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1、專題七 概率與統(tǒng)計第1講 計數(shù)原理、二項式定理
真題試做
1.(2012·浙江高考,理6)若從1,2,3,…,9這9個整數(shù)中同時取4個不同的數(shù),其和為偶數(shù),則不同的取法共有( ).
A.60種 B.63種 C.65種 D.66種
2.(2012·重慶高考,理4)8的展開式中常數(shù)項為( ).
A. B. C. D.105
3.(2012·浙江高考,理14)若將函數(shù)f(x)=x5表示為f(x)=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5,其中a0,a1,a2,…,a5為實數(shù),則a3=__________.
4.(
2、2012·廣東高考,理10)6的展開式中x3的系數(shù)為__________.(用數(shù)字作答)
考向分析
高考中對本節(jié)注重基礎知識和基本解題方法、規(guī)律的考查,伴隨運算能力的考查,基本都為中等難度試題.預測下一步對排列組合會更加注重分類、分步計算原理的考查,注重與概率的聯(lián)系,更要加強對本節(jié)知識的理解深度;二項式定理的應用可能會對x的n次多項式(1+ax)n的考查升溫,尤其是利用(1+ax)n的展開式考查賦值思想.
熱點例析
熱點一 分類加法和分步乘法計數(shù)原理
【例1】方程ay=b2x2+c中的a,b,c∈{-3,-2,0,1,2,3},且a,b,c互不相同.在所有這些方程所表示的曲線中,
3、不同的拋物線共有( ).
A.60條 B.62條 C.71條 D.80條
規(guī)律方法 “分類”與“分步”的區(qū)別:關鍵是看事件的完成情況,如果每種方法都能將事件完成是分類;如果必須要連續(xù)若干步才能將事件完成是分步,分類要用分類加法計數(shù)原理將種數(shù)相加;分步要用分步乘法計數(shù)原理將種數(shù)相乘.
變式訓練1 從A,B,C,D,E五名學生中選出四名分別參加數(shù)學、物理、化學、英語競賽,其中A不參加物理、化學競賽,則不同的參賽方案種數(shù)為( ).
A.24 B.48 C.72 D.120
熱點二 求展開式中的指定項
【例2】在6的二項展開式中,常數(shù)項等于_
4、_________.
規(guī)律方法 運用二項式定理一定要牢記通項Tr+1=Can-rbr,其中n∈N*,r∈N,r≤n.注意與(b+a)n的展開式雖然相同,但其展開式中的某一項是不相同的,所以一定要注意順序問題.
變式訓練2 若n的展開式中第3項與第7項的二項式系數(shù)相等,則該展開式中的系數(shù)為__________.
熱點三 求展開式中的各項系數(shù)的和
【例3】若(2x+)4=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4,則(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2的值為( ).
A.1 B.-1 C.0 D.2
規(guī)律方法 求展開式中系數(shù)和問題,往往根據(jù)展開式的特點賦值.
5、
變式訓練3 若(2x-1)5=a0+a1x+a2x2+a3x3+a4x4+a5x5,則a0+a1+a2+a3+a4+a5=__________.
思想滲透
分類討論思想在排列組合中的應用
由實際意義引起的分類討論在排列組合問題中比較常見,這是因為分類、分步是解決排列組合問題的兩個指導思想.一般采取先分類再分步的策略,分類時要先確定分類標準,是根據(jù)特殊元素來分類還是根據(jù)特殊位置來分類,然后再解決每一類中的分步問題,最后匯總.在分類時注意標準的選取,做到不重不漏.
【典型例題】將數(shù)字1,2,3,4填入標號為1,2,3,4的四個方格里,每格填一個數(shù)字,則每個方格的標號與所填的數(shù)字均不同的填
6、法有________種.
解析:分三類:第一格填2,則第二格有A種填法,第三、四格自動對號入座,不能自由排列;
第一格填3,則第三格有A種填法,第二、四格自動對號入座,不能自由排列;
第一格填4,則第四格有A種填法,第二、三格自動對號入座,不能自由排列;
共計有3A=9種填法.
答案:9
1.(2012·天津高考,理5)在5的二項展開式中,x的系數(shù)為( ).
A.10 B.-10 C.40 D.-40
2.(2012·廣東實驗高中模擬,理6)已知n∈N*,若對任意實數(shù)x都有xn=a0+a1(x-n)+a2(x-n)2+…+an(x-n)n,則an-
7、1的值為( ).
A.n2 B.nn
C. D.
3.(2012·陜西高考,理8)兩人進行乒乓球比賽,先贏3局者獲勝,決出勝負為止,則所有可能出現(xiàn)的情形(各人輸贏局次的不同視為不同情形)共有( ).
A.10種 B.15種 C.20種 D.30種
4.(2012·山東高考,理11)現(xiàn)有16張不同的卡片,其中紅色、黃色、藍色、綠色卡片各4張.從中任取3張,要求這3張卡片不能是同一種顏色,且紅色卡片至多1張.不同取法的種數(shù)為( ).
A.232 B.252 C.472 D.484
5.(2012·遼寧
8、高考,理5)一排9個座位坐了3個三口之家,若每家人坐在一起,則不同的坐法種數(shù)為( ).
A.3×3! B.3×(3!)3 C.(3!)4 D.9!
6.設a∈Z,且0≤a<13,若512 012+a能被13整除,則a=( ).
A.0 B.1 C.11 D.12
7.(2012·廣東深圳高級中學期末,理5)值域為{2,5,10},其對應關系為y=x2+1的函數(shù)的個數(shù)( ).
A.1 B.27 C.39 D.8
8.一袋中有除顏色外其他均相同的6個球,其中3個黑球,紅、白、藍球各1個,現(xiàn)從中取出4個球排成一
9、列,共有多少種不同的排法?
參考答案
命題調研·明晰考向
真題試做
1.D 解析:和為偶數(shù)共有3種情況,取4個數(shù)均為偶數(shù)的取法有=1(種),取2奇數(shù)2偶數(shù)的取法有=60(種),取4個數(shù)均為奇數(shù)的取法有=5(種),故不同的取法共有1+60+5=66(種).
2.B 解析:二項式8的通項為Tr+1=()8-r(2)-r=2-r,令=0得r=4,所以二項展開式的常數(shù)項為T5=2-4C=,故選B.
3.10 解析:由x5=a0+a1(1+x)+a2(1+x)2+…+a5(1+x)5可得,
可解得
4.20 解析:Tr+1=·(x2)r·6-r=·x3r-6,∴要求展開式中x3的系數(shù)
10、,即3r-6=3,∴r=3,即T4=·x3=20x3,∴x3的系數(shù)為20.
精要例析·聚焦熱點
熱點例析
【例1】B 解析:因為a,b不能為0,先確定a,b的值有種,則c有種,即所形成的拋物線有=80條.當b=±2時,b2的值相同,重復的拋物線有=9條;當b=±3時,b2的值相同,重復的拋物線有=9條,所以不同的拋物線共有=62條.
【變式訓練1】C 解析:第一類,不選A,此時參賽方案有種;第二類,選A,此時先選元素(人),有種,再排元素有種方法,所以此種情況下參賽方法共有種.所以共有=24+48=72(種).選C.
【例2】 -160 解析:6的二項展開式中的常數(shù)項為·(x)3·3
11、=-160.
【變式訓練2】 56 解析:∵Cn2=Cn6,∴n=8.
Tr+1=r=,
當8-2r=-2時,r=5.
∴系數(shù)為=56.
【例3】 A 解析:(a0+a2+a4)2-(a1+a3)2=(a0+a1+a2+a3+a4)(a0-a1+a2-a3+a4)=(2+)4·(2-)4=1.
【變式訓練3】 1
創(chuàng)新模擬·預測演練
1.D 解析:Tr+1=Cr5(2x2)5-rr=(-1)r25-rCr5x10-3r,
∴當10-3r=1時,r=3.
∴(-1)325-3C35=-40.
2.A 解析:xn=[n+(x-n)]n,根據(jù)二項式通項公式得an-1=Cn=n2
12、.正確選項為A.
3.C 解析:甲獲勝有三種情況,第一種共打三局,甲全勝,此時,有一種情形;第二種共打四局,甲第四局獲勝且前三局中只有兩局獲勝,此時,共有C=3種情形;第三種共打五局,甲第五局獲勝且前四局只有兩局獲勝,此時,共有C=6種情形,所以甲贏共有10種情況,同理乙贏也有10種情形,故選C.
4.C 解析:完成這件事可分為兩類,第一類3張卡片顏色各不相同共有=256種;第二類3張卡片有兩張同色且不是紅色卡片共有=216種,由分類加法計數(shù)原理得共有472種,故選C.
5.C 解析:完成這件事可以分為兩步,第一步排列三個家庭的相對位置,有種排法;第二步排列每個家庭中的三個成員,共有種排
13、法.由乘法原理可得不同的坐法種數(shù)有,故選C.
6.D 解析:∵52能被13整除,
∴512 012可化為(52-1)2 012,其二項式系數(shù)為Tr+1=·(-1)r.
故(52-1)2 012被13除余數(shù)為·(-1)2 012=1,則當a=12時,512 012+12被13整除.
7.B 解析:分別由x2+1=2,x2+1=5,x2+1=10解得x=±1,x=±2,x=±3,由函數(shù)的定義,定義域中元素的選取分四種情況:
①取三個元素:有=8種;
②取四個元素:先從±1,±2,±3三組中選取一組,再從剩下的兩組中選兩個元素,故共有=12種;
③取五個元素:C=6種;
④取六個元素:1種.
由分類計數(shù)原理,共有8+12+6+1=27種.
8.解:分三類:若取1個黑球,和另三個球排4個位置,有=24種不同的排法;
若取2個黑球,從另三個球中選2個排4個位置,2個黑球是相同的,自動進入,不需要排列,即有=36種不同的排法;
若取3個黑球,從另三個球中選1個排4個位置,3個黑球是相同的,自動進入,不需要排列,即有=12種不同的排法;
所以有24+36+12=72種不同的排法.