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第22章 二次函數(shù)測試卷（3） 一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分） 1．（3分）在下列y關(guān)于x的函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的是（　?。? A．y=x2 B．y= C．y=kx2 D．y=k2x 2．（3分）是二次函數(shù)，則m的值為（　　） A．0，﹣2 B．0，2 C．0 D．﹣2 3．（3分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+b和二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可能為（　　） A． B． C． D． 4．（3分）某同學(xué)在用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象時，列出下面的表格： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y … ﹣7.5 ﹣2.5 0.5 1.5 0.5 … 根據(jù)表格提供的信息，下列說法錯誤的是（　?。? A．該拋物線的對稱軸是直線x=﹣2 B．該拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2.5） C．b2﹣4ac=0 D．若點(diǎn)A（0.5，y1）是該拋物線上一點(diǎn)．則y1＜﹣2.5 5．（3分）關(guān)于拋物線y=x2﹣2x+1，下列說法錯誤的是（　?。? A．開口向上 B．與x軸有兩個重合的交點(diǎn) C．對稱軸是直線x=1 D．當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而減小 6．（3分）已知拋物線y=x2+bx+c的部分圖象如圖所示，若y＜0，則x的取值范圍是（　?。? A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3 7．（3分）二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣2與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個數(shù)是（　?。? A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 8．（3分）已知關(guān)于x的方程ax+b=0（a≠0）的解為x=﹣2，點(diǎn)（1，3）是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）上的一個點(diǎn)，則下列四個點(diǎn)中一定在該拋物線上的是（　　） A．（2，3） B．（0，3） C．（﹣1，3） D．（﹣3，3） 9．（3分）二次函數(shù)y=﹣x2+2x+4的最大值為（　?。? A．3 B．4 C．5 D．6 10．（3分）已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＜；④b＞1．其中正確的結(jié)論是（　?。? A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 　 二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分） 11．（3分）已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的值為　?。? 12．（3分）如圖是二次函數(shù)y1=ax2+bx+c（a≠0）和一次函數(shù)y2=mx+n（m≠0）的圖象，當(dāng)y2＞y1，x的取值范圍是　?。? 13．（3分）若二次函數(shù)的圖象開口向下，且經(jīng)過（2，﹣3）點(diǎn)．符合條件的一個二次函數(shù)的解析式為　　． 14．（3分）已知點(diǎn)P（m，n）在拋物線y=ax2﹣x﹣a上，當(dāng)m≥﹣1時，總有n≤1成立，則a的取值范圍是　?。? 15．（3分）二次函數(shù)y=ax2（a＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，y1）、（2，y2），則y1　　y2（填“＞”或“＜”）． 16．（3分）二次函數(shù)y=x2+2x+2的最小值為　?。? 　 三、解答題（共8題，共72分） 17．（8分）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)（2，3），且頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），求這條拋物線的解析式． 18．（8分）已知函數(shù)y=u+v，其中u與x的平方成正比，v是x的一次函數(shù)， （1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，確定v的函數(shù)式； （2）如果x=﹣1時，函數(shù)y取最小值，求y關(guān)于x的函數(shù)式； （3）在（2）的條件下，寫出y的最小值． 19．（8分）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)． （1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)； （2）當(dāng)0＜x＜3時，求y的取值范圍； （3）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，若S△PAB=10，求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)． 20．（8分）如圖，拋物線y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個公共點(diǎn)A，經(jīng)過點(diǎn)A的直線交該拋物線于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)． （1）求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式； （2）求直線AB對應(yīng)的函數(shù)解析式． 21．（8分）如圖，用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度不限）的矩形菜園ABCD，設(shè)AB邊長為x米，則菜園的面積y（單位：米2）與x（單位：米）的函數(shù)關(guān)系式為多少？ 22．（10分）某商店原來平均每天可銷售某種水果200千克，每千克可盈利6元，為減少庫存，經(jīng)市場調(diào)查，如果這種水果每千克降價1元，則每天可所多售出20千克． （1）設(shè)每千克水果降價x元，平均每天盈利y元，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式； （2）若要平均每天盈利960元，則每千克應(yīng)降價多少元？ 23．（10分）如圖，頂點(diǎn)為M的拋物線y=a（x+1）2﹣4分別與x軸相交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3）． （1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式； （2）判斷△BCM是否為直角三角形，并說明理由． 24．（12分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+1經(jīng)過點(diǎn)A（4，﹣3），頂點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)P為拋物線上的一個動點(diǎn)，l是過點(diǎn)（0，2）且垂直于y軸的直線，過P作PH⊥l，垂足為H，連接PO． （1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點(diǎn)B的坐標(biāo)； （2）①當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)處時，計算：PO=　　，PH=　　，由此發(fā)現(xiàn)，PO　　PH（填“＞”、“＜”或“=”）； ②當(dāng)P點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動時，猜想PO與PH有什么數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想； （3）如圖2，設(shè)點(diǎn)C（1，﹣2），問是否存在點(diǎn)P，使得以P，O，H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 　  參考答案與試題解析 一、選擇題（共10小題，每小題3分，共30分） 1．（3分）在下列y關(guān)于x的函數(shù)中，一定是二次函數(shù)的是（　?。? A．y=x2 B．y= C．y=kx2 D．y=k2x 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的定義． 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函數(shù)． 【解答】解：A、是二次函數(shù)，故A符合題意； B、是分式方程，故B錯誤； C、k=0時，不是函數(shù)，故C錯誤； D、k=0是常數(shù)函數(shù)，故D錯誤； 故選：A． 【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的定義，形如y=ax2+bx+c （a≠0）是二次函數(shù)． 　 2．（3分）是二次函數(shù)，則m的值為（　?。? A．0，﹣2 B．0，2 C．0 D．﹣2 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的定義． 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義知道其系數(shù)不為零且指數(shù)為2，從而求得m的值． 【解答】解：∵是二次函數(shù)， ∴ 解得：m=﹣2， 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的定義，特別是遇到二次函數(shù)的解析式中二次項含有字母系數(shù)時，要注意字母系數(shù)的取值不能使得二次項系數(shù)為0． 　 3．（3分）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y=ax+b和二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象可能為（　?。? A． B． C． D． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象． 【分析】本題可先由二次函數(shù)y=ax2+bx+c圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)，再與一次函數(shù)y=ax+b的圖象相比較看是否一致． 【解答】解：A、由拋物線可知，a＜0，x=﹣＜0，得b＜0，由直線可知，a＜0，b＜0，故本選項正確； B、由拋物線可知，a＞0，由直線可知，a＜0，故本選項錯誤； C、由拋物線可知，a＞0，x=﹣＞0，得b＜0，由直線可知，a＞0，b＞0，故本選項錯誤； D、由拋物線可知，a＞0，由直線可知，a＜0，故本選項錯誤． 故選：A． 【點(diǎn)評】本題考查拋物線和直線的性質(zhì)，用假設(shè)法來搞定這種數(shù)形結(jié)合題是一種很好的方法． 　 4．（3分）某同學(xué)在用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象時，列出下面的表格： x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 … y … ﹣7.5 ﹣2.5 0.5 1.5 0.5 … 根據(jù)表格提供的信息，下列說法錯誤的是（　　） A．該拋物線的對稱軸是直線x=﹣2 B．該拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2.5） C．b2﹣4ac=0 D．若點(diǎn)A（0.5，y1）是該拋物線上一點(diǎn)．則y1＜﹣2.5 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象． 【分析】根據(jù)表格提供的信息以及拋物線的性質(zhì)一一判斷即可． 【解答】解：A、正確．因為x=﹣1或﹣3時，y的值都是0.5，所以對稱軸是x=﹣2． B、正確．根據(jù)對稱性，x=0時的值和x=﹣4的值相等． C、錯誤．因為拋物線與x軸有交點(diǎn)，所以b2﹣4ac＞0． D、正確．因為在對稱軸的右側(cè)y隨x增大而減小． 故選C． 【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的圖象以及性質(zhì)，需要靈活應(yīng)用二次函數(shù)的性質(zhì)解決問題，讀懂信息是解題的關(guān)鍵，屬于中考?？碱}型． 　 5．（3分）關(guān)于拋物線y=x2﹣2x+1，下列說法錯誤的是（　?。? A．開口向上 B．與x軸有兩個重合的交點(diǎn) C．對稱軸是直線x=1 D．當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而減小 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的圖象． 【分析】根據(jù)拋物線的解析式畫出拋物線的圖象，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合二次函數(shù)的圖象，逐項分析四個選項，即可得出結(jié)論． 【解答】解：畫出拋物線y=x2﹣2x+1的圖象，如圖所示． A、∵a=1， ∴拋物線開口向上，A正確； B、∵令x2﹣2x+1=0，△=（﹣2）2﹣4×1×1=0， ∴該拋物線與x軸有兩個重合的交點(diǎn)，B正確； C、∵﹣=﹣=1， ∴該拋物線對稱軸是直線x=1，C正確； D、∵拋物線開口向上，且拋物線的對稱軸為x=1， ∴當(dāng)x＞1時，y隨x的增大而增大，D不正確． 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)以及二次函數(shù)的圖象，解題的關(guān)鍵是結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)及其圖象分析四個選項．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)二次函數(shù)的解析式畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合來解決問題是關(guān)鍵． 　 6．（3分）已知拋物線y=x2+bx+c的部分圖象如圖所示，若y＜0，則x的取值范圍是（　?。? A．﹣1＜x＜4 B．﹣1＜x＜3 C．x＜﹣1或x＞4 D．x＜﹣1或x＞3 【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)． 【專題】計算題． 【分析】根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸求出它與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)，求當(dāng)y＜0，x的取值范圍就是求函數(shù)圖象位于x軸的下方的圖象相對應(yīng)的自變量x的取值范圍． 【解答】解：由圖象知，拋物線與x軸交于（﹣1，0），對稱軸為x=1， ∴拋物線與x軸的另一交點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）， ∵y＜0時，函數(shù)的圖象位于x軸的下方， 且當(dāng)﹣1＜x＜3時函數(shù)圖象位于x軸的下方， ∴當(dāng)﹣1＜x＜3時，y＜0． 故選B． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的圖象的性質(zhì)及學(xué)生的識圖能力，是一道不錯的考查二次函數(shù)圖象的題目． 　 7．（3分）二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣2與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個數(shù)是（　?。? A．0個 B．1個 C．2個 D．3個 【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)． 【分析】先計算根的判別式的值，然后根據(jù)b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)進(jìn)行判斷． 【解答】解：∵△=（﹣2）2﹣4×1×（﹣2）=12＞0， ∴二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣2與x軸有2個交點(diǎn)，與y軸有一個交點(diǎn)． ∴二次函數(shù)y=x2﹣2x﹣2與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)個數(shù)是3個． 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：求二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)，令y=0，即ax2+bx+c=0，解關(guān)于x的一元二次方程即可求得交點(diǎn)橫坐標(biāo)．二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）的交點(diǎn)與一元二次方程ax2+bx+c=0根之間的關(guān)系：△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)；△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)；△=b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)． 　 8．（3分）已知關(guān)于x的方程ax+b=0（a≠0）的解為x=﹣2，點(diǎn)（1，3）是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）上的一個點(diǎn)，則下列四個點(diǎn)中一定在該拋物線上的是（　?。? A．（2，3） B．（0，3） C．（﹣1，3） D．（﹣3，3） 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征． 【分析】根據(jù)一次方程ax+b=0（a≠0）的解為x=﹣2得出b=2a，由此即可得出拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為x=﹣1，找出點(diǎn)（1，3）關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)，即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵關(guān)于x的方程ax+b=0（a≠0）的解為x=﹣2， ∴有﹣2a+b=0，即b=2a． ∴拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸x=﹣=﹣1． ∵點(diǎn)（1，3）是拋物線上的一點(diǎn)， ∴點(diǎn)（﹣3，3）是拋物線上的一點(diǎn)． 故選D． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是找出拋物線的對稱軸為x=﹣1．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，找出拋物線的對稱軸，找出已知點(diǎn)關(guān)于對稱軸對稱的點(diǎn)即可． 　 9．（3分）二次函數(shù)y=﹣x2+2x+4的最大值為（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的最值． 【專題】計算題． 【分析】先利用配方法得到y(tǒng)=﹣（x﹣1）2+5，然后根據(jù)二次函數(shù)的最值問題求解． 【解答】解：y=﹣（x﹣1）2+5， ∵a=﹣1＜0， ∴當(dāng)x=1時，y有最大值，最大值為5． 故選：C． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的最值：當(dāng)a＞0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x=﹣時，y=；當(dāng)a＜0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x=﹣時，y=；確定一個二次函數(shù)的最值，首先看自變量的取值范圍，當(dāng)自變量取全體實數(shù)時，其最值為拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)的縱坐標(biāo)；當(dāng)自變量取某個范圍時，要分別求出頂點(diǎn)和函數(shù)端點(diǎn)處的函數(shù)值，比較這些函數(shù)值，從而獲得最值． 　 10．（3分）已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象如圖所示，則下列結(jié)論：①abc＞0；②a+b+c=2；③a＜；④b＞1．其中正確的結(jié)論是（　?。? A．①② B．②③ C．③④ D．②④ 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系． 【專題】壓軸題． 【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，由拋物線與y軸的交點(diǎn)判斷c與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸及拋物線與x軸交點(diǎn)情況進(jìn)行推理，進(jìn)而對所得結(jié)論進(jìn)行判斷． 【解答】解：①∵拋物線的開口向上，∴a＞0， ∵與y軸的交點(diǎn)為在y軸的負(fù)半軸上，∴c＜0， ∵對稱軸為x=＜0，∴a、b同號，即b＞0， ∴abc＜0， 故本選項錯誤； ②當(dāng)x=1時，函數(shù)值為2， ∴a+b+c=2； 故本選項正確； ③∵對稱軸x=＞﹣1， 解得：＜a， ∵b＞1， ∴a＞， 故本選項錯誤； ④當(dāng)x=﹣1時，函數(shù)值＜0， 即a﹣b+c＜0，（1） 又a+b+c=2， 將a+c=2﹣b代入（1）， 2﹣2b＜0， ∴b＞1 故本選項正確； 綜上所述，其中正確的結(jié)論是②④； 故選D． 【點(diǎn)評】二次函數(shù)y=ax2+bx+c系數(shù)符號的確定： （1）a由拋物線開口方向確定：開口方向向上，則a＞0；否則a＜0． （2）b由對稱軸和a的符號確定：由對稱軸公式x=判斷符號． （3）c由拋物線與y軸的交點(diǎn)確定：交點(diǎn)在y軸正半軸，則c＞0；否則c＜0． （4）b2﹣4ac的符號由拋物線與x軸交點(diǎn)的個數(shù)確定：2個交點(diǎn)，b2﹣4ac＞0；1個交點(diǎn)，b2﹣4ac=0；沒有交點(diǎn)，b2﹣4ac＜0． （5）當(dāng)x=1時，可確定a+b+c的符號，當(dāng)x=﹣1時，可確定a﹣b+c的符號． （6）由對稱軸公式x=，可確定2a+b的符號． 　 二、填空題（共6小題，每小題3分，共18分） 11．（3分）已知函數(shù)是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的值為　﹣1?。? 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的定義． 【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義列出不等式求解即可． 【解答】解：根據(jù)題意得：， 解得：m=﹣1． 故答案是：﹣1． 【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)的定義，注意到m﹣1≠0是關(guān)鍵． 　 12．（3分）如圖是二次函數(shù)y1=ax2+bx+c（a≠0）和一次函數(shù)y2=mx+n（m≠0）的圖象，當(dāng)y2＞y1，x的取值范圍是　﹣2＜x＜1　． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的圖象；一次函數(shù)的圖象． 【分析】關(guān)鍵是從圖象上找出兩函數(shù)圖象交點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)兩函數(shù)圖象的上下位置關(guān)系，判斷y2＞y1時，x的取值范圍． 【解答】解：從圖象上看出，兩個交點(diǎn)坐標(biāo)分別為（﹣2，0），（1，3）， ∴當(dāng)有y2＞y1時，有﹣2＜x＜1， 故答案為：﹣2＜x＜1． 【點(diǎn)評】此題考查了學(xué)生從圖象中讀取信息的數(shù)形結(jié)合能力．解決此類識圖題，同學(xué)們要注意分析其中的“關(guān)鍵點(diǎn)”，還要善于分析各圖象的變化趨勢． 　 13．（3分）若二次函數(shù)的圖象開口向下，且經(jīng)過（2，﹣3）點(diǎn)．符合條件的一個二次函數(shù)的解析式為　y=﹣x2﹣2x+5　． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的性質(zhì)． 【專題】開放型． 【分析】由于二次函數(shù)的圖象開口向下，所以二次項系數(shù)是負(fù)數(shù)，而圖象還經(jīng)過（2，﹣3）點(diǎn)，由此即可確定這樣的函數(shù)解析式不唯一． 【解答】解：∵若二次函數(shù)的圖象開口向下，且經(jīng)過（2，﹣3）點(diǎn)， ∴y=﹣x2﹣2x+5符合要求． 答案不唯一． 例如：y=﹣x2﹣2x+5． 【點(diǎn)評】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵根據(jù)圖象的性質(zhì)確定解析式的各項系數(shù)． 　 14．（3分）已知點(diǎn)P（m，n）在拋物線y=ax2﹣x﹣a上，當(dāng)m≥﹣1時，總有n≤1成立，則a的取值范圍是　﹣≤a＜0　． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征． 【分析】依照題意畫出圖形，結(jié)合函數(shù)圖形以及已知條件可得出關(guān)于a的一元一次不等式組，解不等式組即可得出a的取值范圍． 【解答】解：根據(jù)已知條件，畫出函數(shù)圖象，如圖所示． 由已知得：， 解得：﹣≤a＜0． 故答案為：﹣≤a＜0 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是畫出函數(shù)圖象，依照數(shù)形結(jié)合得出關(guān)于a的不等式組．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)畫出函數(shù)圖象，利用數(shù)形結(jié)合解決問題是關(guān)鍵． 　 15．（3分）二次函數(shù)y=ax2（a＞0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)（1，y1）、（2，y2），則y1　＜　y2（填“＞”或“＜”）． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征；二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】根據(jù)a＞0，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出“當(dāng)x＞0時，二次函數(shù)y值隨著x值的增大而增大”，再由0＜1＜2即可得出結(jié)論． 【解答】解：∵a＞0，且二次函數(shù)的對稱軸為x=0， ∴當(dāng)x＞0時，二次函數(shù)y值隨著x值的增大而增大， ∵0＜1＜2， ∴y1＜y2． 故答案為：＜． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征以及二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出當(dāng)x＞0時，函數(shù)為增函數(shù)．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)二次函數(shù)的系數(shù)結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)找出其單調(diào)區(qū)間是關(guān)鍵． 　 16．（3分）二次函數(shù)y=x2+2x+2的最小值為　1　． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的最值． 【分析】把二次函數(shù)解析式整理成頂點(diǎn)式形式，然后寫出最小值即可． 【解答】解：配方得：y=x2+2x+2=y=x2+2x+12+1=（x+1）2+1， 當(dāng)x=﹣1時，二次函數(shù)y=x2+2x+2取得最小值為1． 故答案是：1． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的最值．求二次函數(shù)的最大（?。┲涤腥N方法，第一種可由圖象直接得出，第二種是配方法，第三種是公式法． 　 三、解答題（共8題，共72分） 17．（8分）已知拋物線經(jīng)過點(diǎn)（2，3），且頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），求這條拋物線的解析式． 【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式． 【分析】由于已知拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，則可設(shè)頂點(diǎn)式y(tǒng)=a（x+1）2+2，然后把（0，4）代入求出a的值即可． 【解答】解：∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1）， 設(shè)拋物線為y=a（x﹣1）2+1， ∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（2，3）， ∴3=a（2﹣1）2+1， 解得：a=2． ∴y=2（x﹣1）2+1=2x2﹣4x+3． 【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：在利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)關(guān)系式時，要根據(jù)題目給定的條件，選擇恰當(dāng)?shù)姆椒ㄔO(shè)出關(guān)系式，從而代入數(shù)值求解．一般地，當(dāng)已知拋物線上三點(diǎn)時，常選擇一般式，用待定系數(shù)法列三元一次方程組來求解；當(dāng)已知拋物線的頂點(diǎn)或?qū)ΨQ軸時，常設(shè)其解析式為頂點(diǎn)式來求解；當(dāng)已知拋物線與x軸有兩個交點(diǎn)時，可選擇設(shè)其解析式為交點(diǎn)式來求解． 　 18．（8分）已知函數(shù)y=u+v，其中u與x的平方成正比，v是x的一次函數(shù)， （1）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)，確定v的函數(shù)式； （2）如果x=﹣1時，函數(shù)y取最小值，求y關(guān)于x的函數(shù)式； （3）在（2）的條件下，寫出y的最小值． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的最值；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式． 【專題】計算題． 【分析】（1）v是x的一次函數(shù)，可設(shè)v=kx+b，然后把表中兩組數(shù)據(jù)代入得到關(guān)于k、b的方程組，解方程組求出k、b即可； （2）由于u與x的平方成正比，則設(shè)u=ax2，所以y=ax2+2x﹣1，根據(jù)二次函數(shù)的最值問題得到﹣=﹣1，解得a=1，由此得到y(tǒng)關(guān)于x的函數(shù)式； （3）把x=﹣1代入y關(guān)于x的函數(shù)式中計算出對應(yīng)的函數(shù)值即可． 【解答】解：（1）設(shè)v=kx+b，把（0，﹣1）、（1，1）代入得，解得， ∴v=2x﹣1； （2）設(shè)u=ax2，則y=ax2+2x﹣1， ∵當(dāng)x=﹣1時，y=ax2+2x﹣1取最小值， ∴拋物線的對稱軸為直線x=﹣1，即， ∴a=1， ∴y=x2+2x﹣1， （3）把x=﹣1代入y=x2+2x﹣1得y=1﹣2﹣1=﹣2， 即y的最小值為﹣2． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a≠0）的最值：當(dāng)a＞0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，因為圖象有最低點(diǎn)，所以函數(shù)有最小值，當(dāng)x=時，y=；當(dāng)a＜0時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，因為圖象有最高點(diǎn)，所以函數(shù)有最大值，當(dāng)x=時，y=． 　 19．（8分）如圖，已知拋物線y=x2+bx+c經(jīng)過A（﹣1，0）、B（3，0）兩點(diǎn)． （1）求拋物線的解析式和頂點(diǎn)坐標(biāo)； （2）當(dāng)0＜x＜3時，求y的取值范圍； （3）點(diǎn)P為拋物線上一點(diǎn)，若S△PAB=10，求出此時點(diǎn)P的坐標(biāo)． 【考點(diǎn)】待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式；二次函數(shù)的性質(zhì)． 【分析】（1）由點(diǎn)A、B的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法即可求出拋物線的解析式，再利用配方法即可求出拋物線頂點(diǎn)坐標(biāo)； （2）結(jié)合函數(shù)圖象以及A、B點(diǎn)的坐標(biāo)即可得出結(jié)論； （3）設(shè)P（x，y），根據(jù)三角形的面積公式以及S△PAB=10，即可算出y的值，代入拋物線解析式即可得出點(diǎn)P的坐標(biāo)． 【解答】解：（1）把A（﹣1，0）、B（3，0）分別代入y=x2+bx+c中， 得：，解得：， ∴拋物線的解析式為y=x2﹣2x﹣3． ∵y=x2﹣2x﹣3=（x﹣1）2﹣4， ∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣4）． （2）由圖可得當(dāng)0＜x＜3時，﹣4≤y＜0． （3）∵A（﹣1，0）、B（3，0）， ∴AB=4． 設(shè)P（x，y），則S△PAB=AB?|y|=2|y|=10， ∴|y|=5， ∴y=±5． ①當(dāng)y=5時，x2﹣2x﹣3=5，解得：x1=﹣2，x2=4， 此時P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，5）或（4，5）； ②當(dāng)y=﹣5時，x2﹣2x﹣3=﹣5，方程無解； 綜上所述，P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，5）或（4，5）． 【點(diǎn)評】本題考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式、三角形的面積公式以及二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是：（1）利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式；（2）根據(jù)函數(shù)圖象解不等式；（3）找出關(guān)于y的方程．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式是關(guān)鍵． 　 20．（8分）如圖，拋物線y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個公共點(diǎn)A，經(jīng)過點(diǎn)A的直線交該拋物線于點(diǎn)B，交y軸于點(diǎn)C，且點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)． （1）求這條拋物線對應(yīng)的函數(shù)解析式； （2）求直線AB對應(yīng)的函數(shù)解析式． 【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；待定系數(shù)法求一次函數(shù)解析式；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式． 【專題】計算題． 【分析】（1）利用△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)得到4a2﹣4a=0，然后解關(guān)于a的方程求出a，即可得到拋物線解析式； （2）利用點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)可判斷點(diǎn)A與點(diǎn)B的橫坐標(biāo)互為相反數(shù)，則可以利用拋物線解析式確定B點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用待定系數(shù)法求直線AB的解析式． 【解答】解：（1）∵拋物線y=ax2+2ax+1與x軸僅有一個公共點(diǎn)A， ∴△=4a2﹣4a=0，解得a1=0（舍去），a2=1， ∴拋物線解析式為y=x2+2x+1； （2）∵y=（x+1）2， ∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0）， ∵點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)， 即點(diǎn)A與點(diǎn)B關(guān)于C點(diǎn)對稱， ∴B點(diǎn)的橫坐標(biāo)為1， 當(dāng)x=1時，y=x2+2x+1=1+2+1=4，則B（1，4）， 設(shè)直線AB的解析式為y=kx+b， 把A（﹣1，0），B（1，4）代入得，解得， ∴直線AB的解析式為y=2x+2． 【點(diǎn)評】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)：對于二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），△=b2﹣4ac決定拋物線與x軸的交點(diǎn)個數(shù)：△=b2﹣4ac＞0時，拋物線與x軸有2個交點(diǎn)；△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點(diǎn)；△=b2﹣4ac＜0時，拋物線與x軸沒有交點(diǎn)．也考查了利用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式． 　 21．（8分）如圖，用一段長為30米的籬笆圍成一個一邊靠墻（墻的長度不限）的矩形菜園ABCD，設(shè)AB邊長為x米，則菜園的面積y（單位：米2）與x（單位：米）的函數(shù)關(guān)系式為多少？ 【考點(diǎn)】根據(jù)實際問題列二次函數(shù)關(guān)系式． 【分析】由AB邊長為x米根據(jù)已知可以推出BC=（30﹣x），然后根據(jù)矩形的面積公式即可求出函數(shù)關(guān)系式． 【解答】解：∵AB邊長為x米， 而菜園ABCD是矩形菜園， ∴BC=（30﹣x）， 菜園的面積=AB×BC=（30﹣x）?x， 則菜園的面積y（單位：米2）與x（單位：米）的函數(shù)關(guān)系式為：y=﹣x2+15x． 【點(diǎn)評】此題主要考查了根據(jù)實際問題列二次函數(shù)解析式，利用矩形的周長公式用x表示BC，然后利用矩形的面積公式即可解決問題，本題的難點(diǎn)在于得到BC長． 　 22．（10分）某商店原來平均每天可銷售某種水果200千克，每千克可盈利6元，為減少庫存，經(jīng)市場調(diào)查，如果這種水果每千克降價1元，則每天可所多售出20千克． （1）設(shè)每千克水果降價x元，平均每天盈利y元，試寫出y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式； （2）若要平均每天盈利960元，則每千克應(yīng)降價多少元？ 【考點(diǎn)】二次函數(shù)的應(yīng)用． 【分析】（1）根據(jù)“每天利潤=每天銷售質(zhì)量×每千克的利潤”即可得出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式； （2）將y=960代入（1）中函數(shù)關(guān)系式中，得出關(guān)于x的一元二次方程，解方程即可得出結(jié)論． 【解答】解：（1）根據(jù)題意得： y=（200+20x）×（6﹣x）=﹣20x2﹣80x+1200． （2）令y=﹣20x2﹣80x+1200中y=960，則有960=﹣20x2﹣80x+1200， 即x2+4x﹣12=0， 解得：x=﹣6（舍去），或x=2． 答：若要平均每天盈利960元，則每千克應(yīng)降價2元． 【點(diǎn)評】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)數(shù)量關(guān)系找出函數(shù)關(guān)系式；（2）將y=960代入函數(shù)關(guān)系式得出關(guān)于x的一元二次方程．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時結(jié)合數(shù)量關(guān)系找出函數(shù)關(guān)系式是關(guān)鍵． 　 23．（10分）如圖，頂點(diǎn)為M的拋物線y=a（x+1）2﹣4分別與x軸相交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的右側(cè)），與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3）． （1）求拋物線的函數(shù)表達(dá)式； （2）判斷△BCM是否為直角三角形，并說明理由． 【考點(diǎn)】拋物線與x軸的交點(diǎn)；待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式． 【分析】（1）將點(diǎn)C坐標(biāo)代入解析式求得a即可； （2）先根據(jù)拋物線解析式求得點(diǎn)M、B、C的坐標(biāo)，繼而可得線段BC、CM、BM的長，根據(jù)勾股定理的逆定理即可判斷． 【解答】解：（1）∵拋物線y=a（x+1）2﹣4與y軸相交于點(diǎn)C（0，﹣3）． ∴﹣3=a﹣4， ∴a=1， ∴拋物線解析式為y=（x+1）2﹣4=x2+2x﹣3， （2）△BCM是直角三角形 ∵由（1）知拋物線解析式為y=（x+1）2﹣4， ∴M（﹣1，﹣4）， 令y=0，得：x2+2x﹣3=0， ∴x1=﹣3，x2=1， ∴A（1，0），B（﹣3，0）， ∴BC2=9+9=18，CM2=1+1=2，BM2=4+16=20， ∴BC2+CM2=BM2， ∴△BCM是直角三角形． 【點(diǎn)評】本題主要考查待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式及勾股定理逆定理，根據(jù)題意求得拋物線解析式是解題的根本，掌握勾股定理逆定理是解題的關(guān)鍵． 　 24．（12分）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=ax2+1經(jīng)過點(diǎn)A（4，﹣3），頂點(diǎn)為點(diǎn)B，點(diǎn)P為拋物線上的一個動點(diǎn)，l是過點(diǎn)（0，2）且垂直于y軸的直線，過P作PH⊥l，垂足為H，連接PO． （1）求拋物線的解析式，并寫出其頂點(diǎn)B的坐標(biāo)； （2）①當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)處時，計算：PO=　5　，PH=　5　，由此發(fā)現(xiàn)，PO　=　PH（填“＞”、“＜”或“=”）； ②當(dāng)P點(diǎn)在拋物線上運(yùn)動時，猜想PO與PH有什么數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想； （3）如圖2，設(shè)點(diǎn)C（1，﹣2），問是否存在點(diǎn)P，使得以P，O，H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，求出P點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 【考點(diǎn)】二次函數(shù)綜合題． 【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可解決問題． （2）①求出PO、PH即可解決問題． ②結(jié)論：PO=PH．設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，﹣m2+1），利用兩點(diǎn)之間距離公式求出PH、PO即可解決問題． （3）首先判斷PH與BC，PO與AC是對應(yīng)邊，設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+1），由=列出方程即可解決問題． 【解答】（1）解：∵拋物線y=ax2+1經(jīng)過點(diǎn)A（4，﹣3）， ∴﹣3=16a+1， ∴a=﹣， ∴拋物線解析式為y=﹣x2+1，頂點(diǎn)B（0，1）． （2）①當(dāng)P點(diǎn)運(yùn)動到A點(diǎn)處時，∵PO=5，PH=5， ∴PO=PH， 故答案分別為5，5，=． ②結(jié)論：PO=PH． 理由：設(shè)點(diǎn)P坐標(biāo)（m，﹣m2+1）， ∵PH=2﹣（﹣m2+1）=m2+1 PO==m2+1， ∴PO=PH． （3）∵BC==，AC==，AB==4 ∴BC=AC， ∵PO=PH， 又∵以P，O，H為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似， ∴PH與BC，PO與AC是對應(yīng)邊， ∴=，設(shè)點(diǎn)P（m，﹣m2+1）， ∴=， 解得m=±1， ∴點(diǎn)P坐標(biāo)（1，）或（﹣1，）． 【點(diǎn)評】本題考查二次函數(shù)綜合題、待定系數(shù)法、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是記住兩點(diǎn)之間的距離公式，學(xué)會轉(zhuǎn)化的思想，用方程去解決問題，屬于中考壓軸題． 第27頁（共27頁）