，連接FG，CG，易證EF=FG和△BDE≌△CDG，可得BE=CG，∠DCG=∠DBE，即可求得∠FCG=90°，根據勾股定理即可解題； （2）連接AD，易證∠ADE=∠CDF，即可證明△ADE≌△CDF，可得AE=CF，BE=AF，S四邊形AEDF=S△ABC，再根據△DEF的面積=S△ABC﹣S△AEF，即可解題． 【解答】（1）證明：延長ED至點G，使得DG=DE，連接FG，CG， ∵DE=DG，DF⊥DE， ∴DF垂直平分DE， ∴EF=FG， ∵D是BC中點， ∴BD=CD， 在△BDE和△CDG中， ， ∴△BDE≌△CDG（SAS）， ∴BE=CG，∠DCG=∠DBE， ∵∠ACB+∠DBE=90°， ∴∠ACB+∠DCG=90°，即∠FCG=90°， ∵CG2+CF2=FG2， ∴BE2+CF2=EF2； （2）解：連接AD， ∵AB=AC，D是BC中點， ∴∠BAD=∠C=45°，AD=BD=CD， ∵∠ADE+∠ADF=90°，∠ADF+∠CDF=90°， ∴∠ADE=∠CDF， 在△ADE和△CDF中， ， ∴△ADE≌△CDF（ASA）， ∴AE=CF，BE=AF，AB=AC=17， ∴S四邊形AEDF=S△ABC， ∴S△AEF=×5×12=30， ∴△DEF的面積=S△ABC﹣S△AEF=． 【點評】本題考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形對應邊相等的性質，本題中求證△BDE≌△CDG和△ADE≌△CDF是解題的關鍵． 第20頁（共20頁）